표준환

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 쌍유리 불변성
- 3.2. 쌍유리 기하학의 기본 추측
4. n-표준 사상
참조

1. 개요

표준환은 대수다양체의 표준 선다발을 이용하여 정의되는 등급환이다. 표준환의 각 등급 차원들로 다중 종수가 정의되며, 다중 종수는 표준환의 중요한 불변량이다. 표준환에 대한 사영 공간을 표준 모형이라고 하며, 고다이라 차원은 표준 모형의 차원으로 다중 종수의 증가 속도를 나타내는 불변량이다. 표준환은 쌍유리 동치에 대해 불변이며, 다중 표준 환이 유한 생성된다는 추측은 쌍유리 기하학의 중요한 문제였다.

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표준환
정의
정의	가환환 A의 표준환(canonical ring)은 등급환 ⊕n≥0H0(X,ωX⊗n)이다. 여기서 X는 A의 스펙트럼 Spec(A)의 사영 모형이고, ωX는 X의 쌍대화 층(dualizing sheaf)이다.
추가 정보
참고 문헌	https://books.google.com/books?id=eICMfNiDdigC&pg=PA7

2. 정의

대수다양체 $X$ 의 표준 선다발을 $\omega_X$ 라고 할 때, 표준환은 이 표준 선다발을 이용하여 정의되는 등급환이다.

2. 1. 표준환

대수다양체

X

의 표준 선다발을

\omega_X

라고 할 때, '''표준환'''

R(X)

는 다음과 같은 등급환이다.

:

R(X)=\bigoplus_{n=0}^\infty R_n(X)

:

R_n(X)=H^0(X,\omega_X^n)

여기서

H^0

은 0차 층 코호몰로지, 즉 단면들의 아벨 군이다.

\omega_X^n

은 표준 선다발의

n

승 텐서곱이다.

2. 2. 다중 종수

대수다양체

X

의 '''다중 종수'''(多重種數, plurigenus^영어, 복수 plurigenera^영어)는 표준환의 각 등급

R_n

의 차원들이다.^[2]

:

P_n=\dim R_n(X)=h^0(X,\omega_X^n)

P_0

은 항상 1이며,

P_n

은 모두 음이 아닌 정수이다.

차원

:

P_n = h^0(V, K^n) = \operatorname{dim}\ H^0(V, K^n)

은 고전적으로 정의된 ''V''의 ''n''번째 '''다중 종수'''이다. 다중 표준 인자

K^n

은 해당 인자 선형계를 통해 사영 공간

\mathbf{P}(H^0(V, K^n)) = \mathbf{P}^{P_n - 1}

로의 사상을 제공하며, 이를 ''n''-표준 사상이라고 한다.

''R''의 크기는 ''V''의 기본 불변량이며, 고다이라 차원이라고 한다.

2. 3. 표준 모형

모리 시게후미의 최소 모형 프로그램에서 중요한 요소인 표준 모형은 대수다양체

X

의 표준환

R

에 대한 사영 공간

\operatorname{Proj}(R)

을 말한다.

다중 속

P_n = h^0(V, K^n) = \operatorname{dim}\ H^0(V, K^n)

은 고전적으로 정의된 ''V''의 ''n''번째 다중 속이다. 다중 표준 인자

K^n

은 해당 인자 선형계를 통해 사영 공간

\mathbf{P}(H^0(V, K^n)) = \mathbf{P}^{P_n - 1}

로의 사상을 제공하며, 이를 ''n''-표준 사상이라고 한다.

''R''의 크기는 ''V''의 기본 불변량이며, 고다이라 차원이라고 한다.

2. 4. 고다이라 차원

표준 모형의 차원을 '''고다이라 차원'''(Kodaira dimension|고다이라 디멘션^영어)^[2]이라고 하며, 이는 다중 종수의 증가 속도를 나타내는 불변량이다.

P_n\in O(d^\kappa)

인 최소의

\kappa

로 정의할 수 있다. 여기서

O

는 점근 표기법이다. 모든 양의 정수

n

에 대하여

P_n=0

이라면, 고다이라 차원을

\kappa=-\infty

로 정의한다.

고다이라 차원은 다음을 만족시킨다.

:

\kappa(X\times Y)=\kappa(X)+\kappa(Y)

즉, 차원의 일종으로 생각할 수 있다.

고다이라 차원은 고다이라 구니히코의 이름을 따서 붙여졌다.

3. 성질

표준환은 쌍유리 동치에 대해 불변하는 성질을 갖는다. 이에 따라, 모든 다중 종수 및 고다이라 차원 역시 쌍유리 동치 불변량이다.

3. 1. 쌍유리 불변성

표준환은 쌍유리 동치에 대하여 불변이다. 이에 따라, 모든 다중 종수 및 고다이라 차원 역시 쌍유리 동치 불변량이다. 표준 환, 그리고 그에 따라 고다이라 차원은 쌍유리 불변량이다. 매끄러운 콤팩트 복소 다양체 사이의 임의의 쌍유리 사상은 각 표준 환 사이의 동형사상을 유도한다. 결과적으로 특이 공간의 고다이라 차원은 정칙화의 고다이라 차원으로 정의할 수 있다. 쌍유리 불변성에 의해 이는 잘 정의되며, 즉, 정칙화의 선택에 의존하지 않는다.^[2]

3. 2. 쌍유리 기하학의 기본 추측

다중 표준 환이 유한 생성된다는 것이 기본적인 추측이다. 이것은 모리 프로그램의 주요 단계로 여겨진다. 2010년에 코체르 비르카르, 파올로 카시니, 크리스토퍼 D. 헤이컨, 제임스 맥커넌이 이 추측을 증명했다.^[1]

4. n-표준 사상

다중 표준 인자 $K^n$ 는 인자 선형계를 통해 사영 공간 $\mathbf{P}(H^0(V, K^n)) = \mathbf{P}^{P_n - 1}$ 로의 사상을 제공하며, 이를 ''n''-표준 사상이라고 한다.

참조

_[1] 서적 Algebraic Geometry, Arcata 1974 https://books.google[...]
_[2] 서적 대수기하학 (하츠혼) Springer 1977

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