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3차원 직교군

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1. 개요

3차원 직교군 O(3)은 3x3 실수 직교 행렬로 구성된 리 군이며, 3차원 특수직교군 SO(3), 2차원 사영 특수 유니터리 군 PSU(2), 3차원 사영 특수직교군 PSO(3) 등과 동형이다. SO(3)은 행렬식이 +1인 직교 행렬들의 부분군으로, 회전을 나타내며, 회전의 합성은 행렬 곱셈에 해당한다. SO(3)은 3차원 회전의 표현 방법, 뫼비우스 변환과의 관계, 리 군 및 리 대수와의 관계, 베이커-캠벨-하우스도르프 공식(BCH) 등을 통해 수학적으로 설명될 수 있다. SO(3)은 위상수학적으로 3차원 실수 사영 공간 RP3과 위상동형이며, 단순 연결 공간은 아니다.

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3차원 직교군

2. 정의

3차원 직교군 \operatorname{O}(3;\mathbb R)는 3×3 실수 직교 행렬들로 구성된 리 군이다.

다음 군들은 서로 동형(isomorphism)이다.


  • '''3차원 특수직교군''' \operatorname{SO}(3;\mathbb R): 3×3 실수 직교 행렬 중 행렬식이 +1인 것들로 이루어진 \operatorname O(3;\mathbb R)의 부분군이다.
  • '''2차원 사영 특수 유니터리 군''' \operatorname{PSU}(2).
  • '''3차원 사영 특수직교군''' \operatorname{PSO}(3;\mathbb R): 차원이 홀수이므로 사영 직교군은 특수직교군과 같다.


다음 군들은 서로 동형이다.

모든 회전은 \R^3정규 직교 기저를 다른 정규 직교 기저로 사상한다. 유한 차원 벡터 공간의 모든 선형 변환과 마찬가지로 회전은 항상 행렬로 표현할 수 있다. 주어진 회전을 R이라고 하고, \R^3의 표준 기저 \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3에 대해 R의 열은 (R\mathbf{e}_1, R\mathbf{e}_2, R\mathbf{e}_3)로 주어진다. 표준 기저는 정규 직교이고 R은 각도와 길이를 보존하므로 R의 열은 또 다른 정규 직교 기저를 형성한다. 이 정규 직교 조건은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:R^\mathsf{T}R = RR^\mathsf{T} = I,

여기서 R^\mathsf{T}는 R의 전치 행렬이고 I는 3×3 항등 행렬이다. 이 속성을 갖는 행렬을 직교 행렬이라고 하며, 모든 3×3 직교 행렬의 그룹은 O(3)로 표시되며 모든 고유 및 부적절한 회전으로 구성된다.

고유 회전은 길이를 보존하는 것 외에도 방향도 보존해야 한다. 행렬의 행렬식이 양수인지 음수인지에 따라 행렬은 방향을 보존하거나 반대로 한다. 직교 행렬 R의 경우 1=\det R^\mathsf{T} = \det R1=(\det R)^2 = 1을 의미하므로 \det R = \pm 1이다. 행렬식이 +1인 직교 행렬의 부분군을 ''특수 직교군''이라고 하며 SO(3)로 표시한다.

따라서 모든 회전은 단위 행렬식을 갖는 직교 행렬로 고유하게 표현할 수 있다. 또한 회전의 합성은 행렬 곱셈에 해당하므로 회전군은 특수 직교군 SO(3)와 동형이다.

부적절한 회전은 행렬식이 -1인 직교 행렬에 해당하며 두 개의 부적절한 회전의 곱이 고유 회전이므로 그룹을 형성하지 않는다.

2. 1. 복소수 표현

2차원 특수 유니터리 군(SU(2))과 3차원 특수직교군(SO(3)) 사이에는 다음과 같은 두 겹 피복 사상(covering map)이 존재한다.[6]

:\operatorname{SU}(2)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(3)

이는 \operatorname{SU}(2)가 3차원 스핀 군 \operatorname{Spin}(3)과 동형이라는 의미이다. 이 피복 사상은 다음과 같이 구체적으로 표현된다.

:\begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ -\bar \beta & \bar \alpha \end{pmatrix}

\mapsto\begin{pmatrix}\frac12(\alpha^2 - \beta^2 + \bar\alpha^2 - \bar\beta^2) & \frac i2(-\alpha^2 - \beta^2 + \bar\alpha^2 + \bar\beta^2) & -\alpha\beta-\bar\alpha\bar\beta\\ \frac i2(\alpha^2 - \beta^2 - \bar\alpha^2 + \bar\beta^2) & \frac12(\alpha^2 + \beta^2 + \bar\alpha^2 + \bar\beta^2) & -i(+\alpha\beta-\bar\alpha\bar\beta)\\ \alpha\bar\beta + \bar\alpha\beta & i(-\alpha\bar\beta + \bar\alpha\beta) & \alpha\bar\alpha - \beta\bar\beta \end{pmatrix}

이 사상은 다음과 같이 해석할 수 있다.

  • SO(3)는 2차원 구 \mathbb S^2 위에 등거리 사상으로 구성된 표준적인 충실한 표현을 갖는다.
  • \mathbb S^2리만 구 \hat{\mathbb C}로 해석될 수 있다.

북극에서 반지름의 구로부터 평면으로의 스테레오 투영

  • 리만 구에서 구의 등거리 자기 동형은 뫼비우스 변환으로 나타내어진다. 즉, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.

:\iota\colon\operatorname{SO}(3)\hookrightarrow\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)

  • \iota의 상은 다음과 같은 꼴의 뫼비우스 변환들이다.

:z\mapsto\frac{\alpha z+\beta}{-\bar\beta z+\bar\alpha}

마찬가지로, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.

:\iota'\colon\operatorname{PSU}(2)\hookrightarrow\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)

:\iota'\colon\pm\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\-\bar\beta&\bar\alpha\end{pmatrix}\mapsto\left(z\mapsto\frac{\alpha z+\beta}{-\bar\beta z+\bar\alpha}\right)

따라서, 이는 동형 사상 \operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{SO}(3)를 정의한다.

구면의 점은 다음과 같이 정의된다.

:\mathbf{S} = \left \{(x,y,z)\in\R^3: x^2 +y^2 +z^2 = \frac{1}{4} \right \}

북극을 제외하고는 평면M의 점과 일대일 대응이 된다.

이때, 평면M의 맵S를 스테레오 투영이라고 하며, 다음과 같이 정의된다.

:\begin{cases} S:\mathbf{S} \to M \\ P = (x,y,z) \longmapsto P'= (\xi, \eta) = \left(\frac{x}{\frac{1}{2} - z}, \frac{y}{\frac{1}{2} - z}\right) \equiv \zeta = \xi + i\eta \end{cases}

이때, 평면M은 복소 평면\Complex과 동일시된다.

역의 경우, L을 다음과 같이 쓴다.

:L = N + s(P'-N) = \left(0,0,\frac{1}{2}\right) + s\left( \left(\xi, \eta, -\frac{1}{2}\right) - \left(0,0,\frac{1}{2}\right)\right),

그리고 x^2 + y^2 + z^2 = 1/4를 만족하는 s = 1/(1 + \xi^2 + \eta^2)를 찾아서 다음과 같이 정의한다.

