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C-정리

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목차

1. 개요

C-정리는 2차원 양자장론에서 재규격화 흐름에 따라 감소하는 함수 c가 존재한다는 정리이다. 이 정리는 알렉산더 자몰로드치코프에 의해 증명되었으며, 2차원 등각 장론의 중심 전하와 관련이 있다. 2차원 c-정리는 고차원에서도 연구가 진행되어 a-정리(4차원)와 F-정리(3차원)와 같은 개념으로 확장되었다.

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C-정리
개요
분야양자장론
성격재규격화 불변량
주제장론의 흐름
재규격화군
끈 이론
상세 내용
설명4차원에서는 재규격화가 가능한 모든 양자장론은 흐름의 방향을 결정하는 함수가 있다.
관련 항목
관련 이론a-정리
F-정리

2. 2차원 c-정리

알렉산더 자몰로드치코프는 1986년에 2차원 양자장 이론에서 항상 c-함수가 존재함을 증명하였다.[1] 컨포멀 장 이론에 해당하는 재규격화군 흐름의 고정점에서는 자몰로드치코프의 c-함수가 해당 컨포멀 장 이론의 중심 전하와 일치하며, 이는 정리에 'c'라는 이름을 부여한다.

2. 1. c-함수의 정의

2차원 공간에서 복소 좌표 z=x+iy를 사용하면, 에너지-운동량 텐서는 대칭성에 의해 세 개의 독립된 성분을 가진다. 이를 다음과 같이 나타낸다.

:T_{zz}(z,\bar z)=T(z,\bar z)

:\bar T_{zz}(z,\bar z)=\bar T(z,\bar z)

:T_{z\bar z}(z,\bar z)=\Theta(z,\bar z)

등각 장론에서는 T_{z\bar z}(z,\bar z)=\Theta(z,\bar z)는 0이 된다.

양자장론은 일련의 결합 상수 g^i\in\mathcal G와 재규격화 에너지 눈금 \Lambda\in\mathbb R^+에 의존하는 국소 라그랑지언 밀도 \mathcal L(g,\Lambda,z,\bar z)에 의해 정의된다. 양자장론이 재규격화 가능하다는 것은 다음을 의미한다.

  • '''유동 결합 상수''' \hat g\colon\mathbb R^+\to\mathcal G가 존재하여, 모든 \alpha\in\mathbb R^+에 대하여 다음이 성립한다.

::\mathcal L(\hat g(\mu),\Lambda)=\mathcal L(\hat g(\alpha\mu),\alpha\Lambda)

  • 유동 결합 상수는 자율적 1차 상미분 방정식을 따른다. 즉, '''베타 함수''' \beta^i\in\Gamma(T\mathcal G)가 존재하여 다음을 만족한다.

::\frac{d\hat g(\mu)}{d\ln\mu}=\beta^i(\hat g(\mu))
::\Theta(g;z,\bar z)=

\frac d{d\ln\mu}\mathcal L(\hat g(g_0,\mu),\Lambda;z,\bar z)

=\beta^i\frac{\partial\mathcal L(g,\Lambda;z,\bar z)}{\partial g^i}

'''''c''-정리'''에 따르면, 모든 재규격화 가능한 2차원 양자장론에 대하여 다음과 같은 함수 c\colon\mathcal G\to[0,\infty)가 존재한다.

  • (단조성) c(\hat g(\mu))는 \mu에 대한 증가함수이다.
  • (고정점에서의 등각 대칭) 재규격화군의 고정점 (\beta^i의 영점) g_0\in\mathcal G에서, 이론은 2차원 비라소로 대수를 대칭으로 가진다. 즉, 단순한 축척 대칭뿐만 아니라 모든 2차원 등각 대칭에 대하여 불변이다.
  • (등각 중심 전하와의 일치) 재규격화군의 고정점 g_0에서, c(g_0)는 이에 대응하는 2차원 등각 장론의 비라소로 대수의 중심 전하 ''c''와 일치한다.


다음 값들을 정의한다.

:C(g)=2z^4\langle T(z_0,\bar z_0)T(0)\rangle

:H(g)=z^3\bar z\left\langle T(z_0,\bar z_0)\Theta(0,0)\right\rangle

:G(g)=z^2\bar z^2\left\langle\Theta(z_0,\bar z_0)\Theta(0,0)\right\rangle

이들은 모두 임의의 주어진 에너지 눈금 \Lambda_0=\sqrt{z_0\bar z_0}에서 정의되며, 차원이 0인 로런츠 스칼라이다.

