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면적분

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목차

1. 개요

면적분은 스칼라장, 벡터장 또는 텐서장과 같은 함수를 표면 S에 대해 적분하는 것이다. 면적분은 좌표계를 사용하여 표면을 매개변수화하여 계산하며, 스칼라 함수와 벡터 함수에 대한 면적분 공식이 존재한다. 스칼라 함수의 면적분은 표면의 단위 두께당 질량을 나타낼 수 있으며, 벡터 함수의 면적분은 플럭스를 계산하는 데 사용된다. 면적분은 발산 정리, 스토크스 정리와 같은 정리와 관련이 있으며, 표면 매개변수화에 따라 면적분 값이 달라질 수 있다. 법선 벡터의 방향을 일관되게 정의할 수 없는 뫼비우스의 띠와 같은 비가향 곡면에서는 벡터 함수의 면적분을 정의할 수 없다.

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면적분
개요
정의3차원 공간에서 표면을 따라 벡터장의 면적분을 계산하는 것
기호$$ (벡터장)
$$ (표면)
$$ (표면의 미소 면적 벡터)
활용 분야유체 역학
전자기학
열전달

2. 정의

직사각형과 유사한 작은 도형들로 분할된 곡면
스칼라 장의 면적분을 정의하려면 곡면을 작은 면적소들로 나누어야 한다.


면적분은 주어진 곡면 ''S'' 위에서 정의된 함수 ''f'' (스칼라장, 벡터장 또는 텐서장일 수 있음)의 값을 곡면 전체에 대해 합산하는 방법이다. 이는 곡면을 무수히 많은 작은 면적 요소 dS로 나누고, 각 요소에서의 함수 값과 면적 요소의 곱 f \, dS를 모두 더하는 과정으로 이해할 수 있다.[1][2]

면적분을 구체적으로 계산하기 위해서는 곡면 ''S''를 매개변수 (s, t)를 사용하여 \mathbf{r}(s, t)와 같이 나타내야 한다. 여기서 (s, t)는 평면 위의 특정 영역 T에서 변한다.
스칼라 함수 ''f''의 면적분은 다음과 같이 정의된다.

:\iint_S f \, dS = \iint_T f(\mathbf{r}(s, t)) \left\|{\partial \mathbf{r} \over \partial s} \times {\partial \mathbf{r} \over \partial t}\right\| ds\, dt

여기서 \left\|{\partial \mathbf{r} \over \partial s} \times {\partial \mathbf{r} \over \partial t}\right\|는 매개변수에 대한 편미분 벡터들의 외적의 크기로, 곡면의 작은 면적 요소(surface element) dS의 크기를 나타낸다. 이는 곡면의 제1 기본 형식의 행렬식 g를 이용하여 \sqrt{g}로 표현되기도 한다.
벡터 함수 \mathbf{v}의 면적분은 주로 곡면 ''S''를 통과하는 벡터장의 유량(flux)을 계산하는 데 사용된다. 이는 각 점에서 벡터장의 법선 성분 \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} (여기서 \mathbf{n}은 단위 법선 벡터)을 면적 요소 dS에 곱하여 곡면 전체에 대해 합산하는 것이다. 벡터 면적 요소 d\mathbf{S} = \mathbf{n} \, dS를 사용하여 다음과 같이 표현한다.

:\iint_S {\mathbf v}\cdot d{\mathbf {S}} = \iint_S ({\mathbf v}\cdot {\mathbf n}) \, dS = \iint_T {\mathbf v}(\mathbf{r}(s, t))\cdot \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\right) ds\, dt

여기서 \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}는 매개변수화로부터 얻어지는 법선 벡터이다.
미분 2-형식 f = f_{z}\, dx \wedge dy + f_{x}\, dy \wedge dz + f_{y}\, dz \wedge dx 의 면적분은 다음과 같이 정의된다.

:\iint_S f = \iint_D \left[ f_{z} ( \mathbf{r} (s,t)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} + f_{x} ( \mathbf{r} (s,t))\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} + f_{y} ( \mathbf{r} (s,t))\frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)} \right]\, ds\, dt

여기서 \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} 등은 야코비 행렬식이며, 이는 법선 벡터 {\partial \mathbf{r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial t}의 각 성분과 관련된다. 이 정의는 벡터장 (f_x, f_y, f_z)의 면적분과 동일한 결과를 준다.

이러한 정의들은 곡면이 3차원 공간에 놓여 있을 때 유효하며, 외적과 법선 벡터의 개념을 사용한다.

