그로스-피타옙스키 방정식

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1. 개요
2. 정의
3. 방정식의 형태
4. 해
5. 성질
6. 치유 길이
7. 회전하는 나선형 포텐셜에서의 초유체
8. 유도 및 일반화
9. 역사
참조

1. 개요

그로스-피타옙스키 방정식은 외부 퍼텐셜 내에서 보손의 거동을 설명하는 비선형 슈뢰딩거 방정식이다. 이 방정식은 복소 스칼라장, 외부 퍼텐셜, 평균 입자수 밀도 등을 포함하는 라그랑지언으로부터 유도되며, 상호작용 항을 추가하여 슈뢰딩거 방정식의 형태를 갖는다. 그로스-피타옙스키 방정식은 솔리톤, 자유 입자, 토마스-페르미 근사, 보골류보프 근사 등 다양한 해법을 통해 분석되며, 특히 보스-아인슈타인 응축 현상을 연구하는 데 중요한 역할을 한다. 이 방정식은 U(1) 대칭의 자발 대칭 깨짐을 설명하며, 초유체 현상과 치유 길이를 이해하는 데 기여한다. 또한, 회전하는 나선형 포텐셜 내의 초유체 거동을 연구하는 데에도 활용된다. 유진 그로스와 레프 페트로비치 피타옙스키가 1961년에 이 방정식을 처음 도입했다.

2. 정의

편의상 ħ=1로 놓자. 외부 퍼텐셜 V(r) 속에서 보손들이 움직이고 있다고 하자. 그렇다면, 그로스-피타옙스키 라그랑지언은 다음과 같다.

:L = φ^†(i∂/∂t + ∇²/2m - V(x))φ - (g/2)(|φ|² - ρ₀)²

여기서 각 기호는 다음과 같다.

φ(x)는 복소 스칼라장이다.
V(x)는 외부 퍼텐셜이다.
ρ₀는 평균 입자수 밀도이다.

이에 따라서, 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

:0 = (i∂/∂t + ∇²/2m - V(x) - g(|φ|² - ρ₀))φ

이 방정식을 그로스-피타옙스키 방정식이라고 한다.

3. 방정식의 형태

그로스-피타옙스키 방정식은 상호작용 항이 추가된 슈뢰딩거 방정식의 형태를 갖는다. 결합 상수 $g$ 는 두 개의 상호작용하는 보존의 ''s''-파 산란 길이 $a_s$ 에 비례한다.

: $g = \frac{4\pi\hbar^2 a_s}{m},$

여기서 $\hbar$ 는 환산된 플랑크 상수이고, $m$ 은 보존의 질량이다. 에너지 밀도는 다음과 같다.

: $\mathcal{E} = \frac{\hbar^2}{2m} |\nabla\Psi(\mathbf{r})|^2 + V(\mathbf{r}) |\Psi(\mathbf{r})|^2 + \frac{1}{2} g |\Psi(\mathbf{r})|^4,$

여기서 $\Psi$ 는 파동 함수 또는 오더 파라미터이고, $V$ 는 외부 퍼텐셜(예: 조화 덫)이다.

입자 수가 보존되는 경우의 시간 독립 그로스-피타옙스키 방정식은 다음과 같다.

: $\mu \Psi(\mathbf{r}) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) + g |\Psi(\mathbf{r})|^2\right) \Psi(\mathbf{r}),$

여기서 $\mu$ 는 화학 퍼텐셜이며, 입자 수가 파동 함수와 다음과 같은 관계를 갖는다는 조건에서 찾을 수 있다.

: $N = \int |\Psi(\mathbf{r})|^2 \, d^3r.$

시간 독립 그로스-피타옙스키 방정식으로부터, 다양한 외부 퍼텐셜에서 보스-아인슈타인 응축의 구조를 찾을 수 있다.

시간 의존 그로스-피타옙스키 방정식은 다음과 같다.

: $i\hbar\frac{\partial\Psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) + g |\Psi(\mathbf{r}, t)|^2\right) \Psi(\mathbf{r}, t).$

이 방정식으로부터 우리는 보스-아인슈타인 응축의 동역학을 살펴볼 수 있다. 이는 갇힌 기체의 집단 모드를 찾는 데 사용된다.

4. 해

그로스-피타옙스키 방정식은 비선형 편미분 방정식이므로, 정확한 해를 구하기 어렵다. 따라서 다양한 근사 및 수치적 방법을 통해 해를 구한다. 몇 가지 특수한 상황을 제외하고는 해석해를 얻는 것은 어려우며, 여러 방법을 사용하여 해의 근사가 이루어지고 있다.

