골드스톤 보손

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1. 개요
2. 역사
3. 골드스톤 정리
- 3.1. 골드스톤 정리의 증명
4. 성질
5. 예시
- 5.1. 자연계의 예
- 5.2. 이론적 예 (비선형 σ-모델)
6. 확장
7. 추가 정보
참조

1. 개요

골드스톤 보손은 자발적 대칭 깨짐에 의해 생성되는 무질량 입자를 의미한다. 골드스톤 정리는 라그랑지언이 연속 대칭을 가질 때, 바닥 상태가 라그랑지언 대칭의 일부만 따르는 경우, 즉 자발적 대칭 깨짐이 발생하면 무질량 스칼라 입자인 골드스톤 보손이 생성된다는 수학적 정리이다. 이 정리는 응집 물질 물리학에서도 나타나며, 깨진 대칭에 대응하는 질서 매개변수의 장주파 요동으로 해석될 수 있다. 골드스톤 보손은 스핀 0의 스칼라 보손이며, 게이지 대칭이 깨지는 경우에는 힉스 메커니즘에 따라 게이지 보손이 질량을 얻는다.

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골드스톤 보손
개요
이름	골드스톤 보손
다른 이름	남부-골드스톤 보손 남부-골드스톤-보손 남부 골드스톤 입자
설명	자발적 대칭 깨짐이 있는 양자 시스템에 반드시 존재하는 질량이 없는 보손
상세
관련 개념	자발적 대칭 깨짐 보손
관련 인물	제프리 골드스톤 난부 요이치로
발견	1960년 난부 요이치로 1961년 제프리 골드스톤
성질
질량	0 (질량 없음)
스핀	정수 (보손)
상호작용	자발적 대칭 깨짐과 관련된 상호작용
응용
이론 물리학	입자물리학 응집물질물리학
예시
입자물리학	힉스 보손 (정확히는 유사 골드스톤 보손)
응집물질물리학	포논 (결정 격자의 자발적 대칭 깨짐)

2. 역사

난부 요이치로가 BCS 이론을 바탕으로 하여 1960년에 최초로 제안하였다.^[32] 제프리 골드스톤이 그 이론을 정리하고,^[33] 양자장론의 체계에서 일반화시켰다.^[34]

3. 골드스톤 정리

난부 요이치로가 BCS 이론을 바탕으로 1960년에 처음 제안하였고,^[32] 제프리 골드스톤이 그 이론을 정리하고,^[33] 양자장론의 체계에서 일반화시켰다.^[34]

일반적으로 골드스톤 보손은 스핀 0인 스칼라 보손이다. (다만 초대칭이 깨져 생긴 골드스톤 입자는 페르미온이다.) 골드스톤 보손은 깨진 대칭의 생성원(internal symmetry generator^영어)에 대응되며 해당하는 양자수로 규정된다. 이들은 생성원의 작용에 의해 '''비선형'''적으로 변형되어 진공의 대칭성을 벗어난 들뜬 상태가 될 수 있다. 따라서 이들은 군 공간에서의 대칭 방향이 깨어진 장에서의 들뜬 상태로 해석할 수 있으며, 자발 대칭 깨짐이 '명백한 깨짐'이 아니라면 질량이 없다. 즉, 진공이 여전히 갖는 대칭성을 제외하고 다른 자유도로 움직일 수 있는 연속 대칭성이 있다면 해당 자유도 방향에 대응되는 질량이 0인 입자가 존재한다는 것이다.

일반적으로 골드스톤 보손은 질량이 0이다. 만약 대칭성이 정확한 대칭이 아니라 단지 근사적인 대칭이라면 골드스톤 보손은 상대적으로 가벼운 질량을 가진다. 대칭이 더 근사적일수록 그 골드스톤 보손의 질량이 크다. 이런 경우를 '''유사 골드스톤 보손'''(pseudo-Goldstone boson^영어)이라고 한다. 예를 들어, 강력의 경우, 위 쿼크와 아래 쿼크를 섞는 아이소스핀이라는 근사적 SU(2) 대칭이 있다. (이 대칭은 위 쿼크와 아래 쿼크가 질량을 가지므로 근사적이다.) 이에 따라 생기는 유사 골드스톤 보손은 파이온으로, 중간자 가운데 질량이 가장 작다.

