하이퍼 계산

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 앨런 튜링과 오라클 머신
3. 하이퍼컴퓨터 모델
4. 계산 능력 분석
5. 비판
참조

1. 개요

하이퍼 계산은 튜링 기계를 넘어선 계산 모델을 의미하며, 계산 불가능한 문제를 해결할 수 있는 가상의 계산 모델을 연구하는 분야이다. 앨런 튜링의 오라클 머신과 같은 개념부터, 무한 시간 튜링 기계, 실수 컴퓨터, 양자역학적 시스템 등 다양한 모델이 제시되었지만, 현재까지 실제 구현은 불가능한 것으로 여겨진다. 하이퍼 계산은 계산 능력 분석을 통해 다양한 모델의 계산 가능한 술어를 제시하지만, 마틴 데이비스는 하이퍼 계산의 물리적 실현 가능성에 대해 비판적인 입장을 취하고 있다.

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하이퍼 계산

2. 역사

앨런 튜링은 1939년 논문 "서수를 기반으로 한 논리 체계"에서 튜링 기계보다 강력한 오라클 머신을 이용한 수학적 시스템을 소개했다. 튜링은 이 기계를 통해 더 강력한 시스템에서도 결정 불가능 문제가 여전히 존재함을 증명했다. 튜링은 오라클 머신을 수학적 추상화를 위해 도입했을 뿐, 물리적으로 실현 가능하다고 생각하지 않았다.^[2]

2. 1. 앨런 튜링과 오라클 머신

앨런 튜링은 1938년 박사 학위 논문인 ''서수에 기초한 논리 체계''에서 튜링 기계를 넘어선 계산 모델을 소개했다.^[1] 이 논문은 자연수에서 자연수로의 단일 임의 함수(비재귀적)를 계산할 수 있는 오라클 머신을 사용할 수 있는 수학적 시스템을 연구했다. 그는 이 장치를 사용하여 더욱 강력한 시스템에서도 결정 불가능 문제가 여전히 존재함을 증명했다. 튜링의 오라클 머신은 수학적 추상화이며 물리적으로 실현될 수 없다.^[2]

3. 하이퍼컴퓨터 모델

하이퍼컴퓨터 모델은 튜링의 최초 오라클 머신처럼 유용하지만 실현 불가능할 수 있는 모델부터, 무작위 튜링 머신과 같이 덜 유용하지만 실현 가능성이 더 높은 모델까지 다양하다. 현재로서는 하이퍼컴퓨터를 실제로 만드는 것은 불가능하다고 여겨지며, 여러 개념이 제시되고 있다.

무한 계산 단계 모델:
무한히 많은 단계를 실행 완료할 수 있는 튜링 기계: 단순히 무한한 계산량을 실행하는 것만으로는 충분하지 않으며, 유한한 시간 내에 모든 계산을 종료해야 한다. 시간 지연을 이용하거나, 제논의 역설에서 착상된 제논 기계와 같은 방식이 제안되었다.^[38]
무한 시간 튜링 기계: 제논 기계를 일반화한 것으로, 초한적인 서수에 의해 열거되는 단계 수를 요하는 무한히 긴 계산을 실행할 수 있다. 극한 서수에 도달했을 때 특별한 상태로 전이하여 완료된다.^[38]
실수 컴퓨터(이상적인 아날로그 컴퓨터): 물리 상수를 무한한 정밀도로 제공하고, 열 잡음이나 양자 효과가 있더라도 실수의 물리적 값을 임의의 정밀도로 측정할 수 있어야 한다.^[39]
양자 모델: 양자역학계의 상태의 무한한 중첩을 사용하여 비계산 가능 함수를 계산하는 방법.^[40] 표준적인 큐비트를 사용한 양자 컴퓨터는 튜링 환원 가능할 것으로 예상되므로 하이퍼컴퓨터로 사용하기 어렵다.^[41]
무제한의 비결정성: 비계산 가능 함수를 계산할 수 있을지도 모르지만, 무모순성이나 계산 능력에 의문이 제기되고 있다.

3. 1. 계산 불가능한 입력 또는 블랙박스 구성 요소

차이틴 상수(정지 문제의 해답을 인코딩하는 무한 자릿수 시퀀스를 가진 숫자)와 같이 계산 불가능한 지식을 입력으로 받는 시스템은 유용한 많은 불결정 문제를 해결할 수 있다.^[4] 불가산적 난수 생성기를 입력으로 받는 시스템은 무작위적인 불가산적 함수를 생성할 수 있지만, 정지 문제와 같은 "유용한" 불가산적 함수를 의미 있게 해결할 수 있다고는 일반적으로 생각되지 않는다.