:\begin{cases} S^{-1}:M \to \mathbf{S} \\ P'= (\xi, \eta) \longmapsto P = (x,y,z) = \left(\frac{\xi}{1 + \xi^2 + \eta^2}, \frac{\eta}{1 + \xi^2 + \eta^2}, \frac{-1 + \xi^2 + \eta^2}{2 + 2\xi^2 + 2\eta^2}\right) \end{cases}

g \in SO(3)가 회전이라면, 표준 작용으로 인해 임베딩 공간\R^3에서 S 위의 점이 이동한다. 이 작용을 S와 합성하여 M의 변환을 얻을 수 있다.

:\zeta=P' \longmapsto P \longmapsto \Pi_s(g)P = gP \longmapsto S(gP) \equiv \Pi_u(g)\zeta = \zeta'.

따라서 \Pi_u(g)\R^3의 변환과 관련된 \Complex의 변환이다.

이 방법으로 표현된 g \in SO(3)는 행렬\Pi_u(g) \in SU(2)로 표현될 수 있다.

각도\phi만큼 z-축에 대한 회전g_\phi를 고려하면 다음과 같다.

:\begin{align}

x' &= x\cos \phi - y \sin \phi,\\

y' &= x\sin \phi + y \cos \phi,\\

z' &= z.

\end{align}

따라서

:\zeta' = \frac{x' + iy'}{\frac{1}{2} - z'} = \frac{e^{i\phi}(x + iy)}{\frac{1}{2} - z} = e^{i\phi}\zeta = \frac{e^{\frac{i\phi}{2}} \zeta + 0 }{0 \zeta + e^{-\frac{i\phi}{2}}},

이는 복소 평면에서의 회전이다.

유사한 방식으로 각도\theta만큼 x-축에 대한 회전인 경우g_\theta

:w' = e^{i\theta}w, \quad w = \frac{y + iz}{\frac{1}{2} - x},

:\zeta' = \frac{\cos \frac{\theta}{2}\zeta +i\sin \frac{\theta}{2} }{i \sin\frac{\theta}{2}\zeta + \cos\frac{\theta}{2}}.

두 회전 g_{\phi}, g_{\theta},는 쌍선형 변환에 해당하며, 뫼비우스 변환의 예이다.

일반적인 뫼비우스 변환은 다음과 같다.

:\zeta' = \frac{\alpha \zeta + \beta}{\gamma \zeta + \delta}, \quad \alpha\delta - \beta\gamma \ne 0.

회전 g_{\phi}, g_{\theta}는 모든 SO(3)을 생성하고 뫼비우스 변환의 합성 규칙은 g_{\phi}, g_{\theta}의 모든 합성이 해당 뫼비우스 변환의 합성으로 변환됨을 보여준다.

뫼비우스 변환은 행렬로 표현할 수 있다.

:\begin{pmatrix}\alpha & \beta\\ \gamma & \delta\end{pmatrix}, \qquad \alpha\delta - \beta\gamma = 1,

이러한 이유로 행렬은 유일하게 정의되지 않으며, -I에 의한 곱셈은 행렬식이나 뫼비우스 변환에 영향을 미치지 않는다.

결론적으로 각 뫼비우스 변환은 두 행렬g, -g \in SL(2,C)에 해당한다.

이 대응을 사용하여 다음을 쓸 수 있다.

:\begin{align}

\Pi_u(g_\phi) &= \Pi_u\left[\begin{pmatrix}

\cos \phi & -\sin \phi & 0\\

\sin \phi & \cos \phi & 0\\

0 & 0 & 1

\end{pmatrix}\right] = \pm

\begin{pmatrix}

e^{i\frac{\phi}{2}} & 0\\

0 & e^{-i\frac{\phi}{2}}

\end{pmatrix},\\

\Pi_u(g_\theta) &= \Pi_u\left[\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0\\

0 & \cos \theta & -\sin \theta\\

0 & \sin \theta & \cos \theta

\end{pmatrix}\right] = \pm

\begin{pmatrix}

\cos\frac{\theta}{2} & i\sin\frac{\theta}{2}\\

i\sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2}

\end{pmatrix}.

\end{align}

이러한 행렬은 유니터리이므로 \Pi_u(SO(3)) \subset SU(2) \subset SL(2,C)이다.

오일러 각[6]의 관점에서 일반적인 회전에 대해 다음을 찾을 수 있다.

:\begin{align}

g(\phi, \theta, \psi) = g_\phi g_\theta g_\psi

&= \begin{pmatrix}

\cos \phi & -\sin \phi & 0\\

\sin \phi & \cos \phi & 0\\

0 & 0 & 1

\end{pmatrix}\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0\\

0 & \cos \theta & -\sin \theta\\

0 & \sin \theta & \cos \theta

\end{pmatrix}\begin{pmatrix}

\cos \psi & -\sin \psi & 0\\

\sin \psi & \cos \psi & 0\\

0 & 0 & 1

\end{pmatrix}\\

&= \begin{pmatrix}

\cos\phi\cos\psi - \cos\theta\sin\phi\sin\psi & -\cos\phi\sin\psi - \cos\theta\sin\phi\cos\psi & \sin\phi\sin\theta \\

\sin\phi\cos\psi + \cos\theta\cos\phi\sin\psi & -\sin\phi\sin\psi + \cos\theta\cos\phi\cos\psi & -\cos\phi\sin\theta\\

\sin\psi\sin\theta & \cos\psi\sin\theta & \cos\theta

\end{pmatrix},

\end{align}

:\begin{align}\Pi_u(g(\phi, \theta, \psi)) &= \pm

\begin{pmatrix}

e^{i\frac{\phi}{2}} & 0\\

0 & e^{-i\frac{\phi}{2}}

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

\cos\frac{\theta}{2} & i\sin\frac{\theta}{2}\\

i\sin\frac{\theta}{2}} & \cos\frac{\theta}{2}

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

e^{i\frac{\psi}{2}} & 0\\

0 & e^{-i\frac{\psi}{2}}

\end{pmatrix}\\

&= \pm

\begin{pmatrix}

\cos\frac{\theta}{2}e^{i\frac{\phi + \psi}{2}} & i\sin\frac{\theta}{2}e^{i\frac{\phi - \psi}{2}}\\

i\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\frac{\phi - \psi}{2}} & \cos\frac{\theta}{2}e^{-i\frac{\phi + \psi}{2}}

\end{pmatrix}.

\end{align}[7]

일반 행렬을 고려하면 다음과 같다.

:\pm\Pi_u(g_{\alpha,\beta}) = \pm\begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ -\overline{\beta} & \overline{\alpha} \end{pmatrix} \in \operatorname{SU}(2).

다음과 같이 변수를 대체하여 표현할 수 있다.

:\begin{align}

\cos\frac{\theta}{2} &= |\alpha|, & \sin\frac{\theta}{2} &= |\beta|, & (0 \le \theta \le \pi),\\

\frac{\phi + \psi}{2} &= \arg \alpha, & \frac{\psi - \phi}{2} &= \arg \beta. &

\end{align}

복소 매개변수\alpha, \beta의 관점에서 다음과 같이 표현 가능하다.

:g_{\alpha,\beta} = \begin{pmatrix}

\frac{1}{2}\left( \alpha^2 - \beta^2 + \overline{\alpha^2} - \overline{\beta^2}\right) &

\frac{i}{2}\left(-\alpha^2 - \beta^2 + \overline{\alpha^2} + \overline{\beta^2}\right) &

  • \alpha\beta - \overline{\alpha}\overline{\beta}\\


\frac{i}{2}\left(\alpha^2 - \beta^2 - \overline{\alpha^2} + \overline{\beta^2}\right) &

\frac{1}{2}\left(\alpha^2 + \beta^2 + \overline{\alpha^2} + \overline{\beta^2}\right) &

  • i\left(+\alpha\beta - \overline{\alpha}\overline{\beta}\right)\\


\alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha}\beta &

i\left(-\alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha}\beta\right) &

\alpha\overline{\alpha} - \beta\overline{\beta}

\end{pmatrix}.