게이지 대칭이 깨지는 경우에는 힉스 메커니즘에 따라 따로 골드스톤 보손이 존재하지 않고, 대신 깨진 게이지 대칭에 대응하는 게이지 보손이 질량을 가지게 된다. (대칭이 깨지지 않는 경우에는 게이지 보손은 항상 0의 질량을 가진다.) 이러한 힉스 메커니즘을 간혹 게이지 보손이 골드스톤 보손을 "삼켜" 질량을 얻는다고 비유적으로 표현한다. 예를 들어, 표준 모형에서는 전약력의 SU(2)×U(1) 대칭이 저절로 깨져, W보손과 Z보손이 질량을 갖게 된다.

'''골드스톤 정리'''(Goldstone's theorem^영어)는 연속 대칭이 자발적 대칭 깨짐을 겪는 일반적인 경우를 다룬다. 즉, 전류는 보존되지만, 바닥 상태는 해당 전하의 작용에 대해 불변하지 않다. 이 경우, 반드시 새로운 질량이 없는 (또는 대칭이 정확하지 않은 경우 가벼운) 스칼라 입자가 가능한 들뜸 스펙트럼에 나타난다. 깨진 대칭, 즉 바닥 상태를 보존하지 않는 대칭의 각 생성자마다 하나의 스칼라 입자(남부-골드스톤 보손)가 존재한다. 남부-골드스톤 모드는 해당 질서 매개변수의 긴 파장 요동이다.

각 대칭 깨짐 이론의 진공과 결합하는 특별한 속성으로 인해, 필드 이론 진폭에 관련된 사라지는 운동량("소프트") 골드스톤 보손은 이러한 진폭을 사라지게 한다("애들러 영점").

복소수 스칼라장 φ를 고려해 보자. 이 때 $\phi^* \phi= v^2$ 는 상수라는 제약 조건이 붙는다. 이러한 종류의 제약 조건을 부과하는 한 가지 방법은 포텐셜 상호 작용 항을 해당 라그랑지안 밀도에 포함시키는 것이다.

: $\lambda(\phi^*\phi - v^2)^2 ~,$

그리고 λ → ∞의 극한을 취한다. 이를 "Abelian 비선형 σ-모델"이라고 한다.^[16]

아래의 제약 조건과 작용은 ''U''(1) 위상 변환 δφ = iεφ에 대해 불변이다. 필드를 재정의하여 제약 조건 없이 실수 스칼라장 (즉, 스핀 0 입자) θ를 얻을 수 있다.

: $\phi = v e^{i\theta}$

여기서 θ는 남부-골드스톤 보손(실제로 $v\theta$ 임)이고, ''U''(1) 대칭 변환은 θ에 시프트를 가하며, 즉

: $\delta \theta = \epsilon ~,$

하지만, 위의 무한소 변환이 그것을 소멸시키지 않음으로써(불변성의 특징) 기본 상태 |0〉을 보존하지 않는다. 이는 아래 전류의 전하에서 분명하게 드러난다.

따라서 진공은 축퇴되어 자발적으로 깨진 대칭의 작용에 대해 불변하지 않다.

해당 라그랑지안 밀도는 다음과 같다.

: ${\mathcal L}=\frac{1}{2}(\partial^\mu \phi^*)\partial_\mu \phi -m^2 \phi^* \phi = \frac{1}{2}(-iv e^{-i\theta} \partial^\mu \theta)(iv e^{i\theta} \partial_\mu \theta) - m^2 v^2 ,$

따라서

:: $=\frac{v^2}{2}(\partial^\mu \theta)(\partial_\mu \theta) - m^2 v^2~.$

라그랑지안 밀도의 상수 항 $m^2v^2$ 는 물리적 의미가 없고, 다른 항은 질량이 없는 스칼라에 대한 운동 항일 뿐이다.

대칭으로 유도된 보존 ''U''(1) 전류는 다음과 같다.