다양한 종류의 하이퍼컴퓨터가 제안되었으며, 그 예시는 다음과 같다.

튜링이 1939년에 정의한 튜링의 오라클 기계.
실수 컴퓨터(일종의 이상적인 아날로그 컴퓨터)는 물리학이 일반적인 실수 변수(단지 계산 가능한 수가 아님)를 허용하고, 이것들이 유용한(무작위적인 것이 아닌) 계산에 어떤 식으로든 "이용"될 수 있다면 하이퍼컴퓨팅을 수행할 수 있다.^[4] 이는 차이틴 상수와 같은 오라클 값을 가진 측정 가능한 물리 상수를 필요로 할 수 있으며, 표준 물리학이 그러한 임의 정밀도 측정을 이론적으로 불가능하게 만든다 할지라도, 실수 값의 물리적 값을 임의의 정밀도로 측정할 수 있는 능력을 필요로 한다.^[5]
어떤 식으로든 차이틴 상수를 정확하게 가중치 함수에 내장한 신경망은 정지 문제를 해결할 수 있겠지만,^[6] 실제 계산에 기반한 다른 하이퍼컴퓨팅 모델과 동일한 물리적 어려움을 겪는다.
특정 퍼지 논리 기반 "퍼지 튜링 기계"는 정의상 우연히 정지 문제를 해결할 수 있지만, 이는 기계의 사양에서 정지 문제를 해결하는 능력이 간접적으로 가정되기 때문이며, 기계의 원래 사양의 "버그"로 간주되는 경향이 있다.^[7]^[8]
공정한 비결정성으로 알려진 모델은 우연히 불가산적 함수의 오라클 계산을 허용할 수 있다. 이는 정의상 일부 시스템이 하위 시스템이 영원히 실행되도록 "불공정하게" 유발하는 거부 입력을 식별하는 오라클 능력을 갖기 때문이다.^[9]^[10]
드미트로 타라노프스키는 튜링 기계에 오라클로 빠르게 증가하는 함수를 장착하여 전통적으로 비유한적 분과의 유한주의 모델을 제안했다. 이러한 모델을 통해 그는 2차 산술의 해석을 제공할 수 있었다. 이러한 모델은 이벤트 간격이 불가산적으로 큰 속도로 증가하는 물리적 이벤트 생성 프로세스와 같은 불가산적 입력을 필요로 한다.^[11]
무제한 비결정성 모델의 한 가지 비정통적인 해석은 정의상 "액터"가 정착하는 데 필요한 시간이 근본적으로 알 수 없으며, 따라서 모델 내에서 불가산적으로 긴 시간이 걸리지 않는다는 것을 증명할 수 없다고 가정한다.^[12]
무한히 많은 단계를 실행 완료할 수 있는 튜링 기계. 단순히 무한한 계산량을 실행 가능한 것만으로는 불충분하며, 유한한 시간 내에 모든 계산을 종료해야 한다. 제안된 예로는, 시간 지연을 이용하여 하이퍼 컴퓨터가 무한한 시간을 사용하여 계산하는 동안 관측자는 유한한 시간 경과만을 관측하는 방식이 있다(이 경우, 계산에는 무한대의 에너지를 요한다). 다른 예로, 제논의 역설에서 착상된 순수한 수학적 모델인 제논 기계가 있다. 제논 기계에서는, 첫 번째 1단계를 (예를 들어) 1분 동안 실행하고, 다음 단계를 0.5분 동안 실행하고, 더 다음 단계를 0.25분 동안 실행하는 식으로 1단계에 걸리는 시간이 반감된다. 이 시간을 무한 단계까지 합산하면 2분 안에 무한 단계를 실행할 수 있게 된다.
'''무한 시간 튜링 기계'''는, 제논 기계를 일반화한 것으로, 잠재적으로 초한적인 서수에 의해 열거되는 단계 수를 요하는 무한히 긴 계산을 실행할 수 있다. 이 튜링 기계는, 정지하지 않는 계산에서 극한 서수에 도달했을 때 특별한 상태로 전이하여 완료되고, 그때까지의 무한한 계산의 결과가 이용 가능하다는 점 외에는 보통의 튜링 기계이다.^[38]
실수 컴퓨터(이상적인 아날로그 컴퓨터)를 Hypercomputation에 사용하는 경우도 있다.^[39] 여기에는 물리 상수(예를 들어 차이틴 상수)를 무한의 정밀도로 제공하는 것과 같은 고려가 필요하다고 생각되며, 적어도 열 잡음이나 양자 효과가 있더라도 임의의 정밀도로 실수의 물리적 값을 측정할 수 있어야 한다.
양자역학계의 상태의 무한한 중첩을 사용하여, 비계산 가능 함수를 계산한다.^[40] 다만, 표준적인 큐비트를 사용한 양자 컴퓨터는 튜링 환원 가능(계산을 고속화할 수 있어도, 지금까지 풀 수 없었던 문제는 풀 수 없다)할 것으로 일반적으로 예상되기 때문에, 하이퍼 컴퓨터로서는 사용할 수 없다고 생각되고 있다.^[41]
무제한의 비결정성이라고 불리는 기법을 사용하여 비계산 가능 함수를 계산할 수 있을지도 모른다고도 한다. 다만, 그 무모순성이나 계산 능력에는 의문도 제기되고 있다.