오일러 각도를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: \begin{cases}

p:\operatorname{SU}(2) \to \operatorname{SO}(3)\\

\pm \Pi_u(g_{\alpha \beta}) \mapsto g_{\alpha \beta}

\end{cases}

위에서 설명한 군은 부드럽고, 2:1이며, 전사적 군 준동형 사상이다.

따라서, SO(3)의 보편 피복 공간에 대한 설명이며, 보편 피복군SU(2)에서 유도된다.

2. 2. 사원수 표현

사원수를 사용하여 3차원 회전을 표현할 수 있다. 노름이 1인 사원수들의 집합은 \operatorname{Sp}(1)으로 표기하며, 이는 2×2 특수 유니터리 행렬의 군 \operatorname{SU}(2)와 동형이다. 사원수 a+ib+jc+kd는 다음과 같은 \operatorname{SU}(2) 행렬로 나타낼 수 있다.[5]

:\begin{pmatrix}

a+ib&-c+id\\

c+id&a-ib

\end{pmatrix}

또한, \operatorname{Sp}(1)은 3차원 회전군 \operatorname{SO}(3)의 두 겹 피복군이다. 즉, \operatorname{Sp}(1)에서 \operatorname{SO}(3)로 가는 2:1 준동형 사상이 존재한다. 사원수 a+ib+jc+kd는 다음과 같은 \operatorname{SO}(3) 행렬로 나타낼 수 있다.

:\begin{pmatrix}1 - 2 c^2 - 2 d^2 & 2 b c - 2 d a & 2 b d + 2 c a \\ 2 b c + 2 d a & 1 - 2 b^2 - 2 d^2 & 2 c d - 2 b a \\ 2 b d - 2 c a & 2 c d + 2 b a & 1 - 2 b^2 - 2 c^2\end{pmatrix}

이는 (b,c,d)를 축으로 하여 2\theta만큼 회전하는 행렬이며, 여기서 \cos(\theta)=a이고 |\sin(\theta)|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}이다.

3차원 회전은 사원수 곱셈을 통해 표현할 수 있다. 3차원 벡터 (x,y,z)를 사원수 v=ix+iy+iz로 나타내고, 단위 사원수 q에 대해, v\mapsto qv\bar q\operatorname{SO}(3)의 작용을 나타낸다. 여기서 \bar qq의 켤레 사원수이다. q-q는 같은 회전을 나타내므로, 이 표현은 2:1 사상이다.

구체적으로, 단위 사원수 q = w + x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} (w^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 1)는 다음 회전 행렬로 매핑된다.

: Q = \begin{bmatrix}

1 - 2 y^2 - 2 z^2 & 2 x y - 2 z w & 2 x z + 2 y w \\

2 x y + 2 z w & 1 - 2 x^2 - 2 z^2 & 2 y z - 2 x w \\

2 x z - 2 y w & 2 y z + 2 x w & 1 - 2 x^2 - 2 y^2

\end{bmatrix}.

이는 벡터 (x, y, z)를 중심으로 각도 2\theta만큼 회전하는 것이며, \cos \theta = w 이고 |\sin \theta| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}이다.

2. 3. 리 대수

\operatorname{SO}(3)리 대수 \mathfrak{so}(3)는 모든 왜대칭 행렬로 구성된다.[8] 이는 직교 행렬 조건을 미분하여 확인할 수 있다.[9] \mathfrak{so}(3)의 두 원소의 리 괄호는 행렬 교환자로 주어지며, 이는 다시 왜대칭 행렬이다. 리 대수 괄호는 베이커-캠벨-하우스도르프 공식에 의해 리 군 곱의 본질을 포착한다.

\mathfrak{so}(3)의 원소는 회전의 "무한소 생성자"이며, 항등 원소에서 다양체 SO(3)의 접공간의 원소이다. 단위 벡터 \boldsymbol{n}으로 지정된 축을 중심으로 각도 φ만큼 반시계 방향으로 회전하는 것을 R(\phi, \boldsymbol{n})이 나타낸다고 하면,

:\forall \boldsymbol{u} \in \R^3: \qquad \left. \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\phi} \right|_{\phi=0} R(\phi,\boldsymbol{n}) \boldsymbol{u} = \boldsymbol{n} \times \boldsymbol{u}.

이다.

이는 리 대수 \mathfrak{so}(3)(교환자 포함)가 리 대수 \R^3(외적 포함)와 동형임을 보여준다. 이 동형 사상에서 오일러 벡터 \boldsymbol{\omega}\in\R^3\widetilde{\boldsymbol{\omega}}(\boldsymbol{u}) = \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{u}.로 정의된 선형 맵 \widetilde{\boldsymbol{\omega}}에 해당한다.

\mathfrak{so}(3)의 기저는 다음과 같이 주어진다.

:

\boldsymbol{L}_x = \begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}, \quad

\boldsymbol{L}_y = \begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}, \quad

\boldsymbol{L}_z = \begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}.



이 기저 원소의 교환 관계는 다음과 같다.

:

[\boldsymbol{L}_x, \boldsymbol{L}_y] = \boldsymbol{L}_z, \quad

[\boldsymbol{L}_z, \boldsymbol{L}_x] = \boldsymbol{L}_y, \quad

[\boldsymbol{L}_y, \boldsymbol{L}_z] = \boldsymbol{L}_x



이는 외적에서 \R^3의 세 개의 표준 단위 벡터의 관계와 일치한다.

이 리 대수의 모든 행렬은 오일러 벡터 \boldsymbol{\omega} = (x,y,z) \in \R^3,[10]

:\widehat{\boldsymbol{\omega}} =\boldsymbol{\omega}\cdot \boldsymbol{L} = x \boldsymbol{L}_x + y \boldsymbol{L}_y + z \boldsymbol{L}_z =\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix} \in \mathfrak{so}(3).

로 식별될 수 있다.

이 식별은 때때로 '''햇-맵'''이라고 불린다.[11] 이 식별 하에서 \mathfrak{so}(3) 괄호는 \R^3에서 외적에 해당한다.

:\left [\widehat{\boldsymbol{u}},\widehat{\boldsymbol{v}} \right ] = \widehat{\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}}.

벡터 \boldsymbol{u}로 식별된 행렬은

:\widehat{\boldsymbol{u}}\boldsymbol{v} = \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v},

와 같은 속성을 가지며, \boldsymbol{u}\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}.이기 때문에 식별된 왜대칭 행렬의 영공간에 있다.

리 대수 \mathfrak{so}(3)\mathfrak{su}(2)는 동형이며, \mathfrak{su}(2)의 기저는 다음과 같다.[13]

:\boldsymbol{t}_1 = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}0 & -i\\ -i & 0\end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{t}_2 = \frac{1}{2} \begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{t}_3 = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}-i & 0\\ 0 & i\end{bmatrix}.

이들은 다음을 통해 파울리 행렬과 관련이 있다.

:\boldsymbol{t}_i \longleftrightarrow \frac{1}{2i} \sigma_i.

\boldsymbol{t}_i에 대한 교환 관계는 다음과 같다.

