맨위로가기

심플렉틱 군

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

심플렉틱 군은 체 K 위에서 정의되는 $2n \times 2n$ 행렬들의 곱셈군으로, 특정 반대칭 쌍선형 형식을 보존하며, 심플렉틱 행렬이라고 불린다. 심플렉틱 군은 비퇴화 반대칭 쌍선형 형식을 보존하는 2n 차원 벡터 공간의 선형 변환들의 집합으로 정의될 수 있으며, Sp(2n, F) = {M ∈ M2n × 2n(F) : M^T Ω M = Ω}로 표현된다. 모든 심플렉틱 행렬은 행렬식이 1이므로, 특수 선형군의 부분군이며, 체 F가 실수 또는 복소수 체일 경우, Sp(2n, F)는 실수 또는 복소수 리 군이다. 유니터리 심플렉틱 군 USp(2n)은 유니터리이면서 복소수 심플렉틱 행렬인 리 군으로, 사원수의 유니터리 군과 동형이다. 심플렉틱 군은 고전 역학에서 정준 좌표의 대칭으로, 양자 역학에서 정준 교환 관계를 표현하는 데 사용되며, 닐스 헨리크 아벨이 최초로 연구했고, 헤르만 바일이 명칭을 도입했다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 심플렉틱 기하학 - 푸아송 다양체
    푸아송 다양체는 매끄러운 다양체에 푸아송 괄호를 갖춘 구조로, 해밀턴 계의 일반화이며, 텐서장, 리 준대수 등으로 정의되고 물리학, 비가환 기하학 등과 연관된다.
  • 심플렉틱 기하학 - 푸아송 괄호
    푸아송 괄호는 해밀턴 역학에서 일반화 좌표와 운동량으로 표현되는 두 함수 간의 관계를 나타내는 연산으로, 운동 방정식의 표현을 간결하게 하고 운동 상수 분석에 유용하며 반대칭성, 야코비 항등식 등의 특징을 가진다.
  • 리 군 - 리 대수
    리 대수는 가환환 위의 가군과 리 괄호 연산으로 구성되며 쌍선형성, 교대성, 야코비 항등식을 만족하고, 리 군 연구와 분류, 표현 이론에 중요한 역할을 한다.
  • 리 군 - 보렐-베유-보트 정리
    보렐-베유-보트 정리는 복소수 반단순 리 군의 표현론에서 층 코호몰로지를 사용하여 리 군의 기약 표현을 설명하며, 보렐-베유 정리와 보트의 일반화를 포함한다.
심플렉틱 군
개요
종류고전군
위상위상군
분야수학, 물리학
정의
기호Sp(2n, F)
설명체 F 위의 2n차원 벡터 공간에서 심플렉틱 형식을 보존하는 선형 변환으로 이루어진 군
다른 표기법Sp(n)
예시
Sp(2, F)SL(2, F) (특성 2가 아닌 경우)
Sp(2, C)SL(2, C)
성질
리 군 순위n
유니타리 형식Sp(n) ⊂ U(2n)
복소 리 군Sp(2n, C)

2. 정의

심플렉틱 군은 주어진 체 위에서 정의되는 행렬의 군으로, 심플렉틱 벡터 공간의 구조를 보존하는 선형 변환들의 집합이다.

심플렉틱 군은 체 위의 차원 벡터 공간의 선형 변환들의 집합으로 정의되며, 비퇴화 반대칭 쌍선형 형식을 보존한다. 이러한 벡터 공간을 심플렉틱 벡터 공간이라고 부르며, 추상적인 심플렉틱 벡터 공간 의 심플렉틱 군은 로 표기한다.

에 대한 기저를 고정하면 심플렉틱 군은 를 원소로 갖는 심플렉틱 행렬들의 군이 되며, 행렬 곱셈 연산을 따른다. 이 군은 또는 로 표기한다. 쌍선형 형식이 비특이 반대칭 행렬 Ω로 표현될 때,

:\operatorname{Sp}(2n, F) = \{M \in M_{2n \times 2n}(F) : M^\mathrm{T} \Omega M = \Omega\},

여기서 ''M''T는 ''M''의 전치 행렬이다. 종종 Ω는 다음과 같이 정의된다.

:\Omega = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{pmatrix},

여기서 ''In''는 항등 행렬이다.

모든 심플렉틱 행렬은 행렬식이 이므로, 심플렉틱 군은 특수 선형군 의 부분군이다. 일 때, 행렬에 대한 심플렉틱 조건은 행렬식이 1일 때 유일하게 만족되므로, 이다. 의 경우, 는 의 진부분군이다.