G(g)=\beta^i(g)\beta^j(g)G_{ij}(g)라고 놓으면, G_{ij}는 양의 정부호인 대칭 행렬이다. (\mathcal G,G_{ij})는 리만 다양체를 이루며, G(g)=\beta(g)^2\ge 0이다.

''c''-함수 c\colon\mathcal G\to\mathbb R는 다음과 같다.

:c(g;\Lambda_0)=C(g;\Lambda_0)+4H(g;\Lambda_0)-6G(g;\Lambda_0)

캘런-쥐만치크 방정식에 따라 다음이 성립한다.

:\frac d{d\ln\mu}c(\hat g(\mu))=12G(g)>0

알렉산더 자몰로드치코프는 1986년에 2차원 양자장 이론은 항상 이러한 ''c''-함수를 갖는다는 것을 증명했다. 컨포멀 장 이론에 해당하는 RG 흐름의 고정점에서는 자몰로드치코프의 ''c''-함수가 해당 컨포멀 장 이론의 중심 전하와 같으며, 이는 정리에 ''c''라는 이름을 부여한다.[1]

2. 2. c-정리의 증명

알렉산더 자몰로드치코프는 1986년에 2차원 양자장 이론은 항상 이러한 ''C''-함수를 갖는다는 것을 증명하였다. 또한, 컨포멀 장 이론에 해당하는 RG 흐름의 고정점에서는 자몰로드치코프의 ''C''-함수가 해당 컨포멀 장 이론의 중심 전하와 같으며, 이는 정리에 ''C''라는 이름을 부여한다.[1]

2. 3. c-정리의 의미와 중요성

알렉산더 자몰로드치코프는 1986년에 2차원 양자장 이론에서는 항상 "C"-함수가 존재함을 증명하였다. 또한, 컨포멀 장 이론에 해당하는 RG 흐름의 고정점에서는 자몰로드치코프의 "C"-함수가 해당 컨포멀 장 이론의 중심 전하와 같으며, 이는 정리에 "C"라는 이름을 부여한다.[1]

3. 고차원 c-정리 (a-정리, F-정리)

''c''-정리는 2차원에서 증명되었으나, 고차원에서는 아직 성립하는지 알려지지 않았고, 특수한 경우에는 고차원에서의 반례도 발견되었다. 짝수 차원 시공간에서, 존 카디는 ''c''에 해당하는 값을 정의하였고,[11] 이는 ''a''라고 불리게 되었다.[12] 카디는 ''a''가 재규격화군 흐름에 따라 항상 감소한다는 가설을 세웠다. 이를 '''''a''-정리'''(''a''-theorem영어)라고 한다. 6차원의 경우는 아직 증명되지 않았다.[17]

3. 1. 4차원 a-정리

존 카디는 4차원 시공간에서 재규격화군 흐름에 따라 단조적으로 변하며, 2차원의 중심 전하와 유사한 역할을 하는 양을 a로 표기되는 특정 이상 계수로 정의하였다.[2] 이를 '''''a''-정리'''라고 한다.

섭동 이론, 즉 자유 이론에서 크게 벗어나지 않는 재규격화 흐름에 대해, 4차원의 ''a''-정리는 휴 오스본이 국소 재규격화군 방정식을 사용하여 증명하였다.[3] 그러나 섭동 이론을 넘어 유효한 증명을 찾는 문제는 수년간 열린 문제로 남아 있었다.

2011년, 바이츠만 과학 연구소의 조하르 코마르고스키와 아담 슈비머는 ''a''-정리에 대한 비섭동적 증명을 제안했고, 이는 받아들여졌다.[4][5] 하지만, 결합에서 다가 함수일 때, 이러한 흐름 함수와 동시에 단조적이고 순환적인(극한 주기) 또는 심지어 혼돈적인 RG 흐름이 특정 시스템에서 입증된 것처럼 호환된다.[6] 4차원 이론의 RG 흐름과 척도 불변성이 등각 불변성을 의미하는지 여부에 대한 문제는 활발히 연구되고 있으며, 모든 질문이 해결된 것은 아니다.

3. 2. 3차원 F-정리

2010년에는 3차원 등각 장론에 대하여 ''F''라는 값이 정의되었다.[18][19] 이는 3차원에서 ''c'' 또는 ''a''에 대응하는 값으로 추측된다.