:[\boldsymbol{t}_i, \boldsymbol{t}_j] = \varepsilon_{ijk}\boldsymbol{t}_k,

여기서 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{123} = 1인 완전 반대칭 기호이다. \mathfrak{so}(3)\mathfrak{su}(2) 사이의 동형성은 여러 방식으로 설정할 수 있다. 편의를 위해, \mathfrak{so}(3)\mathfrak{su}(2)는 다음 매핑을 통해 식별된다.

:\boldsymbol{L}_x \longleftrightarrow \boldsymbol{t}_1, \quad \boldsymbol{L}_y \longleftrightarrow \boldsymbol{t}_2, \quad \boldsymbol{L}_z \longleftrightarrow \boldsymbol{t}_3,

3. 성질

3차원 회전군 SO(3)는 콤팩트 연결이며, 위상수학적으로 실수 사영 공간과 같다. 또한, 유한 부분군은 ADE 분류를 가지며, 이는 순환군, 이면체군, 정사면체군, 정팔면체군, 정이십면체군으로 분류된다.

\operatorname{SU}(2)는 위상수학적으로 3차원 초구 \mathbb S^3와 위상 동형이며, 콤팩트 단일 연결 공간이다. 반면, \operatorname{SO}(3)는 3차원 실수 사영 공간 \mathbb{RP}^3와 위상 동형이며, 연결 공간이지만 단일 연결 공간은 아니다. 이는 \operatorname{SO}(3)기본군이 2차 순환군이기 때문이다. 이러한 위상수학적 성질은 물리학에서 스피너스핀-통계 정리와 같은 중요한 개념과 연결된다.

3. 1. 대수학적 성질

\operatorname{SU}(2)의 중심은 \{\pm1_{2\times2}\}이며, 이에 대하여 몫군을 취하면 \operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{SO}(3)를 얻는다.

회전군은 함수 합성 (또는 동등하게는 선형 변환의 곱)에 대해 을 이룬다. 이는 실수 3차원 공간 \R^3의 모든 가역적 선형 변환으로 구성된 일반 선형군의 부분군이다.[2]

더욱이, 회전군은 비가환군이다. 즉, 회전이 합성되는 순서가 중요하다. 예를 들어, 양의 ''x''축을 중심으로 한 90도 회전에 이어 양의 ''y''축을 중심으로 한 90도 회전은 먼저 ''y''축으로 회전한 다음 ''x''축으로 회전하여 얻는 회전과는 다른 회전이다.

모든 적절하고 부적절한 회전으로 구성된 직교군은 반사에 의해 생성된다. 모든 적절한 회전은 두 번의 반사의 합성으로, 이는 카르탕-디외도네 정리의 특수한 경우이다.

\mathrm{SO}(3)의 유한 부분군은 완전히 분류된다.[3] SO(3) 또는 SU(2)의 유한 부분군은 ADE 분류를 갖는다. 모든 유한 부분군은 다음 중 하나와 동형이다.

종류기호설명
순환군C_n
이각형 군D_{2n}
사면체 군\cong A_4
팔면체 군\cong S_4
정 이십면체 군\cong A_5


3. 2. 위상수학적 성질

\operatorname{SO}(3)콤팩트 연결 3차원 매끄러운 다양체이다. 위상수학적으로 3차원 실수 사영 공간 \mathbb{RP}^3\cong\mathbb S^3/(\mathbb Z/2)와 같은데, 여기서 \mathbb Z/2에 대한 몫공간을 취하는 것은 대척점을 이어붙이는 것과 같다.[4]

리 군 SO(3)은 미분동형으로 실사영 공간 \mathbb{P}^3(\R)이다.[4] 반지름이 \pi\R^3의 공(솔리드 볼)을 생각했을 때, 이 공의 모든 점에 대해 점과 원점을 통과하는 축을 가지고 점의 원점으로부터의 거리에 해당하는 회전 각도를 가진 회전이 있다. 항등 회전은 공의 중심에 해당하며, 0과 \pi 사이의 각도 \theta를 통한 회전은 동일한 축에서 동일한 거리에 있다. 0과 -\pi 사이의 각도를 통한 회전은 동일한 축과 원점으로부터의 거리에 있지만 원점의 반대쪽에 있는 점에 해당한다. \pi-\pi를 통한 두 회전은 동일하므로 공 표면의 대칭점을 식별하면 회전 그룹에 위상 동형인 위상 공간을 얻는다.

대칭 점이 식별된 공은 매끄러운 다양체이며, 회전 그룹과 미분 동형이다. 실 3차원 사영 공간 \mathbb{P}^3(\R)과도 미분 동형이므로 후자는 회전 그룹의 위상 모델 역할을 할 수 있다.

SO(3)은 연결 공간이지만 단순 연결 공간은 아니다. 대칭 점이 식별된 공에서 "북극"에서 내부를 통해 남극으로 직접 이어지는 경로는 닫힌 루프를 형성한다. 이 루프는 점으로 축소될 수 없다. 회전의 관점에서 이 루프는 ''z''축을 중심으로 하는 연속적인 회전 시퀀스를 나타내며, \varphi는 0에서 2\pi까지 실행된다.

경로를 두 번 통과하면, 즉 \varphi가 0에서 4\pi까지 실행되면 단일 점으로 축소될 수 있는 닫힌 루프가 생성된다.

SO(3)의 기본군은 2차 순환군이다. 물리학 응용 분야에서, 기본군의 비자명성은 스피너의 존재를 허용하며, 스핀-통계 정리 개발에 중요한 도구이다.

SO(3)의 보편 피복은 스핀(3)이라고 하는 리 군이다. 스핀(3)은 특수 유니타리 군 SU(2)와 동형이며, 단위 3-구 ''S''3와 미분 동형이다.

3. 3. 표현론

\operatorname{SU}(2)의 유한 차원 표현은 차원에 따라 분류된다. 주어진 차원 n=0,1,2,\dots에 대해, 유일한 n차원 복소수 표현이 존재하며, 이는 유니터리 표현이다. n이 짝수이면, n차원 실수 표현으로 나타낼 수 있다. 양자역학에서, n차원 표현은 '''스핀''' (n-1)/2 표현으로 불린다.

\operatorname{SO}(3)의 유한 차원 표현들은 \operatorname{SU}(2)n차원 표현들 가운데, n이 홀수인 것들이다. 예를 들어, n=3인 경우는 \operatorname{SO}(3)를 정의하는, 3차원 유클리드 공간 위의 특수 직교 행렬로서의 표현이다.

리 대수 표현에서 군 SO(3)는 랭크 1의 콤팩트하고 단순하므로, 세 개의 생성자에 대한 이차 불변 함수이며, 이들과 모두 교환되는 단일 카시미르 원소를 갖는다. 회전군의 킬링 형식은 단순히 크로네커 델타이므로, 이 카시미르 불변량은 대수의 생성자 \boldsymbol{J}_x, \boldsymbol{J}_y, \boldsymbol{J}_z의 제곱의 합이다.

:

[\boldsymbol{J}_x, \boldsymbol{J}_y] = \boldsymbol{J}_z, \quad

[\boldsymbol{J}_z, \boldsymbol{J}_x] = \boldsymbol{J}_y, \quad

[\boldsymbol{J}_y, \boldsymbol{J}_z] = \boldsymbol{J}_x.



즉, 카시미르 불변량은 다음과 같다.

:\boldsymbol{J}^2\equiv \boldsymbol{J}\cdot \boldsymbol{J} =\boldsymbol{J}_x^2+\boldsymbol{J}_y^2+\boldsymbol{J}_z^2 \propto \boldsymbol{I}.

