다르부 정리

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1. 개요
2. 다르부 정리의 내용
- 2.1. 심플렉틱 다양체에 대한 다르부 정리
- 2.2. 접촉 다양체에 대한 다르부 정리
3. 다르부 정리의 증명
- 3.1. 프로베니우스 정리와의 관계
4. 다르부-와인스타인 정리
5. 리만 기하학과의 비교
6. 의의 및 활용
참조

1. 개요

다르부 정리는 심플렉틱 다양체의 국소 구조에 대한 중요한 정리이다. 이 정리는 2n차원 심플렉틱 다양체에서 심플렉틱 미분 형식 ω가 국소적으로 표준적인 형태로 표현될 수 있음을 보여준다. 즉, 다양체의 각 점 주변에 다르부 좌표계라는 좌표계를 정의하여 ω를 dx₁∧dy₁ + dx₂∧dy₂ + ... + dxₙ∧dyₙ의 형태로 나타낼 수 있다. 이 정리는 심플렉틱 기하학에 곡률에 해당하는 국소 불변량이 없음을 의미하며, 해밀턴 역학에서 일반화 좌표와 일반화 운동량으로 구성된 국소 좌표계와 관련이 있다. 다르부 정리는 심플렉틱 다양체의 부분 다양체에 대한 다르부-와인스타인 정리로 확장될 수 있으며, 리만 기하학과는 대조적인 특징을 보인다.

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다르부 정리
다르부 정리 (미분기하학)
개요
분야	심플렉틱 기하학
유형	기본 정리
관련 개념	심플렉틱 다양체, 심플렉틱 형식, 좌표계
내용
설명	임의의 점 주위에서 심플렉틱 형식이 표준 형태로 표현될 수 있음을 나타내는 정리이다. 즉, 심플렉틱 다양체 (M, ω)의 점 p에 대해, p를 포함하는 열린 집합 U와 U에서 R2n으로의 좌표계 (q1, ..., qn, p1, ..., pn)가 존재하여, ω\|U = ∑i=1n dqi ∧ dpi로 쓸 수 있다.
의미	국소적으로 모든 심플렉틱 다양체는 동일하다. 즉, 심플렉틱 다양체의 국소적 성질은 심플렉틱 형식에 의해 완전히 결정된다.
역사
이름	장 가스통 다르부의 이름을 따서 명명되었다.
최초 증명	1882년, 장 가스통 다르부에 의해 증명되었다.
응용
설명	해밀턴 역학, 양자 역학, 위상 양자장론 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

2. 다르부 정리의 내용

다르부 정리는 심플렉틱 다양체와 접촉 형식에서 국소 좌표계가 존재함을 보이는 정리이다.

$m$ 차원의 매끄러운 다양체 $M$ 위에 정의된 $p$ 차원의 치역을 지닌 1차 미분 형식 $\theta$ 에 대해, 만약

: $\theta\wedge(d\theta)^p=0$

이면, 국소적으로 $\theta$ 는 다음과 같은 꼴을 취한다.

: $\theta=dx_1\wedge dy_1+dx_2\wedge dy_2+\cdots+dx_p\wedge dy_p$ .

심플렉틱 미분 형식은 정의상 닫혀 있으므로, 임의의 심플렉틱 미분 형식 $\omega$ 는 국소적으로 $\omega=d\theta$ 의 꼴이다. 따라서 위의 정리는 이 정리의 특수한 경우이다.^[3]^[4]

1-형식에 관한 다르부의 일반적인 진술을 증명하는 현대적인 방법은 모저 트릭을 사용하는 것이다.^[5]^[6]

2. 1. 심플렉틱 다양체에 대한 다르부 정리

(M,\omega)

가

2n

차원의 심플렉틱 다양체일 때, 국소적으로 심플렉틱 미분 형식

\omega

는 다음과 같은 형태를 갖는다.

:

\omega=dx_1\wedge dy_1+dx_2\wedge dy_2+\cdots+dx_n\wedge dy_n

.