일반적으로, 체 는 실수 또는 복소수 체이다. 이러한 경우, 는 각각 실수 또는 복소수 차원 을 갖는 실수 또는 복소수 리 군이다. 이러한 군은 연결되어 있지만 비콤팩트하다.

의 중심은 체의 표수가 가 아닌 경우 행렬 와 로 구성된다.[1] 의 중심이 이산적이고 중심에 대한 몫이 단순군이므로, 는 단순 리 군으로 간주된다.

심플렉틱 기하학은 심플렉틱 다양체에 대한 연구이다. 심플렉틱 다양체의 임의의 점에서의 접공간은 심플렉틱 벡터 공간이다.[10] 심플렉틱 벡터 공간의 구조를 보존하는 변환은 군을 형성하며, 이 군은 공간의 차원과 정의된 체에 따라 이다. 심플렉틱 벡터 공간 자체는 심플렉틱 다양체이다. 따라서 심플렉틱 군의 작용 하에서의 변환은 어떤 의미에서 심플렉틱 다양체에서의 더 일반적인 구조 보존 변환인 심플렉틱 동형사상의 선형화된 버전이다.

체 ''F'' 위의 2''n''차 심플렉틱 군 Sp(2''n'', ''F'')은 ''F''의 원소를 갖는 ''2n'' × ''2n'' 심플렉틱 행렬 전체의 집합이며, 행렬의 곱셈을 군 연산으로 갖는다. 모든 심플렉틱 행렬의 행렬식은 1이므로, 심플렉틱 군은 특수 선형군 SL(2''n'', ''F'')의 부분군이다.

심플렉틱 군은 ''F'' 위의 2''n'' 차원 벡터 공간의 선형 변환 중 비퇴화 반대칭 쌍선형 형식을 보존하는 것 전체의 집합으로 정의할 수 있다. 이러한 벡터 공간은 심플렉틱 벡터 공간이라고 불린다. 추상 심플렉틱 벡터 공간 ''V''의 심플렉틱 군은 Sp(''V'')로도 쓴다.

''n'' = 1일 때, 행렬의 심플렉틱 조건은 행렬식이 1인 것과 동치이며, 따라서 Sp(2, ''F'') = SL(2, ''F'')이다. ''n'' > 1일 때에는 추가적인 조건이 필요하다.

전형적으로, ''F''는 실수체 '''R''' 또는 복소수체 '''C'''이다. 이 경우, Sp(2''n'', ''F'')는 실수 또는 복소수 차원 ''n''(2''n'' + 1)의 실수 또는 복소수 리 군이다. 이들 군은 연결되어 있지만 콤팩트하지 않다. Sp(2''n'', '''C''')는 단일 연결이지만, Sp(2''n'', '''R''')는 '''Z'''에 동형인 기본군을 갖는다.

2. 1. 심플렉틱 군 Sp(2''n''; ''K'')

체 ''K'' 위에서 정의되는 심플렉틱 군 Sp(2''n''; ''K'')는 특정한 반대칭 쌍선형 형식을 보존하는 2''n'' × 2''n'' 행렬들의 곱셈군이다. 이들은 심플렉틱 행렬이라고 불린다.[1] 즉, 다음을 만족한다.

:\operatorname{Sp}(2n;K)=\{M\in\operatorname{GL}(2n;K)|M^\top\Omega M=\Omega\}.

여기서 \Omega는 다음과 같이 정의되는 2n\times2n 행렬이다.

:\Omega=\begin{pmatrix}0&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0\end{pmatrix}\in\operatorname{GL}(2n;K)

1_{n\times n}은 n\times n 단위 행렬이다.

심플렉틱 군은 체 위의 차원 벡터 공간의 선형 변환들의 집합으로 정의될 수도 있으며, 이는 비퇴화 반대칭 쌍선형 형식을 보존한다. 이러한 벡터 공간을 심플렉틱 벡터 공간이라고 한다.

n=1일 때, 행렬의 심플렉틱 조건은 행렬식이 1인 것과 동치이므로, \operatorname{Sp}(2,F) = \operatorname{SL}(2,F)이다. n>1의 경우, \operatorname{Sp}(2n,F)는 \operatorname{SL}(2n,F)의 진부분군이다.

일반적으로 체 F는 실수 \mathbb{R} 또는 복소수 \mathbb{C} 체이다. 이 경우, \operatorname{Sp}(2n,F)는 실수 또는 복소수 차원 n(2n+1)을 갖는 실수 또는 복소수 리 군이다.

