피카르-렙셰츠 이론

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1. 개요
2. 피카르-렙셰츠 공식
3. 예시
- 3.1. 초타원 곡선족
4. 역사
- 4.1. 에밀 피카르와 조르주 시마르
- 4.2. 솔로몬 렙셰츠
참조

1. 개요

피카르-렙셰츠 이론은 복소다양체 위의 정칙함수의 특이점 근처에서 모노드로미 작용을 계산하는 이론이다. 이 이론은 피카르-렙셰츠 공식으로 표현되며, 1897년 에밀 피카르와 조르주 시마르가 특이점 2개인 경우를 연구했고, 1924년 솔로몬 렙셰츠가 모든 차원으로 확장했다. 이 공식은 특이점에서의 모노드로미를 묘사하며, 대수기하학, 위상수학 등 다양한 분야에 응용된다. 피카르-렙셰츠 공식은 특이점 주위에서 모노드로미를 호몰로지류에 대한 군의 작용으로 나타내며, 이를 통해 모노드로미 작용을 정확하게 계산할 수 있게 한다.

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피카르-렙셰츠 이론
개요
분야	특이점 이론, 대수기하학, 미분기하학, 수학적 물리학
설명	복소 다양체의 위상수학 연구
역사
창시자	샤를 에밀 피카르, 솔로몬 레프셰츠
발전	피에르 들리뉴, 니콜라스 카츠
참고 문헌
고전적 참고 문헌	샤를 에밀 피카르, 테오도르 시마르, 《대수 함수론》 (프랑스어) 솔로몬 레프셰츠, 《대수기하학》 (프랑스어)
현대적 참고 문헌	피에르 들리뉴, 니콜라스 카츠, 《유한체 위의 층 이론에 대한 연구》 (영어)

2. 피카르-렙셰츠 공식

피카르-렙셰츠 공식은 모노드로미를 특이점에서 설명하며, 복소 다양체 위에서 정의된 정칙 함수의 특이점과 관련된 모노드로미 현상을 설명한다.^[1]

: $w_i\colon\gamma\mapsto\gamma+(-1)^{k(k+1)/2}(\langle\gamma,\delta_i\rangle)\delta_i$

위 식에서,

$w_i\in\pi_1(\hat{\mathbb C}\setminus\{z_i\};z)$ 는 $z_i$ 를 반시계방향으로 도는 폐곡선이다.
$\langle\gamma,\delta_i\rangle=[M_z]\smile (\gamma\frown\delta_i)$ 는 호몰로지류 간의 교차수이다.

다른 표현은 다음과 같다.

:

w_i(\gamma) = \gamma+(-1)^{(k+1)(k+2)/2}\langle \gamma,\delta_i\rangle \delta_i

위 식에서,

δ_''i''는 ''x''_''i''의 소멸 사이클이다.

이 공식은 Picard^프랑스어와 Simart^프랑스어가 ''k'' = 2에 대해 (소멸 사이클 δ_''i''의 명시적 계수 없이) 암묵적으로 제시하였다. 이후 Lefschetz^영어가 모든 차원에서 명시적인 공식을 제공했다.^[1]

2. 1. 기본 개념

복소

k

차원 연결 복소다양체

M

위에 정칙함수

f\colon M\to\hat{\mathbb C}

가 있다고 가정한다.

f

의 '''특이점'''은

\partial f(p_i)=0

인 점

p_i\in M

이다. 이 특이점들은 이산 공간을 이루고, 그 상

z_i=f(p_i)

들은 서로 다르다고 가정한다.

z\in\hat{\mathbb C}\setminus\{z_i\}

에 대하여

M_z=f^{-1}(z)

는 위상동형이다.

z

가

z_i

로 가까워지는 극한을 취하면,

M_z

의 호몰로지류 가운데 하나가 0으로 축소되어 사라지는데, 이를 '''소멸 사이클'''(vanishing cycle)이라고 부른다. 소멸 사이클은 항상 중간 호몰로지, 즉

(k-1)

차 호몰로지류

\delta_i\in H_{k-1}(M_z)

이다. (

M_z

는 실수

2(k-1)

차원).

z

를

z_i

주위로 작은 원을 그리며 변형시키면, 이에 대한 모노드로미는

H_{k-1}(M_z)

에 대한 작용으로 표현할 수 있다. 즉, 이 모노드로미는 기본군

\pi_1(\hat{\mathbb C}\setminus\{z_i\};z)

의

H_{k-1}(M_z)

에 대한 작용으로 나타내어진다.

