비가환 원환면

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 추상적 정의
- 2.2. 기하학적 정의
3. 성질
4. 다른 표현
5. 분류 및 K-이론
참조

1. 개요

비가환 원환면은 무리수 θ에 의해 정의되는 C*-대수이며, 2차원 원환면의 비가환적 일반화이다. 이는 두 유니타리 연산자 U와 V에 의해 생성되며, VU = e^−2πiθUV의 관계를 만족한다. 비가환 원환면은 추상적 정의, 기하학적 정의, 다양한 표현을 가지며, K-이론을 통해 분류될 수 있다. 두 비가환 원환면은 θ + θ' 또는 θ - θ'가 정수일 때 동형이며, SL(2, ℤ)의 분수 선형 변환 작용의 같은 궤도에 있을 때 강하게 모리타 동치이다.

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비가환 원환면
일반 정보
유형	비가환 기하학의 주제
분야	수학
정의
정의	비가환 C*-대수
예시
예시	무리수 회전 대수

2. 정의

비가환 원환면은 수학적으로 두 가지 주요한 방식으로 정의될 수 있다. 하나는 C* 대수의 생성원과 관계식을 이용한 추상적인 정의이고, 다른 하나는 특정 함수 공간 위의 작용소를 이용한 기하학적인 정의이다.

추상적인 관점에서, n차원 비가환 원환면은 n개의 유니타리 생성원 U₁, ..., U_n과 반대칭 실수 행렬 θ = (θ_ij)에 의해 주어지는 관계식

:U_i U_j = exp(2πi θ_ij) U_j U_i

을 만족하는 보편적인 C* 대수로 정의된다. 만약 행렬 θ의 모든 성분이 0이면, 이 대수는 가환적이 되며 n차원 원환면 Tⁿ 위의 연속 함수들의 대수 C⁰(Tⁿ, C)와 동형이 된다.

기하학적인 관점에서, 특히 2차원 비가환 원환면(n=2)의 경우, 무리수 θ에 대해 힐베르트 공간 L²(S¹; C) (단위 원 위의 제곱 적분 가능 함수 공간) 위에 작용하는 두 유니타리 작용소 U, V로 생성되는 C* 대수로 구체화될 수 있다. 이 작용소들은 다음과 같은 교환 관계를 만족한다.

:UV = exp(2πi θ) VU

이 두 정의 방식은 서로 밀접하게 연관되어 있으며, 비가환 기하학에서 중요한 연구 대상이 된다.

2. 1. 추상적 정의

단위원을 갖는 복소수 C* 대수의 범주

\operatorname{C*Alg}

에서 집합의 범주

\operatorname{Set}

로 가는 망각 함자를 생각할 수 있다.

:

U \colon \operatorname{C*Alg} \to \operatorname{Set}

이 망각 함자는 왼쪽 수반 함자

:

F \colon \operatorname{Set} \to \operatorname{C*Alg}

를 가지며, 이를 통해 주어진 집합으로부터 자유 C* 대수를 정의할 수 있다. 더 일반적으로, C* 대수의 임의의 부분 집합이 주어졌을 때, 이 부분 집합을 포함하는 가장 작은 닫힌 양쪽 아이디얼(C*-아이디얼)을 생각할 수 있다. 이 아이디얼에 대한 몫 대수는 주어진 생성원들과 특정 관계식들로부터 생성되는 C* 대수로 볼 수 있다.

이제,

n

개의 생성원

U_1, \dots, U_n

으로 생성되는 자유 C* 대수를

A_n

이라고 하자. 여기에 반대칭인

n \times n

실수 행렬

:

\theta = (\theta_{ij}) \in M_n(\mathbb{R}), \quad \theta_{ij} = -\theta_{ji}

가 주어졌다고 하자. 이 행렬

\theta

를 이용하여 다음과 같은 관계식들로 정의되는 C*-아이디얼

\mathfrak I_\theta

를 생각한다.