2. 2. 유니터리 심플렉틱 군 USp(2''n'')

'''유니터리 심플렉틱 군'''(\operatorname{USp}(2n))은 2n\times2n 유니터리이면서 동시에 심플렉틱 복소수 행렬인 리 군이다.[11] 즉, 다음과 같이 정의된다.

:\operatorname{USp}(2n)=\operatorname U(2n)\cap\operatorname{Sp}(2n,\mathbb C)

간혹 \operatorname{USp}(2n)을 \operatorname{Sp}(n)으로 쓰기도 하지만, 이는 \operatorname{Sp}(n, \mathbb F)와는 다른 군이다.

유니터리 심플렉틱 군 \operatorname{USp}(2n)은 사원수의 유니터리 군과 동형이다.[12]

:\operatorname{USp}(2n)\cong\operatorname U(n;\mathbb H)=\{M\in\operatorname{GL}(n;\mathbb H)\colon M^{-1}=M^\dagger\}

\operatorname{USp}(2n)은 \operatorname{Sp}(2n;\mathbf C)와 2n\times 2n 유니터리 군의 교집합으로도 정의된다.

:\operatorname{Sp}(n):=\operatorname{Sp}(2n;\mathbf C)\cap\operatorname{U}(2n)=\operatorname {Sp}(2n;\mathbf C)\cap\operatorname {SU} (2n).

때때로 \operatorname{USp}(2n)으로 표기하기도 한다.

\operatorname{Sp}(n)은 \operatorname{GL}(n, \mathbb H) (가역 사원수 행렬)의 부분군으로서, \mathbb H^n에 대한 표준 에르미트 형식을 보존하는 군으로 설명할 수 있다.

:\langle x, y\rangle = \bar x_1 y_1 + \cdots + \bar x_n y_n.

즉, \operatorname{Sp}(n)은 단순히 사원수 유니터리 군 \operatorname U(n, \mathbb H)이다.[12] 실제로, 때때로 '''초유니타리 군'''이라고도 불린다.

또한 \operatorname{Sp}(1)은 노름이 1인 사원수의 군이며, 이는 SU(2)와 동등하며 위상적으로 -구 S^3이다.

\operatorname{Sp}(n)은 \mathbb H^n에 대한 비퇴화 왜대칭 \mathbb H-쌍선형 형식을 보존하지 않는다. (영 형식을 제외하고 그러한 형식은 없다)

\operatorname{Sp}(n)은 (실수) 차원이 n(2n + 1)인 실수 리 군이다. 이는 콤팩트이며 단일 연결이다.[13]

\operatorname{Sp}(n)의 리 대수는 사원수 왜에르미트 행렬로 주어지며, 이는 다음을 만족하는 n-by-n 사원수 행렬의 집합이다.

:A+A^{\dagger} = 0

여기서 A^{\dagger}는 A의 켤레 전치 행렬이다 (여기서는 사원수 켤레를 취한다). 리 브래킷은 교환자로 주어진다.

2. 3. 리 대수

\operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)에 대응하는 리 대수 \mathfrak{sp}(2n;\mathbb R)는 '''해밀턴 행렬'''(Hamiltonian matrix영어), 즉 \Omega M이 대칭 행렬인 행렬 M들로 구성된다.[2]

:\mathfrak{sp}(2n;\mathbb R)=\{M\in\mathfrak{gl}(2n;\mathbb R)\colon \Omega M=(\Omega M)^\top\}

복소수체의 경우에도 마찬가지이다.

:\mathfrak{sp}(2n;\mathbb C)=\{M\in\mathfrak{gl}(2n;\mathbb C)\colon \Omega M=(\Omega M)^\top\}

유니터리 심플렉틱 군의 리 대수 \mathfrak{usp}(2n)는 n\times n 사원수 반에르미트 행렬로 구성된다. 또한, 이는 2n\times2n 복소수 에르미트 행렬이자 2n\times2n 해밀턴 행렬인 것들로 구성할 수도 있다.

:\mathfrak{usp}(2n)=\{M\in\mathfrak{gl}(n;\mathbb H)\colon M=-M^\dagger\}\cong\mathfrak{sp}(2n;\mathbb C)\cap\mathfrak{u}(2n)

심플렉틱 리 대수의 원소는 해밀턴 행렬이다.