''f''가 ''(k+1)''차원 사영 복소 다양체에서 사영 직선 '''P'''¹으로 가는 정칙 사상이라고 가정하자. 또한 모든 특이점은 비퇴화적이며 서로 다른 올(fiber)에 속하고 '''P'''¹에서 ''x''₁,...,''x''_''n''의 상을 갖는다고 가정한다. '''P'''¹에서 다른 점 ''x''를 선택한다. 기본군 π₁('''P'''¹ – {''x''₁, ..., ''x''_''n''}, ''x'')는 점 ''x''_''i''를 도는 고리 ''w''_''i''에 의해 생성되며, 각 점 ''x''_''i''에 대해 ''x''에서의 올의 호몰로지 ''H''_''k''(''Y''_''x'')에 소멸 사이클이 존재한다. 올은 복소 차원 ''k''를 가지므로 실수 차원은 ''2k''이기 때문에, 소멸 사이클은 중간 호몰로지이다.

2. 2. 공식 유도

복소 ''k''차원 연결 복소다양체

M

위의 정칙함수

f\colon M\to\hat{\mathbb C}

가 있다고 가정하자.

f

의 특이점은

\partial f(p_i)=0

인 점

p_i\in M

들이다. 특이점들이 이산 공간을 이루고, 그 상

z_i=f(p_i)

들이 서로 다르다고 가정한다.

일반적으로, 모든

z\in\hat{\mathbb C}\setminus\{z_i\}

에 대하여

M_z=f^{-1}(z)

는 위상동형이다.

z\to z_i

인 극한을 취하면,

M_z

의 호몰로지류 가운데 하나가 0으로 축소돼 사라지는 vanishing cycle|배니싱 사이클^영어이 발생한다. 이러한 호몰로지류는 항상 중간 호몰로지, 즉

(k-1)

차 호몰로지류

\delta_i\in H_{k-1}(M_z)

이다. (

M_z

는 실수

2(k-1)

차원이다.)

z

를

z_i

주위로 작은 원을 그리며 변형시키면, 이에 대한 모노드로미는

H_{k-1}(M_z)

에 대한 작용으로 표현할 수 있다. 즉, 이 모노드로미는 기본군

\pi_1(\hat{\mathbb C}\setminus\{z_i\};z)

의

H_{k-1}(M_z)

에 대한 작용으로 나타내어진다.

'''피카르-렙셰츠 공식'''에 따라서, 이 작용은 다음과 같다.

w_i\in\pi_1(\hat{\mathbb C}\setminus\{z_i\};z)

가

z_i

를 반시계방향으로 도는 폐곡선이라고 하면,

:

w_i\colon\gamma\mapsto\gamma+(-1)^{k(k+1)/2}(\langle\gamma,\delta_i\rangle)\delta_i

이다. 여기서

:

\langle\gamma,\delta_i\rangle=[M_z]\smile (\gamma\frown\delta_i)

이다.

''f''가 ''(k+1)''차원 사영 복소 다양체에서 사영 직선 '''P'''¹으로 가는 정칙 사상이라고 가정하자. 또한 모든 특이점은 비퇴화적이며 서로 다른 올에 속하고 '''P'''¹에서 ''x''₁,...,''x''_''n''의 상을 갖는다고 가정하자. '''P'''¹에서 다른 점 ''x''를 선택한다. 기본군 π₁('''P'''¹ – {''x''₁, ..., ''x''_''n''}, ''x'')는 점 ''x''_''i''를 도는 고리 ''w''_''i''에 의해 생성되며, 각 점 ''x''_''i''에 대해 ''x''에서의 올의 호몰로지 ''H''_''k''(''Y''_''x'')에 소멸 사이클이 존재한다. 이것이 중간 호몰로지임을 주목하라. 왜냐하면 올은 복소 차원 ''k''를 가지므로 실수 차원은 ''2k''이기 때문이다.

피카르-렙셰츠 공식에 의해 π₁('''P'''¹ – {''x''₁, ..., ''x''_''n''}, ''x'')의 ''H''_''k''(''Y''_''x'')에 대한 모노드로미 작용은 다음과 같이 설명된다. (다른 호몰로지 군에 대한 모노드로미 작용은 자명하다.) 기본군의 생성자 ''w''_''i''의 ''

\gamma

'' ∈ ''H''_''k''(''Y''_''x'')에 대한 모노드로미 작용은 다음과 같다.

:

w_i(\gamma) = \gamma+(-1)^{(k+1)(k+2)/2}\langle \gamma,\delta_i\rangle \delta_i

여기서 δ_''i''는 ''x''_''i''의 소멸 사이클이다. 이 공식은 ''k'' = 2에 대해 (소멸 사이클 δ_''i''의 명시적 계수 없이) 암묵적으로 나타난다. 모든 차원에서 명시적인 공식이 제공되었다.