2. 1. 스칼라 함수의 면적분

3차원 좌표 공간 속의 곡면과 그 위의 한 면적소. 곡면의 면적소들의 면적이 한없이 작아질 때, 이에 대응하는 리만 합은 스칼라 장의 면적분에 한없이 가까워진다.


스칼라 장 f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R가 곡면 ''S''에서 정의되어 있다고 가정하자. 곡면 ''S''는 매개 변수 (s, t)를 사용하여 \mathbf{r}(s, t)로 표현될 수 있으며, 여기서 (s, t)는 평면 위의 어떤 영역 T에서 변한다. 스칼라 함수 ''f''의 곡면 ''S'' 위에서의 '''면적분'''은 다음과 같이 정의된다.

:\iint_S f \,dS = \iint_T f(\mathbf{r}(s, t)) \left\|{\partial \mathbf{r} \over \partial s} \times {\partial \mathbf{r} \over \partial t}\right\| ds\, dt

여기서 \left\|{\partial \mathbf{r} \over \partial s} \times {\partial \mathbf{r} \over \partial t}\right\|는 벡터 {\partial \mathbf{r} \over \partial s}와 {\partial \mathbf{r} \over \partial t}의 외적의 크기이며, 이를 표면 요소(surface element)라고 부른다. 이는 곡면 위의 작은 면적 조각을 나타낸다.

면적분은 제1 기본 형식의 행렬식 g를 이용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다. 제1 기본 형식은 곡면의 국소적인 기하학적 성질을 나타내는 양이다.

:\iint_S f \,dS = \iint_T f(\mathbf{r}(s, t)) \sqrt{g} \, ds\, dt

여기서 g = EF - G^2이며, E = \left\|{\partial \mathbf{r} \over \partial s}\right\|^2, F = {\partial \mathbf{r} \over \partial s} \cdot {\partial \mathbf{r} \over \partial t}, G = \left\|{\partial \mathbf{r} \over \partial t}\right\|^2이다.[1][2]

물리적으로 스칼라 함수의 면적분은 곡면의 밀도 분포가 주어졌을 때 곡면의 총 질량을 구하는 것과 유사하게 생각할 수 있다. 만약 곡면 ''S''의 각 점 \mathbf{x}에서의 밀도가 f(\mathbf{x})로 주어진다면, ''S'' 위의 ''f''의 면적분은 ''S''의 단위 두께당 총 질량을 나타낸다. 이는 곡면을 매우 작은 조각으로 나누어 각 조각의 면적과 밀도를 곱한 값을 모두 더하는 과정으로 이해할 수 있다.

특히, 함수 f=1인 경우, 면적분은 곡면 ''S''의 면적을 나타낸다.

:A = \iint_S dS = \iint_T \left\|{\partial \mathbf{r} \over \partial s} \times {\partial \mathbf{r} \over \partial t}\right\| ds\, dt = \iint_T \sqrt{g} \, ds\, dt

예를 들어, 함수 z = f(x, y)로 정의된 곡면의 표면적을 구하는 경우를 생각해보자. 이 곡면은 \mathbf{r}(x, y) = (x, y, f(x, y))로 매개변수화될 수 있다. 여기서 매개변수는 (x, y)이고, 이들은 평면의 영역 T 위를 움직인다. 이때 편도함수는 다음과 같다.

:{\partial \mathbf{r} \over \partial x} = \left(1, 0, {\partial f \over \partial x}\right)

:{\partial \mathbf{r} \over \partial y} = \left(0, 1, {\partial f \over \partial y}\right)

이 두 벡터의 외적은 다음과 같다.

:{\partial \mathbf{r} \over \partial x} \times {\partial \mathbf{r} \over \partial y} = \left(-{\partial f \over \partial x}, -{\partial f \over \partial y}, 1\right)

이 벡터는 곡면의 법선 벡터이다. 이 외적의 크기는 다음과 같다.

:\left\|{\partial \mathbf{r} \over \partial x} \times {\partial \mathbf{r} \over \partial y}\right\| = \sqrt{\left({\partial f \over \partial x}\right)^2 + \left({\partial f \over \partial y}\right)^2 + 1}

따라서 곡면의 면적 A는 다음과 같이 계산된다.

:A = \iint_T \sqrt{\left({\partial f \over \partial x}\right)^2 + \left({\partial f \over \partial y}\right)^2 + 1} \, dx\, dy

이 공식은 함수 그래프로 주어진 곡면의 면적을 구하는 표준적인 방법이다.

주의할 점은 위의 면적분 공식들은 외적을 사용하므로, 곡면이 3차원 유클리드 공간(\mathbb{R}^3) 안에 있을 때만 유효하다. 면적분은 본질적으로 매개변수화된 곡면 위에서 리만 부피 형식을 적분하는 것으로 볼 수 있으며, 이때 계량 텐서는 곡면의 제1 기본 형식에 의해 주어진다.

