고정점

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 고정점의 종류
- 2.2. 주기점 및 끌개와의 관계
3. 고정점 반복법
4. 고정점 정리
- 4.1. 주요 고정점 정리
5. 성질
6. 예시
7. 응용
8. 역사
9. 군 작용에서의 고정점
10. 고정점 논리
참조

1. 개요

고정점은 함수 f(x) = x를 만족하는 x를 의미하며, 주기점, 끌개, 랴푸노프 안정성을 만족하는 고정점 등 다양한 종류가 있다. 고정점은 위상 공간의 연속 함수가 고정점을 갖는 고정점 성질과 관련되며, 유인 고정점은 함수 반복을 통해 근사값을 구할 수 있고, 이를 고정점 반복법이라고 한다. 고정점 정리는 고정점의 존재를 보장하는 정리로, 바나흐, 브라우베르, 레프셰츠 고정점 정리 등이 있다. 고정점은 위상 불변 성질이며, 경제학의 내시 균형, 물리학의 상전이, 컴파일러의 프로그램 분석, 웹 페이지의 페이지랭크 등 다양한 분야에 응용된다.

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고정점
지도
정의
정의	함수에 의해 자기 자신으로 매핑되는 원소
함수	$f(x)$
고정점	$f(x) = x$ 를 만족하는 x
다른 이름	불변점, 부동점
특징
특징	고정점의 존재는 함수에 따라 다름
고정점 정리	특정 함수에 대한 고정점의 존재를 보장
여러 고정점	함수에 따라 여러 개의 고정점이 존재 가능
예시
항등 함수	모든 원소가 고정점
영 함수	0만 고정점 (0을 0으로 보냄)
이차 함수	$f(x) = x^2$ 의 고정점은 0과 1
활용
수치 해석	방정식 해법, 알고리즘 설계
경제학	균형점 분석
게임 이론	내쉬 균형
컴퓨터 과학	프로그램의 의미론, 재귀 함수
물리학	운동 방정식
관련 개념
매력적인 고정점	고정점에 가까워지는 점들의 모임
반발적인 고정점	고정점에서 멀어지는 점들의 모임
역사적 맥락
역사	초기 수학적 분석의 핵심 개념 중 하나
참고 자료
참고 자료	수학 백과사전: 고정점

2. 정의

함수 $f\colon X\to X$ 의 '''고정점'''(固定點, fixed point^영어)은 $f(x)=x$ 를 만족시키는 $x\in X$ 이다. 즉, $c$ 가 함수 $f$ 의 고정점이 되려면 $c$ 가 $f$ 의 정의역과 공역 모두에 속해야 하며, $f(c) = c$ 를 만족해야 한다.

예를 들어, $f(x) = x^2 - 3x + 4$ 로 정의되는 함수 $f$ 에서, $f(2) = 2$ 이므로 2는 $f$ 의 고정점이다.

모든 함수가 고정점을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, $f(x) = x + 1$ 은 어떤 실수 $x$ 에 대해서도 $x + 1$ 이 $x$ 와 같지 않으므로 고정점을 가지지 않는다. 함수의 그래프를 생각하면, 고정점은 직선 $y = x$ 위에 있는 점 $(x, f(x))$ 이며, 이는 $f$ 의 그래프와 직선 $y = x$ 의 교점이라고 할 수 있다.

고정점은 주기점의 특수한 경우이며, 끌개의 특수한 경우이다.

부분 순서 집합 $(X,\le)$ 위의 함수 $f\colon X\to X$ 에 대해,

$f(x)\ge x$ 이면, $x$ 를 $f$ 의 '''전고정점'''(prefixpoint^영어)이라고 한다.
$f(x)\le x$ 이면, $x$ 를 $f$ 의 '''후고정점'''(postfixpoint^영어)이라고 한다.^[16]

2. 1. 고정점의 종류

함수

f\colon X\to X

의 '''유인 고정점'''(誘引不動點, attractive fixed point^영어)은 다음 조건을 만족시키는 근방

X\supseteq U\ni x

를 갖는 고정점

x\in X

이다.

임의의 $y\in U$ 에 대하여, 점렬 $(y,f(y),f(f(y)),\dots)$ 는 $x$ 로 수렴한다.

유인 고정점의 근삿값은 그 주위의 점을 초기값으로 한 함수 반복 점렬에 의한 점근을 통해 구할 수 있다. 이를 통해 방정식

f(x)=x

의 근사해를 구하는 방법을 '''고정점 반복법'''(固定點反復法, fixed-point iteration^영어)이라고 한다.