4. 1. 해석적 해

4. 1. 1. 자유 입자

외부 퍼텐셜이 없는 (

V(\mathbf{r}) = 0

) 경우의 가장 간단한 해석해는 자유 입자 해이다.

:

\Psi(\mathbf{r}) = \sqrt{\frac{N}{V}} e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}

이 해는 '''하트리 해'''(하트리 해/Hartree solution^영어)라고도 불린다. 하트리 해는 그로스-피타옙스키 방정식을 만족하지만, 상호 작용 항에 의해 에너지 스펙트럼에는 갭이 남는다.

:

E(\boldsymbol{k}) = N \left[ \frac{\hbar^2k^2}{2m}+ g \frac{N}{2 V}\right]

후겐홀츠-파인스 정리(척력 상호 작용이 있는 보존 기체는 에너지 갭을 갖지 않음)에 따르면, 보존 기체에 하트리 해를 그대로 적용할 수 없다.

4. 1. 2. 솔리톤

보스-아인슈타인 응축체 내에서는 보손 간의 상호작용이 인력인지 척력인지에 따라 '''밝은 솔리톤''' 브라이트 솔리톤/bright soliton^영어 과 '''어두운 솔리톤''' 다크 솔리톤/dark soliton^영어 중 하나인 1차원 솔리톤이 형성될 수 있다. 어느 솔리톤이든 균일한 계에서의 국소적인 응축체의 교란으로 이해된다.

보손 간에 척력 상호작용이 작용하는 경우, 즉 결합 상수가 양수(g > 0)인 경우, 그로스-피타옙스키 방정식의 특수해로서 다음을 얻을 수 있다.

:

\psi(x) = \psi_0\tanh\left(\frac{x}{\sqrt{2}\xi}\right)\,.

여기서 ψ₀는 무한대에서의 응축체의 파동 함수 값을 나타내고, ξ = ħ/√(2mn₀g)는 코히어런트 길이를 나타낸다. 위의 해의 파동 함수는 응축체의 어두운 솔리톤에 해당한다. 어두운 솔리톤이 실현되는 계에서는 응축체의 밀도 분포가 균일하지 않으며, 원점에서 밀도가 0이 된다.

어두운 솔리톤은 위상 결함의 일종이며, ψ의 부호가 원점에서 반전됨으로써 위상에 π만큼의 어긋남이 발생한다.

결합 상수가 음수 (g < 0)인 경우, 즉 보손 간에 인력 상호작용이 작용하는 상황에서는 보스-아인슈타인 응축체의 파동 함수는 다음과 같다.

:

\psi(x,t) = \psi(0)e^{-i\mu t/\hbar}\frac{1}{\cosh\left[\sqrt{2m\vert\mu\vert/\hbar^2}x\right]}

여기서 μ = g|ψ₀|²/2는 화학 포텐셜이다. 위의 파동 함수는 밝은 솔리톤에 해당한다. 밝은 솔리톤이 실현되는 계에서는 응축체의 분포가 원점에 집중된다.

4. 1. 3. 1차원 우물형 포텐셜

4. 2. 근사 해

4. 2. 1. 변분법

정확한 해석적 해를 구하는 것이 불가능한 시스템에서는 변분 근사를 사용할 수 있다. 기본적인 아이디어는 자유 매개변수를 갖는 파동 함수에 대한 변분 ansatz를 만들고, 이를 자유 에너지에 대입하여 자유 매개변수에 대해 에너지를 최소화하는 것이다.

엄밀한 해석 해를 적용할 수 없는 계에서 벗어난 상황에 있는 계에 대해서도, 변분법을 사용한 근사를 통해 해를 평가할 수 있다. 기본적인 아이디어는 파동 함수에 대해 변분에 사용할 어떤 매개 변수를 설정하고, 계의 자유 에너지를 고려하는 것이다. 바닥 상태의 파동 함수는 자유 에너지를 최소화하는 변분 매개 변수를 결정함으로써 얻을 수 있다.

4. 2. 2. 토마스-페르미 근사

기체의 입자 수가 매우 많으면 원자 간 상호 작용이 커져서 그로스-피타옙스키 방정식에서 운동 에너지 항을 무시할 수 있다. 이를 토마스-페르미 근사라고 하며, 단일 입자 파동 함수는 다음과 같다.

:

\psi(x, t) = \sqrt{\frac{\mu - V(x)}{Ng}}.

그리고 밀도 분포는 다음과 같다.

:

n(x, t) =\frac{\mu - V(x)}{g}.

