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그린 정리

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목차

1. 개요

그린 정리는 2차원 공간에서 면적분과 선적분의 관계를 나타내는 정리이다. 연속 미분 가능한 함수 P, Q와 유계 영역 D에 대해, D의 경계선 C를 따라 Pdx + Qdy를 선적분한 값은 D에서 (∂Q/∂x - ∂P/∂y)를 이중 적분한 값과 같다. 이 정리는 켈빈-스토크스 정리의 특수한 경우이며, 물리학과 평면 기하학, 특히 면적 측량학에서 활용된다. 또한, 코시 적분 정리를 유도하고, 2차원 발산 정리와도 관련이 있다. 조지 그린에 의해 유사한 결과가 제시되었으며, 오귀스탱 루이 코시에 의해 현대적인 형태의 그린 정리가 처음으로 발표되었다.

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그린 정리
그린 정리
분야미적분학, 벡터 미적분학
설명
내용2차원 영역에서의 선적분과 이중적분 관계를 설명
관련 개념발산 정리, 스토크스 정리, 기울기 정리
공식 (일반적인 형태)
공식∮C (L dx + M dy) = ∬D (∂M/∂x - ∂L/∂y) dA
설명C는 평면 위의 단순 닫힌 곡선
D는 C로 둘러싸인 영역
L과 M은 D에서 정의된 미분 가능한 함수
공식 (벡터장 형태)
공식∮C F ⋅ dr = ∬D (∇ × F) ⋅ k dA
설명F는 벡터장
dr은 C 위의 미소 변위 벡터
∇ × F는 F의 회전
k는 z축 방향의 단위 벡터
활용
활용 분야물리학
공학
전자기학
유체역학
예시영역의 면적 계산
벡터장의 선적분 계산
보존적 벡터장 판별
기타
관련 인물조지 그린

2. 정의

연속 미분 가능 함수 (P,Q)\colon D\to\mathbb R^2의 정의역 D\subseteq\mathbb R^2가 유계 영역의 폐포이고, 경계선 \partial D가 양의 방향을 가지며, 유한 개의 조각마다 매끄러운 단순 닫힌곡선들로 이루어졌을 때, 그린 정리가 성립한다.[1][2]

그린 정리는 켈빈-스토크스 정리의 특수한 경우로, 곡면 위의 면적분과 그 경계선 위의 선적분의 관계를 설명한다. 또한 이중 적분과 선적분의 관계를 나타내는 수학 공식이며, 3차원으로 확장하거나 일반화된 스토크스 정리의 특수한 경우(2차원 공간 내의 1차 미분 형식과 2차 미분 형식의 관계식)로도 생각할 수 있다.

2. 1. 공식

연속 미분 가능 함수 (P, Q)가 어떤 유계 영역의 폐포 D에서 정의되고, 경계선 ∂D가 양의 방향을 가지며, 유한 개의 조각마다 매끄러운 단순 닫힌곡선들로 이루어졌다고 할 때, 다음 공식이 성립한다. 이를 '''그린 정리'''라고 한다.

:\oint_{\partial D}Pdx+Qdy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy

만약 D가 단일 연결 공간이라면, ∂D는 하나의 단순 닫힌곡선이며, 그 방향은 반시계 방향이다. 만약 D가 단일 연결 공간이 아니라면, ∂D는 여러 개의 단순 닫힌곡선이며, 가장 바깥쪽의 하나는 반시계 방향, 남은 곡선들은 시계 방향이다.

폐곡선 ''C''로 둘러싸인 영역 ''D''에서 ''C''1 급 함수 ''P''(''x'', ''y''), ''Q''(''x'', ''y'')에 대해 다음 공식이 성립한다.

:\oint_{C} (P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y) = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y

이 공식은 ''P''(''x'', ''y''), ''Q''(''x'', ''y'')의 ''C'' 상의 선적분이 그 외미분의 영역 ''D'' 상의 중적분과 일치한다는 것을 보여준다.

