표준 선다발

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1. 개요
2. 정의
3. 첨가 공식
4. 표준 다발 공식
5. 특이 케이스
6. 표준 사상
- 6.1. 표준 곡선
7. 표준환
8. 예
참조

1. 개요

표준 선다발은 대수적으로 닫힌 체 위의 비특이 대수다양체 X에 대해 켈러 미분층의 최고차 외대수로 정의되며, 이에 대응하는 인자를 표준 인자라고 한다. 표준 선다발의 역을 반표준 선다발, 대응 인자를 반표준 인자라고 부른다. 첨가 공식은 부분 대수다양체의 표준 선다발과 전체 공간의 표준 선다발 사이의 관계를 나타내며, 표준 다발 공식은 정규 대수 곡면의 섬유화에 대한 표준 다발을 표현한다. 표준 사상은 표준 제수가 유효 제수일 때 사영 공간으로의 유리 사상을 결정하며, 표준환은 표준 다발의 단면 공간들의 직합으로 구성된 등급환이다.

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표준 선다발
일반 정보
다양체 V의 공변하는 성질을 연구하는 데 유용한 선다발
정의
정의	대수기하학에서, 대수다양체 V의 표준 선다발 ωV는 V의 최고차 미분 형식의 선다발이다. 즉, V가 n차원이면, 표준 선다발은 V 위의 벡터 다발 Ωn
표기	Ωn = ω로 표기
성질	표준 선다발은 다양체 V의 공변하는 성질을 연구하는 데 유용한 선다발이다.
카르티에 인자와의 관계	표준 선다발은 카르티에 인자 K를 정의한다. K는 표준 인자류라고 불리는 인자류를 정의한다.
반표준 선다발	−K는 반표준 선다발 ω−1이라고 불린다.

2. 정의

대수적으로 닫힌 체 위의 $n$ 차원 비특이 대수다양체 $X$ 의 '''표준 선다발''' $\omega_X$ 은 다음과 같은 가역층이다.^[15]

: $\omega_X=\bigwedge^n\Omega_{X/k}$

여기서 $\Omega_{X/k}$ 는 켈러 미분층이다. 표준 선다발에 대응하는 인자류를 '''표준류'''(標準類, canonical class^영어)라고 하고, 표준류에 속하는 인자를 '''표준 인자'''(標準因子, canonical divisor^영어) $K_X$ 라고 한다.

만약 $X$ 가 특이점을 가지지만 정규 대수다양체인 경우, 매끄러운 궤적(smooth locus^영어) $U\subset X$ 가 존재한다. 이 경우, $X$ 의 표준 인자는 $U$ 의 표준 인자로 정의한다. 보다 일반적으로, $X$ 가 S₂ 조건(여차원 2까지 코언-매콜리 조건이 성립)을 만족시키며 고런스틴 스킴이라면, 위와 같이 표준 인자를 정의할 수 있다.

표준 선다발의 역을 '''반표준 선다발'''(反標準線다발, anticanonical line bundle^영어) $\omega_X^{-1}$ 이라고 한다. '''반표준류'''(反標準類, anticanonical class^영어) 및 '''반표준 인자'''(反標準因子, anticanonical divisor^영어)는 이에 대응하는 인자(류)이다.

특이 다양체 $X$ 상에서, 표준 제수를 정의하는 몇 가지 방법이 있다. 다양체가 정규일 경우, 여차원 1에서 매끄럽다. 특히, 매끄러운 궤적에서 표준 제수를 정의할 수 있다. 이는 $X$ 상에서 고유한 바일 제수 클래스를 제공한다. $K_X$ 로 표시되는 이 클래스가 $X$ 상의 표준 제수로 언급된다.

또는, 다시 정규 다양체 $X$ 에서, 정규화된 $X$ 의 쌍대화 복소수의 $-d$ 번째 코호몰로지인 $h^{-d}(\omega^._X)$ 를 고려할 수 있다. 이 층은 위에서 정의된 제수 클래스 $K_X$ 와 같은 바일 제수 클래스에 해당한다. 정규성 가설이 없는 경우에도, $X$ 가 S2이고 차원 1에서 고런스틴이면 동일한 결과가 성립한다.