단위 기약 표현의 경우, 이 불변량의 고유값은 실수이고 이산적이며, 유한 차원이고 차원이 2j+1인 각 표현을 특징짓는다. 즉, 이 카시미르 연산자의 고유값은 다음과 같다.

:\boldsymbol{J}^2=- j(j+1) \boldsymbol{I}_{2j+1},

여기서는 정수 또는 반정수이며, 스핀 또는 각운동량이라고 한다.

따라서 3 × 3 생성자 '''''L'''''은 삼중항(스핀 1) 표현에 작용하는 반면, 2 × 2 생성자 '''''t''''''는 이중항(스핀-1/2) 표현에 작용한다. 를 반복적으로 자체와 크로네커 곱하면 모든 더 높은 기약 표현를 구성할 수 있다. 즉, 임의로 큰에 대해 3차원 공간에서 더 높은 스핀 시스템에 대한 결과 생성자는 이러한 스핀 연산자와 래더 연산자를 사용하여 계산할 수 있다.

모든 단위 기약 표현에 대해 동등한이 있다. 군이 콤팩트하므로 모든 무한 차원 기약 표현은 비단위적이어야 한다.

양자 역학에서 카시미르 불변량은 "각운동량 제곱" 연산자이다. 정수 값의 스핀는 보존 표현을 특징짓는 반면, 반정수 값은 페르미온 표현을 특징짓는다. 반 에르미트 행렬은를 곱한 후 스핀 연산자로 사용되므로, 이제 에르미트 행렬이다(파울리 행렬과 유사). 따라서 이 언어로,

:

[\boldsymbol{J}_x, \boldsymbol{J}_y] = i\boldsymbol{J}_z, \quad

[\boldsymbol{J}_z, \boldsymbol{J}_x] = i\boldsymbol{J}_y, \quad

[\boldsymbol{J}_y, \boldsymbol{J}_z] = i\boldsymbol{J}_x.



그리고 따라서

:\boldsymbol{J}^2= j(j+1) \boldsymbol{I}_{2j+1}.

이러한에 대한 명시적인 표현식은 다음과 같다.

:\begin{align}

\left (\boldsymbol{J}_z^{(j)}\right )_{ba} &= (j+1-a)\delta_{b,a}\\

\left (\boldsymbol{J}_x^{(j)}\right )_{ba} &=\frac{1}{2} \left (\delta_{b,a+1}+\delta_{b+1,a} \right ) \sqrt{(j+1)(a+b-1)-ab}\\

\left (\boldsymbol{J}_y^{(j)}\right )_{ba} &=\frac{1}{2i} \left (\delta_{b,a+1}-\delta_{b+1,a} \right ) \sqrt{(j+1)(a+b-1)-ab}\\

\end{align}

여기서는 임의이고 1 \le a, b \le 2j+1이다.

스핀 j에 따른 스핀 행렬은 다음과 같다.

  • 스핀 1(j = 1):

:\begin{align}

\boldsymbol{J}_x &= \frac{1}{\sqrt{2}}

\begin{pmatrix}

0 &1 &0\\

1 &0 &1\\

0 &1 &0

\end{pmatrix} \\

\boldsymbol{J}_y &= \frac{1}{\sqrt{2}}

\begin{pmatrix}

0 &-i &0\\

i &0 &-i\\

0 &i &0

\end{pmatrix} \\

\boldsymbol{J}_z &=

\begin{pmatrix}

1 &0 &0\\

0 &0 &0\\

0 &0 &-1

\end{pmatrix}

\end{align}

(단, 이들은 '''''L'''''과 같이 데카르트 기저에서와는 다른 구면 기저에서 동등하지만 다른 기저에 있다.)

  • 스핀 (j=\tfrac{3}{2}):

:\begin{align}

\boldsymbol{J}_x &= \frac{1}{2}

\begin{pmatrix}

0 &\sqrt{3} &0 &0\\

\sqrt{3} &0 &2 &0\\

0 &2 &0 &\sqrt{3}\\

0 &0 &\sqrt{3} &0

\end{pmatrix} \\

\boldsymbol{J}_y &= \frac{1}{2}

\begin{pmatrix}

0 &-i\sqrt{3} &0 &0\\

i\sqrt{3} &0 &-2i &0\\

0 &2i &0 &-i\sqrt{3}\\

0 &0 &i\sqrt{3} &0

\end{pmatrix} \\

\boldsymbol{J}_z &=\frac{1}{2}

\begin{pmatrix}

3 &0 &0 &0\\

0 &1 &0 &0\\

0 &0 &-1 &0\\

0 &0 &0 &-3

\end{pmatrix}.

\end{align}

  • 스핀 (j = \tfrac{5}{2}):

:\begin{align}

\boldsymbol{J}_x &= \frac{1}{2}

\begin{pmatrix}

0 &\sqrt{5} &0 &0 &0 &0 \\

\sqrt{5} &0 &2\sqrt{2} &0 &0 &0 \\

0 &2\sqrt{2} &0 &3 &0 &0 \\

0 &0 &3 &0 &2\sqrt{2} &0 \\

0 &0 &0 &2\sqrt{2} &0 &\sqrt{5} \\

0 &0 &0 &0 &\sqrt{5} &0

\end{pmatrix} \\

\boldsymbol{J}_y &= \frac{1}{2}

\begin{pmatrix}

0 &-i\sqrt{5} &0 &0 &0 &0 \\

i\sqrt{5} &0 &-2i\sqrt{2} &0 &0 &0 \\

0 &2i\sqrt{2} &0 &-3i &0 &0 \\

0 &0 &3i &0 &-2i\sqrt{2} &0 \\

0 &0 &0 &2i\sqrt{2} &0 &-i\sqrt{5} \\

0 &0 &0 &0 &i\sqrt{5} &0

\end{pmatrix} \\

\boldsymbol{J}_z &= \frac{1}{2}

\begin{pmatrix}

5 &0 &0 &0 &0 &0 \\

0 &3 &0 &0 &0 &0 \\

0 &0 &1 &0 &0 &0 \\

0 &0 &0 &-1 &0 &0 \\

0 &0 &0 &0 &-3 &0 \\

0 &0 &0 &0 &0 &-5

\end{pmatrix}.

\end{align}

3차원 유클리드 회전군은 힐베르트 공간에서 무한 차원 표현을 갖는다.

:L^2\left(\mathbf{S}^2\right) = \operatorname{span} \left\{ Y^\ell_m, \ell \in \N^+, -\ell \leq m \leq \ell \right\},

여기서 Y^\ell_m구면 조화 함수이다. 그 요소는 구면에서 제곱 적분 가능한 복소수 값 함수이다.[22] 이 공간의 내적은 다음과 같다.

:\langle f,g\rangle = \int_{\mathbf{S}^2}\overline{f}g\,d\Omega = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \overline{f}g \sin\theta \, d\theta \, d\phi.

가 단위 구에서 정의된 임의의 제곱 적분 가능 함수인 경우 다음과 같이 표현할 수 있다.[23]

:|f\rangle = \sum_{\ell = 1}^\infty\sum_{m = -\ell}^{m = \ell} \left|Y_m^\ell\right\rangle\left\langle Y_m^\ell|f\right\rangle, \qquad f(\theta, \phi) = \sum_{\ell = 1}^\infty\sum_{m = -\ell}^{m = \ell} f_{\ell m} Y^\ell_m(\theta, \phi),

여기서 전개 계수는 다음과 같다.