:

U_i U_j = \exp(2\pi i \theta_{ij}) U_j U_i \quad \forall i, j \in \{1, \dots, n\}

이 아이디얼

\mathfrak I_\theta

에 대한 몫 C* 대수

:

A_{n,\theta} = A_n / \mathfrak I_\theta

를 '''

\theta

로 정의되는

n

차원 비가환 원환면'''(

n

-dimensional noncommutative torus defined by

\theta

^영어)이라고 부른다.

특히, 만약

\theta = 0

(모든 성분이 0인 영행렬)인 경우, 위 관계식은

U_i U_j = U_j U_i

가 되어 생성원들이 서로 교환 법칙을 만족하게 된다. 이 경우

A_{n,0}

는 가환 C* 대수가 되며, 이는

n

차원 원환면

\mathbb T^n

위의 복소수 값 연속 함수들의 C* 대수

\mathcal C^0(\mathbb T^n, \mathbb C)

와 동형이다. 원환면을

\mathbb T^n = \mathbb R^n / \mathbb Z^n = \{(x_1+\mathbb Z, \dots, x_n+\mathbb Z) \colon x_1, \dots, x_n \in \mathbb R\}

로 좌표를 주면, 이 동형 사상은 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

:

A_{n,0} \cong \mathcal C^0(\mathbb T^n, \mathbb C)

:

U_i \mapsto ( (x_1, \dots, x_n) \mapsto \exp(2\pi i x_i) )

즉, 생성원

U_i

는 원환면의

i

번째 좌표에 해당하는 위상 생성 함수

\exp(2\pi i x_i)

에 대응된다.

2. 2. 기하학적 정의

무리수

\theta\in\mathbb R

가 주어졌다고 하자. 원

\mathbb S^1 = \{z\in\mathbb C \colon |z|=1\}

위의 복소수 값 제곱 적분 가능 함수들로 구성된 르베그 공간

\operatorname L^2(\mathbb S^1;\mathbb C)

를 고려한다. 이 공간 위에는 다음과 같은 두 개의 유계 작용소

U

와

V

를 정의할 수 있다.

U \colon \operatorname L^2(\mathbb S^1;\mathbb C) \to \operatorname L^2(\mathbb S^1;\mathbb C)

V \colon \operatorname L^2(\mathbb S^1;\mathbb C) \to \operatorname L^2(\mathbb S^1;\mathbb C)

Uf(z)=zf(z)

Vf(z)=f(\exp(-2\pi\mathrm i\theta)z)

여기서

f

는

\operatorname L^2(\mathbb S^1;\mathbb C)

에 속하는 함수이고,

z

는 원

\mathbb S^1

위의 점이다. 작용소

U

는 함수에 그 변수

z

를 곱하는 연산이고,

V

는 함수 정의역의 점을 각도

-2\pi\theta

만큼 회전시키는 연산이다. 이 두 작용소는 다음과 같은 교환 관계를 만족시킨다.

UV=\exp(2\pi\mathrm i\theta)VU

^[1]

이 관계식은

U

와

V

의 작용 순서를 바꾸면

\exp(2\pi\mathrm i\theta)

라는 복소수 위상 인자가 곱해짐을 의미한다.

모든 유계 작용소들로 이루어진 C* 대수

\operatorname B(\operatorname L^2(\mathbb S^1;\mathbb C))

안에서, 위에서 정의한 두 유니타리 작용소

U

와

V

로 생성되는 부분 C* 대수가 '''2차원 비가환 원환면'''

\mathbb T^2_\theta

(또는

A_\theta

)이다. 이는 교환 관계

UV=\exp(2\pi\mathrm i\theta)VU

에 의해 정의되며, 항등원을 포함하는 자유 C* 대수이다.

3. 성질

두 비가환 원환면 $\mathbb T^2_\theta$ 와 $\mathbb T^2_{\theta'}$ 는 $\theta+\theta'\in\mathbb Z$ 또는 $\theta-\theta'\in\mathbb Z$ 일 경우 서로 동형(isomorphic)이다.

