형태학적 골격

2. 열기를 통한 골격

형태학적 골격은 이미지 내 객체의 구조적 핵심을 나타내는 중요한 개념이다. 골격을 정의하는 여러 방법 중 하나는 형태학적 열기 연산을 기반으로 하는 것이다. 열기 연산은 이미지를 특정 구조 요소로 침식한 후 동일한 구조 요소로 팽창하는 과정으로, 이미지의 작은 돌기나 노이즈를 제거하는 효과가 있다.

이러한 열기 연산의 특성을 이용하여 골격을 정의하는 대표적인 방법으로 랑튀에졸(Lantuéjoul)이 제안한 공식이 있다.^[2][1] 이 접근 방식은 주어진 이진 이미지를 다양한 크기의 구조 요소로 침식한 결과와, 그 결과를 다시 열기 연산한 결과의 차집합을 이용하여 골격의 각 부분을 찾아낸다. 이렇게 찾아낸 골격 부분집합들을 모두 합집합하여 전체 골격을 구성한다.

랑튀에졸의 공식은 원래 연속적인 공간의 이미지에 대해 정의되었으나, 이후 이산적인 격자 구조의 이미지에도 적용 가능하도록 확장되었다. 이 방법을 통해 얻어진 골격은 단순히 객체의 중심선을 나타낼 뿐만 아니라, 골격 정보로부터 원본 이미지나 그 근사치를 복원하는 것도 가능하다. 또한, 골격은 이미지 내부에 최대로 들어갈 수 있는 원판(최대 내접 원판)들의 중심과 밀접한 관련이 있다는 기하학적 의미도 지닌다.

상세한 공식과 그 수학적 배경, 그리고 골격의 기하학적 의미에 대해서는 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

2. 1. Lantuéjoul의 공식

2. 1. 1. 연속적인 이미지

• $\backslash ominus$: 형태학적 침식 연산을 나타낸다. 이는 이미지를 특정 구조 요소로 깎아내는 연산이다.
• $\backslash circ$: 형태학적 열기 연산을 나타낸다. 이는 침식 연산 후 동일한 구조 요소로 팽창 연산을 수행하여 작은 돌기 등을 제거하는 효과가 있다.
• $\backslash rho\; B$: 반지름이 $\backslash rho$인 열린 공 형태의 구조 요소를 의미한다. 이미지에 적용되는 형태학적 연산의 기준이 된다.
• $\backslash overline\; B$: 구조 요소인 열린 공 $B$의 폐포를 의미한다.
• $\backslash bigcup$: 여러 집합들을 하나로 합치는 합집합 연산을 나타낸다.
• $\backslash bigcap$: 여러 집합들에서 공통된 부분만을 남기는 교집합 연산을 나타낸다.
• $-$: 두 집합 사이의 차집합 연산을 나타낸다. 첫 번째 집합에서 두 번째 집합에 속하는 원소를 제외하는 연산이다.

2. 1. 2. 이산적인 이미지

2. 1. 3. 골격에서 재생성

2. 1. 4. 최대 디스크의 중심으로의 골격

• $nB\_z$는 집합 ''A''에 완전히 포함된다 ($nB\_z\; \backslash subseteq\; A$).
• 만약 $nB\_z$를 포함하는 더 큰 원판 $mB\_y$ (어떤 정수 ''m''과 어떤 점 ''y''에 대해 $nB\_z\; \backslash subseteq\; mB\_y$)가 있다면, 그 더 큰 원판 $mB\_y$는 집합 ''A''에 완전히 포함되지 않는다 ($mB\_y\; \backslash not\backslash subseteq\; A$). 즉, $nB\_z$는 ''A'' 내부에 있으면서, 자신을 포함하는 더 큰 원판이 ''A'' 밖으로 나가지 않고는 존재할 수 없는 '꽉 찬' 원판이다.

3. 이미지에 대한 형태학적 골격화 수행

형태학적 골격화는 이미지를 분석할 때 관심 영역의 형태적 특징을 1픽셀 너비의 선으로 축소하여 표현하는 기법이다.^[1] 이는 제어된 침식 과정과 유사하며, 크기가 크거나 복잡한 이미지에서도 주요 구조를 빠르고 정확하게 파악하는 데 유용하다. 예를 들어, 지문 이미지 분석과 같이 선 구조가 중요한 경우 골격화를 통해 특징을 효과적으로 추출하고 분석할 수 있다.^[1][2] 이미지의 대비를 조정하는 등의 전처리 과정은 골격화의 정확도를 높이는 데 도움이 될 수 있다.^[1]

3. 1. 지문 이미지 처리 예시 (Matlab)

형태학적 골격화는 일종의 제어된 침식 과정으로, 관심 영역이 1픽셀 너비가 될 때까지 이미지를 점진적으로 축소시키는 기법이다. 이를 통해 크기가 크고 메모리를 많이 사용하는 이미지 데이터에서도 빠르고 정확한 이미지 처리가 가능하다. 지문 이미지를 분석하는 것은 이러한 골격화 기법을 활용하는 대표적인 예시 중 하나이다.

Matlab에는 이미지에 골격화 기법을 적용하는 내장 함수인 `'bwmorph'`가 있어 이를 신속하게 수행할 수 있다. 오른쪽 비교 이미지는 형태학적 골격화가 지문 이미지에 적용될 때 어떤 결과를 가져오는지 잘 보여준다. 특히, 가장 오른쪽 이미지는 자동 임계값 설정을 통해 이미지 대비를 높이는 전처리 과정을 거친 후 골격화를 수행한 결과로, 원본 지문의 특징이 더 선명하게 드러난다.

실제로 골격화를 수행하기 전에, 간단한 자동 임계값 설정을 통해 회색조 이미지를 이진 이미지로 변환하는 전처리를 적용하면 골격화 알고리즘이 이미지의 특징선을 더 효과적으로 추출하여 얇은 골격을 생성할 수 있다. 이미지의 대비가 높을수록 골격의 선들이 더 정확하게 연결되어, 부분적인 정보만 가진 원본 지문 이미지로부터도 특징을 더 잘 나타내는 골격을 재구성하는 데 유리하다. 즉, 적절한 전처리는 골격화의 성능을 높이는 중요한 단계이다.

Matlab에서 `'bwmorph'` 함수는 다음과 같이 사용하여 골격 이미지를 생성할 수 있다:

`skelIm = bwmorph(orIm, 'skel', Inf)`

여기서 `orIm`은 원본 이미지 변수, `'skel'`은 골격화 작업을 지정하는 옵션, `Inf`는 골격이 완전히 형성될 때까지 반복함을 의미하며, `skelIm`은 골격화된 결과 이미지를 저장하는 변수이다.