가우스 자기 법칙

3. 적분 형태

자기장에 대한 가우스 법칙의 적분 형태는 다음과 같다.

{{Equation box 1

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|equation =

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여기서 는 임의의 닫힌 곡면(오른쪽 그림 참조)이고, $\backslash Phi\_B$는 를 통과하는 자속이며, 는 크기가 곡면 의 무한소 부분의 면적이고 방향이 바깥쪽을 향하는 법선 벡터인 벡터이다(곡면 적분 참조). 즉, 임의의 닫힌 곡면을 통과하는 총 자속이 0임을 의미한다. 이는 닫힌 곡면 안으로 들어오는 자기력선의 수와 닫힌 곡면 밖으로 나가는 자기력선의 수가 항상 같다는 것을 뜻한다.

4. 벡터 퍼텐셜

헬름홀츠 분해 정리에 따르면, 자기장에 대한 가우스 법칙은 어떤 벡터장 '''A'''가 존재하여^[4][5]

'''B''' = ∇×'''A'''

인 명제와 동치이다. 이때 벡터장 '''A'''를 자기 벡터 퍼텐셜이라고 한다.

주어진 '''B'''장에 대해 이 방정식을 만족하는 '''A'''는 무한히 많다. 이는 기울기의 회전이 영 벡터장이기 때문으로, 항등식에 따라 ∇''ϕ'' 형태의 임의의 장을 '''A'''에 더하여도

∇×'''A''' = ∇×('''A''' + ∇ϕ)

가 성립한다.

'''A'''의 이러한 임의성을 게이지 자유도라고 한다.

5. 자기력선

자기장 '''B'''는 자기력선(자속선이라고도 함)을 통해 나타낼 수 있다. 즉, 방향이 '''B'''의 방향과 일치하고, 면적 밀도가 '''B'''의 크기에 비례하는 곡선들의 집합이다. 가우스 자기 법칙은 자기력선이 시작도 끝도 없다는 명제와 동등하다. 각 자기력선은 폐곡선을 형성하거나, 영원히 감겨 돌면서 정확히 자신에게 다시 합쳐지지 않거나, 무한대로 뻗어나간다.

일반적으로 적분 형태라고 불리는 가우스 자기 법칙은 다음과 같은 형태로 나타낸다.

:$\backslash oint\_S\; \backslash boldsymbol\{B\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\backslash boldsymbol\{S\}\; =\; 0$

여기서,

이다.

이 식의 좌변은 임의의 영역의 표면에서 출입하는 자속의 총량이며, 그것이 항상 0임을 의미한다.

자속선에는 전기력선에 대한 전하에 상당하는 자하가 존재하지 않으므로, 자속선의 솟구쳐 나오는 곳과 빨려 들어가는 곳은 존재하지 않고, 자속선은 반드시 폐곡선을 그린다.

이 법칙은 미분 형태에서는 다음과 같은 형태로 표현된다.

:$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{B\}\; =\; 0$

혹은,

:$\backslash operatorname\{div\}\; \backslash boldsymbol\{B\}\; =\; 0$

이 법칙을 “자기장의 발산은 0이다”라고 한다. 이 식으로부터 자기장에 대한 가우스 법칙은 영역을 아무리 작게 설정해도 성립하고, 또 영역의 내부에 자기장의 발생원이 존재하지 않아도 성립하는 것을 알 수 있다.

6. 자기 홀극 (자기 단극)

만약 자기 홀극이 발견된다면, 자기장에 대한 가우스 법칙은 수정되어야 한다. 자기 홀극의 존재는 자기장의 발산이 0이 아닌 값을 가지게 하며, 이는 자기 전하 밀도에 비례한다.^[6][7][8] 이는 전기장에 대한 가우스 법칙과 유사하다. 순 자기 전하 밀도가 0인 경우(로_m/ρ_m^영어 = 0), 가우스 자기 법칙의 원래 형태가 된다. 자기 단극과 전류에 대한 정의 방정식의 선택에 따라 자기 홀극을 포함하는 SI 단위계의 수정된 공식은 표준화되어 있지 않다. 한 가지 변형에서는 자기 전하의 단위가 베버이고, 다른 변형에서는 암페어-미터이다.

여기서 뮤₀/μ₀^영어는 진공 투자율이다.

지금까지 광범위한 연구에도 불구하고 자기 단극의 예는 논란의 여지가 있다.^[9] 하지만 일부 논문에서는 그러한 거동과 일치하는 예를 보고하고 있다.^[10] 일반적으로 적분 형태라고 불리는 가우스 자기 법칙은 다음과 같은 형태로 나타낸다.