자연 코사인 함수(여기서 "자연"이란 단위가 °가 아니라 라디안임을 의미한다)는 정확히 하나의 끌어당기는 고정점을 갖는다. 이 경우 "충분히 가까운"이란 매우 느슨한 기준이며, 예를 들어 함수 계산기를 이용하여 임의의 실수를 입력하고 cos 버튼을 반복해서 눌러 보면^[13] 순식간에 고정점인 약 0.73908513에 수렴한다. 즉, 그곳이 그래프와 직선 ''y'' = ''x''가 교차하는 점이다. 이는 도티 수라고 불린다.

모든 고정점이 끌어당기는 고정점인 것은 아니며, 예를 들어 ''x'' = 0은 함수 ''f''(''x'') = 2''x''의 고정점이지만, 0이 아닌 값은 모두 이 함수의 반복에 의해 급격히 발산한다. 그러나 함수 ''f''가 고정점 ''x''₀의 적절한 열린 근방에서 연속적으로 미분 가능하고 |''f''′(''x''₀)| < 1이라면, 끌어당기는 성질이 보장된다.

랴푸노프 안정성을 만족시키는 고정점을 '''안정 고정점'''(安定不動點, stable fixed point^영어)이라고 한다. 랴푸노프 안정성을 만족시키는 비(非) 유인 고정점을 '''중립 안정 고정점'''(中立安定不動點, neutrally stable fixed point^영어)이라고 한다. 2계 동차 선형 미분 방정식의 중심은 중립 안정 고정점의 예이다.

2. 2. 주기점 및 끌개와의 관계

주기점은 함수의 반복을 통해 원래 값으로 돌아오는 점을 말하며, 고정점은 주기가 1인 주기점의 특수한 경우이다. 즉, 함수 f에 대해 f(x) = x를 만족하는 점 x가 고정점이다.^[13]

끌개(attractor)는 반복 함수열이 수렴하는 점들의 집합을 의미하며, 끌어당기는 고정점은 이러한 끌개의 특수한 경우이다. 함수 f의 끌어당기는 고정점 x₀은, x₀에 충분히 가까운 임의의 값 x에 대해 반복 함수열 x, f(x), f(f(x)), ... 이 x₀으로 수렴하는 성질을 갖는다.

예를 들어, 자연 코사인 함수(단위는 라디안)는 약 0.73908513이라는 유일한 끌어당기는 고정점을 가지며, 이는 도티 수라고 불린다.^[13] 함수 계산기에서 임의의 실수를 입력하고 cos 버튼을 반복해서 누르면 이 값에 수렴하는 것을 확인할 수 있다.

하지만 모든 고정점이 끌어당기는 것은 아니다. 예를 들어 f(x) = 2x 함수의 고정점 x = 0은 반복에 의해 발산한다. 함수 f가 고정점 x₀의 열린 근방에서 연속적으로 미분 가능하고 |f′(x₀)| < 1인 경우에만 끌어당기는 성질이 보장된다.

끌어당기는 고정점이 리아푸노프 안정이면 '''안정 고정점'''이라고 한다. 랴푸노프 안정이지만 끌어당기는 성질이 아닌 고정점은 '''중립 안정 고정점'''이라고 하며, 2계 동차 선형 미분 방정식의 중심이 그 예이다.

3. 고정점 반복법

수치 해석에서 고정점 반복법은 함수의 고정점을 계산하는 방법이다. 구체적으로, 동일한 정의역과 공역을 갖는 함수 $f$ 와 정의역 내의 점 $x_0$ 가 주어지면, 고정점 반복법은 다음과 같다.

: $x_{n+1}=f(x_n), \, n=0, 1, 2, \dots$

이것은 수열 $x_0, x_1, x_2, \dots$ 즉, 반복 함수 적용 $x_0, f(x_0), f(f(x_0)), \dots$ 을 생성하며, 이 수열이 점 $x$ 에 수렴하기를 기대한다. $f$ 가 연속이라면, 얻어진 $x$ 가 $f$ 의 고정점임을 증명할 수 있다.

인력 고정점, 척력 고정점, 주기점의 개념은 고정점 반복법과 관련하여 정의된다.

4. 고정점 정리

고정점이 존재할 충분 조건을 제시하는 정리를 '''고정점 정리'''(固定點定理, fixed-point theorem^영어)라고 한다.

