표피효과

3. 공식

도체의 교류 전류 밀도 ''J''는 표면 ''J''_S에서의 값으로부터 표면으로부터의 깊이 ''d''에 따라 지수적으로 감소한다.^[4]

: $J\; =\; J\_\backslash mathrm\{S\}\; \backslash ,e^\{-\{(1+j)d/\backslash delta\; \}\}$

여기서 $\backslash delta$는 '스킨 깊이'라고 불리며, 이는 전류 밀도가 ''J''_S의 1/e (약 0.37)로 감소하는 도체 표면 아래의 깊이로 정의된다. 지수의 허수 부분은 전류 밀도의 위상이 스킨 깊이당 1 라디안만큼 위상 지연됨을 나타낸다. 도체 내에서 하나의 완전한 파장은 2 스킨 깊이를 필요로 하며, 이때 전류 밀도는 e⁻² (1.87×, 또는 −54.6 dB)로 표면 값에서 감쇠한다. 도체 내의 파장은 진공에서의 파장보다 훨씬 짧으며, 이는 도체 내의 위상 속도가 진공에서의 광속보다 훨씬 느리다는 것과 같다. 예를 들어, 1 MHz의 전파는 진공에서의 파장 가 약 300 m인 반면, 구리에서는 파장이 약 0.5 mm로 줄어들고 위상 속도는 약 500 m/s에 불과하다. 스넬의 법칙과 도체 내의 이 매우 작은 위상 속도의 결과로, 도체에 입사하는 모든 파는, 심지어 접선 입사에서도, 본질적으로 도체의 표면에 수직인 방향으로 굴절된다.^[4]

유전 손실이나 자기 손실이 없는 경우 스킨 깊이에 대한 일반적인 공식은 다음과 같다.^[5]

: $\backslash delta=\; \backslash sqrt\{\; \backslash frac\{\backslash ,\; 2\backslash rho\; \backslash ,\}\{\backslash omega\backslash mu\; \}$

\left (\sqrt{1 + \left({\rho\omega\varepsilon}\right)^2 \,}

+ \rho\omega\varepsilon \right) \,}

여기서

• $\backslash rho\; =$ 도체의 전기 저항률
• $\backslash omega\; =$ 전류의 각주파수 $=\; 2\backslash pi\; f,$ 여기서 $f$는 주파수이다.
• $\backslash mu\; =$ 도체의 투자율, $\backslash mu\_r\; \backslash ,\; \backslash mu\_0$
• $\backslash mu\_r\; =$ 도체의 상대 자기 투자율
• $\backslash mu\_0\; =$ 자유 공간의 투자율
• $\backslash varepsilon\; =$ 도체의 유전율, $\backslash varepsilon\_r\; \backslash ,\; \backslash varepsilon\_0$
• $\backslash varepsilon\_r\; =$ 도체의 상대 유전율
• $\backslash varepsilon\_0\; =$ 자유 공간의 유전율.

• ρ는 도체의 전기 저항률
• ω는 전류의 각주파수
• μ는 도체의 절대 투자율이다.

• L은 도체의 길이
• D는 도체의 지름이다.

4. 원형 도선

피부 깊이가 전선의 반지름에 비해 작지 않은 경우, 전류 밀도는 베셀 함수로 설명될 수 있다. 다른 필드의 영향에서 벗어난 원형 전선 내부의 전류 밀도는 축으로부터의 거리에 대한 함수로 다음과 같이 주어진다.^[7]