2. 2. 벡터 함수의 면적분

곡면 위의 벡터 장


벡터 장 \vec F\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3가 주어졌을 때, 곡면 S (매개변수 표현 \vec\varphi\colon D\to\mathbb R^3, D\subseteq\mathbb R^2) 위의 '''면적분'''은 곡면을 통과하는 벡터장의 유량(flux)을 계산하는 데 사용된다. 이는 다음과 같이 정의된다.

:\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S = \iint_{\vec\varphi(D)}\vec F\cdot \mathbf{n} \, dS = \iint_D\vec F(\vec\varphi(s,t))\cdot(\vec\varphi_s\times\vec\varphi_t) \, ds \, dt

여기서 d\vec S = \mathbf{n} \, dS는 법선 벡터 \mathbf{n} 방향의 면적 요소 벡터이고, \vec\varphi_s\times\vec\varphi_t = \frac{\partial \vec\varphi}{\partial s}\times \frac{\partial \vec\varphi}{\partial t}는 곡면의 매개변수 표현 \vec\varphi(s,t)로부터 얻어지는 법선 벡터이다. dS는 곡면의 미소 면적 요소이다.

벡터 함수의 면적분은 물리적으로 특정 곡면을 통과하는 벡터 장의 유량(flux)을 나타내는 경우가 많다. 예를 들어, 벡터장 \mathbf{v}가 유체의 속도를 나타낸다고 가정해 보자. 이때 곡면 ''S''를 통과하는 유량은 단위 시간당 ''S''를 통과하는 유체의 총량을 의미한다.

만약 벡터장 \mathbf{v}가 곡면 ''S'' 위의 모든 점에서 곡면에 접선 방향이라면, 유체는 곡면 ''S''에 평행하게 흐를 뿐 곡면을 통과하지 않으므로 유량은 0이 된다. 반면, \mathbf{v}가 접선 성분과 법선 성분을 모두 가질 경우, 유량에 기여하는 것은 오직 법선 성분뿐이다. 따라서 유량을 구하기 위해서는 각 점에서 벡터장 \mathbf{v}와 곡면 ''S''의 단위 법선 벡터 \mathbf{n}의 내적 \mathbf{v} \cdot \mathbf{n을 계산해야 한다. 이 내적 값은 각 점에서의 법선 방향 유량 밀도를 나타내는 스칼라 값이 되며, 이 스칼라 함수를 곡면 ''S'' 전체에 대해 적분하면 총 유량을 얻을 수 있다.

곡면 ''S''가 \mathbf{r}(s, t) ((s, t) \in T)로 매개변수화되었을 때, 벡터장 \mathbf{v}의 면적분(유량)은 다음과 같은 공식으로 계산할 수 있다.

:\begin{align}

\iint_S {\mathbf v}\cdot\mathrm d{\mathbf {S}} &= \iint_S \left({\mathbf v}\cdot {\mathbf n}\right)\,\mathrm dS\\

&{}= \iint_T \left({\mathbf v}(\mathbf{r}(s, t)) \cdot {\frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}}{\left\|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\right\|}}\right) \left\|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\right\| \mathrm ds\, \mathrm dt\\

&{}=\iint_T {\mathbf v}(\mathbf{r}(s, t))\cdot \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\right) \mathrm ds\, \mathrm dt.

\end{align}

여기서 \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}는 매개변수화에 의해 결정되는 법선 벡터이다. 이 벡터의 방향은 매개변수화 방식과 곡면의 향 설정에 따라 달라질 수 있다.

벡터 함수의 면적분은 미분 형식을 이용해서도 이해할 수 있다. 벡터장 \mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z)에 대응하는 미분 2-형식 \omega = F_x \, dy \wedge dz + F_y \, dz \wedge dx + F_z \, dx \wedge dy를 생각하자. 곡면 ''S''가 \mathbf{r}(s, t) = (x(s, t), y(s, t), z(s, t)) ((s, t) \in D)로 향을 보존하도록 매개변수화되었다면, 벡터장 \mathbf{F}의 면적분은 2-형식 \omega를 ''S'' 위에서 적분하는 것과 같다.

:\iint_S \omega = \iint_D \left[ F_x(\mathbf{r}(s,t)) \frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} + F_y(\mathbf{r}(s,t)) \frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)} + F_z(\mathbf{r}(s,t)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} \right] ds \, dt

여기서 \frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} \\ \frac{\partial z}{\partial s} & \frac{\partial z}{\partial t} \end{pmatrix} 와 같은 항들은 야코비 행렬식이며, 이는 법선 벡터 \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} = \left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)}\right)의 각 성분과 일치한다. 즉, 2-형식의 면적분은 벡터장의 면적분과 동일한 결과를 제공한다.