2. 3. 공식의 의미와 중요성

피카르-렙셰츠 공식은 특이점 근처에서의 모노드로미 작용을 정확하게 계산할 수 있게 해준다. 이 공식은 복소 다양체 위에서 정의된 정칙함수의 특이점 근처에서, 한 점을 특이점 주위로 한 바퀴 돌렸을 때 나타나는 호몰로지 군의 변화를 설명한다.^[1]

구체적으로, 복소

k

차원 연결 복소다양체

M

위의 정칙함수

f\colon M\to\hat{\mathbb C}

를 생각해보자. 이 함수의 특이점들은

\partial f(p_i)=0

을 만족하는 점

p_i\in M

들이다. 이 특이점들이 이산 공간을 이루고, 그 상

z_i=f(p_i)

들이 서로 다르다고 가정한다.

z

를

z_i

주위로 작은 원을 그리며 변형시키면, 이에 대한 모노드로미는

H_{k-1}(M_z)

에 대한 작용으로 표현할 수 있다. 피카르-렙셰츠 공식은 이 작용을 다음과 같이 나타낸다.^[1]

:

w_i\colon\gamma\mapsto\gamma+(-1)^{k(k+1)/2}(\langle\gamma,\delta_i\rangle)\delta_i

여기서

w_i\in\pi_1(\hat{\mathbb C}\setminus\{z_i\};z)

는

z_i

를 반시계방향으로 도는 폐곡선이고,

\delta_i

는 소멸 사이클(vanishing cycle)이라 불리는 특수한 호몰로지류이다.

\langle\gamma,\delta_i\rangle

는 호몰로지류들 간의 교차수를 의미한다.^[1]

이 공식은 대수기하학, 위상수학 등 다양한 분야에서 응용된다.^[1]

3. 예시

$g$ 종(genus)의 사영적 초타원 곡선족을 통해 피카르-렙셰츠 공식을 구체적으로 살펴보자.

$\mathbb{A}^1_t$ 상의 퇴화 주변에서 피카르-렙셰츠 공식을 쉽게 계산할 수 있다. 만약 $j$ 번째 토러스가 소멸 사이클(vanishing cycle)을 포함한다면, $\gamma, \delta$ 가 $j$ 번째 토러스에서 온 $1$ -사이클이라고 가정했을 때, 피카르-렙셰츠 공식은 다음과 같다.

: $w_j(\gamma) = \gamma - \delta$

그렇지 않다면 항등 사상(identity map)이다.

3. 1. 초타원 곡선족

g

종(genus)의 사영적 초타원 곡선족은 다음과 같이 정의한다.

:

y^2 = (x-t)(x-a_1)\cdots(x-a_k)

여기서

t \in \mathbb{A}^1

는 매개변수이고

k=2g+1

이다. 이 곡선족은

t = a_i

일 때마다 이중점(double-point) 퇴화(degeneration)를 갖는다. 이 곡선은

g

개의 토러스(torus)의 연결 합이므로, 일반적인 곡선의

H_1

상의 교차 형식은 다음과 같은 행렬로 표현된다.

:

\begin{bmatrix}0 & 1 \\1 & 0\end{bmatrix}^{\oplus g}= \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0\end{bmatrix}

\mathbb{A}^1_t

상의 퇴화 주변에서 피카르-렙셰츠 공식(Picard-Lefschetz formula)은 쉽게 계산할 수 있다.

\gamma, \delta

가

j

번째 토러스에서 온

1

-사이클이라고 가정하면, 피카르-렙셰츠 공식은 다음과 같다.

:

w_j(\gamma) = \gamma - \delta

만약

j

번째 토러스가 소멸 사이클(vanishing cycle)을 포함한다면 위와 같이 계산되고, 그렇지 않다면 항등 사상(identity map)이다.

4. 역사

에밀 피카르와 솔로몬 렙셰츠의 이름을 따서 명명되었다. 1897년 에밀 피카르와 조르주 시마르(Georges Simart^프랑스어)는 특이점이 2개인 경우를 다루었고,^[1] 1924년 솔로몬 렙셰츠는 임의의 수의 특이점이 있는 경우를 다루었다.^[2]

4. 1. 에밀 피카르와 조르주 시마르

에밀 피카르와 조르주 시마르(Georges Simart^프랑스어)는 1897년에 특이점이 2개인 경우를 다루었다.^[1] 이들의 초기 연구에서는 소멸 사이클의 명시적인 계수 없이 공식이 암묵적으로 나타났다.

4. 2. 솔로몬 렙셰츠

솔로몬 렙셰츠는 1924년에 임의의 수의 특이점이 있는 경우에 대한 일반적인 공식을 제시했다.^[2] 렙셰츠는 모든 차원에서 명시적인 공식을 제공하여 이론을 확장했다.

참조

_[1] 서적 Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. Tome I http://www.archive.o[...] Gauthier-Villars et Fils
_[2] 서적 L’analysis situs et la géométrie algébrique Gauthier-Villars 1924

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