: $J_\mu = v^2 \partial_\mu \theta ~.$

이 전류에서 생성된 전하, ''Q''는 θ와 기본 상태를 새로운 축퇴된 기본 상태로 이동시킨다. 따라서 〈θ〉 = 0의 진공은 〈θ〉 = ε의 ''다른 진공''으로 이동한다. 전류는 원래의 진공을 남부-골드스톤 보손 상태에 연결한다. 〈0|''J''₀(0)|θ〉≠ 0.

일반적으로 여러 스칼라장 φ_j가 있는 이론에서 남부-골드스톤 모드 φ_g는 질량이 없고, 가능한 (축퇴된) 진공 상태의 곡선을 매개변수화한다. 깨진 대칭 변환 하에서의 특징은 잠재력의 최솟값에서 선택된 일부 기본 상태 |0〉에서 ∂''V''/∂''ϕ''_i = 0인 경우, 〈ϕ_g〉 = 0일 때 차수 매개변수인 ''비소멸 진공 기대값'' 〈δϕ_g〉이다. 원칙적으로 진공은 양자 효과를 고려하는 유효 포텐셜의 최솟값이어야 하지만, 1차 근사로 고전적 포텐셜과 같다. 대칭은 모든 대칭 방향에서 필드에 대한 포텐셜의 모든 변동이 사라짐을 규정한다. 모든 방향에서 1차 변동의 진공 값은 사라지지만, 2차 변동의 진공 값도 다음과 같이 사라져야 한다. 필드 대칭 변환 증분의 사라지는 진공 값은 새로운 정보를 추가하지 않는다.

반면에, ''변환 증분의 비소멸 진공 기대값'', 〈δϕ_g〉은 관련 (골드스톤) ''질량 행렬의 영 고유 벡터''를 지정한다.

$\left\langle { \partial^2 V \over \partial \phi _i \partial \phi _j } \right\rangle \langle \delta \phi_j \rangle =0~,$

그리고 이에 해당하는 영 질량 고유값을 지정한다.

3. 1. 골드스톤 정리의 증명

난부 요이치로가 BCS 이론을 바탕으로 1960년에 처음 제안한 골드스톤 정리는,^[32] 제프리 골드스톤이 정리하고,^[33] 양자장론에서 일반화되었다.^[34] 골드스톤 정리는 자발 대칭 깨짐에 의해 골드스톤 보손이 생성되는 것을 설명하는 수학적 정리이다.

어떤 계의 라그랑지언이 연속적인 대칭(리 군으로 표현)을 갖는다고 가정할 때, 라그랑지언이 최소가 되는 지점(바닥 상태, 양자장론에서는 진공)이 이론 자체 대칭군의 일부만 따르는 경우가 있다. (이론 바닥 상태의 대칭군이 이론 자체 대칭군의 부분군). 이를 자발 대칭 깨짐이라고 한다. 골드스톤 정리에 따르면, 이론 자체의 대칭군이

N

차원, 바닥 상태의 대칭군이

N'

차원이면, 바닥 상태를 기준으로 이론을 기술했을 때

N-N'

개의 질량이 없는 스칼라 입자, 즉 골드스톤 보손이 존재한다.

응집물질물리학에서 골드스톤 보손은 깨진 대칭에 대응되는 질서 도움변수(order parameter)의 장주파 요동으로 해석된다.

골드스톤 정리의 증명은 다음과 같다.

진공 상태

|0\rangle

이 어떤 물리적 대칭에 대해 불변이 아니고, 그 대칭의 보존량 연산자를

Q

라고 하면,

:

{d\over dt} Q=0

이다.

진공이 대칭에 따라 변화하므로,

:

Q|0\rangle\ne0

이다.

이 상태의 질량은 슈뢰딩거 방정식에 따라

:

mQ|0\rangle=HQ| 0\rangle=i\frac d{dt}Q| 0\rangle=0

이다.

(

m

은 질량,

H

는 해밀토니안) 따라서

Q|0\rangle

은 질량이 0인 모드이므로, 이 이론은 질량 간극(mass gap)을 지니지 않는다.

Q

를 정의하기 위해 적절한 극한을 취하여 조절하면,

:

{d\over dt} Q_A = {d\over dt} \int_x e^{-x^2\over 2A^2} J^0(x) = -\int_x e^{-x^2\over 2A^2} \nabla \cdot J = \int_x \nabla(e^{-x^2\over 2A^2}) \cdot J

이다.

