프로베니우스 다양체

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
- 3.1. WDVV 방정식
4. 예시
5. 한국의 연구 동향
참조

1. 개요

프로베니우스 다양체는 보리스 두브로빈에 의해 정의된 수학적 구조이다. 리만 다양체와 3차 텐서장으로 구성되며, 평탄성, 적분가능성, 결합성의 조건을 만족해야 한다. 결합성은 위튼-데이크흐라프-페를린더-페를린더 방정식(WDVV 방정식)으로 표현된다. 반양수 심플렉틱 다양체의 짝수 양자 코호몰로지, 고립 특이점의 미니버설 변형 공간 등이 프로베니우스 다양체의 예시이다.

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프로베니우스 다양체

2. 역사

보리스 두브로빈(Boris Dubrovin)이 프로베니우스 다양체의 개념을 정의하였다.^[3] 에드워드 위튼(Edward Witten), 로베르튀스 데이크흐라프(Robbert Dijkgraaf), 에릭 페를린더/Erik Verlinde^영어, 헤르만 페를린더/Herman Verlinde^영어 등이 WDVV 방정식을 발견하고 프로베니우스 다양체의 이론적 발전에 기여하였다.

3. 정의

아인슈타인 표기법을 사용한다.

'''프로베니우스 다양체''' $(M,g,A)$ 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

리만 다양체 $(M,g_{ij})$
3차 텐서장 $A_{ijk}$ . 이는 두 벡터장의 곱 $(X*Y)^k=A_{ij}{}^kX_iY_j$ 를 정의한다.

이들은 다음 성질들을 만족시켜야 한다.

(평탄성) $(M,g)$ 의 리만 곡률이 0이다. 즉, $R_{ij}{}^k{}_l=0$ 이며, 따라서 공변 미분 $\nabla$ 이 일반 편미분 $\partial$ 과 일치한다.
(적분가능성) 국소적으로, $A_{ijk}=\partial_i\partial_j\partial_k\Phi$ 인 함수 $\Phi$ 가 존재한다. (이는 대역적으로 성립하지 않을 수 있다.) 이를 '''프리퍼텐셜'''(prepotential^영어) 또는 '''자유 에너지'''라고 부른다.^[4] 이에 따라 $A_{ijk}$ 는 완전 대칭이다. 즉, $A_{ijk}=A_{jik}=A_{kij}$ 이다.
(결합성) $*$ 는 결합법칙을 따른다. 즉, $(X*Y)*Z=X*(Y*Z)$ 이다. 성분으로 쓰면, $A_{ij}{}^lA_{lk}{}^m=A_{il}{}^mA_{jk}{}^l$ 이다.

결합성 조건을 프리퍼텐셜로 쓰면 다음과 같다.

:

(\partial_i\partial_j\partial_l\Phi)g^{ll'}(\partial_{l'}\partial_k\partial_m\Phi)=(\partial_i\partial_l\partial_m\Phi)g^{ll'}(\partial_j\partial_k\partial_l\Phi)

이를 '''위튼-데이크흐라프-페를린더-페를린더 방정식'''(Witten–Dijkgraaf–Verlinde–Verlinde equation^영어) 또는 '''WDVV 방정식'''이라고 하며, 에드워드 위튼, 로베르튀스 데이크흐라프, 에릭 페를린더(Erik Verlinde), 헤르만 페를린더(Herman Verlinde)가 발견하였다.^[5]^[6]

곱셈 *의 결합 법칙은 국소 포텐셜 ''Φ''에 관한 2차 편미분 방정식과 동치이다.

:

\Phi_{,abe}g^{ef}\Phi_{,cdf} = \Phi_{,ade}g^{ef}\Phi_{,bcf} \,

여기서 아인슈타인 표기법을 사용하며, Φ_,a는 좌표 벡터장 ∂/∂''x''^''a''에 대한 함수 Φ의 편미분이고, ''g''^''ef''는 메트릭의 역행렬 계수이다. 이 방정식을 '''위튼-데이크흐라프-페를린더-페를린더 방정식'''(Witten–Dijkgraaf–Verlinde–Verlinde equation), 줄여서 '''WDVV 방정식'''이라고 한다.

3. 1. WDVV 방정식

곱셈 *의 결합 법칙은 국소 포텐셜 ''Φ''에 관한 2차 편미분 방정식과 동치이다.

:

\Phi_{,abe}g^{ef}\Phi_{,cdf} = \Phi_{,ade}g^{ef}\Phi_{,bcf} \,

여기서 아인슈타인 표기법을 사용하며, Φ_,a는 좌표 벡터장 ∂/∂''x''^''a''에 대한 함수 Φ의 편미분이고, ''g''^''ef''는 메트릭의 역행렬 계수이다. 이 방정식을 '''위튼-데이크흐라프-페를린더-페를린더 방정식'''(Witten–Dijkgraaf–Verlinde–Verlinde equation), 줄여서 '''WDVV 방정식'''이라고 한다.

4. 예시

반양수 심플렉틱 다양체 (''M'', ''ω'')가 주어지면, 짝수 양자 코호몰로지 QH^even(''M'', ''ω'')의 0의 열린 근방 ''U''가 존재하며, '''C'''상의 노비코프 링을 가진다. ''U''에 있는 ''a''에 대한 큰 양자 곱 *_''a''는 해석적이다. 이제 ''U''는 교차 형식 ''g'' = <·,·>와 함께 (복소) 프로베니우스 다양체를 이룬다.

고립 특이점의 미니버설 변형 공간은 프로베니우스 다양체 구조를 갖는다. 이 프로베니우스 다양체 구조는 또한 사이토 쿄지의 원시 형식과 관련이 있다.

5. 한국의 연구 동향

참조

_[1] 간행물 Geometry of 2D topological field theories. 1996
_[2] 간행물 Geometry of 2D topological ﬁeld theories. 1996
_[3] 저널 Geometry of 2d topological field theories
_[4] 저널 Les Houches lectures on fields, strings and duality 1997-03
_[5] 저널 Two-dimensional gravity and intersection theory on moduli space 1990
_[6] 저널 Topological strings in $d<1$

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