3. 면적 요소



매끄러운 곡면 ''S'' 위의 점 좌표 '''x''' = (''x'', ''y'', ''z'')가 독립 변수 ''u'', ''v''의 함수로 '''x''' = ''S''(''u'', ''v'') := (''x''(''u'', ''v''), ''y''(''u'', ''v''), ''z''(''u'', ''v''))와 같이 매개변수로 표현될 때, '''면적 요소''' ''dσ'' 또는 ''dS''는 곡면의 아주 작은 부분의 면적을 나타낸다. 이는 면적분을 계산하는 기본 단위로 사용된다.

곡면 ''S''가 '''r'''(''u'', ''v'') = (''x''(''u'', ''v''), ''y''(''u'', ''v''), ''z''(''u'', ''v''))와 같이 매개변수 ''u'', ''v''로 표현될 때, 면적 요소 ''dS''는 다음과 같이 주어진다.

dS = d\sigma = \left\|{\partial \mathbf{r} \over \partial u} \times {\partial \mathbf{r} \over \partial v}\right\| du\, dv

여기서 {\partial \mathbf{r} \over \partial u}와 {\partial \mathbf{r} \over \partial v}는 각각 ''u''와 ''v''에 대한 편도함수 벡터이며, \times는 벡터곱(외적)을, \|\cdot\|는 벡터의 크기(노름)를 나타낸다. 이 식은 두 편도함수 벡터가 만드는 작은 평행사변형의 넓이를 의미하며, 곡면 위의 작은 조각의 면적에 해당한다.

면적 요소의 제곱은 곡면의 제1 기본 형식의 계수 ''E'', ''F'', ''G''를 사용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

\left\|{\partial \mathbf{r} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial v}\right\|^2 = EG-F^2

여기서

E = \left\|{\partial \mathbf{r} \over \partial u}\right\|^2 = \left(\dfrac{\partial x}{\partial u}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial y}{\partial u}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial z}{\partial u}\right)^2

F = {\partial \mathbf{r} \over \partial u} \cdot {\partial \mathbf{r} \over \partial v} = \dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial x}{\partial v} + \dfrac{\partial y}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v} + \dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial z}{\partial v}

G = \left\|{\partial \mathbf{r} \over \partial v}\right\|^2 = \left(\dfrac{\partial x}{\partial v}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial y}{\partial v}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial z}{\partial v}\right)^2

따라서 면적 요소는 dS = \sqrt{EG-F^2} \, du\, dv로 쓸 수 있다.[1][2] 중요한 점은 면적 요소 ''dS''는 매개변수 ''u'', ''v''를 어떻게 선택하는지와 관계없이 곡면 자체의 기하학적 성질이라는 것이다.

예를 들어, 곡면이 ''z'' = ''f''(''x'', ''y'') 형태로 주어질 경우, ''x''와 ''y''를 매개변수로 사용할 수 있다. 즉, '''r'''(''x'', ''y'') = (''x'', ''y'', ''f''(''x'', ''y'')). 이때 편도함수는 {\partial \mathbf{r} \over \partial x}=(1, 0, {\partial f \over \partial x})이고 {\partial \mathbf{r} \over \partial y}=(0, 1, {\partial f \over \partial y})이다. 이들의 외적은 {\partial \mathbf{r} \over \partial x} \times {\partial \mathbf{r} \over \partial y} = \left(-{\partial f \over \partial x}, -{\partial f \over \partial y}, 1\right)이며, 이 벡터는 곡면의 법선 벡터이다. 따라서 면적 요소는 다음과 같다.

dS = \left\| \left(-{\partial f \over \partial x}, -{\partial f \over \partial y}, 1\right) \right\| dx\, dy = \sqrt{\left({\partial f \over \partial x}\right)^2+\left({\partial f \over \partial y}\right)^2+1}\, \, dx\, dy

이 공식은 함수의 그래프로 주어진 곡면의 표면적을 구할 때 자주 사용된다.

4. 면적분에 관한 정리

면적분과 관련하여 유용한 여러 정리들은 미분 기하학 및 벡터 미적분학을 사용하여 도출할 수 있다. 대표적인 예로는 발산 정리와 이를 일반화한 스토크스 정리가 있다. 또한 자기 선속과 관련된 계산에도 면적분이 활용된다.

4. 1. 발산 정리

발산 정리는 3차원 벡터장의 면적분과 해당 벡터장의 발산의 부피 적분 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 가우스 정리라고도 불린다.