심플렉틱 군 비교표
리 군리 대수
Sp(2n, R)\mathfrak{sp}(2n,R) = \{X \in M_{2n \times 2n}(F) : \Omega X + X^\mathrm{T} \Omega = 0\}
Sp(2n, C)\mathfrak{sp}(2n,F) = \{X \in M_{2n \times 2n}(F) : \Omega X + X^\mathrm{T} \Omega = 0\}
Sp(n)A + A^\dagger = 0을 만족하는 n×n 사원수 행렬의 집합. 여기서, A^\dagger는 A의 수반 행렬


3. 성질

심플렉틱 군은 체 \mathbb{F} 위의 2n 차원 벡터 공간에서 정의되며, 비퇴화 반대칭 쌍선형 형식을 보존하는 선형 변환들의 집합이다. 이러한 벡터 공간을 심플렉틱 벡터 공간이라고 하며, 추상적인 심플렉틱 벡터 공간 V의 심플렉틱 군은 \operatorname{Sp}(V)로 표기한다. V에 대한 기저를 고정하면, 심플렉틱 군은 \mathbb{F}를 원소로 갖는 2n \times 2n 심플렉틱 행렬들의 군이 되며, 행렬 곱셈 연산을 따른다. 이 군은 \operatorname{Sp}(2n, \mathbb{F}) 또는 \operatorname{Sp}(n, \mathbb{F})로 표기한다.

쌍선형 형식이 비특이 반대칭 행렬 \Omega로 표현될 때, 심플렉틱 군은 다음과 같이 정의된다.

:\operatorname{Sp}(2n, F) = \{M \in M_{2n \times 2n}(F) : M^\mathrm{T} \Omega M = \Omega\},

여기서 M^\mathrm{T}는 M의 전치 행렬이다. 종종 \Omega는 다음과 같이 정의된다.

:\Omega = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{pmatrix},

여기서 I_n는 항등 행렬이다. 이 경우, \operatorname{Sp}(2n, \mathbb{F})는 (\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D \end{smallmatrix}) 형태의 블록 행렬로 표현될 수 있으며, 여기서 A, B, C, D \in M_{n \times n}(F)이고, 다음 세 가지 방정식을 만족한다.

:\begin{align}


  • C^\mathrm{T}A + A^\mathrm{T}C &= 0, \\
  • C^\mathrm{T}B + A^\mathrm{T}D &= I_n, \\
  • D^\mathrm{T}B + B^\mathrm{T}D &= 0.

\end{align}

모든 심플렉틱 행렬은 행렬식이 1이므로, 심플렉틱 군은 특수 선형군 \operatorname{SL}(2n, \mathbb{F})의 부분군이다. n = 1일 때, 행렬에 대한 심플렉틱 조건은 행렬식이 1일 때 유일하게 만족되므로, \operatorname{Sp}(2, \mathbb{F}) = \operatorname{SL}(2, \mathbb{F})이다. n > 1의 경우, 추가적인 조건이 있으며, 즉, \operatorname{Sp}(2n, \mathbb{F})는 \operatorname{SL}(2n, \mathbb{F})의 진부분군이다.

일반적으로 체 \mathbb{F}는 실수 \mathbb{R} 또는 복소수 \mathbb{C} 체이다. 이러한 경우, \operatorname{Sp}(2n, \mathbb{F})는 각각 실수 또는 복소수 차원 n(2n + 1)을 갖는 실수 또는 복소수 리 군이다. 이러한 군은 연결되어 있지만 비콤팩트하다.

\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{F})의 중심은 체의 표수가 2가 아닌 경우 행렬 I_{2n}와 -I_{2n}로 구성된다.[1] \operatorname{Sp}(2n, \mathbb{F})의 중심이 이산적이고 중심에 대한 몫군이 단순군이므로, \operatorname{Sp}(2n, \mathbb{F})는 단순 리 군으로 간주된다.

대응하는 리 대수, 따라서 리 군 \operatorname{Sp}(2n, \mathbb{F})의 실수 랭크는 n이다.

\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{F})의 리 대수는 다음과 같은 집합이다.

:\mathfrak{sp}(2n,F) = \{X \in M_{2n \times 2n}(F) : \Omega X + X^\mathrm{T} \Omega = 0\},

이를 교환자를 리 괄호로 갖는다.[2] 표준 반대칭 쌍선형 형식 \Omega = (\begin{smallmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{smallmatrix})에 대해, 이 리 대수는 다음 조건을 만족하는 모든 블록 행렬 (\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D \end{smallmatrix})의 집합이다.