:$\backslash oint\_S\; \backslash boldsymbol\{B\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\backslash boldsymbol\{S\}\; =\; 0$

여기서,

이 식의 좌변은 임의의 영역의 표면에서 출입하는 자속의 총량이며, 그것이 항상 0임을 의미한다.

자속선에는 전기력선에 대한 전하에 상당하는 자하가 존재하지 않으므로, 자속선의 솟구쳐 나오는 곳과 빨려 들어가는 곳은 존재하지 않고, 자속선은 반드시 폐곡선을 그린다.

이 법칙은 미분 형태에서는 다음과 같은 형태로 표현된다.

:$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{B\}\; =\; 0$

혹은,

:$\backslash operatorname\{div\}\; \backslash boldsymbol\{B\}\; =\; 0$

이 법칙을 “자기장의 발산은 0이다”라고 한다. 이 식으로부터 자기장에 대한 가우스 법칙은 영역을 아무리 작게 설정해도 성립하고, 또 영역의 내부에 자기장의 발생원이 존재하지 않아도 성립하는 것을 알 수 있다.

7. 역사

자기 홀극의 부재에 대한 개념은 1269년 피에르 페레그리누스 드 마리쿠르(Petrus Peregrinus de Maricourt)에 의해 처음 제기되었다. 그의 연구는 윌리엄 길버트에게 큰 영향을 미쳤고, 길버트의 1600년 저서 ''De Magnete''를 통해 이 개념이 널리 알려지게 되었다. 1800년대 초 마이클 패러데이(Michael Faraday)는 이 법칙을 다시 소개하였고, 이후 제임스 클러크 맥스웰(James Clerk Maxwell)의 전자기장 방정식에 포함되었다.

8. 수치 해석

수치 해석에서 수치 해는 수치 방법의 이산화 오차로 인해 자기장에 대한 가우스 법칙을 만족시키지 못할 수 있다.^[11] 그러나 자기유체역학 등 여러 분야에서는 자기장에 대한 가우스 법칙을 기계적 정밀도까지 정확하게 보존하는 것이 중요하다.^[11] 이산화 수준에서 자기장에 대한 가우스 법칙을 위반할 시 강한 비물리적 힘을 유발하며,^[11] 에너지 보존의 관점에서 볼 때, 이 조건의 위반은 비보존적 에너지 적분으로 이어지고, 오차는 자기장의 발산에 비례한다.^[11]

자기장에 대한 가우스 법칙을 보존하는 다양한 수치적 방법에는 발산 제거 기법,^[12] 구속 전달 방법,^[13] 퍼텐셜 기반 공식^[14] 및 드람 복합체 기반 유한 요소 방법^[15][16] 등이 있다. 후자의 방법에서는 안정적이고 구조를 보존하는 알고리즘이 유한 요소 미분 형식을 사용하는 비정형 메시에서 구성된다.

참조

_[1] 서적 Electromagnetic Theory: A modern perspective https://books.google[...] Jones and Bartlett
_[2] 서적 Classical Electrodynamics Wiley
_[3] 서적 Photonic Crystals: Molding the Flow of Light Princeton University Press
_[4] 서적 Handbook of Numerical Analysis https://books.google[...] Elsevier Science 2005
_[5] 서적 Classical Electrodynamics Wiley
_[6] 서적 Classical Electrodynamics Wiley
_[7] 학술지 Faraday's law in the presence of magnetic monopoles
_[8] 학술지 Magnetic monopoles and Lorentz force
_[9] 보고서 Magnetic Monopoles http://pdg.lbl.gov/2[...] Particle data group 2015-08
_[10] 학술지 Magnetic monopoles in spin ice 2008-01-03
_[11] 학술지 The Effect of Nonzero ∇ · B on the numerical solution of the magnetohydrodynamic equations 1980-05
_[12] 학술지 The ∇·B=0 Constraint in Shock-Capturing Magnetohydrodynamics Codes 2000-07-01
_[13] 학술지 A constrained transport scheme for MHD on unstructured static and moving meshes 2014-07-21
_[14] 서적 Computational Methods in Plasma Physics CRC Press 2010
_[15] 학술지 Stable finite element methods preserving ∇·B=0 exactly for MHD models 2017-02-01
_[16] 학술지 Robust preconditioners for incompressible MHD models 2016-07