즉,

M

안의 임의의 한 점

x\in M

이 주어지면,

x

를 포함하는 근방

U\ni x

와, 위의 식을 만족하는 국소 좌표계

\{x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n\}\colon U\to\mathbb R^{2n}

이 존재한다. 이러한 좌표계를 '''다르부 좌표계'''(Darboux chart^영어)라 한다.^[12]

\omega

가 ''

n=2m

'' 차원 심플렉틱 다양체 ''

M

'' 상의 심플렉틱 형식이라면, 각 점 ''

p

''의 근방에서, 푸앵카레 보조정리에 의해,

\mathrm{d} \theta = \omega

인 1-형식

\theta

가 존재한다. 국소적으로 좌표 차트 ''

U

''가 ''

p

'' 근방에 존재하여

:

\theta=x_1\,\mathrm{d}y_1+\ldots + x_m\,\mathrm{d}y_m.

이다.

이제 외미분을 취하면

:

\omega = \mathrm{d} \theta = \mathrm{d}x_1 \wedge \mathrm{d}y_1 + \ldots + \mathrm{d}x_m \wedge \mathrm{d}y_m.

이다.

다양체 ''

M

''은 그러한 차트로 덮을 수 있다.

z_j=x_j+ i\,y_j

로 설정하여

\mathbb{R}^{2m}

을

\mathbb{C}^{m}

과 동일시하면,

\varphi: U \to \mathbb{C}^n

이 다르부 차트인 경우,

\omega

는

\mathbb{C}^{n}

상의 표준 심플렉틱 형식

\omega_0

의 당김으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\omega = \varphi^{*}\omega_0.\,

2. 2. 접촉 다양체에 대한 다르부 정리

다르부 정리(Darboux theorem)에 따르면,

n=2p+1

차원에서

\theta \wedge \left( \mathrm{d} \theta \right)^p \ne 0

이 모든 곳에서 성립한다면,

\theta

는 접촉 형식이다.^[7]

\theta

를

n

차원 다양체

M

의 미분 1-형식으로 하고,

d\theta

가 일정한 랭크

p

를 갖는다고 가정할 때, 다음 두 가지 경우가 존재한다.

$M$ 위에서 항상 $\theta\wedge\left(d\theta\right)^p=0$ 이 성립하면, 국소 좌표계 $x_1,\ldots,x_{n-p},y_1,\ldots,y_p$ 가 존재하고, $\theta=x_1\,dy_1+\ldots+x_p\,dy_p$ 가 된다.
$M$ 위에서 항상 $\theta\wedge\left(d\theta\right)^p\neq 0$ 이 성립하면, 국소 좌표계 $x_1,\ldots,x_{n-p},y_1,\ldots,y_p$ 가 존재하고, $\theta=x_1\,dy_1+\ldots+x_p\,dy_p+dx_{p+1}$ 가 된다.^[11]

3. 다르부 정리의 증명

p=0에 대한 다르부 정리는 '' $\theta \wedge d\theta = 0$ ''인 모든 1-형식 '' $\theta \neq 0$ ''가 어떤 좌표계 $(x_1,\ldots,x_n)$ 에서 '' $\theta = dx_1$ ''로 표현될 수 있음을 보장한다. 이것은 미분 형식 측면에서 프로베니우스 정리의 한 형태이다.^[4]

3. 1. 프로베니우스 정리와의 관계

다르부 정리는 프로베니우스 정리의 한 형태를 미분 형식 측면에서 복구한다.

\theta

가 ''n'' 차원 다양체에서 미분 1-형식이고,

\mathrm{d} \theta

가 상수 계수 ''p''를 가진다고 가정하자.

만약

\mathcal{I} \subset \Omega^*(M)

가

\theta

에 의해 생성된 미분 아이디얼이라면, ''

\theta \wedge d\theta = 0

''은

\mathcal{I} \subset \Omega^*(M)

가 실제로

d x_1

에 의해 생성되는 좌표계

(x_1,\ldots,x_n)

의 존재를 함의한다.^[4]

p=0에 대한 다르부 정리는 ''

\theta \wedge d\theta = 0

''인 모든 1-형식 ''

\theta \neq 0

''가 어떤 좌표계

(x_1,\ldots,x_n)

에서 ''

\theta = dx_1

''로 표현될 수 있음을 보장한다.

다르부의 원래 증명은 ''p''에 대한 수학적 귀납법을 사용했으며, 이는 분포^[3] 또는 미분 아이디얼의 관점에서 동등하게 제시될 수 있다.^[4]

4. 다르부-와인스타인 정리

앨런 와인스타인은 심플렉틱 다양체에 대한 다르부 정리를 근방의 부분 다양체에 대해서도 성립하도록 강화할 수 있음을 보였다.^[8]

: $M$ 을 두 개의 심플렉틱 형식 $\omega_1$ 과 $\omega_2$ 를 갖는 매끄러운 다양체라고 하고, $N \subset M$ 을 닫힌 부분 다양체라고 하자. 만약 $\left.\omega_1\right|_N = \left.\omega_2\right|_N$ 이면, $M$ 에서 $N$ 의 근방 $U$ 와 $f^*\omega_2 = \omega_1$ 를 만족하는 미분 동형 사상 $f : U \to U$ 가 존재한다.