두 비가환 원환면 $\mathbb T_\theta$ 와 $\mathbb T_{\theta'}$ 는 다음과 같은 조건을 만족할 때 서로 강하게 모리타 동치(strongly Morita equivalent)이다.^[5]^[6]

: $\theta'=\frac{a\theta+b}{c\theta+d}$

여기서 행렬 $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ 는 모듈러 군 $\operatorname{SL}(2,\mathbb Z)$ 의 원소이다. 즉, 비가환 원환면의 모리타 동치는 모듈러 군 SL(2,ℤ)를 따르며, 이는 M이론으로 설명될 수 있다.^[7]

무리수 회전 대수 $A_\theta$ 는 다음과 같은 주요 성질을 지닌다.

모든 무리수 회전 대수 $A_\theta$ 는 단순하다. 이는 $\{0\}$ 과 자기 자신 외에는 닫힌 고유 양쪽 아이디얼을 포함하지 않음을 의미한다.^[1]
모든 무리수 회전 대수는 유일한 추적 상태를 갖는다.^[1]
무리수 회전 대수는 핵이다.

A_\theta

의 K-이론은 짝수 차원(

K_0

)과 홀수 차원(

K_1

) 모두에서

\mathbb{Z}^2

과 동형이므로, K-이론만으로는 무리수 회전 대수를 구별하지 못한다. 하지만 순서군으로서

K_0(A_\theta)

는

\mathbb{Z} + \theta\mathbb{Z}

와 동형이다. 따라서 두 비가환 원환면

A_\theta

와

A_\eta

가 동형일 필요충분조건은

\theta \pm \eta

가 정수인 것이다.^[1]^[2]

또한, 두 무리수 회전 대수

A_\theta

와

A_\eta

가 강한 모리타 동치일 필요충분조건은

\theta

와

\eta

가 SL(2, '''Z''')의 '''R''' 상 분수 선형 변환 작용에 대해 같은 궤도에 속하는 것이다. 특히,

\theta

가 유리수일 경우 비가환 원환면은 고전적인 원환면과 모리타 동치이다. 반면,

\theta

가 무리수일 경우 비가환 원환면은 단순 C*-대수이다.^[2]

4. 다른 표현

비가환 원환면 $A_\theta$ 는 여러 가지 동등한 방식으로 표현될 수 있다. 주요 표현 방식은 다음과 같다.

'''보편 C*-대수''': 특정 교환 관계식을 만족하는 두 개의 유니타리 원소로 생성되는 보편 C*-대수로 정의될 수 있다.^[1]
'''무리수 회전 대수''': 원 $S^1$ 에 대한 무리수 회전 작용과 관련된 C*-대수 교차 곱과 동형이다.^[1]
'''꼬임 군 대수''': 특정 2-코사이클을 이용한 $\mathbb{Z}^2$ 의 꼬임 군 대수와 동형이다.^[1]

이러한 다양한 표현 방식은 비가환 원환면의 구조와 성질을 여러 관점에서 이해하는 데 도움을 준다.

4. 1. 보편적 성질

''A''_''θ''는 관계식 ''VU'' = e^{2π ''i'' θ}''UV''를 만족하는 두 개의 유니타리 원소 ''U''와 ''V''에 의해 생성된 보편 C*-대수로 (동형사상까지) 정의될 수 있다.^[1] 이 정의는 ''θ''가 유리수일 때까지 확장된다. 특히 ''θ'' = 0일 때, ''A''_''θ''는 겔판트 변환에 의해 2-토러스 상의 연속 함수와 동형이다.
무한 순환군 '''Z'''가 각도 2π''iθ''만큼의 회전 작용에 의해 원 '''S'''¹에 작용한다고 하자. 이는 자리에 의한 '''Z'''의 작용을 연속 함수 대수 ''C''('''S'''¹)에 유도한다. 결과적인 C*-교차 곱 ''C''('''S'''¹) ⋊ '''Z'''는 ''A''_''θ''와 동형이다. 생성 유니타리는 군 '''Z'''의 생성원과 원상의 항등 함수 ''z'' : '''S'''¹ → '''C'''이다.^[1]
함수 σ : '''Z'''² × '''Z'''² → '''C'''; σ((''m'',''n''), (''p'',''q'')) = ''e''^2π''inpθ''는 '''Z'''² 상의 군 2-코사이클이며, 이에 해당하는 꼬임 군 대수 ''C*''('''Z'''²; ''σ'')는 ''A''_''θ''와 동형이다.