발산 정리나 그 일반화인 스토크스 정리와 같은 면적분에 대한 유용한 결과는 미분 기하학이나 벡터 미적분학(벡터 해석)을 사용하여 얻을 수 있다.

4. 2. 스토크스 정리

스토크스 정리는 벡터장의 회전에 대한 면적분과 그 벡터장의 경계를 따라 계산하는 선적분 사이의 관계를 나타내는 정리이다.[1][2] 이는 면적분에 대한 유용한 결과 중 하나로, 발산 정리를 일반화한 것으로 볼 수 있다. 스토크스 정리는 미분 기하학 및 벡터 미적분학을 사용하여 유도할 수 있다.

5. 면적분과 매개변수 표현의 관계

면적분은 곡면 ''S''의 매개 변수 표현을 사용하여 정의된다. 그런데 주어진 곡면은 여러 가지 매개변수 표현을 가질 수 있다. 예를 들어, 구의 북극과 남극의 위치를 바꾸면 구 위의 모든 점에 대한 위도와 경도가 변경된다. 따라서 면적분의 정의가 선택된 매개변수 표현에 의존하는지 여부가 문제가 될 수 있다.[1][2]

스칼라 장의 면적분의 경우, 어떤 매개변수 표현을 사용하든 그 값은 동일하다. 즉, 매개변수 표현 방식에 영향을 받지 않는다.

그러나 벡터 장의 면적분은 법선 벡터의 방향이 중요하기 때문에 상황이 더 복잡하다. 같은 곡면에 대해 두 개의 다른 매개변수 표현이 주어졌을 때, 만약 두 표현에서 정의된 법선 벡터가 모든 점에서 같은 방향을 가리킨다면, 두 경우 모두 면적분 값은 동일하다. 하지만 법선 벡터가 서로 반대 방향을 가리킨다면, 한 매개변수 표현으로 계산한 면적분 값은 다른 표현으로 계산한 값과 부호만 반대가 된다. 따라서 벡터장을 적분할 때는 법선 벡터의 방향을 미리 결정하고, 그 방향과 일치하는 매개변수 표현을 선택하는 것이 중요하다.

또한, 곡면 전체를 하나의 매개변수 표현으로 나타낼 수 없는 경우도 있다. 예를 들어 원기둥의 옆면과 두 밑면을 합친 곡면은 하나의 매개변수 표현으로 나타내기 어렵다. 이 경우, 곡면을 여러 조각으로 나누어 각 조각에서 면적분을 계산한 다음 모두 더하면 된다. 다만, 벡터장을 적분할 때는 각 조각에서 법선 벡터의 방향을 일관되게 선택해야 한다. 예를 들어 원기둥의 옆면에서 바깥쪽을 향하는 법선을 선택했다면, 윗면과 밑면에서도 바깥쪽을 향하는 법선을 선택해야 한다.

마지막으로, 모든 점에서 일관된 법선 벡터를 정의할 수 없는 곡면도 존재한다. 대표적인 예가 뫼비우스의 띠이다. 이러한 곡면을 여러 조각으로 나누어 매개변수 표현과 법선 벡터를 정하더라도, 조각들을 다시 합칠 때 경계에서 법선 벡터의 방향이 서로 반대가 되는 부분이 생기게 된다. 이런 곡면을 비가향(또는 향부여 불가능) 곡면이라고 하며, 비가향 곡면 위에서는 벡터장의 면적분을 정의할 수 없다.

6. 비가향 곡면

어떤 곡면들은 표면 전체에 걸쳐 법선 벡터의 방향을 일관되게 정할 수 없다. 대표적인 예로 뫼비우스의 띠가 있다. 이러한 곡면을 여러 조각으로 나누어 각 조각마다 법선 벡터를 정한다고 해도, 조각들을 다시 이어 붙이면 서로 다른 조각에서 정한 법선 벡터의 방향이 일치하지 않고 반대가 되는 부분이 생기게 된다.

이렇게 곡면 전체에 걸쳐 법선 벡터의 방향을 일관되게 정의할 수 없는 곡면을 비가향 곡면(non-orientable surfaceeng) 또는 향을 줄 수 없는 곡면이라고 한다. 가향 곡면과 달리 비가향 곡면 위에서는 벡터장의 면적분을 정의할 수 없다. 벡터장의 면적분은 법선 벡터의 방향에 따라 값이 달라지는데, 비가향 곡면은 일관된 법선 방향을 정의할 수 없기 때문이다.

참조

[1] 서적 Advanced Calculus of Several Variables Dover
[2] 서적 Surface Integral https://www.encyclop[...] Springer


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