조화 진동자(여기서 위치 에너지는 중심에서 벗어나는 정도에 따라 이차 함수를 가짐)에서 이는 일반적으로 "역 포물선" 밀도 분포라고 하는 밀도 분포를 제공한다.^[18]

보존 기체계의 입자 수가 매우 큰 경우, 해밀토니안의 보존 간 상호작용항의 기여는 보존의 운동 에너지 항보다 훨씬 커진다. 따라서, 입자 수가 충분히 큰 경우에는 운동 에너지 항을 무시할 수 있다. (전체에 대한 기여가 작은) 운동 에너지 항을 해밀토니안에서 제거하는 근사를 토마스-페르미 근사라고 한다. 토마스-페르미 근사 하에서, 그로스-피타옙스키 방정식의 해는 엄밀하게 구할 수 있으며, 다음과 같다.

:

\psi(x) = \begin{cases}\sqrt{\frac{\mu - V(x)}{Ng}} & \left(\frac{\mu - V(x)}{g} \ge 0\right) \\0                            & \mathrm{otherwise}\end{cases}

4. 2. 3. 보골류보프 근사

보스-아인슈타인 응축체의 기본 여기를 찾는 방법으로 그로스-피타옙스키 방정식에 대한 보골류보프 근사가 있다. 응축체 파동 함수는 평형 파동 함수 ${\displaystyle \psi _{0}={\sqrt {n}}e^{-i\mu t}}$와 작은 섭동 ${\displaystyle \delta \psi }$의 합으로 근사된다.

: ${\displaystyle \psi =\psi _{0}+\delta \psi }$.

이 형태는 시간 종속 그로스-피타옙스키 방정식과 그 복소 공액에 삽입되고 ${\displaystyle \delta \psi }$에 대해 1차까지 선형화된다.

: ${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \delta \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\delta \psi +V\delta \psi +g(2|\psi _{0}|^{2}\delta \psi +\psi _{0}^{2}\delta \psi ^{*})}$,

: ${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial \delta \psi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\delta \psi ^{*}+V\delta \psi ^{*}+g(2|\psi _{0}|^{2}\delta \psi ^{*}+(\psi _{0}^{*})^{2}\delta \psi )}$.

다음을 가정하면

: ${\displaystyle \delta \psi =e^{-i\mu t}(u(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}-v^{*}(\mathbf {r} )e^{i\omega t})}$,

${\displaystyle e^{\pm i\omega t}}$ 부분을 독립적인 성분으로 취하여 ${\displaystyle u}$와 ${\displaystyle v}$에 대한 다음의 결합된 미분 방정식을 찾는다.

: ${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V+2gn-\hbar \mu -\hbar \omega \right)u-gnv=0}$,

: ${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V+2gn-\hbar \mu +\hbar \omega \right)v-gnu=0}$.

균일한 시스템의 경우, 즉 ${\displaystyle V(\mathbf {r} )=\mathrm {const} }$인 경우, 0차 방정식에서 ${\displaystyle V=\hbar \mu -gn}$을 얻을 수 있다. ${\displaystyle u}$와 ${\displaystyle v}$를 운동량 ${\displaystyle \mathbf {q} }$의 평면파라고 가정하면 에너지 스펙트럼이 다음과 같이 얻어진다.

: ${\displaystyle \hbar \omega =\epsilon _{\mathbf {q} }={\sqrt {2m}}\left({\frac {\hbar ^{2}|\mathbf {q} |^{2}}{2m}}+2gn\right)}}}$.

큰 ${\displaystyle \mathbf {q} }$의 경우, 분산 관계는 ${\displaystyle \mathbf {q} }$에 대해 이차적이며, 이는 일반적인 상호 작용이 없는 단일 입자 여기에서 예상할 수 있는 것이다. 작은 ${\displaystyle \mathbf {q} }$의 경우, 분산 관계는 선형이다.

: ${\displaystyle \epsilon _{\mathbf {q} }=s\hbar q}$,

여기서 ${\displaystyle s={\sqrt {ng/m}}}$는 응축체 내의 음속이며, 이는 제2 음속이라고도 알려져 있다. ${\displaystyle \epsilon _{\mathbf {q} }/(\hbar q)>s}$라는 사실은 란다우의 기준에 따라 응축체가 초유체임을 보여주는데, 이는 물체가 ''s''보다 작은 속도로 응축체 안에서 이동하면 여기를 생성하는 것이 에너지적으로 유리하지 않아 물체가 소산 없이 이동하게 됨을 의미하며, 이는 초유체의 특징이다. 강하게 초점이 맞춰진 청색 편이 레이저를 사용하여 이러한 응축체의 초유동성을 증명하기 위한 실험이 수행되었다.^[19] 동일한 분산 관계는 응축체가 제2 양자화 형식을 사용하여 미시적인 접근 방식으로 설명될 때 발견된다.