여기서

A

는 조절에 따른 상수다. 이는

:

\| {d\over dt} Q_A |0\rangle \| \approx {1\over A} \| Q_A|0\rangle \|

을 만족한다.

따라서 이 상태의 질량은

:

m\le 1/A

이다.

A

는 임의로 크게 할 수 있으므로, 질량 간극은 0이다.

만약 이 대칭이 물리적 대칭이 아니라 게이지 대칭이면,

Q|0\rangle\sim |0\rangle

이므로 골드스톤 정리는 성립하지 않는다. (힉스 메커니즘 참조)

골드스톤 정리의 근본 원리는 바닥 상태가 유일하지 않다는 것이다. 일반적으로 보존 법칙에 의해 임의의 대칭 전류에 대한 전하 연산자는 시간에 의존하지 않는다.

:

{d\over dt} Q = {d\over dt} \int_x J^0(x) =0.

전하 연산자를 진공에 가하면, 대칭적인 경우에는 진공을 ''소멸''시키고, 그렇지 않은 경우(자발적 대칭 깨짐), 0 주파수 상태를 생성한다. 전하 자체는 제대로 정의되지 않는다.(Fabri–Picasso 정리 참조).

그러나 필드와의 교환자, 즉 0이 아닌 변환 시프트는 시간 불변이다.

:

\frac{d \langle \delta \phi_g \rangle }{dt} = 0,

따라서 푸리에 변환에서

\delta(k^0)

을 생성한다.^[17] 이는 0이 아닌 전류 교환자에 완전한 중간 상태 집합을 삽입하면, 이러한 상태 중 하나 이상이 질량이 없을 때만 시간 진화가 사라질 수 있음을 보장한다.

진공이 대칭에 대해 불변하지 않으면, 전하 연산자의 작용은 선택된 진공과 다른, 그러나 0의 주파수를 갖는 상태를 생성한다. 이는 거의 정지된 필드의 장파장 진동이다. 0 주파수,

k^0

를 가진 물리적 상태가 존재하므로, 이론은 질량 간극을 가질 수 없다.

극한을 취해, 거대하지만 유한한 영역

A

에서 근사적인 전하 연산자를 진공에 적용하면,

:

{d\over dt} Q_A = {d\over dt} \int_x e^{-\frac{x^2}{2A^2}} J^0(x) = -\int_x e^{-\frac{x^2}{2A^2}} \nabla \cdot J = \int_x \nabla \left (e^{-\frac{x^2}{2A^2}} \right ) \cdot J,

시간 미분 값이 거의 사라지는 상태가 생성된다.

:

\left \| {d\over dt} Q_A |0\rangle \right \| \approx \frac{1}{A} \left \| Q_A|0\rangle\right  \|.

0이 아닌 질량 간극

m_0

을 가정하면, 진공에 직교하는 위의 상태와 같은 임의의 상태의 주파수는 최소한

m_0

이다.

:

\left \| \frac{d}{dt} |\theta\rangle \right \| = \| H |\theta\rangle \| \ge m_0 \||\theta\rangle \|.

A

가 커지면 모순이 발생하므로,

m_0 = 0

이다. 그러나 이 주장은 대칭이 게이지될 때 실패한다. 대칭 생성자가 단지 게이지 변환을 수행하기 때문이다. 게이지 변환된 상태는 정확히 동일한 상태이므로, 대칭 생성자를 사용하면 진공에서 벗어날 수 없다.

:'''Fabri–Picasso 정리.'''

Q

는

Q|0\rangle \ne 0

이 아닌 한, 힐베르트 공간에 적절하게 존재하지 않는다.

이 주장^[18]^[19]은 진공과 전하

Q

가 병진 불변이어야 한다고 요구한다,

P|0\rangle = 0

,

[P,Q] = 0

.