:f_{\ell m} = \left\langle Y_m^\ell, f \right\rangle = \int_{\mathbf{S}^2}\overlinef \, d\Omega = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \overline(\theta, \phi)f(\theta, \phi)\sin \theta \, d\theta \, d\phi.

로렌츠 군의 작용은에 제한되며 다음과 같이 표현된다.

:(\Pi(R)f)(\theta(x), \phi(x)) = \sum_{\ell = 1}^\infty\sum_{m = -\ell}^{m = \ell}\sum_{m' = -\ell}^{m' = \ell} D^{(\ell)}_{mm'} (R) f_{\ell m'}Y^\ell_m \left(\theta\left(R^{-1}x\right), \phi\left(R^{-1}x\right)\right), \qquad R \in \operatorname{SO}(3), \quad x \in \mathbf{S}^2.

이 작용은 유니터리이며, 다음을 의미한다.

:\langle \Pi(R)f,\Pi(R)g\rangle = \langle f,g \rangle \qquad \forall f,g \in \mathbf{S}^2, \quad \forall R \in \operatorname{SO}(3).

은 클레브쉬-고르단 계수를 사용하여 위의에서 얻을 수 있지만, (3차원은 정확히이다) 홀수 차원-표현의 지수 함수로 더 쉽게 직접적으로 표현된다.[24][25] 이 경우, 공간은 다음과 같이 기약 홀수 유한 차원 표현의 무한 직접 합으로 분해된다.[26]

:L^2\left(\mathbf{S}^2\right) = \sum_{i = 0}^\infty V_{2i + 1} \equiv \bigoplus_{i=0}^\infty \operatorname{span}\left\{Y_m^{2i+1}\right\}.

이것은의 무한 차원 유니터리 표현의 특징이다. 가 분리 가능[27] 힐베르트 공간에 대한 무한 차원 유니터리 표현이면 유한 차원 유니터리 표현의 직접 합으로 분해된다.[23] 따라서 그러한 표현은 절대로 기약적이지 않다. 모든 기약 유한 차원 표현은 적절한 내적 선택으로 유니터리하게 만들 수 있다.[23]

:\langle f, g\rangle_U \equiv \int_{\operatorname{SO}(3)} \langle\Pi(R)f, \Pi(R)g\rangle \, dg = \frac{1}{8\pi^2} \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \langle \Pi(R)f, \Pi(R)g\rangle \sin \theta \, d\phi \, d\theta \, d\psi, \quad f,g \in V,

여기서 적분은로 정규화된에 대한 고유 불변 적분이며, 여기서는 오일러 각 매개변수를 사용하여 표현된다. 적분 내부의 내적은에 대한 임의의 내적이다.

4. 회전의 표현 방법

회전은 벡터 간의 각도를 보존하는 성질을 가진다. 이는 내적이 길이만으로 표현될 수 있다는 사실에서 비롯된다. 3차원 공간에서 길이를 보존하는 모든 선형 변환은 내적을 보존하며, 결과적으로 벡터 간의 각도도 보존한다. 회전은 내적을 보존하는 선형 변환으로 정의할 수 있으며, 이는 길이를 보존하는 것과 같다.

모든 회전은 정규 직교 기저를 다른 정규 직교 기저로 사상하며, 행렬로 표현할 수 있다. 회전 행렬 R은 다음 조건을 만족하는 직교 행렬이다.

:R^\mathsf{T}R = RR^\mathsf{T} = I,

여기서 RT는 R의 전치 행렬이고, I는 3 × 3 항등 행렬이다. 모든 3 × 3 직교 행렬의 그룹은 O(3)로 표시되며, 고유 회전과 부적절한 회전으로 구성된다.

고유 회전은 방향을 보존하며, 행렬식은 양수이다. 행렬식이 +1인 직교 행렬의 부분군은 특수 직교군 SO(3)이다. 따라서 모든 회전은 단위 행렬식을 갖는 직교 행렬로 표현할 수 있다. 회전의 합성은 행렬 곱셈에 해당하므로 회전군은 특수 직교군 SO(3)와 동형이다.

부적절한 회전은 행렬식이 -1인 직교 행렬에 해당하며, 그룹을 형성하지 않는다.

3차원 회전은 오일러 회전 정리에 따라 회전축과 회전각으로 표현할 수 있다. 양의 z축을 중심으로 각도 φ만큼 반시계 방향으로 회전하는 것은 다음과 같다.

:R_z(\phi) = \begin{bmatrix}\cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.

단위 벡터 '''n'''과 각도 φ가 주어졌을 때, '''n'''을 통과하는 축을 중심으로 반시계 방향으로 회전하는 것을 ''R''(''φ'', '''n''')으로 나타낼 수 있다.

회전은 사원수를 사용하여 표현할 수도 있다. 군 SU(2)는 사원수의 단위 노름과 동형이다.[5] 단위 사원수 q는 다음과 같이 회전 행렬 Q로 매핑된다.

: Q = \begin{bmatrix}

1 - 2 y^2 - 2 z^2 & 2 x y - 2 z w & 2 x z + 2 y w \\

2 x y + 2 z w & 1 - 2 x^2 - 2 z^2 & 2 y z - 2 x w \\

2 x z - 2 y w & 2 y z + 2 x w & 1 - 2 x^2 - 2 y^2

\end{bmatrix}.

이는 벡터 (x, y, z)를 중심으로 각도 2θ만큼의 회전이며, 여기서 cos θ = w이고, |sin θ| = ||(x, y, z)||이다. q와 -q는 모두 동일한 Q로 매핑된다.

회전을 나타내는 방법은 다음과 같다.


  • 행렬식이 1인 직교 행렬
  • 축과 회전 각도
  • 사원수 (사원수와 공간 회전 참조)
  • 기하 대수에서 로터
  • 오일러 각

5. 뫼비우스 변환과의 관계

3차원 회전군 SO(3)는 2차원 구면(\mathbb S^2) 위의 등거리 변환으로 표현될 수 있으며, 이는 리만 구(\hat{\mathbb C}) 위의 뫼비우스 변환과 대응된다. 이러한 관계는 다음과 같은 군 매장(group embedding)으로 나타낼 수 있다.

:\iota\colon\operatorname{SO}(3)\hookrightarrow\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)

여기서 \iota의 상(image)은 다음과 같은 형태의 뫼비우스 변환들이다.

:z\mapsto\frac{\alpha z+\beta}{-\bar\beta z+\bar\alpha}

이와 유사하게, 다음과 같은 군 매장도 존재한다.

:\iota'\colon\operatorname{PSU}(2)\hookrightarrow\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)

:\iota'\colon\pm\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\-\bar\beta&\bar\alpha\end{pmatrix}\mapsto\left(z\mapsto\frac{\alpha z+\beta}{-\bar\beta z+\bar\alpha}\right)

이는 \operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{SO}(3)라는 동형(isomorphism)을 정의한다.

이러한 관계는 스테레오 사영(stereographic projection)을 통해 구체적으로 이해할 수 있다. 구면의 점 P는 북극 N을 제외하고 평면 M의 점 P'과 일대일 대응이 가능하다. 이 대응을 나타내는 맵 S를 스테레오 투영이라고 한다.

평면 M의 좌표를 (\xi, \eta)라고 할 때, 스테레오 투영 S는 다음과 같이 표현된다.