4. 2. 무리수 회전 대수

무한 순환군 '''Z'''가 각도 2π''iθ''만큼의 회전 작용을 통해 원 '''S'''¹에 작용한다고 가정하자. 이 작용은 연속 함수 대수 ''C''('''S'''¹) 위에 '''Z'''의 작용을 유도한다. 결과적으로 얻어지는 C*-대수 교차 곱 ''C''('''S'''¹) ⋊ '''Z'''는 ''A''_''θ''와 동형이다. 이때 생성 유니타리 원소는 군 '''Z'''의 생성원과 원 위의 항등 함수 ''z'' : '''S'''¹ → '''C'''이다.^[1]

4. 3. 꼬임 군 대수

함수 σ : '''Z'''² × '''Z'''² → '''C''' 를 σ((''m'',''n''), (''p'',''q'')) = ''e''^2π''inpθ'' 와 같이 정의하자. 이 함수 σ는 '''Z'''² 상의 군 2-코사이클이다. 이 군 2-코사이클에 해당하는 꼬임 군 대수 ''C*''('''Z'''²; ''σ'')는 비가환 원환면 ''A''_''θ''와 동형이다.^[1]

5. 분류 및 K-이론

''A''_''θ''의 K-이론은 짝수 차원과 홀수 차원 모두에서 $\mathbb{Z}^2$ 이다. 따라서 K-이론 자체만으로는 서로 다른 무리수 회전 대수를 구별할 수 없다. 하지만 순서군으로서 $K_0$ 는 $\mathbb{Z} + \theta\mathbb{Z}$ 와 동형이다.

이를 통해 두 비가환 원환면 $\mathbb{T}^2_\theta$ (또는 $A_\theta$ )와 $\mathbb{T}^2_{\theta'}$ (또는 $A_{\eta}$ )가 서로 동형(isomorphic)일 필요충분조건은 다음과 같음을 알 수 있다.^[1]^[2]

: $\theta+\theta'\in\mathbb{Z}$ 또는 $\theta-\theta'\in\mathbb{Z}$

또한, 두 비가환 원환면 $\mathbb{T}_\theta$ 와 $\mathbb{T}_{\theta'}$ 가 강한 모리타 동치(strongly Morita equivalent)일 필요충분조건은 다음과 같다.^[5]^[6]

: $\theta'=\frac{a\theta+b}{c\theta+d}$

여기서 행렬 $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ 은 모듈러 군 $\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})$ 의 원소이다. 즉, 두 무리수 회전 대수 $A_\theta$ 와 $A_\eta$ 는 $\theta$ 와 $\eta$ 가 $\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})$ 의 $\mathbb{R}$ 상 분수 선형 변환 작용의 같은 궤도에 있을 때에만 강한 모리타 동치이다.^[2] 비가환 원환면의 이러한 모리타 동치 관계는 M이론으로 설명될 수도 있다.^[7]

특히, 매개변수 θ가 유리수일 경우, 해당 비가환 원환면은 고전적인 원환면과 모리타 동치이다. 반면, θ가 무리수일 경우, 비가환 원환면은 단순 C*-대수가 된다.^[2]

참조

_[1] 서적 C*-Algebras by Example Fields Institute
_[2] 논문 C*-Algebras Associated with Irrational Rotations http://msp.org/pjm/1[...] 2013-02-28
_[3] 서적 Geometric and Topological Invariants of Elliptic Operators American Mathematical Society 1990
_[4] 서적 An invitation to noncommutative geometry. Lectures of the international workshop on noncommutative geometry, Tehran, Iran, 2005 World Scientific 2008
_[5] 저널 Morita equivalence of multidimensional noncommutative tori 1999-03
_[6] 저널 Morita equivalence of smooth noncommutative tori 2007-09
_[7] 저널 Noncommutative field theory 2001-11-29

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