전하와 자체의 상관 관계 함수를 고려해보면,

:

\begin{align}\langle 0| QQ |0\rangle &= \int d^3x \langle0|j_0(x) Q|0\rangle  \\&=\int d^3x \left \langle 0 \left |e^{iPx}  j_0(0) e^{-iPx} Q \right |0 \right \rangle \\&=\int d^3x \left \langle 0 \left | e^{iPx}  j_0(0) e^{-iPx} Q e^{iPx} e^{-iPx} \right | 0 \right \rangle \\&=\int d^3x \left \langle 0 \left | j_0(0)  Q \right |0 \right \rangle\end{align}

따라서 오른쪽 항의 피적분 함수는 위치에 의존하지 않는다.

그 값은 총 공간 부피에 비례한다,

\|Q|0\rangle \|^2 = \infty

— 대칭이 깨지지 않는 한,

Q|0\rangle = 0

. 결과적으로,

Q

는 힐베르트 공간에 적절하게 존재하지 않는다.

4. 성질

일반적으로 골드스톤 보손은 스핀이 0인 스칼라 보손이다. (다만 초대칭이 깨져 생긴 골드스톤 입자는 페르미온이다.) 골드스톤 보손은 깨진 대칭의 생성원(internal symmetry generator^영어)에 대응되며 해당하는 양자수로 규정된다. 이들은 생성원의 작용에 의해 '''비선형'''적으로 변형되어 진공의 대칭성을 벗어난 들뜬 상태가 될 수 있다. 따라서 이들은 군 공간에서의 대칭 방향이 깨어진 장에서의 들뜬 상태로 해석할 수 있으며, 자발 대칭 깨짐이 '명백한 깨짐'이 아니라면 질량이 없다.^[34] 즉, 진공이 여전히 갖는 대칭성을 제외하고 다른 자유도로 움직일 수 있는 연속 대칭성이 있다면 해당 자유도 방향에 대응되는 질량이 0인 입자가 존재한다는 것이다.

만약 대칭성이 정확한 대칭이 아니라 단지 근사적인 대칭이라면 골드스톤 보손은 상대적으로 가벼운 질량을 가진다. 대칭이 더 근사적일수록 그 골드스톤 보손의 질량이 크다. 이런 경우를 '''유사 골드스톤 보손'''(pseudo-Goldstone boson^영어)이라고 한다. 예를 들어, 강력의 경우, 위 쿼크와 아래 쿼크를 섞는 아이소스핀이라는 근사적 SU(2) 대칭이 있다. (이 대칭은 위 쿼크와 아래 쿼크가 질량을 가지므로 근사적이다.) 이에 따라 생기는 유사 골드스톤 보손은 파이온으로, 중간자 가운데 질량이 가장 작다.

게이지 대칭이 깨지는 경우에는 힉스 메커니즘에 따라 따로 골드스톤 보손이 존재하지 않고, 대신 깨진 게이지 대칭에 대응하는 게이지 보손이 질량을 가지게 된다. (대칭이 깨지지 않는 경우에는 게이지 보손은 항상 0의 질량을 가진다.) 이러한 힉스 메커니즘을 간혹 게이지 보손이 골드스톤 보손을 "삼켜" 질량을 얻는다고 비유적으로 표현한다. 예를 들어, 표준 모형에서는 전약력의 SU(2)×U(1) 대칭이 저절로 깨져, W보손과 Z보손이 질량을 갖게 된다.

5. 예시

골드스톤 정리는 연속 대칭이 자발적 대칭 깨짐을 겪는 일반적인 경우를 다룬다. 즉, 전류는 보존되지만, 바닥 상태는 해당 전하의 작용에 대해 불변하지 않은 경우이다. 이때, 가능한 들뜸 스펙트럼에 새로운 질량이 없는 (또는 대칭이 정확하지 않은 경우 가벼운) 스칼라 입자가 반드시 나타난다. 깨진 대칭, 즉 바닥 상태를 보존하지 않는 대칭의 각 생성자마다 하나의 스칼라 입자(남부-골드스톤 보손)가 존재한다. 남부-골드스톤 모드는 해당 질서 매개변수의 긴 파장 요동이다.