2. 2. 정리의 성립 조건

영역 ''D''는 경계가 구분적으로 매끄러운 단일 닫힌 곡선 ''C''로 하는 단일 연결 영역 외에도 다중 연결 영역을 생각할 수 있다. 다중 연결 영역의 경우, 그 경계가 구분적으로 매끄러운 닫힌 곡선 ''C''1, ''C''2, …, ''C''''n''으로 주어지고, ''C''2, …, ''C''''n''이 ''C''1의 내부에 포함된다고 할 때, ''C''2, …, ''C''''n''의 방향은 양의 방향으로 진행했을 때 영역 ''D''의 내부가 왼쪽에 위치하도록 한다. 즉, 외부 경계 ''C''1의 방향이 반시계 방향인 데 반해, 내부 경계 ''C''2, …, ''C''''n''의 방향은 시계 방향으로 한다.[8]

정리의 성립 조건으로, ''P'', ''Q''가 각각 ''y'', ''x''에 대해 1회 연속 미분 가능(''C''1급)이 가정되는 경우가 많지만, 실제로는 ∂''Q''/∂''x'', ∂''P''/∂''y''가 존재하고, 그 차이만 연속이면 충분하다는 것이 1900년, 에두아르 구르사에 의해 제시되었고,[8] 그 후 살로몬 보흐너에 의해서도 1930년대에 비슷한 지적이 이루어졌다.[9]

3. 증명

그린 정리의 증명은 크게 단순 영역에 대한 증명과 조르단 곡선에 대한 증명으로 나뉜다. 단순 영역에 대한 증명은 I형, II형, III형 영역으로 나누어 증명할 수 있으며, 일반적인 경우는 이 결과를 통해 추론한다. 조르단 곡선에 대한 증명은 여러 보조정리를 바탕으로 이루어진다.[3]

3. 1. 단순 영역에서의 증명

''D''가 곡선 ''C''1, ''C''2, ''C''3, ''C''4로 둘러싸인 단순 영역이라면 그린 정리의 절반을 증명할 수 있다.


다음은 단순 영역 ''D''에 대한 정리의 절반에 대한 증명으로, ''C''1과 ''C''3이 수직선으로 연결된 (길이가 0일 수도 있는) 곡선인 I형 영역이다. ''D''가 ''C''2와 ''C''4가 수평선으로 연결된 (길이가 0일 수도 있는) 곡선인 II형 영역인 경우 정리의 다른 절반에 대한 유사한 증명이 존재한다. 이 두 부분을 합쳐서, 이 정리는 따라서 III형 영역(I형과 II형 모두인 영역으로 정의됨)에 대해 증명된다. 일반적인 경우는 ''D''를 III형 영역의 집합으로 분해함으로써 이 특수한 경우로부터 추론될 수 있다.

만약 다음이 증명될 수 있다면

:\oint_C L\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right) dA

그리고

:\oint_C\ M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x}\right) dA

가 참이라면, 그린 정리는 영역 D에 대해 즉시 따른다. 우리는 I형 영역에 대해 위의 첫 번째 식을, II형 영역에 대해 두 번째 식을 쉽게 증명할 수 있다. 그러면 그린 정리는 III형 영역에 대해 따른다.

영역 ''D''가 I형 영역이고, 따라서 오른쪽 그림과 같이

D = \{(x,y)\mid a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}

로 특징지을 수 있다고 가정하자. 여기서 ''g''1과 ''g''2는 연속 함수이다. 위의 첫 번째 식에서 이중 적분을 계산한다:

:

\begin{align}

\iint_D \frac{\partial L}{\partial y}\, dA

& = \int_a^b\,\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \frac{\partial L}{\partial y} (x,y)\,dy\,dx \\

& = \int_a^b \left[L(x,g_2(x)) - L(x,g_1(x)) \right] \, dx.

\end{align}



이제 위의 첫 번째 식에서 선 적분을 계산한다. ''C''는 네 개의 곡선, 즉 ''C''1, ''C''2, ''C''3, ''C''4의 합집합으로 다시 쓸 수 있다.

''C''1에 대해, 매개변수 방정식을 사용한다: ''x'' = ''x'', ''y'' = ''g''1(''x''), ''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''. 그러면

\int_{C_1} L(x,y)\, dx = \int_a^b L(x,g_1(x))\, dx.

''C''3에 대해, 매개변수 방정식을 사용한다: ''x'' = ''x'', ''y'' = ''g''2(''x''), ''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''. 그러면

\int_{C_3} L(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} L(x,y)\, dx = - \int_a^b L(x,g_2(x))\, dx.

''C''3에 대한 적분은 ''C''가 양의 방향(시계 반대 방향)으로 향하기 때문에 ''b''에서 ''a''로 음의 방향으로 가므로 부호가 반전된다. ''C''2와 ''C''4에서 ''x''는 일정하게 유지되므로

\int_{C_4} L(x,y)\, dx = \int_{C_2} L(x,y)\, dx = 0.