• $\backslash omega\; =\{\}$전류의 각주파수 = 2 × 주파수
• $r\; =\; \{\}$전선 축으로부터의 거리
• $R\; =\; \{\}$전선의 반지름
• $\backslash mathbf\{J\}(r)\; =\; \{\}$전선 축으로부터 거리, ''r''에서의 전류 밀도 페이저
• $\backslash mathbf\{J\}(R)\; =\; \{\}$전선 표면에서의 전류 밀도 페이저
• $\backslash mathbf\{I\}\; =$ 총 전류 페이저
• $J\_0\; =\; \{\}$0차, 제1종 베셀 함수
• $J\_1\; =\; \{\}$1차, 제1종 베셀 함수
• $k\; =\; \backslash sqrt\{\; \backslash frac\; \{\; -j\; \backslash omega\; \backslash mu\; \}\; \{\; \backslash rho\; \}\; \}\; =\; \backslash frac\; \{\; 1-j\; \}\; \{\; \backslash delta\; \}$ 도체 내의 파수
• $\backslash delta\; =\; \backslash sqrt\{\; \backslash frac\; \{\; 2\; \backslash rho\; \}\; \{\; \backslash omega\; \backslash mu\; \}\; \}$ 피부 깊이라고도 불린다.
• $\backslash rho\; =\; \{\}$도체의 저항률
• $\backslash mu\_r\; =\; \{\}$도체의 상대 투자율
• $\backslash mu\_0\; =\; \{\}$진공 투자율 = 4 × 10⁻⁷ H/m
• $\backslash mu\; =\; \backslash mu\_r\; \backslash mu\_0$

4. 1. 임피던스

4. 1. 1. 저항

4. 1. 2. 인덕턴스

5. 재료의 영향

도체의 투자율과 저항률은 표피 효과에 영향을 미치는 주요 요인이다. 피부 깊이는 저항률의 제곱근에 비례하고, 투자율의 제곱근에 반비례한다.

강자성체인 철은 구리보다 투자율이 약 10,000배 높아 피부 깊이가 매우 얇다. 60 Hz에서 철의 피부 깊이는 약 220 마이크로미터로, 구리의 약 1/38 수준이다. 따라서 철선은 AC 전력선에 적합하지 않으며, 전력 변압기의 적층 손실을 증가시킨다.^[15] 이러한 특성 때문에 철봉은 직류 용접에는 적합하지만, 고주파에서는 표피 효과로 인해 사용하기 어렵다. 고주파 용접에는 비자성 봉이 사용된다.^[15]

도체 성능이 좋을수록 저항률이 낮아져 피부 깊이가 감소하지만, AC와 DC 저항의 비율은 더 커진다. 예를 들어, 60 Hz에서 2000 MCM (1000 제곱밀리미터) 구리 도체는 DC보다 23% 더 높은 저항을 가지며, 같은 크기의 알루미늄 도체는 DC보다 10% 더 높은 저항을 갖는다.^[15]

1 메가헤르츠에서 습한 토양의 피부 효과 깊이는 약 5.0 m이고, 해수는 약 0.25 m이다.^[16]

6. 경감 대책

절연 전선을 사용하거나, 다층 연도체를 사용하는 것은 표피 효과를 경감시키는 대책이다.^[17] 리츠선(독일어: ''Litzendraht'', 꼬인 전선)은 수 킬로헤르츠에서 약 1 메가헤르츠 사이의 주파수에서 표피 효과를 완화하는 데 사용되는 케이블이다. 리츠선은 여러 개의 절연 전선 가닥을 엮어 만들어, 전체 자기장이 모든 전선에 동일하게 작용하여 전류가 균등하게 분배되도록 한다. 각 가닥에 표피 효과가 거의 영향을 미치지 않으므로, 단일 도체가 겪는 AC 저항 증가를 겪지 않는다.^[17]

리츠선은 고주파 변압기의 권선에 사용되어 효율을 높인다. 대형 전력 변압기는 리츠선과 유사한 구조의 가닥 도체를 사용하지만, 더 큰 단면적을 사용한다.^[18] 탄소 나노튜브로 구성된 전도성 실^[19]은 중파에서 마이크로파 주파수에 이르는 안테나용 도체로 사용될 수 있다. 나노튜브는 표피 깊이보다 훨씬 작아서 실의 전체 단면적을 사용할 수 있으며, 매우 가벼운 안테나가 된다.