만약 $f\colon I\to I$ 가 구간 $I\subseteq\mathbb R$ 위의 연속 미분 가능 함수이며, 그 고정점 $x\in I$ 가 $|f'(x)|<1$ 을 만족시킨다면, $x$ 는 $f$ 의 유인 고정점이다. 실제 유인 고정점에 대한 반복법에서, $|x_{n+1} - x_n|$ 이 원하는 오차보다 작아질 때 고정점 반복을 몇 번째 계산에서 멈추는지 결정할 수 있다.^[17]

고정점은 유인 고정점이 아닐 수 있다. 예를 들어, 함수 $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ , $x\mapsto2x$ 는 유일한 고정점 0을 가지지만, 임의의 $x\ne0$ 에 대하여, 수열 $x,2x,4x,8x,\dots$ 는 발산한다.

크나스터-타르스키 정리에 의하면, 완비 격자 위의 단조 함수는 최소 고정점을 가지며, 이는 최소 전고정점과 일치한다. (마찬가지로 최대 고정점을 가지며, 최대 후고정점과 일치한다.)

고정점 정리는 어떤 일반적인 조건 하에서 적어도 하나의 고정점이 존재한다는 결과를 말한다.^[1] 이러한 고정점 정리는 일반론에서 유익한 관점을 제공하는 가장 기본적인 정성적 결과 중 하나로 사용된다.

4. 1. 주요 고정점 정리

바나흐 고정점 정리(1922)는 만족하는 경우 고정점 반복법이 항상 고정점으로 수렴함을 보장하는 일반적인 기준을 제시한다.^[1]

브로우베르 고정점 정리(1911)는 ''n''차원 유클리드 공간의 닫힌 단위구에서 자신으로 가는 임의의 연속 함수는 고정점을 가져야 하지만, 고정점을 찾는 방법은 설명하지 않는다.^[1]

대수적 위상수학의 레프셰츠 고정점 정리(그리고 닐슨 고정점 정리)는 고정점을 세는 방법을 제시한다.^[1] 수학의 여러 분야에서 특정 조건을 만족하는 사상이 적어도 하나의 고정점을 갖는다는 것을 보장하는 여러 고정점 정리가 존재한다.^[1]

5. 성질

위상 공간 $X$ 에서 임의의 연속 함수 $f\colon X \to X$ 에 대해 $f(x)=x$ 인 $x \in X$ 가 존재하면, 고정점 성질(FPP)을 갖는다고 한다.

고정점 성질은 위상 불변 성질이며, 위상동형사상에 의해 보존된다. 또한, 변형 수축에 의해서도 보존된다.^[2]

크나스터-타르스키 정리에 따르면, 완비 격자 위의 단조 함수는 최소 고정점을 가지며, 이는 최소 전고정점과 일치한다. 마찬가지로 최대 고정점을 가지며, 최대 후고정점과 일치한다.

만약 $f\colon I\to I$ 가 구간 $I\subseteq\mathbb R$ 위의 연속 미분 가능 함수이고, 고정점 $x\in I$ 가 $|f'(x)|<1$ 을 만족하면, $x$ 는 $f$ 의 유인 고정점이다. 실제 유인 고정점에 대한 반복법에서, $|x_{n+1} - x_n|$ 이 원하는 오차보다 작아질 때 고정점 반복을 멈출 수 있다.^[17]

함수 $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ , $x\mapsto2x$ 는 유일한 고정점 0을 가지지만, 임의의 $x\ne0$ 에 대하여 수열 $x,2x,4x,8x,\dots$ 는 발산하므로, 고정점은 유인 고정점이 아닐 수 있다.

함수 ''f''의 '''끌어당기는 고정점'''은 ''f''의 고정점 ''x''₀ 중에서, ''x''₀에 충분히 가까운 정의역 내의 임의의 값 ''x''에 대해 반복 함수열

: $x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))), \ldots$

이 ''x''₀에 수렴하는 것을 말한다.

자연 코사인 함수(여기서 "자연"이란 단위가 °가 아니라 라디안임을 의미한다)는 정확히 하나의 끌어당기는 고정점을 갖는다. 예를 들어 함수 계산기를 이용하여 임의의 실수를 입력하고 cos 버튼을 반복해서 누르면^[13] 순식간에 고정점인 약 0.73908513(도티 수)에 수렴한다.

끌어당기는 고정점이 리아푸노프 안정일 때, '''안정 고정점'''(stable fixed point)이라고 한다. 고정점이 '''중립 안정 고정점'''(neutrally stable fixed point)이란 것은, 리아푸노프 안정이지만 끌어당기는 성질이 아닐 때를 말한다. 2계 동차 선형 미분 방정식의 중심은 중립 안정 고정점의 예이다.