표준 다르부 정리는 $N$ 이 점이고 $\omega_2$ 가 좌표 차트에서 표준 심플렉틱 구조일 때 복구된다.

이 정리는 무한 차원 바나흐 다양체에도 적용된다.

5. 리만 기하학과의 비교

리만 다양체 $(M,g)$의 경우, 임의의 점 $x\in M$에서 계량 텐서 $g|_x$가 단위 행렬이 되는 국소 좌표계가 존재하지만, $x$를 포함하는 근방 $U$에서 계량 텐서 $g|_U$가 단위 행렬이 되게 하는 국소 좌표계는 리만 곡률이 0이 아닌 이상 일반적으로 존재하지 않는다. 따라서 다르부 정리는 심플렉틱 기하학에서는 곡률에 해당하는 개념이 존재하지 않음을 의미한다.^[5]

다르부 정리는 심플렉틱 다양체에 대해 심플렉틱 기하학에 국소 불변량이 없음을 의미하며, 주어진 점 근처에서 유효한 다르부 기저를 항상 취할 수 있다는 것이다. 이는 리만 기하학의 상황과는 현저한 대조를 이루는데, 리만 기하학에서는 곡률이 국소 불변량이며, 계량이 국소적으로 좌표 미분의 제곱의 합이 되는 것을 방해한다.

이러한 차이는 다르부 정리에 의하면 $\omega$가 $p$ 주변의 "전체 근방"에서 표준 형식을 갖도록 할 수 있다는 점에 있다. 반면 리만 기하학에서 계량은 항상 주어진 "어떤" 점에서는 표준 형식을 갖도록 할 수 있지만, 그 점 주변의 근방에서는 항상 그런 것은 아니다.

즉, 심플렉틱 기하학에는 국소 불변량이 없다. 주어진 임의의 점 근방에서 Darboux frame|다르부 기저^영어를 취할 수 있다. 이는 리만 곡률이 국소 불변량이라는 점 때문에, 계량을 국소적으로 $dx_i$의 제곱의 합으로 쓸 수 없게 만드는 리만 기하학의 상황과는 매우 대조적이다.^[5]

다르부 정리에 따르면 $p$의 '''근방''' 내부 '''전체에서''' $\omega$를 표준적인 형태로 쓸 수 있는 반면, 리만 기하학에서는 주어진 임의의 '''점에서''' 표준적인 형태로 쓸 수는 있지만, 그것이 점의 근방에서 항상 성립하는 것은 아니기 때문이다.

6. 의의 및 활용

다르부 정리는 심플렉틱 기하학에서 곡률에 해당하는 개념이 존재하지 않음을 의미한다.

다르부 좌표계는 국소적으로는 존재하지만, 다양체가 위상학적으로 자명하지 않은 이상 전체적으로는 존재하지 않는다. 다르부 좌표계는 해밀턴 역학에서 일반화 좌표 및 일반화 운동량으로 이루어진 국소 좌표계에 해당한다.

참조

_[1] 논문 Sur le problème de Pfaff http://gallica.bnf.f[...]
_[2] 논문 Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium nec non aequationes differentiales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque variables, complete integrandi https://archive.org/[...]
_[3] 서적 Lectures on Differential Geometry https://archive.org/[...] Prentice Hall
_[4] 논문 Exterior Differential Systems https://doi.org/10.1[...] 1991
_[5] 서적 Introduction to Symplectic Topology https://academic.oup[...] Oxford University Press 2017-06-22
_[6] 서적 Lectures on Symplectic Geometry https://link.springe[...] Springer Science+Business Media|Springer
_[7] 서적 An Introduction to Contact Topology https://www.cambridg[...] Cambridge University Press 2008
_[8] 논문 Symplectic manifolds and their Lagrangian submanifolds
_[9] 문서 Darboux (1882).
_[10] 문서 Pfaff (1814–1815).
_[11] 문서 Sternberg (1964) p. 140–141.
_[12] 문서 Cf. with McDuff and Salamon (1998) p. 96.

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