1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

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1. 개요
2. 증명
- 2.1. 부분합을 이용한 증명
- 2.2. 극한을 이용한 증명
3. 역사
참조

1. 개요

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯는 각 항이 이전 항의 절반인 무한 등비 급수로, 1에 수렴한다. 이 급수는 부분합의 극한, 또는 극한의 개념을 사용하여 증명할 수 있다. 이 급수는 제논의 역설인 아킬레우스와 거북이의 역설을 설명하는 데 사용되었으며, 호루스의 눈과 중국 도교 서적인 장자의 구절과도 관련이 있다.

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1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
개요
합	1
유형	무한 급수
수식
수식	1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ···

2. 증명

무한 급수 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 은 수학적 귀납법 등 다양한 방법을 통해 그 합이 1임을 증명할 수 있다.^[1]

2. 1. 부분합을 이용한 증명

다른 급수와 마찬가지로, 무한합 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 은 최초 n항의 합 s_n = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ + 1/2ⁿ 의 n이 무한히 커질 때의 극한으로 정의된다.

s_n (위 등식의 양변)에 2를 곱하면 유용한 관계를 알 수 있다.

:2s_n = 2/2 + 2/4 + 2/8 + 2/16 + ⋯ + 2/2ⁿ = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ + 1/2^n-1 = 1 + s_n - 1/2ⁿ

양변에서 s_n을 빼면 다음과 같은 식이 된다.

:s_n = 1 - 1/2ⁿ

n이 무한으로 커지면 s_n은 1에 수렴한다.^[1]

2. 2. 극한을 이용한 증명

다른 급수와 마찬가지로, 무한합

:

\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots

은 처음 n개 항의 합

:

s_n=\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^n}

에서 n이 무한히 커질 때의 극한으로 정의된다.

s_n (위 식의 양변)에 2를 곱하면 유용한 관계를 얻을 수 있다.

:

2s_n =\frac22 +\frac24 +\frac28 +\frac{2}{16} +\cdots +\frac{2}{2^n} = 1+\frac12 +\frac14 +\frac18 +\cdots +\frac{1}{2^{n-1}} = 1+s_n -\frac{1}{2^n}

양변에서 s_n을 빼면 다음 식이 된다.

:

s_n =1-\frac{1}{2^n}

n을 무한으로 크게 하면, s_n은 1에 수렴한다. 즉, n이 ∞(무한)이면

\frac{1}{2^n}

은 0이 되고 s_n은 1이 된다.^[1]

3. 역사

이 급수는 여러 문화권에서 다양한 방식으로 나타난다. 제논의 역설의 한 표현으로 사용되었고^[7], 호루스의 눈은 이 급수의 초반 6개 항을 나타낸 것으로 여겨졌다.^[8] 도교 서적 《장자》〈잡편(雜篇) 제33 천하(天下)〉의 "한 자 길이의 회초리를 매일 부러뜨려도 만년이 지나도록 없어지지 않으리라."(一尺之捶(일척지추), 日取其半(일취기반), 萬世不竭(만세불갈))라는 구절도 이 급수와 관련이 있는 것으로 여겨진다.^[7]

3. 1. 제논의 역설

이 급수는 제논의 역설 가운데 하나인 아킬레우스와 거북이의 역설을 표현하는 데에 사용되었다.^[2] 아킬레우스와 거북이의 역설에서 전사 아킬레스는 거북이와 경주를 했다. 경주 트랙은 100m였다. 아킬레스는 10m/s의 속도로 달릴 수 있었지만, 거북이는 5m/s의 속도로 달렸다. 제논은 거북이가 10m의 이점을 가지고 있기 때문에 이길 것이라고 주장했다. 아킬레스는 거북이를 따라잡기 위해 10m를 이동해야 하지만, 그 동안 거북이는 이미 5m를 더 이동했을 것이다. 아킬레스는 그 다음 5m를 이동해야 하고, 그 동안 거북이는 2.5m를 이동하는 식이다. 제논은 거북이가 항상 아킬레스보다 앞서 있을 것이라고 주장했다. 마찬가지로, 제논의 분할의 역설은 특정 거리를 이동하기 위해서는 그 거리의 절반을 이동하고, 그 다음 남은 거리의 절반을 이동하는 식으로 무한히 많은 시간 간격을 가져야 한다는 가정에서 비롯된다.^[3]

두 경우 모두, 각 시간 간격은 이 무한 등비 수열의 항이며, 무한한 항의 극한에서도 유한한 총 시간에 합산된다. 이것은 때때로 제논의 역설을 해결하는 것으로 여겨진다.^[4] 그러나 제논이 이러한 부분들의 합의 문제가 아니라 실무한으로의 연속체의 분할 문제에 관심을 가졌던 한, 그것은 제논 주장의 철학적 핵심을 다루지 못할 수도 있다.^[5]

3. 2. 호루스의 눈

호루스의 눈은 이 급수의 초반 6개 항을 나타낸 것으로 여겨졌다.^[6]

3. 3. 장자

도교 서적 《장자》〈잡편(雜篇) 제33 천하(天下)〉에 "한 자 길이의 회초리를 매일 부러뜨려도 만년이 지나도록 없어지지 않으리라."(一尺之捶(일척지추), 日取其半(일취기반), 萬世不竭(만세불갈))라는 구절이 나오는데, 이는 이 급수와 관련이 있는 것으로 여겨진다.^[7]

참조

_[1] 서적 Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables Dover
_[2] 웹사이트 Zeno's Paradoxes https://mathworld.wo[...]
_[3] 웹사이트 Zeno's Paradoxes https://mathworld.wo[...]
_[4] encyclopedia Zeno's Paradoxes: 5. Zeno's Influence on Philosophy http://plato.stanfor[...] 2011-03-07
_[5] 간행물 Why Mathematical Solutions of Zeno's Paradoxes Miss the Point: Zeno's One and Many Relation and Parmenides' Prohibition http://philsci-archi[...] 2012-03-06
_[6] 서적 Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures Profile Books
_[7] 웹사이트 Description of Zeno's paradoxes http://web01.shu.edu[...]
_[8] 서적 Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures Profile Books

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