4. 3. 수치적 해

분할 스텝 크랭크-니콜슨^[13] 및 푸리에 스펙트럼^[14] 방법과 같은 여러 수치적 방법이 그로스-피타옙스키 방정식(GPE)을 푸는데 사용되어 왔다.^[13]^[14] 또한, 접촉 상호작용^[15]^[16] 및 장거리 쌍극자 상호작용^[17]에 대한 해를 구하기 위한 다양한 포트란 및 C 프로그램이 존재한다.

5. 성질

이 이론에서는 복소 스칼라장 $\phi$ 의 U(1) 대칭이 멕시코 모자 퍼텐셜 $(|\phi|^2-\rho_0)^2$ 로 인해 자발 대칭 깨짐을 겪는다.^[32] 이에 따라, $\phi(x)=\sqrt{\rho_0}\exp(i\theta(x)+r(x))$ 로 분해하면, $r(x)$ 는 질량을 갖지만 $\theta(x)$ 는 무질량의 골드스톤 보손이 된다.^[32]

$r(x)$ 를 적분해 없애면, $\theta(x)$ 의 유효 이론의 라그랑지언은 다음과 같다.^[32]

: $\mathcal L_{\text{eff}}=\frac1{2g^2}\left(\frac\partial{\partial t}\theta\right)^2-\frac{\rho_0}{2m}(\nabla\phi)^2+\cdots$

상호작용을 무시하면, 유효 빛의 속력은 $c_{\text{eff}}=g\sqrt{\rho_0/m}$ 이며, 낮은 에너지에서 로런츠 대칭이 존재한다. 스칼라장 $\theta$ 는 이 유효 로런츠 대칭에 대하여 무질량 스칼라처럼 행동하며, 따라서 선형 분산 관계를 갖는다. 란다우 조건에 따라서 이 계는 $c_{\text{eff}}$ 미만의 속도에서 초유체를 이룬다.^[32]

6. 치유 길이

치유 길이는 상수 순서 매개변수가 회복될 수 있는 최소 거리를 나타내며, 이는 BEC의 파동 함수가 잠재력의 변화에 얼마나 빠르게 적응할 수 있는지를 설명한다. 응축 밀도가 0에서 n으로 거리 ξ 내에서 증가하는 경우, 치유 길이는 양자 압력과 상호 작용 에너지를 같게 하여 다음과 같이 계산할 수 있다.^[18]^[12]

: $\frac{\hbar^2}{2m\xi^2} = gn \implies \xi=(8\pi n a_s)^{-1/2}$

치유 길이는 단일 입자 파동 함수의 해에서 임의의 길이 척도보다 훨씬 작아야 한다. 치유 길이는 또한 초유체에서 형성될 수 있는 소용돌이의 크기를 결정한다. 이것은 파동 함수가 소용돌이 중심에서 0에서 초유체의 벌크 값으로 회복되는 거리이다(따라서 "치유" 길이라는 이름이 붙었다).

7. 회전하는 나선형 포텐셜에서의 초유체

광학적 포텐셜 우물 $V_\text{twist}(\mathbf{r}, t) = V_\text{twist}(z, r, \theta, t)$ 는 파장 $\lambda_\pm = 2 \pi c/\omega_\pm$ , 유효 폭 $D$ 및 위상 전하 $\ell$ 를 갖는 두 개의 반대 방향으로 전파되는 광학적 소용돌이로 형성될 수 있다.^[20] 이 때, 원통 좌표계 $(z, r, \theta)$ 에서 포텐셜 우물은 ''이중 나선 기하 구조''를 갖는다. 각속도 $\Omega = \delta\omega / 2\ell$ 로 회전하는 기준 프레임에서 나선형 포텐셜을 갖는 시간 종속 그로스-피타옙스키 방정식은 다음과 같다.^[21]

: $i\hbar\frac{\partial\Psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t} =\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V_\text{twist}(\mathbf{r}) + g |\Psi(\mathbf{r}, t)|^2 - \Omega \hat L \right) \Psi(\mathbf{r}, t),$

여기서 $\hat L = -i\hbar \frac{\partial}{\partial\theta}$ 는 각운동량 연산자이다.

응축 파동 함수 $\Psi(\mathbf{r}, t)$ 에 대한 해는 두 개의 위상 공액 물질파 소용돌이의 중첩으로 주어지며, 응축물의 거시적으로 관측 가능한 운동량은 다음과 같다.