현재 하이퍼 컴퓨터를 실제로 만드는 것은 불가능하다고 여겨지며, 개념만이 제시되고 있다.

3. 2. 무한 계산 단계 모델

유한한 시간 안에 무한히 많은 단계를 '완료'할 수 있는 튜링 기계는 슈퍼태스크로 알려져 있다. 단순히 무제한적인 수의 단계를 실행하는 것만으로는 충분하지 않다. 하나의 수학적 모델은 제논 기계(제논의 역설에서 영감을 받았다)이다. 제논 기계는 첫 번째 계산 단계를 (예를 들어) 1분 안에 수행하고, 두 번째 단계를 ½분 안에, 세 번째 단계를 ¼분 안에 수행한다. 1 + ½ + ¼ + ... (기하 급수)를 합산하면, 기계가 총 2분 안에 무한히 많은 단계를 수행한다는 것을 알 수 있다. 오론 샤그리르에 따르면, 제논 기계는 물리적 역설을 도입하며, 상태는 [0, 2)의 열린 구간 밖에서는 논리적으로 정의되지 않으며, 따라서 계산 시작 후 정확히 2분에서 정의되지 않는다.^[13]

시간 여행의 가능성(닫힌 시간꼴 곡선 (CTC)의 존재)은 하이퍼계산을 가능하게 하는 것처럼 보인다. 그러나 CTC는 (그 자체로는) 무한한 계산에 필요한 무제한의 저장 공간을 제공하지 않기 때문에 그렇지 않다. 그럼에도 불구하고, CTC 영역을 상대론적 하이퍼계산에 사용할 수 있는 시공간이 존재한다.^[14] 1992년 논문에 따르면,^[15] 말라멘트-호가스 시공간에서 작동하는 컴퓨터 또는 회전하는 블랙홀 주위를 도는 궤도에서 작동하는 컴퓨터^[16]는 이론적으로 블랙홀 내부의 관찰자를 위해 비-튜링 계산을 수행할 수 있다.^[17]^[18] CTC에 대한 접근은 PSPACE-완전 문제, 즉 튜링으로 결정 가능하지만 일반적으로 계산적으로 다루기 어렵다고 여겨지는 복잡도 클래스에 대한 빠른 해답을 허용할 수 있다.^[19]^[20]

'''무한 시간 튜링 기계'''는 제논 기계를 일반화한 것으로, 잠재적으로 초한적인 서수에 의해 열거되는 단계 수를 요하는 무한히 긴 계산을 실행할 수 있다. 이 튜링 기계는 정지하지 않는 계산에서 극한 서수에 도달했을 때 특별한 상태로 전이하여 완료되고, 그때까지의 무한한 계산의 결과가 이용 가능하다는 점을 제외하면 보통의 튜링 기계와 같다.^[38]
실수 컴퓨터(이상적인 아날로그 컴퓨터)를 하이퍼컴퓨테이션에 사용하는 경우도 있다.^[39] 여기에는 물리 상수 (예를 들어 차이틴 상수)를 무한의 정밀도로 제공하는 것과 같은 고려가 필요하다고 생각되며, 적어도 열 잡음이나 양자 효과가 있더라도 임의의 정밀도로 실수의 물리적 값을 측정할 수 있어야 한다.
양자역학계의 상태의 무한한 중첩을 사용하여 비계산 가능 함수를 계산한다.^[40] 다만, 표준적인 큐비트를 사용한 양자 컴퓨터는 튜링 환원 가능(계산을 고속화할 수 있어도, 지금까지 풀 수 없었던 문제는 풀 수 없다)할 것으로 일반적으로 예상되기 때문에, 하이퍼 컴퓨터로서는 사용할 수 없다고 생각되고 있다.^[41]
무제한의 비결정성이라고 불리는 기법을 사용하여 비계산 가능 함수를 계산할 수 있을지도 모른다고도 한다. 다만, 그 무모순성이나 계산 능력에는 의문도 제기되고 있다.