고전압, 대전류 가공 전선은 강철 보강 코어가 있는 알루미늄 케이블을 사용한다. 강철 코어의 높은 저항은 AC 전류가 거의 흐르지 않는 표피 깊이보다 훨씬 깊숙이 위치하기 때문에 문제가 되지 않는다. 수천 암페어에 이르는 높은 전류가 흐르는 경우, 고체 도체 대신 튜브를 사용하여 도체 내부를 제거한다. 이는 AC 저항에 거의 영향을 미치지 않지만, 도체의 무게를 줄인다. 튜브형 도체는 전력 개폐소에서 일반적이며, 긴 경간은 물리적인 처짐을 나타내지만, 전기적 성능에는 영향을 미치지 않는다.

고전류 상황에서 표피 효과는 금속이 굽힘 내부에서 압축되고 외부에서 늘어나는 날카로운 굽힘에서도 발생한다. 내부 표면의 짧은 경로는 낮은 저항을 유발하여 전류가 굽힘 내부 표면에 집중된다. 따라서 원형 코어가 있는 변압기는 사각형 또는 직사각형 코어를 가진 변압기보다 효율적이다.

고체 또는 튜브형 도체는 전기 도금을 통해 은으로 도금하여 전도성을 높일 수 있다. 이 기술은 VHF에서 마이크로파 주파수에서 특히 유용하다. 은 도금은 도파관 표면에도 사용되어 전파파의 감쇠를 줄인다. 표피 효과는 와전류를 도파관 구조의 얇은 표면층으로 제한하여 귀금속 사용을 실용적으로 만든다. 구리나 은과 달리 부식되지 않는 금 도금도 사용된다.

최근에는 나노미터 규모의 두께로 비자성 및 강자성 재료를 층상화하는 방법이 매우 높은 주파수에서 표피 효과로 인한 저항 증가를 완화하는 것으로 나타났다.^[20] 이는 5G 통신에 영향을 미칠 수 있다.^[20]

7. 전자기파

표피 효과는 침투 깊이와 관련이 있다.

전자기파에서 표피 깊이는 전기장과 자기장의 진폭이 $\backslash frac\{1\}\{e\}$로 감소하는 깊이이다. 파동의 세기는 진폭의 제곱에 비례하므로, 세기가 $\backslash frac\{1\}\{e\}$로 감소하는 깊이는 $\backslash frac\{\backslash delta\}2$이다. 도파관에서 유도 전류로 인한 손실은 대부분 표면으로부터 표피 깊이 내에서 발생한다. 따라서 표피 깊이가 얕은 재료로 도파관의 표면을 도금하면 손실이 감소한다.

8. 예시

표피 깊이는 다음 공식을 통해 구할 수 있다.

:$$\backslash begin\{align\}$$

\delta &= \frac{1}{\alpha} = \sqrt \\

&= \frac{1}{\sqrt{\pi f \mu \sigma}} \approx 503\,\sqrt{\frac{\rho}{\mu_r f}}

\approx 503\,\frac{1}{\sqrt{\mu_r f \sigma}},

\end{align}

여기서

• $\backslash delta\; =$ 미터 단위의 표피 깊이
• $\backslash alpha\; =$ $\backslash frac\{Np\}\{m\}$ 단위의 감쇠
• $\backslash mu\_0\; =$ 진공의 투자율
• $\backslash mu\_r\; =$ 매질의 상대 투자율 (구리의 경우, $\backslash mu\_r$ = 1.00)
• $\backslash mu\; =$ 매질의 투자율
• $\backslash rho\; =$ Ω·m 단위의 매질의 저항률, 전도도의 역수와 같음: $\backslash rho\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sigma\}$ (구리의 경우, ρ = 1.68×10^-8Ω·m)
• $\backslash sigma\; =$ 매질의 전도율 (구리의 경우, $\backslash sigma\; \backslash approx$ 58.5×10⁶S/m)
• $f\; =$ Hz 단위의 전류 주파수

마이크로파 주파수에서 대부분의 전류는 표면 근처의 얇은 영역에서 흐르므로, 도파관의 옴 손실은 재료의 표면 코팅에만 의존한다. 3 μm 두께의 은 층은 이러한 주파수에서 우수한 도체 역할을 한다.