:\begin{cases} S:\mathbf{S} \to M \\ P = (x,y,z) \longmapsto P'= (\xi, \eta) = \left(\frac{x}{\frac{1}{2} - z}, \frac{y}{\frac{1}{2} - z}\right) \equiv \zeta = \xi + i\eta \end{cases}

여기서 평면 M은 복소 평면 \Complex과 동일시된다.

역변환 S^{-1}은 다음과 같다.

:\begin{cases} S^{-1}:M \to \mathbf{S} \\ P'= (\xi, \eta) \longmapsto P = (x,y,z) = \left(\frac{\xi}{1 + \xi^2 + \eta^2}, \frac{\eta}{1 + \xi^2 + \eta^2}, \frac{-1 + \xi^2 + \eta^2}{2 + 2\xi^2 + 2\eta^2}\right) \end{cases}

3차원 회전 g ∈ SO(3)에 대해, 표준 작용과 스테레오 투영을 합성하여 복소 평면에서의 변환을 얻을 수 있다.

:\zeta=P' \longmapsto P \longmapsto \Pi_s(g)P = gP \longmapsto S(gP) \equiv \Pi_u(g)\zeta = \zeta'.

이 변환은 뫼비우스 변환으로 표현되며, 이는 SU(2) 행렬로 나타낼 수 있다. 예를 들어 z축에 대한 회전은 다음과 같은 복소 평면에서의 회전으로 나타난다.

:\zeta' = e^{i\phi}\zeta = \frac{e^{\frac{i\phi}{2}} \zeta + 0 }{0 \zeta + e^{-\frac{i\phi}{2}}}

x축에 대한 회전 또한 뫼비우스 변환으로 표현 가능하다.

일반적인 뫼비우스 변환은 다음과 같다.

:\zeta' = \frac{\alpha \zeta + \beta}{\gamma \zeta + \delta}, \quad \alpha\delta - \beta\gamma \ne 0.

이러한 뫼비우스 변환은 다음과 같은 행렬로 표현할 수 있다.

:\begin{pmatrix}\alpha & \beta\\ \gamma & \delta\end{pmatrix}, \qquad \alpha\delta - \beta\gamma = 1,

결론적으로, 각 뫼비우스 변환은 두 행렬 g, -g ∈ SL(2, C)에 해당한다.

오일러 각(Euler angles)을 이용하여 일반적인 회전에 대한 SU(2) 행렬 표현을 얻을 수 있다.[6]

:\Pi_u(g(\phi, \theta, \psi)) = \pm

\begin{pmatrix}

\cos\frac{\theta}{2}e^{i\frac{\phi + \psi}{2}} & i\sin\frac{\theta}{2}e^{i\frac{\phi - \psi}{2}}\\

i\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\frac{\phi - \psi}{2}} & \cos\frac{\theta}{2}e^{-i\frac{\phi + \psi}{2}}

\end{pmatrix}.[7]

이러한 관계는 p:SU(2) → SO(3)라는 전사적(surjective) 군 준동형 사상(group homomorphism)으로 나타낼 수 있으며, 이는 SO(3)의 보편 피복 공간(universal covering group)이 SU(2)임을 보여준다.

6. 리 군 및 리 대수와의 관계

리 군 SO(3)은 미분동형으로 실사영 공간 \mathbb{P}^3(\R)이다.[4] 모든 리 군에는 해당 리 대수가 연관되어 있으며, 이는 리 군과 같은 차원을 가지는 선형 공간으로, 리 괄호라고 하는 쌍선형 교대 곱셈에 대해 닫혀 있다. SO(3)의 리 대수는 \mathfrak{so}(3)로 표기되며 모든 왜대칭 행렬 행렬로 구성된다.[8] 이는 직교 행렬 조건 R^\mathsf{T}R = RR^\mathsf{T} = I을 미분하여 볼 수 있다.[9] \mathfrak{so}(3)의 두 원소의 리 괄호는 모든 행렬 군의 리 대수와 마찬가지로 행렬 교환자 [A_1, A_2] = A_1A_2 - A_2A_1로 주어지며, 이는 다시 왜대칭 행렬이다. 리 대수 괄호는 베이커-캠벨-하우스도르프 공식에 의해 정밀하게 만들어진 의미에서 리 군 곱의 본질을 포착한다.

\mathfrak{so}(3)의 원소는 회전의 "무한소 생성자"이다. 즉, 항등 원소에서 다양체 SO(3)의 접공간의 원소이다. R(\phi, \boldsymbol{n})이 단위 벡터 \boldsymbol{n}으로 지정된 축을 중심으로 각도 φ만큼 반시계 방향으로 회전하는 것을 나타내면,

:\forall \boldsymbol{u} \in \R^3: \qquad \left. \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\phi} \right|_{\phi=0} R(\phi,\boldsymbol{n}) \boldsymbol{u} = \boldsymbol{n} \times \boldsymbol{u}.

이것은 리 대수 \mathfrak{so}(3)(교환자 포함)가 리 대수 \R^3(외적 포함)와 동형임을 보여주는 데 사용될 수 있다. 이 동형 사상에서 오일러 벡터 \boldsymbol{\omega}\in\R^3\widetilde{\boldsymbol{\omega}}(\boldsymbol{u}) = \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{u}.로 정의된 선형 맵 \widetilde{\boldsymbol{\omega}}에 해당한다.

더 자세히 설명하면, 3차원 벡터 공간으로서 \mathfrak{so}(3)에 대한 적절한 기저는 다음과 같다.

:

\boldsymbol{L}_x = \begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}, \quad

\boldsymbol{L}_y = \begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}, \quad

\boldsymbol{L}_z = \begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}.



이 기저 원소의 교환 관계는 다음과 같다.

:

[\boldsymbol{L}_x, \boldsymbol{L}_y] = \boldsymbol{L}_z, \quad

[\boldsymbol{L}_z, \boldsymbol{L}_x] = \boldsymbol{L}_y, \quad

[\boldsymbol{L}_y, \boldsymbol{L}_z] = \boldsymbol{L}_x



이것은 외적 아래에서 \R^3의 세 개의 표준 단위 벡터의 관계와 일치한다.

위에서 언급했듯이, 이 리 대수의 모든 행렬은 오일러 벡터 \boldsymbol{\omega} = (x,y,z) \in \R^3,[10]

:\widehat{\boldsymbol{\omega}} =\boldsymbol{\omega}\cdot \boldsymbol{L} = x \boldsymbol{L}_x + y \boldsymbol{L}_y + z \boldsymbol{L}_z =\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix} \in \mathfrak{so}(3).

로 식별될 수 있다.

이 식별은 때때로 '''햇-맵'''이라고 불린다.[11] 이 식별 하에서 \mathfrak{so}(3) 괄호는 \R^3에서 외적에 해당한다.

:\left [\widehat{\boldsymbol{u}},\widehat{\boldsymbol{v}} \right ] = \widehat{\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}}.

벡터 \boldsymbol{u}로 식별된 행렬은

:\widehat{\boldsymbol{u}}\boldsymbol{v} = \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v},

와 같은 속성을 가집니다. 여기서 왼쪽은 일반적인 행렬 곱셈이다. 이것은 \boldsymbol{u}\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}.이기 때문에 식별된 왜대칭 행렬의 영공간에 있음을 의미한다.

SO(3)의 행렬 지수 급수를 사용하여 정의되는 SO(3)에 대한 지수 맵은 다음과 같다.

:\begin{cases}

\exp : \mathfrak{so}(3) \to \operatorname{SO}(3) \\

A \mapsto e^A = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} A^k

= I + A + \tfrac{1}{2} A^2 + \cdots.