3. 첨가 공식

비특이 대수다양체 $X$ 위의 인자 $D$ 에 대하여, 다음과 같은 '''첨가 공식'''이 성립한다.^[14]^[15]

: $K_D = (K_X+D)|_D$

선다발로는 다음과 같다. $D$ 로 정의되는 부분다양체를 $Y$ , 매장 사상을 $\iota\colon Y\hookrightarrow X$ 라고 하면, 다음과 같다.

: $\mathcal K_Y=\iota^*(\mathcal K_X\otimes\mathcal O(D))$

여차원이 2 이상일 경우에도 유사한 첨가 공식이 성립한다. 비특이 대수다양체 $X$ 의 닫힌 비특이 부분 대수다양체 $\iota\colon Y\hookrightarrow X$ 가 주어졌고, 이에 대응하는 아이디얼 층이 $\mathcal I$ 라고 하자. 이 경우, $\mathcal I/\mathcal I^2$ 는 $Y$ 의 자리스키 쌍대법다발이다. 이 경우, 다음과 같은 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다.^[15]

: $0\to\mathcal I/\mathcal I^2\to\iota^*T^*X\to T^*Y\to 0$

여기서 $T^*$ 는 공변접다발이다. 완전열의 모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.^[14]^[15]

: $\mathcal K_Y=\iota^*\mathcal K_X\otimes\left(\det(\mathcal I/\mathcal I^2)\right)^\vee$

여기서 $(-)^\vee$ 는 쌍대 다발을 뜻한다.

4. 표준 다발 공식

정규 대수 곡면 $X$ 위의 종수 $g$ 섬유화 $f:X\to B$ 에 대해, 표준 다발은 다음과 같이 가역층과 꼬임층으로 분해될 수 있다.^[1]

: $\omega_X\cong f^*(\mathcal{L}^{-1}\otimes \omega_{B})\otimes \mathcal{O}_X\left(\sum^r_{i=1}a_iF_i'\right)$

여기서 다음이 성립한다.

$F_1,\dots,F_r$ 은 기하학적으로 정수가 아닌 유한 개의 올이다.
$F_i=m_iF_i^'$ 이며, $m_i>1$ 은 $F_i$ 를 정수 성분으로 확장했을 때 계수의 최대 공약수이다. 이들을 '''중복 올'''이라고 한다.
$R^1f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{L}\oplus\mathcal{T}$ 이며, $\mathcal{L}$ 은 가역층이고, $\mathcal{T}$ 는 꼬임층이다.
각 $i$ 에 대해 $0\leq a_i 이다.$
$\operatorname{deg}\left(\mathcal{L}^{-1}\right)=\chi(\mathcal{O}_X)+\operatorname{length}(\mathcal{T})$ 이다.
$\operatorname{length}(\mathcal{T})=0\iff a_i=m_i-1$

이 공식은 타원 곡면, 초타원 곡면, K3 곡면, 엔리케스 곡면 등 다양한 곡면의 연구에 활용된다. 예를 들어, 초타원 곡면의 알바네제 다양체에 의해 유도된 최소 종수 1 섬유화는 중복 올을 갖지 않는다는 것을 보여준다. 반면, 엔리케스 곡면의 최소 종수 1 섬유화는 항상 중복 올을 허용하며, 따라서 그러한 곡면은 단면을 허용하지 않는다.

5. 특이 케이스

특이 다양체 $X$ 에서 표준 제수를 정의하는 방법은 다음과 같다.

다양체가 정규(normal)인 경우, 여차원 1에서 매끄럽다. 따라서 매끄러운 궤적에서 표준 제수를 정의할 수 있으며, 이는 $X$ 상에서 고유한 바일 제수 클래스를 제공한다. 이 클래스는 $K_X$ 로 표시되며, $X$ 의 표준 제수로 불린다.