3. 3. 시간 여행 모델

시간 여행(닫힌 시간꼴 곡선(CTC)의 존재) 가능성은 하이퍼계산을 가능하게 하는 것처럼 보인다. 그러나 CTC는 그 자체로는 무한한 계산에 필요한 무제한의 저장 공간을 제공하지 않기 때문에 그렇지 않다. 그럼에도 불구하고, CTC 영역을 상대론적 하이퍼계산에 사용할 수 있는 시공간이 존재한다.^[14] 1992년 논문에 따르면,^[15] 말라멘트-호가스 시공간에서 작동하는 컴퓨터 또는 회전하는 블랙홀 주위를 도는 궤도에서 작동하는 컴퓨터^[16]는 이론적으로 블랙홀 내부의 관찰자를 위해 비-튜링 계산을 수행할 수 있다.^[17]^[18] CTC에 대한 접근은 PSPACE-완전 문제, 즉 튜링으로 결정 가능하지만 일반적으로 계산적으로 다루기 어렵다고 여겨지는 복잡도 클래스에 대한 빠른 해답을 허용할 수 있다.^[19]^[20]

3. 4. 양자 모델

일부 학자들은 무한한 중첩 상태를 활용하는 양자역학 시스템이 계산 불가능 함수를 계산할 수 있다고 추측한다.^[21] 그러나 표준 큐비트 모델 양자 컴퓨터는 PSPACE-환원 가능함이 증명되었기 때문에^[22] 이러한 계산은 불가능하다. 즉, 다항 시간으로 실행되는 양자 컴퓨터는 다항 공간으로 실행되는 고전 컴퓨터로 시뮬레이션할 수 있다.^[22]

양자역학계의 상태의 무한한 중첩을 이용하면 비계산 가능 함수를 계산할 수 있다.^[40] 하지만, 표준적인 큐비트를 사용한 양자 컴퓨터는 튜링 환원 가능할 것으로 예상되므로(계산 속도는 빨라져도, 기존에 풀 수 없었던 문제를 풀 수는 없다), 하이퍼 컴퓨터로 사용할 수 없을 것으로 보인다.^[41]

3. 5. "결국 정확한" 시스템

어떤 물리적으로 실현 가능한 시스템은 결국에는 항상 올바른 답으로 수렴하지만, 부정확한 답을 출력하고 잘못된 답을 무한히 오랫동안 고수하다가 결국 실수를 수정하는 결함을 가지고 있다.^[23]^[24]

1960년대 중반, E 마크 골드와 힐러리 퍼트넘은 독립적으로 귀납적 추론의 모델("제한 재귀 함수"와 "시행 착오 술어")을 제안했다. 이 모델은 일부 비재귀적인 수 집합 또는 언어(모든 재귀 열거 가능 언어 집합 포함)를 "한계 내에서 학습"할 수 있게 한다. 반면에, 정의에 따라 튜링 기계는 재귀적인 수 집합 또는 언어만 식별할 수 있었다. 기계는 학습 가능한 모든 집합에 대해 유한한 시간 내에 올바른 답으로 안정화되지만, 재귀적인 경우에만 올바른 것으로 식별할 수 있다. 그렇지 않으면 기계를 영원히 실행하고 답을 수정하지 않는다는 점을 확인함으로써 정확성을 확립한다. 퍼트넘은 이 새로운 해석을 "경험적" 술어의 클래스로 식별하며 "가장 최근에 생성된 답이 올바르다고 항상 '가정'하면 유한한 수의 실수를 저지르겠지만 결국 올바른 답을 얻을 것이다. (그러나, 우리가 올바른 답(유한 시퀀스의 끝)에 도달했더라도, 우리가 올바른 답을 가지고 있는지 결코 ''확신''할 수 없다.)"라고 말했다.^[24] L. K. 슈버트의 1974년 논문 "반복 제한 재귀와 프로그램 최소화 문제"는 제한 절차를 반복하는 효과를 연구했다. 이를 통해 모든 산술 술어를 계산할 수 있다. 슈버트는 "직관적으로, 반복 제한 식별은 점점 더 커지는 하위 차수 귀납적 추론 기계 집단에 의해 수행되는 고차 귀납적 추론으로 간주될 수 있다."라고 썼다.^[25]