\end{cases}

왜대칭 행렬 A \in \mathfrak{so}(3)에 대해, e^A는 항상 SO(3)에 있다.

지수 맵은 \mathfrak{so}(3)의 원점 근방과 SO(3)의 항등원 근방 사이의 미분 동형 사상을 제공한다.[16]

지수 맵은 전사이다. 이는 모든 회전이 축을 고정하고 (오일러의 회전 정리) 다음과 같은 형태의 블록 대각 행렬로 켤레 변환될 수 있기 때문이다.

:D = \begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = e^{\theta L_z},

이때 A = BDB^{-1}, 그리고

:Be^{\theta L_z}B^{-1} = e^{B\theta L_zB^{-1}},

\mathfrak{so}(3)가 SO(3)의 수반 작용에 닫혀 있다는 사실과 함께, 이는 B\theta L_zB^{-1} \in \mathfrak{so}(3)임을 의미한다.

주어진 R \in \operatorname{SO}(3)에 대해, A = \tfrac{1}{2} \left(R - R^\mathrm{T}\right)를 반대칭 부분이라 하고, \|A\| = \sqrt{-\frac{1}{2}\operatorname{Tr}\left(A^2\right)}라고 하자. 그러면 R의 로그는 다음과 같이 주어진다.[11]

:\log R = \frac{\sin^{-1}\|A\|}{\|A\|}A.

7. 베이커-캠벨-하우스도르프 공식 (BCH)

리 군리 대수에 X와 Y가 주어졌을 때, 이들의 지수, exp(X)와 exp(Y)는 회전 행렬이며 서로 곱할 수 있다. 지수 사상은 전사이므로 리 대수의 어떤 Z에 대해 exp(Z) = exp(X)exp(Y)가 성립하며, 이를 Z = C(X, Y) 와 같이 쓸 수 있다.[18]

C(X, Y)는 X와 Y에 대한 표현식이다. 만약 X와 Y가 교환 가능하다면, Z = X + Y가 된다. 일반적인 경우, BCH 공식에 의해 더 정교한 식이 주어지는데, 이는 중첩된 리 괄호의 급수 전개이다.[19] 행렬의 경우 리 괄호는 곱셈의 교환 불가능성을 나타내는 교환자와 동일하다. 일반적인 BCH 공식은 다음과 같다.

:Z = C(X, Y) = X + Y + \frac{1}{2} [X, Y] + \tfrac{1}{12} [X, [X, Y]] - \frac{1}{12} [Y, [X, Y]] + \cdots.

SO(3)에 대한 BCH 공식의 무한 전개는 다음과 같은 간결한 형태로 축소된다.

:Z = \alpha X + \beta Y + \gamma[X, Y],

여기서 α, β, γ는 적절한 삼각 함수 계수이다.

이 복합 회전 생성기를 다음과 같이 쓰는 것이 일반적이다.

:\alpha X + \beta Y + \gamma[X, Y]\underset{\mathfrak{so}(3)}{=} X + Y + \frac{1}{2} [X, Y] + \frac{1}{12} [X, [X, Y]] - \frac{1}{12} [Y, [X, Y]] + \cdots,

이는 이 식이 ''리 대수 항등식''임을 강조한다.

위의 항등식은 𝖘𝖔(3)의 모든 충실한 표현에 대해 성립한다. 𝖘𝖔(3)는 단순하므로 비자명한 아이디얼이 없으며, 따라서 모든 비자명한 표현은 충실하다. 특히 이중항 또는 스피너 표현에서 성립한다. 동일한 명시적 공식은 SU(2)에 대한 2×2 유도를 통해 더 간단하게 유도할 수 있다.

일반 n × n의 경우, Ref.[20]를 사용할 수 있다.

두 회전 RB와 RA의 합성을 쿼터니언으로 표현하면 합성 회전 RC = RBRA의 회전축과 각도를 직접 얻을 수 있다.

공간 회전 R과 관련된 쿼터니언을 회전축 '''S'''와 이 축의 회전 각도 ''φ''로부터 구성하면, 관련 쿼터니언은 다음과 같다.

:S = \cos\frac{\phi}{2} + \sin\frac{\phi}{2} \mathbf{S}.

그러면 회전 RB와 RA의 합성은 쿼터니언의 곱으로 정의된 회전축과 각도를 가진 회전 RC = RBRA이다.

:A = \cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}\mathbf{A}\quad\text{ and }\quad B = \cos\frac{\beta}{2} + \sin\frac{\beta}{2}\mathbf{B},

즉,

:

C = \cos\frac{\gamma}{2} + \sin\frac{\gamma}{2}\mathbf{C} =

\left(\cos\frac{\beta}{2} + \sin\frac{\beta}{2}\mathbf{B}\right)\left(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}\mathbf{A}\right).

이 곱을 전개하여 다음을 얻는다.

:

\cos\frac{\gamma}{2} + \sin\frac{\gamma}{2} \mathbf{C} =

\left(

\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2} -

\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\alpha}{2} \mathbf{B}\cdot \mathbf{A}

\right) + \left(

\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2} \mathbf{B} +

\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2} \mathbf{A} +

\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\alpha}{2} \mathbf{B} \times \mathbf{A}

\right).



이 방정식의 양변을 구면 코사인 법칙인 항등식으로 나누어

:\cos\frac{\gamma}{2} = \cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\alpha}{2} \mathbf{B}\cdot \mathbf{A},

를 계산하면,

:\tan\frac{\gamma}{2} \mathbf{C} = \frac{\tan\frac{\beta}{2}\mathbf{B} + \tan\frac{\alpha}{2} \mathbf{A} + \tan\frac{\beta}{2}\tan\frac{\alpha}{2} \mathbf{B} \times \mathbf{A}}{1 - \tan\frac{\beta}{2}\tan\frac{\alpha}{2} \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}}.

이다. 이는 두 회전의 축을 기준으로 정의된 합성 회전의 축에 대한 로드리게스 공식이다. 그는 1840년에 이 공식을 유도했다(408페이지 참조).[21]

세 개의 회전축 '''A''', '''B''', '''C'''는 구면 삼각형을 형성하고 이 삼각형의 변으로 형성된 평면 사이의 이면각은 회전 각도로 정의된다.

참조

[1] 서적 p. 34, Ex. 14 2009
[2] 문서
[3] 서적 Regular polytopes 1973
[4] 논문 Proposition 1.17 2015
[5] 논문 2002
[6] 문서
[7] 문서
[8] 논문 Proposition 3.24 2015
[9] 문서
[10] 논문 2002
[11] 논문 2001
[12] 문서
[13] 논문 Example 3.27 2015
[14] 논문 theorem 3, section 2.2 2002
[15] 논문 Section 1.1 2002
[16] 논문 Theorem 2.27 2003
[17] 간행물 III.6 - Uniform Random Rotations https://www.scienced[...] Morgan Kaufmann 1992-01-01
[18] 논문 2003
[19] 문서
[20] 논문 Group elements of SU(2) are expressed in closed form as finite polynomials of the Lie algebra generators, for all definite spin representations of the rotation group. 2014
[21] 간행물 Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et la variation des coordonnées provenant de ses déplacements con- sidérés indépendamment des causes qui peuvent les produire, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées de Liouville 5, 380–440. 1840
[22] 문서
[23] 논문 1963
[24] 문서
[25] 논문 A formula for {{math|''D''(''ℓ'')}} valid for all ''ℓ'' is given. 2014
[26] 논문 Section 4.3.5 2003
[27] 문서



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