같은 해 홀로그래피 원리를 사용하여 임의의 차원에서 ''c''-정리들이 제안되었으며,[20] 이는 3차원에서 이미 정의된 ''F''와 일치한다는 사실이 증명되었다.[21]

3. 3. 기타 차원에서의 연구

홀로그래피 원리를 사용해 임의의 차원에서 ''c''-정리들이 제안되었다.[20] 이는 3차원에서 이미 정의된 ''F''와 일치한다는 사실이 증명되었다.[21]

4. 역사

존 카디는 중심 원소 ''c''가 계의 자유도의 수를 나타내는 것을 보였다. 이후, 알렉산드르 자몰롯치코프가 1986년 〈2차원 장론의 재규격화군의 "비가역성"〉이라는 제목의 논문에서 c-정리를 증명하였다.[7][8][9][10]

4. 1. 존 카디의 업적

존 카디는 중심 원소 ''c''가 계의 자유도의 수를 나타내는 것을 보였다.[7] 1988년에 존 카디는 ''C''-정리를 고차원 양자장론으로 일반화할 가능성을 고려했다. 그는 4차원 시공간에서, 재규격화군 흐름 아래 단조적으로 변하며, 따라서 2차원의 중심 전하와 유사한 역할을 하는 양은 특정 이상 계수로 표기된다고 추측했다.[2]

4. 2. 알렉산드르 자몰롯치코프의 업적

알렉산드르 자몰롯치코프는 1986년에 2차원 양자장 이론에는 항상 ''C''-함수가 존재함을 증명하였다. 컨포멀 장 이론에 해당하는 RG 흐름의 고정점에서 자몰로드치코프의 ''C''-함수는 해당 컨포멀 장 이론의 중심 전하와 같아지며, 이 때문에 이 정리에 ''C''라는 이름이 붙었다.[1]

그는 같은 해 〈2차원 장론의 재규격화군의 "비가역성"〉이라는 논문에서 c-정리를 증명하였다.[7][8][9][10]

5. 추가 설명

알렉산더 자몰로드치코프가 1986년에 2차원 양자장 이론에서 항상 존재하는 ''C''-함수를 증명하면서 C-정리에 ''C''라는 이름이 붙여졌다. 이 함수는 재규격화군 흐름에 따라 단조롭게 변하며, 컨포멀 장 이론에 해당하는 재규격화군 흐름의 고정점에서는 해당 이론의 중심 전하와 같다.[1]

존 카디는 1988년에 ''C''-정리를 고차원으로 일반화하는 것을 연구했다. 그는 4차원 시공간에서 중심 전하와 유사한 역할을 하는 양이 a로 표기되는 특정 이상 계수임을 추측했다.[2] 이 때문에 4차원 C-정리의 유사체는 '''''A''-정리''라고 불린다.

2011년, 바이츠만 과학 연구소의 조하르 코마르고스키와 아담 슈비머는 ''A''-정리에 대한 비섭동적 증명을 제안하여 받아들여졌다.[4][5]

다음은 C-정리에 사용되는 주요 개념에 대한 설명이다.


  • '''c-함수''': 모든 재규격화 가능한 2차원 양자장론에 존재하는 함수 c\colon\mathcal G\to[0,\infty)를 의미한다. 이 함수는 재규격화군 흐름에 따라 단조 증가하며, 재규격화군의 고정점에서 해당 등각 장론의 비라소로 대수 중심 전하 ''c''와 일치한다.
  • '''재규격화군''': 양자장론에서 결합 상수와 에너지 눈금에 따라 물리 이론이 어떻게 변하는지 설명하는 방법이다.
  • '''고정점''': 재규격화군에서, 이론의 결합 상수가 에너지 눈금에 따라 변하지 않는 지점을 의미한다.
  • '''등각 장론''': 2차원 비라소로 대수를 대칭으로 가지는 이론으로, 단순한 축척 대칭뿐만 아니라 모든 2차원 등각 대칭에 대해 불변이다.

참조

[1] 논문 "Irreversibility" of the Flux of the Renormalization Group in a 2-D Field Theory http://www.jetplette[...]
[2] 논문 Is there a c-theorem in four dimensions?
[3] 논문 Derivation of a Four-Dimensional c Theorem
[4] 논문 Proof found for unifying quantum principle
[5] 논문 On renormalization group flows in four dimensions
[6] 논문 Renormalization Group Flows, Cycles, and c-Theorem Folklore
[7] 저널 http://www.jetplette[...] 2014-07-09
[8] 저널 http://www.jetplette[...] 2014-07-09
[9] 저널
[10] 저널 http://www.damtp.cam[...]
[11] 저널
[12] 문서 Renormalisation group flows in four dimensions and the ‘a’-theorem’ http://www-thphys.ph[...]
[13] 저널 https://doi.org/10.1[...]
[14] 저널
[15] 저널
[16] 저널
[17] 저널
[18] 저널
[19] 저널
[20] 저널
[21] 저널 https://archive.org/[...] 2011-02-27


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