기호 시퀀스는 보편 튜링 기계에서 시퀀스의 모든 기호를 점진적으로 출력하는 유한하고, 중단되지 않을 수 있는 프로그램이 있는 경우 ''한계 내에서 계산 가능''하다. 여기에는 π와 다른 모든 계산 가능 실수의 이진 확장이 포함되지만, 여전히 모든 비계산 가능 실수를 제외한다. 최소 설명 길이 이론에서 전통적으로 사용되는 '단조 튜링 기계'는 이전 출력을 편집할 수 없다. 위르겐 슈미드후버가 정의한 일반화된 튜링 기계는 편집할 수 있다. 그는 구성적으로 설명 가능한 기호 시퀀스를 일반화된 튜링 기계에서 실행되는 유한하고 중단되지 않는 프로그램이 있어 모든 출력 기호가 결국 수렴하는 시퀀스로 정의한다. 즉, 어떤 유한한 초기 시간 간격 이후에는 더 이상 변경되지 않는다. 쿠르트 괴델 (1931)이 처음 제시한 한계로 인해, 정지 문제를 해결할 수 없다면, 정지 프로그램에 의해 수렴 시간 자체를 예측하는 것이 불가능할 수 있다. 슈미드후버는 이 접근 방식을 사용하여 형식적으로 설명 가능하거나 구성적으로 계산 가능한 우주 또는 구성적 만물 이론의 집합을 정의한다.^[26]^[27] 일반화된 튜링 기계는 슈페커 수열을 평가하여 정지 문제의 올바른 해로 결국 수렴할 수 있다.

4. 계산 능력 분석

많은 하이퍼 계산 제안은 고전적인 기계에 내장된 오라클 또는 조언 함수를 읽는 다른 방법에 해당한다. 다른 제안들은 산술적 위계의 더 높은 수준에 접근할 수 있게 해준다. 예를 들어, 일반적인 가정 하에서 슈퍼태스킹 튜링 기계는 $\Sigma^0_1$ 또는 $\Pi^0_1$ 을 포함하는 진리표 차수의 모든 술어를 계산할 수 있다. 반대로, 제한 재귀는 해당 튜링 차수의 모든 술어 또는 함수를 계산할 수 있으며, 이는 $\Delta^0_2$ 로 알려져 있다. 골드는 제한 부분 재귀가 정확히 $\Sigma^0_2$ 술어를 계산할 수 있게 해줄 것이라고 추가로 보여주었다.

모델	계산 가능한 술어	비고	참고 문헌
슈퍼태스킹	$\operatorname{tt}\left(\Sigma^0_1, \Pi^0_1\right)$	외부 관찰자에 의존	^[28]
제한/시행착오	$\Delta^0_2$		^[23]
반복 제한 (k회)	$\Delta^0_{k+1}$		^[25]
블룸-슈브-스메일 기계		전통적인 계산 가능한 실수 함수와 비교 불가	^[29]
말라멘트-호가스 시공간	HYP	시공간 구조에 의존	^[30]
아날로그 반복 신경망	$\Delta^0_1[f]$	f는 연결 가중치를 제공하는 조언 함수; 크기는 실행 시간에 의해 제한됨	^[31]^[32]
무한 시간 튜링 기계	$AQI$	산술적 준-귀납적 집합	^[33]
고전적 퍼지 튜링 기계	$\Sigma^0_1 \cup \Pi^0_1$	모든 계산 가능한 t-노름에 대해	^[8]
증가 함수 오라클	$\Delta^1_1$	단일 시퀀스 모델의 경우; $\Pi^1_1$ 는 r.e.	^[11]

5. 비판

마틴 데이비스는 하이퍼 계산에 관한 저술에서^[34]^[35] 이 주제를 "신화"라고 언급하며 하이퍼 계산의 물리적 실현 가능성에 대해 비판적인 입장을 보였다. 그는 하이퍼 계산이 1990년대에 새롭게 설립된 분야라는 주장에 반대하며, 계산 가능성 이론의 역사(불가해성의 정도, 함수, 실수 및 서수에 대한 계산 가능성)에 이미 그 내용이 있다고 주장했다. 그는 모든 하이퍼 계산이 "계산 불가능한 입력을 허용하면 계산 불가능한 출력을 얻을 수 있다."는 점을 지적했다.^[36]

참조

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_[39] 간행물 "On the power of random access machines" http://www.scottaaro[...] 1979
_[40] 학술지 Quantum Algorithm for the [[힐베르트의23の問題|Hilbert's Tenth Problem]] http://www.arxiv.org[...] 2003
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