: $\langle \Psi | \hat P | \Psi \rangle = N_\text{at} \hbar (k_+ - k_-),$

여기서 $N_\text{at}$ 는 응축물 내 원자 수이다. 이것은 원자 앙상블이 위상 전하 $\ell$ 및 각속도 $\Omega$ 의 부호에 의해 정의된 방향으로 군 속도를 가지며 $z$ 축을 따라 일관되게 이동함을 의미한다.^[22]

: $V_z = \frac{2\Omega \ell}{k_+ + k_-}.$

나선형으로 트랩된 응축물의 각운동량은 정확히 0이다.^[21]

: $\langle \Psi | \hat L | \Psi \rangle = N_\text{at} [\ell\hbar - \ell\hbar] = 0.$

나선형 포텐셜에서 차가운 원자 앙상블의 수치 모델링은 개별 원자 궤적을 나선형 포텐셜 우물 내에 가두는 것을 보여주었다.^[23]

8. 유도 및 일반화

그로스-피타옙스키 방정식은 코히어런트 상태로 표현된 s파 상호작용하는 동일한 보손의 다체 이론의 반고전적 극한으로 유도될 수 있다.^[24] 반고전적 극한은 다수의 양자수에 도달하며, 이는 장 이론을 양의-P 표현(일반화된 글라우버-수다르샨 P 표현) 또는 위그너 표현으로 표현한다.

유한 온도 효과는 응축물과 비응축 원자 간의 산란을 포함하여 일반화된 그로스-피타옙스키 방정식 내에서 처리될 수 있으며,^[25]^[26]^[27]^[28]^[29] 여기서 그로스-피타옙스키 방정식은 저온 극한에서 복구될 수 있다.^[30]^[31]

9. 역사

유진 그로스()^[33]와 레프 페트로비치 피타옙스키()^[34]가 1961년에 그로스-피타옙스키 방정식을 도입하였다.

참조

_[1] 논문 Structure of a quantized vortex in boson systems https://cds.cern.ch/[...]
_[2] 논문 Vortex lines in an imperfect Bose gas http://www.jetp.ras.[...]
_[3] 논문 Quantum Depletion of a Homogeneous Bose-Einstein Condensate https://link.aps.org[...] 2017-11-07
_[4] 논문 Momentum-Resolved Observation of Thermal and Quantum Depletion in a Bose Gas https://link.aps.org[...] 2016-12-02
_[5] 논문 Many-Body Problem in Quantum Mechanics and Quantum Statistical Mechanics https://link.aps.org[...] 1957-02-01
_[6] 논문 Eigenvalues and Eigenfunctions of a Bose System of Hard Spheres and Its Low-Temperature Properties https://link.aps.org[...] 1957-06-15
_[7] 논문 Exact Analysis of an Interacting Bose Gas. I. The General Solution and the Ground State https://link.aps.org[...] 1963-05-15
_[8] 논문 Beyond Gross-Pitaevskii equation for 1D gas: quasiparticles and solitons 2022-01-14
_[9] 논문 Monopole Excitations of a Harmonically Trapped One-Dimensional Bose Gas from the Ideal Gas to the Tonks-Girardeau Regime https://link.aps.org[...] 2015-09-10
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_[13] 논문 Fortran Programs for the time-dependent Gross-Pitaevskii equation in a fully anisotropic trap
_[14] 논문 Bose-Einstein condensation dynamics in three dimensions by the pseudospectral and finite-difference methods
_[15] 논문 C Programs for the time-dependent Gross-Pitaevskii equation in a fully anisotropic trap
_[16] 논문 OpenMP Fortran and C Programs for the time-dependent Gross-Pitaevskii equation in a fully anisotropic trap
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_[18] 서적 Atomic physics https://books.google[...] Oxford University Press 2005
_[19] 논문 Evidence for a Critical Velocity in a Bose–Einstein Condensed Gas
_[20] 논문 Angular momentum of photons and phase conjugation
_[21] 논문 Cold matter trapping via slowly rotating helical potential
_[22] 논문 Superfluid rotation sensor with helical laser trap
_[23] 논문 Guiding of atoms in helical optical potential structures
_[24] 논문 Dynamical quantum noise in trapped Bose-Einstein condensates 1998
_[25] 논문 Dynamics of Trapped Bose Gases at Finite Temperatures 1999
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_[31] 논문 Dynamics and statistical mechanics of ultra-cold Bose gases using c-field techniques https://doi.org/10.1[...] 2008-09-01
_[32] 서적 Quantum Field Theory in a Nutshell http://www.kitp.ucsb[...] Princeton University Press 2014-06-29
_[33] 논문 Structure of a quantized vortex in boson systems 1961-05
_[34] 논문 1961

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