각 대칭 깨짐 이론의 진공과 결합하는 특별한 속성으로 인해, 필드 이론 진폭에 관련된 사라지는 운동량("소프트") 골드스톤 보손은 이러한 진폭을 사라지게 한다("애들러 영점").^[7]

5. 1. 자연계의 예

유체에서 음파는 종파이며, 이는 자발적으로 깨진 갈릴레이 대칭성의 골드스톤 보손이다.^[7]
고체에서 골드스톤 보손은 종파 및 횡파 음파이며, 자발적으로 깨진 갈릴레이, 병진, 회전 대칭성의 골드스톤 보손이다. 골드스톤 모드와 깨진 대칭성 간에는 일대일 대응이 없다.^[7]
자석에서 원래의 회전 대칭성(외부 자기장이 없을 때 존재)은 자화가 특정 방향을 가리키도록 자발적으로 깨진다. 이때 골드스톤 보손은 국소 자화 방향이 진동하는 마그논(스핀파)이다.^[7]
파이온은 강한 상호 작용으로 인한 쿼크 응축에 의해 일어나는 QCD의 키랄-맛 대칭성의 자발적 붕괴로 인한 유사 골드스톤 보손이다. 쿼크의 질량에 의해 이 대칭성이 명시적으로 깨지므로 파이온은 질량이 없지 않지만, 질량은 일반적인 하드론 질량보다 훨씬 작다.^[7]
W 및 Z 보손의 종파 편광 성분은 전약 대칭성 SU(2)⊗U(1)의 자발적으로 깨진 부분의 골드스톤 보손에 해당하지만, 관찰할 수 없다.^[7] 이 대칭성은 게이지화되므로, 세 개의 가상 골드스톤 보손은 세 개의 깨진 생성자에 해당하는 세 개의 게이지 보손에 의해 흡수된다. 이는 힉스 메커니즘을 통해 이 세 개의 게이지 보손에 질량과 관련 필요한 세 번째 편광 자유도를 부여한다. 표준 모형에서 설명된다.
초전도 현상에서도 유사한 현상이 발생하며, 이는 남부의 원래 영감의 원천이었다. 즉 광자는 동적 질량을 갖게 된다(초전도체에서 자기선속 배제로 표현됨). 긴즈버그-란다우 이론을 참조하라.^[7]
인플레이션 동안의 원시적 요동은 드 시터 우주의 시간 이동 대칭성의 자발적 대칭성 깨짐으로 인해 발생하는 골드스톤 보손으로 볼 수 있다. 인플레이톤 스칼라장의 이러한 요동은 이후 우주 구조 형성의 씨앗이 된다.^[8]

5. 2. 이론적 예 (비선형 σ-모델)

복소수 스칼라장

\phi

를 고려해 보자. 이때

\phi^*  \phi= v^2

는 상수라는 제약 조건이 붙는다. 이러한 종류의 제약 조건을 부과하는 한 가지 방법은 포텐셜 상호 작용 항을 해당 라그랑지안 밀도에 포함시키는 것이다.^[16]

:

\lambda(\phi^*\phi - v^2)^2  ~,

그리고

\lambda \rightarrow \infty

의 극한을 취한다. 이를 "Abelian 비선형 σ-모델"이라고 한다.^[16]

아래의 제약 조건과 작용은 ''U''(1) 위상 변환

\delta\phi = i\epsilon\phi

에 대해 불변이다. 필드를 재정의하여 제약 조건 없이 실수 스칼라장 (즉, 스핀 0 입자)

\theta

를 얻을 수 있다.

:

\phi = v e^{i\theta}

여기서

\theta

는 낭부-골드스톤 보손(실제로

v\theta

임)이고, ''U''(1) 대칭 변환은

\theta

에 시프트를 가하며, 즉

:

\delta \theta = \epsilon ~,

하지만, 위의 무한소 변환이 그것을 소멸시키지 않음으로써 — 불변성의 특징 — 기본 상태

\langle 0 \rangle

을 보존하지 않는다. 이는 아래 전류의 전하에서 분명하게 드러난다.

따라서 진공은 축퇴되어 자발적으로 깨진 대칭의 작용에 대해 불변하지 않다.

해당 라그랑지안 밀도는 다음과 같다.

:

{\mathcal L}=\frac{1}{2}(\partial^\mu \phi^*)\partial_\mu \phi -m^2 \phi^* \phi = \frac{1}{2}(-iv e^{-i\theta} \partial^\mu \theta)(iv e^{i\theta} \partial_\mu \theta) - m^2 v^2 ,

따라서

::

=\frac{v^2}{2}(\partial^\mu \theta)(\partial_\mu \theta) - m^2 v^2~.

