T1 공간

3. 성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

: 하우스도르프 공간(T₂) ⊊ T₁ 공간 = (R₀ 공간 ∩ 콜모고로프 공간(T₀)) ⊊ T_D 공간 ⊊ 콜모고로프 공간(T₀)

차분한 공간과 T₁ 공간은 서로를 함의하지 않는다.

위상 공간 $X$에 대해 다음 조건들은 서로 동치이다.

• $X$는 T₁ 공간이다.
• $X$는 T₀ 공간이고 R₀ 공간이다.
• 점들은 $X$에서 닫혀 있다. 즉, 모든 점 $x\; \backslash in\; X$에 대해 단일 집합 $\backslash \{x\backslash \}$는 $X$의 닫힌 부분 집합이다.
• $X$의 모든 부분 집합은 그것을 포함하는 모든 열린 집합들의 교집합이다.
• 모든 유한 집합은 닫혀 있다.^[2]
• $X$의 모든 공유한 집합은 열려 있다.
• 모든 $x\; \backslash in\; X$에 대해, $x$에서의 고정된 초필터는 오직 $x$로만 수렴한다.
• $X$의 모든 부분 집합 $S$와 모든 점 $x\; \backslash in\; X$에 대해, $x$는 $S$의 극한점이다. 이것은 $x$의 모든 열린 근방이 $S$의 무한히 많은 점들을 포함할 경우에만 해당된다.

• $X$는 R₀ 공간이다.
• 모든 $x\; \backslash in\; X$에 대해, $\backslash \{x\backslash \}$의 폐포는 $x$와 위상적으로 구별할 수 없는 점들만 포함한다.
• $X$의 콜모고로프 몫은 T₁이다.
• 모든 $x,y\backslash in\; X$에 대해, $x$가 $\backslash \{y\backslash \}$의 폐포에 속하는 것은 $y$가 $\backslash \{x\backslash \}$의 폐포에 속하는 것과 같다.
• $X$에 대한 특수화 전순서는 대칭적이다 (따라서 동치 관계이다).
• $x\backslash in\; X$에 대한 집합 $\backslash operatorname\{cl\}\backslash \{x\backslash \}$는 $X$의 분할을 형성한다 (즉, 이러한 두 집합은 동일하거나 서로소이다).
• $F$가 닫힌 집합이고 $x$가 $F$에 속하지 않는 점이면, $F\backslash cap\backslash operatorname\{cl\}\backslash \{x\backslash \}=\backslash emptyset$이다.
• 점 $x\backslash in\; X$의 모든 근방은 $\backslash operatorname\{cl\}\backslash \{x\backslash \}$를 포함한다.
• 모든 열린 집합은 닫힌 집합들의 합집합이다.
• 모든 $x\; \backslash in\; X$에 대해, $x$에서의 고정된 초필터는 $x$와 위상적으로 구별할 수 없는 점들로만 수렴한다.

4. 예시

• 시에르핀스키 공간은 T₀ 공간이지만 T₁ 공간이 아니며, R₀ 공간도 아니다.^[6]
• 겹치는 구간 위상은 T₀ 공간이지만 T₁ 공간이 아니다.
• 무한 집합 위의 공유 위상은 T₁ 공간이지만 하우스도르프 공간(T₂)이 아니다. 이는 공유 위상의 두 개의 비어있지 않은 열린 집합이 서로소이지 않기 때문이다. 구체적으로, ''X''를 정수의 집합으로 하고, 열린 집합 ''O''_''A''를 ''X''의 유한 집합 ''A''를 제외한 모든 것을 포함하는 부분 집합으로 정의하면 다음과 같다.
• 서로 다른 정수 ''x''와 ''y''에 대해, ''O''_{''x''}는 ''y''를 포함하지만 ''x''는 포함하지 않고, 열린 집합 ''O''_{''y''}는 ''x''를 포함하지만 ''y''는 포함하지 않는다.
• 모든 단일 집합 {''x''}는 열린 집합 ''O''_{''x''}의 여집합이므로 닫힌 집합이다.
• 따라서 결과 공간은 T₁ 공간이다. 이 공간은 T₂ 공간이 아닌데, 두 개의 열린 집합 ''O''_''A''와 ''O''_''B''의 교집합이 ''O''_''A'' ∩ ''O''_''B'' = ''O''_{''A'' ∪ ''B''}}이고 이는 결코 비어 있지 않기 때문이다. 또는, 짝수 정수의 집합은 콤팩트 집합이지만 닫힌 집합이 아니며, 이는 하우스도르프 공간에서는 불가능하다.
• 이중점 공유 위상은 R₀ 공간이지만 T₁ 공간이나 R₁ 공간이 아니다. ''X''를 정수의 집합으로 하고, ''O''_''A''의 정의를 사용하여, 정수 ''x''에 대한 열린 집합의 부분 기저 ''G''_''x''를 ''x''가 짝수이면 ''G''_''x'' = ''O''_{{''x'', ''x''+1}}로, ''x''가 홀수이면 ''G''_''x'' = ''O''_{{''x''-1, ''x''}}로 정의한다. 그러면 위상의 기저는 부분 기저 집합의 유한한 교집합으로 주어지며, 주어진 유한 집합 ''A''에 대해, ''X''의 열린 집합은 다음과 같다.