정규 다양체 $X$ 에서 정규화된 $X$ 의 쌍대화 복소수의 $-d$ 번째 코호몰로지인 $h^{-d}(\omega^._X)$ 를 고려할 수도 있다. 이 층은 위에서 정의된 제수 클래스 $K_X$ 와 같은 바일 제수 클래스에 해당한다.

정규성 가정이 없더라도,

X

가 S2이고 차원 1에서 고렌스타인이면 위와 동일한 결과를 얻을 수 있다.

6. 표준 사상

표준 제수가 유효 제수인 경우, ''V''에서 사영 공간으로의 유리 사상이 결정되는데, 이를 표준 사상이라고 한다. 표준 제수의 ''n''배에 의해 결정되는 유리 사상은 '''n-표준 사상'''이라고 부르며, ''V''를 표준 제수의 ''n''배의 전역 단면 차원보다 1 작은 차원의 사영 공간으로 보낸다. n-표준 사상은 기저점을 가질 수 있어 모든 곳에서 정의되지 않을 수 있으며(즉, 다양체의 사상이 아닐 수 있다), 양의 차원 섬유를 가질 수 있고, 0차원 섬유를 갖는 경우에도 국소 해석 동형 사상이 아닐 수 있다.^[1]

6. 1. 표준 곡선

리만 곡면(1차원 복소수 비특이 대수다양체)

C

위의 표준 선다발은 정칙 공변접다발

\Omega_C

와 같으며, 그 차수는 다음과 같다.

:

\deg\omega_C=2g-2=-\chi(C)

여기서

g

는 곡선의 종수이다.

특히,

g\ge2

인 경우 이는 효과적 인자를 이룬다. 이 경우,

\omega_C

의

g

개의 단면들은 유리 사상

C\to\mathbb{P}_{\mathbb C}^{g-1}

을 정의한다. 이 유리 사상의 상은 사영 곡선을 이루며, 이를 '''표준 곡선'''(canonical curve^영어)이라고 한다.

C

가 초타원 곡선일 경우와 그렇지 않은 경우에 따라 표준 곡선의 성질이 달라진다.

C

가 초타원 곡선이 아닌 종수 3 이상의 곡선일 경우,

C

의 표준 곡선은

C

와 동형이다.^[1]

6. 1. 1. 낮은 종수

리만 곡면의 종수(

g

)가 0인 경우, 표준 차수는 -2''P''이다. 여기서 ''P''는 리만 구의 임의의 점이다. 이는 미적분 공식 ''d''(1/''t'') = -''dt''/''t''²에서 유도되는데, 이 공식은 리만 구에서 원점에 이중 극점을 갖는 유리형 미분이다.^[2]

종수가 1인 경우, 표준 다발은 자명하다. 자명한 다발의 전역 단면은 1차원 벡터 공간을 형성한다.^[2]

6. 1. 2. 초타원 곡선

리만 곡면

C

가 초타원 곡선일 경우, 그 표준 곡선은 유리 곡선이며, 표준 사상은 두 겹 피복 공간을 이룬다.^[3] 예를 들어,

C

의 종수가 2이며, 다음과 같은 (아핀) 방정식으로 정의된다고 하자.

:

y^2=P(x)

여기서

P

는 6차 다항식이다. 그렇다면, 이 위의 제1종 미분(=(1,0)차 복소수 미분 형식)은 다음과 같이 두 개가 있다.

:

\frac1{\sqrt{P(x)}}\,dx,\;\frac x{\sqrt{P(x)}}\,dx

이에 따라서, 표준 곡선은

:

(x,y)\mapsto x\in\mathbb{P}_{\mathbb C}^1

임을 알 수 있다. 이는 물론 두 겹 피복 공간이다.

종수가 2 이상인 경우, ''C''의 표준 클래스는 빅이므로, 임의의 ''n''-표준 사상의 이미지는 곡선이다. 1-표준 사상의 이미지를 '''표준 곡선'''이라고 한다. 종수 ''g''의 표준 곡선은 항상 ''g'' − 1 차원의 사영 공간에 놓인다.^[3] ''C''가 초타원 곡선인 경우, 표준 곡선은 유리 정규 곡선이며, ''C''는 표준 곡선의 이중 덮개이다. 예를 들어, ''P''가 6차 다항식(중근 없음)이면,

:''y''² = ''P''(''x'')

는 종수 2 곡선의 아핀 곡선 표현으로, 반드시 초타원 곡선이며, 제1종 미분 형식의 기저는 동일한 표기법으로 다음과 같이 주어진다.