:\begin{align}

A &= -D^\mathrm{T}, \\

B &= B^\mathrm{T}, \\

C &= C^\mathrm{T}.

\end{align}

\operatorname{Sp}(2n,\mathbf{R})은 생성자를 사용하여 상당히 명확하게 기술될 수 있다. \operatorname{Sym}(n)을 대칭 n\times n 행렬이라고 하면, \operatorname{Sp}(2n,\mathbf{R})은 D(n)\cup N(n) \cup \{\Omega\}에 의해 생성되며, 여기서

:\begin{align}

D(n) &= \left\{ \left. \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & (A^T)^{-1} \end{bmatrix} \,\right| \, A \in \operatorname{GL}(n, \mathbf{R})

\right\} \\[6pt]

N(n) &= \left\{ \left. \begin{bmatrix} I_n & B \\ 0 & I_n \end{bmatrix} \, \right| \, B \in \operatorname{Sym}(n)\right\}

\end{align}

는 \operatorname{Sp}(2n,\mathbf{R})의 부분군이다[8]173쪽[9]2쪽.

심플렉틱 군 Sp(''n'')은 GL(n, '''H''') (가역 사원수 행렬 전체)의 부분군으로, '''H'''''n'' 상의 표준 에르미트 형식

:\langle x, y\rangle = \bar x_1 y_1 + \cdots + \bar x_n y_n

을 보존하는 것이다. 즉, Sp(''n'')은 단순한 사원수 유니터리 군 U(''n'', '''H''')이다. 실제로, 때로는 '''초 유니터리 군'''(hyperunitary group)이라고 불리기도 한다. 또한 Sp(1)은 단위 길이를 갖는 사원수 전체의 집합, 즉 3차원 초구 S3이다. Sp(''n'')은 앞 절의 의미에서 심플렉틱 군이 아닌 것에 주의해야 한다. 왜냐하면 '''H'''''n'' 상의 반대칭 형식을 보존하지 않기 때문이다(실제로 이러한 형식은 존재하지 않는다).

Sp(''n'')은 ''n''(2''n'' + 1)차원의 실수 리 군이다. 이는 콤팩트, 연결이며 단일 연결이다. Sp(''n'')의 리 대수는

:''A'' + ''A''† = 0

을 만족하는 ''n''×''n'' 사원수 행렬의 집합이다. 여기서, ''A''†는 ''A''의 수반 행렬이다(켤레는 사원수 켤레를 취한다). 리 괄호곱은 교환자에 의해 주어진다.

3. 1. 군론적 성질

\operatorname{USp}(2n)의 중심은 ±1 (단위행렬)로 구성된 Z/2와 동형이다.[10]

:\operatorname Z(\operatorname{USp}(2n))=\{\pm1_{2n\times2n}\}\cong\mathbb Z/2

표수가 2가 아닌 체 K에 대해, \operatorname{Sp}(2n;K)의 중심은 역시 ±1 (단위행렬)로 구성된 Z/2와 동형이다.[10]

:\operatorname Z(\operatorname{Sp}(2n;K))=\{\pm1_{2n\times2n}\}\cong\mathbb Z/2

K의 표수가 2인 경우, \operatorname{Sp}(2n;K)의 중심은 자명군이다.[10]

(유니터리) 심플렉틱 군의 중심에 대한 몫군은 '''사영 (유니터리) 심플렉틱 군'''(projective (unitary) symplectic group영어)이라고 한다.[10]

:\operatorname{Sp}(2n;K)/\operatorname Z(\operatorname{Sp}(2n;K))=\operatorname{PSp}(2n;K)

:\operatorname{USp}(2n)/\operatorname Z(\operatorname{USp}(2n))=\operatorname{PUSp}(2n)

유한체에 대한 심플렉틱 군의 크기는 다음과 같이 주어진다.[10]

:|\operatorname{Sp}(2n;\mathbb F_q)|=q^{n^2}\prod_{k=1}^n(q^{2k}-1)

3. 2. 리 이론적 성질

심플렉틱 군 \operatorname{Sp}(2n;\mathbb C)는 계수가 n인 단순 리 군이며, 단순 리 군의 분류에서 C_n에 해당한다. 콤팩트 실수 형태는 \operatorname{USp}(2n)이며, 분해 실수 형태는 \operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)이다.

\operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)의 최대 콤팩트 부분군은 유니터리 군 \operatorname{U}(n)이다.

\operatorname{USp}(2n)을 n\times n 사원수 유니터리 행렬들의 군으로 생각한다면, \operatorname{USp}(2n)의 극대 원환면은 다음과 같다.