• 대수적으로 닫힌 체 위에서 정의된 대수적 다양체 위의 자리스키 위상은 T₁ 공간이지만 하우스도르프 공간(T₂)이 아니다. 국소 좌표 (''c''₁, …, ''c''_''n'')를 가진 점을 포함하는 단일 집합이 다항식 ''x''₁ - ''c''₁, …, ''x''_''n'' - ''c''_''n''의 영점임을 확인하면 점은 닫혀 있음을 알 수 있다.
• 가환환의 스펙트럼에서의 자리스키 위상은 T₀ 공간이지만 일반적으로 T₁ 공간이 아니다.^[4] 한 점 집합의 폐포가 그 점을 포함하는 모든 소 아이디얼의 집합임을 확인하면 위상은 T₀ 공간임을 알 수 있다. 그러나 이 폐포는 극대 아이디얼이며, 닫힌 유일한 점은 극대 아이디얼이며, 따라서 위상의 어떤 열린 집합에도 포함되지 않으므로, 공간은 T₁ 공리를 만족하지 않는다. 가환환 ''A''에 대한 자리스키 위상은 다음과 같이 주어진다. 위상 공간은 ''A''의 모든 소 아이디얼의 집합 ''X''이다. 위상의 기저는 ''a'' ∈ ''A''를 포함하지 않는 소 아이디얼의 열린 집합 ''O''_''a''로 주어지는데, ''O''_''a'' ∩ ''O''_''b'' = ''O''_''ab''이고 ''O''₀ = ∅ 및 ''O''₁ = ''X''임을 통해 확인할 수 있다.
• 모든 완전 비연결 공간은 T₁ 공간이다. 왜냐하면 모든 점이 연결 성분이고 따라서 닫혀 있기 때문이다.
• 모든 알렉산드로프 공간은 T_D 공간이다.^[6] 특히, 모든 유한 콜모고로프 공간은 T_D 공간이다.

5. 일반화

"T₁" 및 "R₀" 용어와 그 동의어는 균등 공간, 코시 공간, 수렴 공간과 같은 위상 공간의 변형에도 적용될 수 있다. 이러한 모든 예에서 개념을 통합하는 특징은 고정된 초여과기(또는 상수 망)의 극한이 고유하다는 것(T₁ 공간의 경우) 또는 위상적으로 구별할 수 없을 때까지 고유하다는 것(R₀ 공간의 경우)이다.

결과적으로 균등 공간, 더 일반적으로는 코시 공간은 항상 R₀이므로 이러한 경우 T₁ 조건은 T₀ 조건으로 축소된다. 그러나 R₀ 단독으로 전위상 공간과 같은 다른 종류의 수렴 공간에 대한 흥미로운 조건이 될 수 있다.

참조

_[1] 서적 See section 2.6 1990
_[2] 서적 See proposition 13, section 2.6 1990
_[3] 웹사이트 Locally Euclidean space implies T1 space https://math.stackex[...]
_[4] 서적 See example 21, section 2.6 1990
_[5] 문서
_[6] 저널 Separation axioms between T0 and T1 1962