:''dx''/, ''x dx''/.

이는 표준 사상이 사영 직선으로 가는 사상으로서 동차 좌표 [1: ''x'']로 주어진다는 것을 의미한다. 고종수 초타원 곡선에 대한 유리 정규 곡선은 ''x''의 고차 거듭제곱 단항식과 동일한 방식으로 나타난다.

6. 1. 3. 일반적인 경우

리만 곡면

C

가 초타원 곡선이 아닌 종수 3 이상의 곡선일 경우,

C

의 표준 곡선은

C

와 동형이다.^[1]

종수 3인 경우, 표준 곡선은 4차 평면 곡선이다.
종수 4인 경우, 표준 곡선은 2차 곡면과 3차 곡면의 교집합이다.
종수 5인 경우, 표준 곡선은 세 개의 2차 초곡면의 교집합이다.

표준 곡선의 아이디얼 생성에 대한 정보는 막스 노터 정리와 페트리 정리가 제공한다.^[1] 정규 곡선 ''C'' (''g''가 최소 3인 비타원형의 경우)는 리만-로크 정리의 따름 정리와 특수 제수 이론과 매우 밀접한 관계를 가진다.^[4]^[5]

''g''의 값이 더 큰 경우, 정규 곡선은 일반적으로 완전 교차가 아니며, 그 설명은 가환 대수학에 대한 더 많은 고려를 필요로 한다.^[6] 이 분야는 '''막스 노터 정리'''로 시작되었다. 막스 노터 정리에 따르면, 정규 곡선으로 임베딩된 ''C''를 통과하는 2차 곡면의 공간의 차원은 (''g'' − 2)(''g'' − 3)/2이다.^[6]

'''페트리 정리'''는 1923년 칼 페트리(Karl Petri, 1881–1955)에 의해 발표되었는데, ''g''가 4 이상인 경우, 정규 곡선을 정의하는 동차 아이디얼은 (a) 삼각 곡선의 경우와 (b) ''g'' = 6인 경우 비특이 평면 5차 곡선을 제외하고는 2차의 요소에 의해 생성된다고 한다.^[7]^[8] 예외적인 경우, 아이디얼은 2차와 3차의 요소에 의해 생성된다.^[7]^[8]

역사적으로, 이 결과는 페트리 이전에도 널리 알려져 있었으며, 바베지-치시니-엔리케스 정리(증명을 완성한 데니스 바베지(Dennis Babbage), 오스카 치시니(Oscar Chisini) 및 페데리고 엔리케스(Federigo Enriques)를 기리기 위함)라고 불렸다. 이 결과가 '''노터-엔리케스 정리'''라고도 불리기 때문에 용어가 혼란스럽다.^[7]^[8]

비타원형의 경우를 제외하고, 노터는 (현대적 언어로) 정규 번들이 정규 생성됨을 증명했다. 즉, 정규 번들의 단면 공간의 대칭 거듭제곱은 그 텐서 거듭제곱의 단면에 매핑된다.^[7]^[8] 이는 예를 들어 그러한 곡선에 대한 2차 미분을 1종 미분에 의해 생성하는 것을 의미하며, 이는 국소 토렐리 정리에 대한 결과가 있다.^[9] 페트리의 작업은 실제로 아이디얼의 명시적인 2차 및 3차 생성자를 제공하여, 예외를 제외하고 3차는 2차의 관점에서 표현될 수 있음을 보여주었다.^[7]^[8] 예외적인 경우, 정규 곡선을 통과하는 2차 곡면의 교차는 각각 유리 곡면과 베로네세 곡면이다.^[7]^[8]

이러한 고전적인 결과는 복소수 위에서 증명되었지만, 현대적인 논의는 이 기술이 임의의 표수의 체 위에서도 작동함을 보여준다.^[10]

7. 표준환

''V''의 '''표준환'''은 다음과 같은 등급환이다.