:\{\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\colon\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb C\subset\mathbb H,\,|\lambda_1|=\cdots=|\lambda_n|=1\}

위 식에서는 사원수 대수 \mathbb H 속에서, 복소수체와 동형인 부분 대수를 임의로 골랐다.

\operatorname{USp}(2n)의 바일 군은 \operatorname{SO}(2n+1)의 바일 군과 같으며, 다음과 같다.

:\operatorname{Weyl}(\operatorname{USp}(2n))\cong(\mathbb Z/2)^n\rtimes\operatorname{Sym}(n)

이는 구체적으로 다음과 같이 작용한다. 각 \epsilon_i\in\{\pm1\}는 \lambda_i를

:+1\colon\lambda_i\mapsto\lambda_i

:-1\colon\lambda_i\mapsto\bar\lambda_i

와 같이 대응시키며, \sigma\in\operatorname{Sym}(n)은 극대 원환면의 기저에 대하여 순열로 작용한다.

3. 3. 위상수학적 성질

복소수 심플렉틱 군 \operatorname{Sp}(2n;\mathbb C)는 n(2n+1) 복소수 차원의 연결 단일 연결 리 군이며, 콤팩트하지 않다.[3] 실수 심플렉틱 군 \operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)은 n(2n+1) (실수) 차원의 연결 리 군이며, 콤팩트하지 않다.[3] 그 기본군은 정수군과 동형이다.[3] 유니터리 심플렉틱 군 \operatorname{USp}(2n)은 n(2n + 1) (실수) 차원의 콤팩트 연결 단일 연결 리 군이다.[13]

3. 4. 포함 관계

유니터리 심플렉틱 군은 다음과 같은 포함 관계를 갖는다.

  • \operatorname{SU}(2n)\supset\operatorname{USp}(2n) \supset \operatorname{SU}(n)
  • F_4 \supset \operatorname{USp}(8)
  • G_2 \supset \operatorname{USp}(2)


낮은 차수의 유니터리 심플렉틱 군에서는 다음과 같은 예외적 동형(exceptional isomorphism영어)이 나타난다.

  • \operatorname{USp}(2)\cong\operatorname{Spin}(3)\cong\operatorname{SU}(2)
  • \operatorname{PUSp}(2)\cong\operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{SO}(3)
  • \operatorname{USp}(4)\cong\operatorname{Spin}(5)
  • \operatorname{PUSp}(4)\cong\operatorname{SO}(5)


모든 체 K에 대하여, \operatorname{Sp}(2;K)=\operatorname{SL}(2;K)가 성립한다.

유한체에 대한 심플렉틱 군의 경우 다음과 같은 동형이 존재한다.

  • \operatorname{Sp}(2;\mathbb F_2)\cong\operatorname{Sym}(3)
  • \operatorname{Sp}(4;\mathbb F_2)\cong\operatorname{Sym}(6)
  • \operatorname{PSp}(2;\mathbb F_3)\cong\operatorname{Alt}(4)


여기서 \operatorname{Sym}(n) 및 \operatorname{Alt}(n)은 각각 대칭군과 교대군을 뜻한다.

4. 심플렉틱 군 간의 관계

Sp(2n, ℝ), Sp(2n, ℂ), Sp(n) 사이의 관계는 그들의 리 대수에서 가장 명확하게 나타난다. 이들은 실수 리 군으로 간주했을 때 동일한 복소화를 갖는다. 카르탕의 단순 리 대수 분류에서 이 리 대수는 Cn으로 표기한다.

복소 리 대수 Cn은 복소 리 군 Sp(2n, ℂ)의 리 대수 𝔖𝔭(2n, ℂ) 자체이다. 이 리 대수는 두 가지 실수 형식을 갖는다.


  • 콤팩트 형식 𝔖𝔭(n): Sp(n)의 리 대수이다.
  • 정규 형식 𝔖𝔭(2n, ℝ): Sp(2n, ℝ)의 리 대수이다.


다음은 심플렉틱 군들을 비교한 표이다.

심플렉틱 군 비교표
행렬리 군실수 차원복소 차원콤팩트기본군 π1
Sp(2n, ℝ)ℝ실수n(2n + 1)-×ℤ
Sp(2n, ℂ)ℂ복소2n(2n + 1)n(2n + 1)×1
Sp(n)ℍ실수n(2n + 1)-○1


5. 물리학적 응용

비콤팩트 심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{R})$은 고전 역학에서 푸아송 괄호를 보존하는 정준 좌표의 대칭으로 나타나며,[14][17] 이는 해밀턴 역학의 형태를 보존하는 정준 변환과 관련된다.

