퍼지 구

2. 정의

스핀이 $j$인 SU(2) 표현 $J\_i$ ($i=1,2,3$)를 생각하자. 이들은 $(2j+1)\backslash times(2j+1)$ 에르미트 행렬이며, 다음과 같은 관계를 만족시킨다.^[1]

:$[J\_i,J\_j]=i\backslash hbar\backslash epsilon\_\{ijk\}J\_k$

여기서 $\backslash epsilon\_\{ijk\}$는 3차원 레비치비타 기호다.

다음과 같은 총 각운동량 연산자를 생각하자.

:$\backslash mathbf\; J^2=J\_1^2+J\_2^2+J\_3^2=\backslash hbar^2j(j+1)$

이제 다음과 같이 좌표 $\backslash mathbf\; x$를 정의하자.

:$x\_i=\backslash frac\{J\_iR\}\{\backslash hbar\backslash sqrt\{j(j+1)\}\}$

그렇다면

:$\backslash mathbf\; x^2=R^2$

이 되므로, $\backslash mathbf\; x$를 반지름이 $R$인 구의 좌표로 생각할 수 있다. 이 비가환 공간을 '''퍼지 구'''(fuzzy sphere^영어)라고 한다. fuzzy|퍼지^영어는 ‘흐릿한, 보풀이 이는’을 뜻하는 형용사로, 좌표의 비가환성을 보풀에 비유한 것이다.

퍼지 구의 좌표들 $x\_i$는 서로 가환하지 않는다.

:$[x\_i,x\_j]=\backslash frac\; R\{\backslash sqrt\{j(j+1)\}\}i\backslash epsilon\_\{ijk\}\; x\_k$

다만, 각운동량이 매우 큰 고전적 극한 $j\backslash to\backslash infty$을 취하면, $[x\_i,x\_j]\backslash to0$이 되어 가환구로 수렴하게 된다.