: $R = \bigoplus_{d = 0}^\infty H^0(V, K_V^d).$

만약 ''V''의 표준류가 충분한 선다발이라면, 표준환은 표준 사상의 상의 동차 좌표환이다. 이는 ''V''의 표준류가 충분하지 않을 때에도 성립할 수 있다. 예를 들어, ''V''가 쌍곡선 곡선인 경우, 표준환은 다시 표준 사상의 상의 동차 좌표환이다. 일반적으로, 위의 환이 유한 생성되면, 임의의 충분히 나누어지는 양의 정수 ''k''에 대해, 이는 ''k''-표준 사상의 상의 동차 좌표환임을 알 수 있다.

최소 모델 프로그램은 모든 매끄럽거나 약한 특이점을 가진 사영 대수다양체의 표준환이 유한 생성된다고 제안했다. 특히, 이는 ''V''를 축소하여 구성할 수 있는, 약한 특이점을 가진 ''V''의 특정 쌍유리 모델인 '''표준 모델'''의 존재를 의미하는 것으로 알려져 있었다. 표준환이 유한 생성되면, 표준 모델은 표준환의 Proj 구성이다. 표준환이 유한 생성되지 않으면, ''V''와 쌍유리적일 수 없다. 특히, ''V''는 표준 모델을 허용하지 않는다. ''V''의 표준 제수 ''K''가 Nef 선다발이고, ''K''의 자기 교차가 0보다 크면, ''V''는 표준 모델을 허용한다는 것을 보일 수 있다.^[11]^[12]

2006년 Birkar–Cascini–Hacon–McKernan의 기본 정리는^[13] 매끄럽거나 약한 특이점을 가진 사영 대수다양체의 표준환이 유한 생성된다는 것이다.

''V''의 고다이라 차원은 표준환의 차원에서 1을 뺀 것이다. 여기서 표준환의 차원은 크룰 차원 또는 초월 차수를 의미할 수 있다.

8. 예

복소수체 위의 $n$ 차원 비특이 대수다양체의 표준 선다발은 '''행렬식 다발'''(determinant bundle^영어)이라고 하며, $n$ 차 정칙 미분 형식들의 선다발이다. 칼라비-야우 다양체의 경우 표준 선다발은 자명하며, 파노 다양체의 경우 반표준 선다발은 풍부한 선다발이다.

8. 1. 리만 곡면의 표준 선다발

리만 곡면(=1차원 복소수 비특이 대수다양체)

C

위의 표준 선다발은 정칙 공변접다발

\Omega_C

와 같으며, 그 차수는 다음과 같다.^[2]

:

\deg\omega_C=2g-2=-\chi(C)

특히,

g\ge2

인 경우 이는 효과적 인자를 이룬다. 이 경우,

\omega_C

의

g

개의 단면들은 유리 사상

C\to\mathbb{P}_{\mathbb C}^{g-1}

을 정의한다. 이 유리 사상의 상은 사영 곡선을 이루며, 이를 '''표준 곡선'''(canonical curve^영어)이라고 한다.

만약

C

가 초타원 곡선일 경우, 그 표준 곡선은 유리 곡선이며, 유리 사상은 두 겹 피복 공간을 이룬다. 예를 들어,

C

의 종수가 2이며,

C

가 다음과 같은 (아핀) 방정식으로 정의된다고 하자.

:

y^2=P(x)

여기서

P

는 6차 다항식이다. 그렇다면, 이 위의 제1종 미분(=(1,0)차 복소수 미분 형식)은 다음과 같이 두 개가 있다.

:

\frac1{\sqrt{P(x)}}\,dx,\;\frac x{\sqrt{P(x)}}\,dx

이에 따라서, 표준 곡선은

:

(x,y)\mapsto x\in\mathbb{P}_{\mathbb C}^1

임을 알 수 있다. 이는 물론 두 겹 피복 공간이다.