라그랑지안 밀도의 상수 항

m^2v^2

는 물리적 의미가 없고, 다른 항은 질량이 없는 스칼라에 대한 운동 항일 뿐이다.

대칭으로 유도된 보존 ''U''(1) 전류는 다음과 같다.

:

J_\mu = v^2 \partial_\mu \theta ~.

이 전류에서 생성된 전하, ''Q''는

\theta

와 기본 상태를 새로운 축퇴된 기본 상태로 이동시킨다. 따라서

\langle \theta \rangle = 0

의 진공은

\langle \theta \rangle = \epsilon

의 ''다른 진공''으로 이동한다. 전류는 원래의 진공을 낭부-골드스톤 보손 상태에 연결한다.

\langle 0 | J_0(0) | \theta \rangle \ne 0

.

6. 확장

골드스톤 정리의 변형은 비상대론적 이론에도 적용된다.^[20]^[21] 자발적으로 깨진 각 대칭에 대해 일반적으로 보손이고 에너지 간극이 없는 어떤 준입자가 대응된다. 응집 물질에서 이러한 골드스톤 보손은 갭이 없는 모드라고도 한다. 비상대론적 응집 물질의 경우 에너지는 $H - \mu N - \alpha \cdot P$ 이다. 그러나 두 개의 "다른" 자발적으로 깨진 생성기가 "동일한" 남부-골드스톤 보손을 발생시킬 수 있다.

로렌츠 대칭성, 등각 대칭, 회전 대칭, 병진 대칭과 같은 시공간 대칭이 깨질 때, 질서 매개변수는 스칼라장이 아닌 텐서장일 수 있으며, 독립적인 질량 없는 모드의 수는 자발적으로 깨진 생성기의 수보다 적을 수 있다. 시공간 대칭성을 자발적으로 깨는 질서 매개변수 $\langle \phi(\boldsymbol r)\rangle$ 가 있는 이론에서, 발생하는 골드스톤 모드의 수는 깨진 생성기의 수 $T^a$ 에서 다음 방정식의 비자명한 독립 해 $c_a(\boldsymbol r)$ 의 수를 뺀 값이다.^[28]

: $c_a(\boldsymbol r) T^a \langle \phi(\boldsymbol r)\rangle = 0$

내부 대칭성의 경우, 위 방정식은 비자명한 해를 갖지 않으므로 일반적인 골드스톤 정리가 성립한다. 해가 존재한다면, 이는 골드스톤 모드가 서로 선형 종속적이기 때문이며, 결과 모드는 다른 모드의 기울기로 표현될 수 있다. 해 $c_a(\boldsymbol r)$ 의 시공간 의존성은 깨지지 않은 생성기의 방향에 있으므로, 모든 병진 생성기가 깨질 때 비자명한 해가 존재하지 않으며 골드스톤 모드의 수는 다시 한번 깨진 생성기의 수와 정확히 일치한다.

일반적으로, 포논은 자발적으로 깨진 병진 대칭성에 대한 낭부-골드스톤 보손이다.^[29]

자발적으로 깨진 전역 페르미온 대칭(일부 초대칭 모델에서 발생하는 현상)은 골드스톤 페르미온(골드스티노)를 생성한다.^[30]^[31] 이들은 스핀 1/2을 가지며, 0이 아니고, 자발적으로 깨진 해당 초대칭 생성자의 모든 양자수를 전달한다.

자발적 초대칭 깨짐은 초다중항 구조를 깨뜨려 깨진 초대칭의 특징적인 비선형 실현으로 만든다. 이로 인해 골드스티노는 이론 내 모든 입자(모든 스핀의 입자)의 초짝이자 유일한 초짝이 된다. 즉, 두 개의 비-골드스티노 입자는 초대칭 변환을 통해 오직 골드스티노와만 연결되며, 초대칭 깨짐 이전에 연결되어 있었더라도 서로 연결되지 않는다. 결과적으로 이러한 입자의 질량과 스핀 다중도는 임의적이 된다.