위상 공간에서 주어진 시간에 해밀턴 역학에 따라 진화하는 $n$개의 입자계를 생각해 보자. 이때 위치는 정준 좌표의 벡터로 표시된다.

:$\mathbf{z} = (q^1, \ldots, q^n, p_1, \ldots, p_n)^\mathrm{T}.$

$\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{R})$ 군의 원소는 이 벡터에 대한 정준 변환으로 볼 수 있다.[14][17]

리만 다양체의 특수한 경우, 해밀턴 방정식은 해당 다양체의 측지선을 설명한다. 좌표 $q^i$는 기본 다양체에 존재하고, 운동량 $p_i$는 공변접다발에 존재한다. 해당 해밀토니안은 순전히 운동 에너지로 구성된다. 즉, $H = \frac{1}{2} g^{ij}(q) p_i p_j$이고 여기서 $g^{ij}$는 리만 다양체의 계량 텐서 $g_{ij}$의 역이다.[16][17]

양자 역학에서 위치 및 운동량 연산자의 진화는 하이젠베르크 방정식을 따르며, 정준 교환 관계는 심플렉틱 군을 통해 표현될 수 있다. 정준 좌표 벡터는 다음과 같다.

:$\mathbf{\hat{z}} = (\hat{q}^1, \ldots , \hat{q}^n, \hat{p}_1, \ldots , \hat{p}_n)^\mathrm{T}.$

정준 교환 관계는 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.

:$ [\mathbf{\hat{z}},\mathbf{\hat{z}}^\mathrm{T}] = i\hbar\Omega $

여기서

:$ \Omega = \begin{pmatrix} \mathbf{0} & I_n \\ -I_n & \mathbf{0}\end{pmatrix} $

이고 $I_n$은 $n\times n$ 항등 행렬이다.

많은 물리적 상황에서는 2차 해밀토니안, 즉 다음과 같은 형태의 해밀토니안이 필요하다.

:$\hat{H} = \frac{1}{2}\mathbf{\hat{z}}^\mathrm{T} K\mathbf{\hat{z}}$

여기서 $K$는 $2n\times 2n$ 실수, 대칭 행렬이다. 이 시스템의 시간 진화는 위상 공간에서 실 심플렉틱 군의 작용과 동일하다.

5. 1. 고전 역학

비콤팩트 심플렉틱 군 \operatorname{Sp}(2n, \mathbb{R})은 고전 역학에서 푸아송 괄호를 보존하는 정준 좌표의 대칭으로 나타난다.[14][17] 이는 해밀턴 역학의 형태를 보존하는 정준 변환과 관련된다.

위상 공간에서 주어진 시간에 해밀턴 역학에 따라 진화하는 n개의 입자계를 생각해 보자. 이때 위치는 정준 좌표의 벡터로 표시된다.

:\mathbf{z} = (q^1, \ldots, q^n, p_1, \ldots, p_n)^\mathrm{T}.

\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{R}) 군의 원소는 이 벡터에 대한 정준 변환으로 볼 수 있다.[14][17] 만약

:\mathbf{Z} = \mathbf{Z}(\mathbf{z}, t) = (Q^1, \ldots, Q^n, P_1, \ldots, P_n)^\mathrm{T}

가 새로운 정준 좌표라면, 점은 시간에 대한 미분을 나타내며, 다음이 성립한다.

:\dot{\mathbf{Z}} = M(\mathbf{z}, t) \dot{\mathbf{z}},

여기서

:M(\mathbf{z}, t) \in \operatorname{Sp}(2n, \mathbb{R})

는 모든 t와 위상 공간의 모든 \mathbf{z}에 대해 성립한다.[15]

리만 다양체의 특수한 경우, 해밀턴 방정식은 해당 다양체의 측지선을 설명한다. 좌표 q^i는 기본 다양체에 존재하고, 운동량 p_i는 공변접다발에 존재한다. 이것이 바로 이들이 일반적으로 위첨자와 아래첨자로 쓰이는 이유이다. 해당 해밀토니안은 순전히 운동 에너지로 구성된다. 즉, H = \frac{1}{2} g^{ij}(q) p_i p_j이고 여기서 g^{ij}는 리만 다양체의 계량 텐서 g_{ij}의 역이다.[16][17] 실제로, 어떤 매끄러운 다양체의 공변접다발도 심플렉틱 다양체의 형태로, 심플렉틱 형식은 자명한 1-형식의 외미분으로 정의될 수 있다.[18]

5. 2. 양자 역학

Quantum mechanics영어에서 위치 및 운동량 연산자의 진화는 하이젠베르크 방정식을 따르며, 정준 교환 관계는 심플렉틱 군을 통해 표현될 수 있다. 정준 좌표 벡터는 다음과 같다.