수렴의 형식적인 정의는 다음과 같다. (''p''_''n'')_{0≤''n''<∞}을 ''p''로 수렴하고, 임의의 ''n''에 대해 ''p''_''n'' ≠ 0인 수열이라고 하자. 양의 상수 ''λ''와 ''α''에 대해

: $\lim_{n\to\infty}\frac$

{|{p}_{n}-p|^\alpha} =\lambda

을 만족하는 것이 존재한다면, (''p''_''n'')_{0≤''n''<∞}은 ''p''로 ''α''차 수렴하며, 점근 오차 상수는 ''λ''이다.

함수 ''f''(''x'') = ''x''의 고정점 ''p''의 수렴성 판정은 다음과 같다.^[14]

# 먼저 ''f''(''p'') = ''p''인지 확인한다.

# 1차 수렴에 대해 확인한다. 먼저 |''f''′(''p'')|를 구하여,

#* 0 < |''f''′(''p'')| ≤ 1이라면 1차 수렴한다.

#* 1 < |''f''′(''p'')|이라면 발산한다.

#* 0 = |''f''′(''p'')|이라면 적어도 1차 수렴하지만 더 좋은 차수일 수 있으므로 2차 수렴에 대해 확인한다.

# 2차 수렴에 대해 확인한다. 먼저 |''f''′′(''p'')|를 구하여,

#* |''f''′′(''p'')| ≠ 0이라면 2차 수렴하고 ''f''′′(''p'')는 연속이다.

#* |''f''′′(''p'')| = 0이라면 2차 수렴보다 더 좋은 수렴성을 보인다.

#* |''f''′′(''p'')|가 존재하지 않는다면 1차 수렴보다는 좋지만 2차 수렴까지는 아닌 수렴을 한다.

6. 예시

삼각 함수의 일종인 cosine^영어 함수는 바나흐 고정점 정리에 따라 유일한 고정점을 가지며, 이는 유인 고정점이다. 또한, 임의의 실수 $x_0$ 에 대하여, 함수 반복 점렬

:

x_{n+1}=\cos x_n

은 고정점으로 수렴한다.

2계 제차 선형 미분 방정식의 중심은 중립 안정 고정점의 한 예이다.
함수 $f$ 가 실수 위에서 정의된다면, 그래프 상으로는 유클리드 평면에서의 곡선에 대응하며, 각 고정점 $c$ 는 곡선과 직선 $y=x$ 의 교점에 해당한다.
예를 들어, $f(x) = x^2 - 3 x + 4$ 와 같이 실수 위에서 정의되는 함수 $f$ 의 경우, $f(2) = 2$ 이므로 2는 $f$ 의 고정점이다.
모든 함수가 고정점을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, $f(x) = x + 1$ 은 어떤 실수 $x$ 에 대해서도 $x = x + 1$ 을 만족하지 않으므로 고정점을 가지지 않는다.

7. 응용

많은 분야에서 평형, 또는 안정성은 고정점으로 설명할 수 있는 핵심 개념이다. 예를 들어 경제학에서 내시 균형은 게임의 최적 반응 함수의 고정점이다. 물리학의 상전이 이론에서, 불안정 고정점 부근에서의 선형화는 윌슨의 노벨 물리학상 수상작인 재규격화군으로 이어졌다.^[10]^[11]

컴파일러에서 고정점 계산은 데이터 흐름 분석 등 프로그램 분석에 사용된다.^[12] 웹페이지의 페이지랭크 벡터는 월드 와이드 웹의 링크 구조에서 얻어지는 선형변환의 고정점이다. 논리학자 솔 크립키는 그의 영향력 있는 진리 이론에 고정점을 활용하였다.

고정점의 개념을 함수의 수렴성 정의에 사용할 수 있다. 전고정점과 후고정점은 이론 전산학에서 응용된다.^[18]

8. 역사

1932년, 카롤 보르수크는 콤팩트성과 축약 가능성이 고정점 성질의 필요충분조건이냐는 질문을 내놓았다. 이는 20년 후 신이치 키노시타가 고정점 성질을 만족시키지 않는 콤팩트 축약 가능 공간을 발견해 거짓임이 증명되었다.^[19]

9. 군 작용에서의 고정점

대수학에서 군 ''G''가 집합 ''X''에 작용할 때, ''X''의 원소 ''x''가 $g \cdot x = x$ 를 만족하면 ''g''의 고정점이라고 한다.