구리의 표피 깊이는 주파수의 제곱근에 따라 감소한다.

:

60 Hz에서 반경이 8 mm보다 큰 교류 버스바는 구리의 낭비이며, 대전류 AC용 버스바는 기계적 이유를 제외하고는 12 mm를 넘는 경우가 거의 없다.

9. 비정상 표피 효과

고주파수 및 저온 환경에서는 표피 깊이에 대한 일반적인 공식이 적용되지 않는다. 이 효과는 1940년 하인츠 런던에 의해 처음 발견되었으며, 그는 이 현상이 전자의 평균 자유 행로 길이가 고전적인 표피 깊이 범위에 도달하기 때문이라고 정확하게 제안했다.^[24] 매티스-바딘 이론은 금속 및 초전도체에 대한 이 특수한 경우를 위해 개발되었다.

참조

_[1] 논문 XIII. On electrical motions in a spherical conductor 1883-01-01
_[2] 서적 Standard Handbook for Electrical Engineers McGraw-Hill
_[3] 서적 High-Speed Signal propagation Advanced Black Magic Prentice Hall
_[4] 서적 Engineering Electromagnetics https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[5] 문서 The formula as shown is algebraically equivalent to the formula found on page 130 {{Harvtxt|Jordan|1968|p=130}}
_[6] 문서 Note that the above equation for the current density inside the conductor as a function of depth applies to cases where the usual approximation for skin depth holds. In the extreme cases where it doesn't, the exponential decrease with respect to skin depth still applies to the ''magnitude'' of the induced currents, however the imaginary part of the exponent in that equation, and thus the phase velocity inside the material, are altered with respect to that equation.
_[7] 서적 Transmission and Distribution of Electrical Energy Harper & Row
_[8] 문서 "{{harvnb|Terman|1943|p=??}}"
_[9] 문서 "{{Harvtxt|Hayt|1981|pp=303}}"
_[10] 문서 "{{Harvtxt|Skilling|1951|pp=157–159}}"
_[11] 문서 "{{Harvtxt|Hayt|1981|pp=434–439}}"
_[12] 문서 "{{Harvtxt|Hayt|1981|p=434}}"
_[13] 문서 "{{Harvtxt|Reeve|1995|p=558}}"
_[14] 문서 "{{Harvtxt|Chen|2004|p=26}}"
_[15] 간행물 Standard Handbook for Electrical Engineers McGraw Hill
_[16] 문서 "{{harvnb|Popovic|Popovic|1999|p=385}}"
_[17] 문서 "{{harvnb|Xi Nan|Sullivan|2005}}"
_[18] 서적 Modern Power Station Practice Pergamon Press
_[19] 웹사이트 Spinning Carbon Nanotubes Spawns New Wireless Applications https://www.scienced[...] Sciencedaily.com 2009-03-09
_[20] 논문 Study on Cu/Ni nano superlattice conductors for reduced RF loss https://www.research[...] 2016-03-16
_[21] 문서 "{{Harvtxt|Hayt|1981|pp=401}}"
_[22] 문서 "{{harvtxt|Jackson|1999|page=353}}"
_[23] 문서 "{{harvtxt|Feynman|1964|page=32-11}}"
_[24] 논문 The Anomalous Skin Effect https://www.jstor.or[...] 1952
_[25] 서적 Standard handbook for electrical engineers https://www.worldcat[...] McGraw-Hill 2000