:\mathbf{\hat{z}} = (\hat{q}^1, \ldots , \hat{q}^n, \hat{p}_1, \ldots , \hat{p}_n)^\mathrm{T}.

정준 교환 관계는 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.

: [\mathbf{\hat{z}},\mathbf{\hat{z}}^\mathrm{T}] = i\hbar\Omega

여기서

: \Omega = \begin{pmatrix} \mathbf{0} & I_n \\ -I_n & \mathbf{0}\end{pmatrix}

이고 은 항등 행렬이다.

많은 물리적 상황에서는 2차 해밀토니안, 즉 다음과 같은 형태의 해밀토니안이 필요하다.

:\hat{H} = \frac{1}{2}\mathbf{\hat{z}}^\mathrm{T} K\mathbf{\hat{z}}

여기서 는 실수, 대칭 행렬이다. 이것은 유용한 제약 조건이며 하이젠베르크 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:\frac{d\mathbf{\hat{z}}}{dt} = \Omega K \mathbf{\hat{z}}

이 방정식의 해는 정준 교환 관계를 보존해야 한다. 이 시스템의 시간 진화는 위상 공간에서 실 심플렉틱 군의 작용과 동일하다.

6. 역사

닐스 헨리크 아벨이 심플렉틱 군을 도입하였다.

헤르만 바일은 1939년에 "심플렉틱 군"이라는 이름을 도입하였다.[19] 바일은 이전에 이 군을 선복합체(line complex영어)를 따서 ‘복합군’(complex group영어)으로 부를 것을 제안하였다. 그러나 ‘복소수’(complex number영어)의 ‘복소’와 혼동될 수 있어, 대응하는 그리스어 단어 ‘심플렉틱’(symplectic영어)으로 대체하였다.[19] 딕슨은 이 군을 최초로 연구한 아벨의 이름을 따 ‘아벨 선형군’이라고 불렀다.[19]

다른 저자에 따르면, 2세기 전에는 ‘심플렉틱 기하학’이라는 용어가 없었고, ‘심플렉틱’(symplectic bone영어)은 생선 머리뼈의 일종이었다. 바일은 수학 용어 ‘심플렉틱’을 고안, 라틴어 어근 complex-|콤플렉스la를 그리스어 어근으로 치환하여 심플렉틱 군을 지칭하였다. 이를 통해 복소수와의 혼동 및 아벨 군과의 혼동을 피하였다.[20]

참조

[1] 웹사이트 Symplectic group http://www.encyclope[...] 2014-12-13
[2] 논문
[3] Stack Exchange Is the symplectic group Sp(2''n'', '''R''') simple? https://math.stackex[...] 2014-12-14
[4] Stack Exchange Is the exponential map for Sp(2''n'', '''R''') surjective? https://math.stackex[...] 2014-12-05
[5] 간행물 Standard forms and entanglement engineering of multimode Gaussian states under local operations – Serafini and Adesso https://www.maths.no[...] 2015-01-30
[6] 간행물 Symplectic Geometry – Arnol'd and Givental http://www.maths.ed.[...] 2015-01-30
[7] Wolfram MathWorld Symplectic Group http://mathworld.wol[...] 2012-02-14
[8] 서적 Harmonic analysis in phase space https://www.worldcat[...] Princeton Univ Press 2016
[9] 서적 Introduction to symplectic Dirac operators http://worldcat.org/[...] Springer 2006
[10] 간행물 Lecture Notes – Lecture 2: Symplectic reduction https://empg.maths.e[...] 2015-01-30
[11] 논문
[12] 논문
[13] 논문
[14] 논문
[15] 논문
[16] 서적 Riemannian Geometry and Geometric Analysis Springer 1992
[17] 서적 Foundations of Mechanics Benjamin-Cummings 1978
[18] 서적 Lectures on Symplectic Geometry http://link.springer[...] Springer Berlin Heidelberg 2008
[19] 서적 The classical groups: their invariants and representations http://press.princet[...] Princeton University Press 1939
[20] 서적 Lectures on Symplectic Geometry http://www.math.ist.[...] Springer 2001


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com