만약

C

가 초타원 곡선이 아닌 종수 3 이상의 곡선일 경우,

C

의 표준 곡선은

C

와 동형이다. 예를 들어, 다음과 같다.

종수 3인 경우, 표준 곡선은 4차 평면 곡선이다.
종수 4인 경우, 표준 곡선은 2차 곡면과 3차 곡면의 교집합이다.
종수 5인 경우, 표준 곡선은 세 개의 2차 초곡면의 교집합이다.

가장 잘 연구된 경우는 곡선이다. 여기서 표준 번들은 (정칙) 코탄젠트 번들과 같다. 따라서 표준 번들의 전역 단면은 모든 곳에서 정규적인 미분 형식과 같다. 고전적으로 이것들은 1종 완전미분이라고 불렸다. 종수 ''g''인 곡선의 경우 표준 차수의 차수는 2''g'' − 2이다.^[2]

8. 2. 사영 공간

대수적으로 닫힌 체

K

위의 사영 공간

\mathbb P_K^n

에 대하여, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.^[15] 이를 '''오일러 완전열'''이라고 한다.

:

0\to\Omega_{\mathbb P_K^n}^1\to\mathcal O_{\mathbb P_K^n}(-1)^{\oplus(n+1)}\to\mathcal O_{\mathbb P_K^n}(0)\to0

모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.^[15]

:

\omega_{\mathbb P_K^n}=\mathcal O_{\mathbb P_K^n}(-n-1)

8. 3. 사영 공간 속의 초곡면

사영 공간

\mathbb P^n

속에서, 동차다항식들

P_i

로 정의되는 초곡면

Y_i\hookrightarrow\mathbb P^n

들의 완전 교차(complete intersection^영어)

:

Y=\bigcap_{i=1}^{\operatorname{codim}Y}Y_i

를 생각하자. 이 경우,

:

\omega_{\mathbb P^n}=\mathcal O(-n-1)

:

\mathcal O(Y_i)=\deg P_i

이므로, 첨가 공식에 따라서

Y

의 표준 선다발은 다음과 같다.

:

\omega_Y=\mathcal O\left(\sum_i\deg P_i-n-1\right)

^[15]

8. 4. 이차 곡면 위의 곡선의 종수

이차 곡면

\mathbb P^1\times\mathbb P^1

위의 곡선의 종수는 첨가 공식을 사용하여 계산할 수 있다.^[15] 곡선

C

의 차수가

(d_1,d_2)

라고 할 때,

\mathbb P^1\times\mathbb P^1

의 표준 선다발의 차수는

(-2,-2)

이다. 즉,

C

의 차수는

(d_1-2,d_2-2)

와

(d_1,d_2)

의 교차곱이다. 이차 평면 위의 교차곱은 다음과 같다.^[15]

:

(a,b).(c,d)=ad+bc

따라서 다음이 성립한다.

:

2g-2=d_1(d_2-2)+d_2(d_1-2)

즉,

:

g=d_1d_2-d_1-d_2+1

이다.

참조

_[1] 서적 Algebraic Surfaces Springer Science & Business Media 2001
_[2] 간행물 canonical class Springer
_[3] 간행물 Canonical curve Springer
_[4] 웹사이트 Geometric Form of Riemann-Roch {{!}} Rigorous Trivialities http://rigtriv.wordp[...] 2008-08-07
_[5] 문서 Algebraic Curves and Riemann Surfaces 1995
_[6] 문서 The Geometry of Syzygies 2005
_[7] 간행물 Noether–Enriques theorem Springer
_[8] 문서 Algebraic geometry I 1994
_[9] 간행물 Torelli theorems Springer
_[10] URL http://hal.archives-[...]
_[11] 서적 Algebraic Surfaces Springer Science & Business Media 2001
_[12] 서적 Algebraic Surfaces Springer Science & Business Media 2001
_[13] 웹사이트 09w5033: Complex Analysis and Complex Geometry | Banff International Research Station http://www.birs.ca/b[...]
_[14] 서적 Principles of algebraic geometry Wiley 1994-08
_[15] 서적 Algebraic geometry 1977

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