고정점 부분군 $G^f$ 는 군 ''G''의 자동사상 ''f''에 대한 ''G''의 부분군으로 다음과 같이 정의된다.

: $G^f = \{ g \in G \mid f(g) = g \}.$

마찬가지로, 고정점 부분환 $R^f$ 는 환 ''R''의 자동사상 ''f''에 대한 고정점들의 부분환으로 다음과 같이 정의된다.

: $R^f = \{ r \in R \mid f(r) = r \}.$

갈루아 이론에서, 체 자동사상들의 집합에 대한 고정점들의 집합은 체를 이루며, 이를 그 자동사상들의 집합의 고정체라고 한다.

10. 고정점 논리

수리 논리학에서 고정점 논리는 재귀를 표현하기 위해 도입된 고전적 술어 논리의 확장이다. 이러한 논리의 발전은 기술적 복잡도 이론에 의해 동기가 부여되었으며, 특히 Datalog을 포함한 데이터베이스 질의어와의 관계가 있다.

많은 분야에서 평형과 안정성은 고정점이라는 용어로 기술할 수 있는 기본 개념이다. 예를 들어, 경제학에서 게임의 내쉬 균형은 그 게임의 최적 반응 대응의 고정점이다.

컴파일러에서 고정점 계산은 종종 코드의 최적화를 수행해야 하는 프로그램 분석 전반에 걸쳐 사용된다. 모든 웹페이지의 페이지랭크 값으로 구성된 벡터는 WWW의 링크 구조에서 도출되는 선형 변환의 고정점이다.

논리학자 솔 크립키는 자신의 영향력 있는 진리 이론에서 고정점을 활용했다. 그가 보여준 것은 새로운 모순 없는 문장이 얻어질 때까지, 새로운 단어가 발생하지 않는 언어의 단편으로부터 '진리'를 재귀적으로 정의하고 과정을 계속하는(이는 가산 무한 번의 단계를 거칠 수 있다) 방법, 즉 부분적으로 정해진 진리를 어떻게 서술하는가 하는 것이었다("이 문장은 틀렸다"와 같은 문제가 있는 문장에 대해서는 모호하게 남겨둔다). 즉, 언어 L에 대해 L'을, L 내의 각 문장 'S'에 대해 "'S'는 참이다"라는 문장을 L에 추가함으로써 생성되는 언어라고 하자. L'이 L과 일치할 때 고정점에 도달한 것이다. 이 점에서도 "이 문장은 틀렸다"와 같은 문장의 참/거짓은 정해지지 않은 채 남아 있다. 그리고 크립키에 따르면, 이 이론은 자기 자신의 진리 서술을 포함하는 자연어에 적합하다는 것이다.

참조

_[1] 서적 Fixed Point Theory and Its Applications American Mathematical Society
_[2] 저널 On Some Contractible Continua without Fixed Point Property
_[3] 컨퍼런스 The Category-Theoretic Solution of Recursive Domain Equations https://homepages.in[...] SIAM Journal of Computing (volume 11) 1982
_[4] 저널 Constructive Versions of Tarski's Fixed Point Theorems http://www.di.ens.fr[...]
_[5] 서적 Reachability Problems 2015
_[6] 웹사이트 Lectures on the Modal μ-calculus http://staff.science[...]
_[7] 웹사이트 Lectures on the Modal μ-calculus http://staff.science[...]
_[8] 서적 Non-Euclidean Geometry University of Toronto Press
_[9] 서적 Synthetic Projective Geometry
_[10] 저널 Renormalization Group and Critical Phenomena. I. Renormalization Group and the Kadanoff Scaling Picture
_[11] 저널 Renormalization Group and Critical Phenomena. II. Phase-Space Cell Analysis of Critical Behavior
_[12] 웹사이트 P. Cousot & R. Cousot, Abstract interpretation: A unified lattice model for static analysis of programs by construction or approximation of fixpoints https://www.di.ens.f[...]
_[13] 문서 これがうまくいくのは伝統的な、いわゆる「数式通り」方式でない函数電卓である。
_[14] 서적 Numerical Analysis, 8th Edition
_[15] 서적 Non-Euclidean Geometry University of Toronto Press
_[16] 서적 Introduction to Lattices and Order https://books.google[...] Cambridge University Press
_[17] 서적 An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach 학산미디어 2013
_[18] 웹사이트 Lectures on the Modal μ-calculus http://staff.science[...]
_[19] 저널 On Some Contractible Continua without Fixed Point Property

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