6. 1. 비상대론적 이론

골드스톤 정리의 변형은 비상대론적 이론에도 적용된다.^[20]^[21] 자발적으로 깨진 각 대칭에 대해 일반적으로 보손이고 에너지 간극이 없는 어떤 준입자가 대응된다. 응집 물질에서 이러한 골드스톤 보손은 갭이 없는 모드(에너지 분산 관계가

E \propto p^n

과 같고

p=0

일 때 0인 상태)라고도 한다. 비상대론적 응집 물질의 경우 에너지는

H - \mu N - \alpha \cdot P

이다. 그러나 두 개의 "다른" 자발적으로 깨진 생성기가 "동일한" 남부-골드스톤 보손을 발생시킬 수 있다.

6. 2. 시공간 대칭 깨짐

로렌츠 대칭성, 등각 대칭, 회전 대칭, 병진 대칭과 같은 시공간 대칭이 깨질 때, 질서 매개변수는 스칼라장이 아닌 텐서장일 수 있으며, 독립적인 질량 없는 모드의 수는 자발적으로 깨진 생성기의 수보다 적을 수 있다. 시공간 대칭성을 자발적으로 깨는 질서 매개변수

\langle \phi(\boldsymbol r)\rangle

가 있는 이론의 경우, 깨진 생성기의 수

T^a

에서 다음 방정식의 비자명한 독립 해

c_a(\boldsymbol r)

의 수를 뺀 값은 발생하는 골드스톤 모드의 수이다.^[28]

:

c_a(\boldsymbol r) T^a \langle \phi(\boldsymbol r)\rangle = 0

내부 대칭성의 경우, 위의 방정식은 비자명한 해를 갖지 않으므로 일반적인 골드스톤 정리가 성립한다. 해가 존재할 경우, 이는 골드스톤 모드가 서로 선형 종속적이기 때문이며, 결과 모드는 다른 모드의 기울기로 표현될 수 있다. 해

c_a(\boldsymbol r)

의 시공간 의존성은 깨지지 않은 생성기의 방향에 있으므로, 모든 병진 생성기가 깨질 때 비자명한 해가 존재하지 않으며 골드스톤 모드의 수는 다시 한번 깨진 생성기의 수와 정확히 일치한다.

일반적으로, 포논은 자발적으로 깨진 병진 대칭성에 대한 낭부-골드스톤 보손이다.^[29]

6. 3. 남부-골드스톤 페르미온 (골드스티노)

자발적으로 깨진 전역 페르미온 대칭, 즉 일부 초대칭 모델에서 발생하는 현상은 골드스톤 페르미온(골드스티노)를 생성한다.^[30]^[31] 이들은 스핀 1/2을 가지며, 0이 아니고, 자발적으로 깨진 해당 초대칭 생성자의 모든 양자수를 전달한다.

자발적 초대칭 깨짐은 초다중항 구조를 깨뜨려(또는 "감소시켜") 깨진 초대칭의 특징적인 비선형 실현으로 만들며, 이로 인해 골드스티노는 이론 내 ''모든'' 입자, 즉 ''모든 스핀''의 입자의 초짝이고, 유일한 초짝이 된다. 즉, 두 개의 비-골드스티노 입자는 초대칭 변환을 통해 오직 골드스티노와만 연결되며, 초대칭 깨짐 이전에 연결되어 있었더라도 서로 연결되지 않는다. 결과적으로 이러한 입자의 질량과 스핀 다중도는 임의적이 된다.

7. 추가 정보

골드스톤 보손은 정확히 0의 질량을 가지지 않는 경우도 있는데, 이러한 골드스톤 보손은 인프라입자이다.^[20]^[21]

참조

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_[27] 논문 The future of the Higgs boson
_[28] 논문 Spontaneously Broken Spacetime Symmetries and Goldstone's Theorem https://link.aps.org[...] 2002-02
_[29] 서적 Gauge Invariance Approach to Acoustic Fields
_[30] 논문 Is the neutrino a Goldstone particle?
_[31] 논문 On Goldstone fermion
_[32] 저널 인용 https://archive.org/[...]
_[33] 저널 인용
_[34] 저널 인용

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