따라서

:

\begin{align}

\oint_C L\, dx & = \int_{C_1} L(x,y)\, dx + \int_{C_2} L(x,y)\, dx + \int_{C_3} L(x,y)\, dx + \int_{C_4} L(x,y)\, dx \\

& = \int_a^b L(x,g_1(x))\, dx - \int_a^b L(x,g_2(x))\, dx .

\end{align}



위의 두 결과를 결합하면, I형 영역에 대해 첫 번째 식을 얻는다. 유사한 처리를 통해 II형 영역에 대한 두 번째 식을 얻는다. 두 개를 합치면 III형 영역에 대한 결과를 얻는다.

3. 2. 조르단 곡선에 대한 증명

조르단 곡선에 대한 그린 정리의 증명은 여러 보조정리를 이용하여 진행된다.

우선, 다음 보조정리가 필요하다.[3]
보조정리 1 (분해 보조정리): 평면에서 \Gamma가 가향 가능한 양의 방향 조르단 곡선이고 R이 그 내부 영역이라고 가정하자. 모든 양의 실수 \delta에 대해, \mathcal{F}(\delta)를 x=m\delta, y=m\delta 선으로 경계가 정해지는 평면의 정사각형 모음으로 정의하고, 여기서 m은 정수 집합을 거친다. 그러면, 이 \delta에 대해, \overline{R}을 다음과 같은 방식으로 겹치지 않는 유한 개의 하위 영역으로 분해할 수 있다.

1. R에 포함된 하위 영역, 즉 R_1, R_2,\ldots, R_k 각각은 \mathcal{F}(\delta)의 정사각형이다.

2. 나머지 하위 영역, 즉 R_{k+1},\ldots,R_s 각각은 \Gamma의 유한 개의 호와 \mathcal{F}(\delta)의 어떤 정사각형 변의 일부로 형성된 가향 가능한 조르단 곡선을 경계로 갖는다.

3. 각 경계 영역 R_{k+1},\ldots,R_s는 변의 길이가 2\delta인 정사각형 안에 포함될 수 있다.

4. \Gamma_i가 R_i의 양의 방향 경계 곡선이면, \Gamma=\Gamma_1+\Gamma_2+\cdots+\Gamma_s.

5. 경계 영역의 수 s-k는 4\!\left(\frac{\Lambda}{\delta} + 1\right)보다 크지 않으며, 여기서 \Lambda는 \Gamma의 길이이다.
보조정리 2: 평면에서 \Gamma가 가향 가능한 곡선이고 \Delta_\Gamma(h)가 (범위의) \Gamma로부터 거리가 최대 h인 평면의 점 집합이라고 하자. 이 집합의 외측 조르단 콘텐츠는 \overline{c}\,\,\Delta_\Gamma(h)\le2h\Lambda +\pi h^2을 만족한다.
보조정리 3: \Gamma가 \R^2에서 가향 가능한 곡선이고 f:\text{range of }\Gamma \to \R가 연속 함수라고 하자. 그러면

\left\vert\int_\Gamma f(x,y)\,dy\right\vert \le\frac{1}{2} \Lambda\Omega_f, 및

\left\vert\int_\Gamma f(x,y)\,dx\right\vert \le\frac{1}{2} \Lambda\Omega_f,

여기서 \Omega_f는 \Gamma의 범위에서 f의 진동이다.
증명:\varepsilon를 임의의 양의 실수라고 하자. A, B의 연속성과 \overline{R}의 컴팩트성에 의해, 주어진 \varepsilon>0에 대해, \overline{R}의 두 점 사이의 거리가 2\sqrt{2}\,\delta보다 작으면, A와 B에 의한 이들의 상의 차이가 \varepsilon보다 작은 0<\delta<1이 존재한다. 이 \delta에 대해, 분해 보조정리에 의해 주어진 분해를 고려하면 다음을 얻는다.

\int_\Gamma A\,dx+B\,dy=\sum_{i=1}^k \int_{\Gamma_i} A\,dx+B\,dy\quad +\sum_{i=k+1}^s \int_{\Gamma_i}A\,dx+B\,dy.

\varphi := D_1 B - D_2 A로 놓자.

각 i\in\{1,\ldots,k\}에 대해, 곡선 \Gamma_i는 그린 공식이 성립하는 양의 방향 정사각형이다. 따라서

\sum_{i=1}^k \int_{\Gamma_i}A\,dx + B\,dy =\sum_{i=1}^k \int_{R_i} \varphi = \int_{\bigcup_{i=1}^k R_i}\,\varphi.

모든 경계 영역의 모든 점은 \Gamma로부터 거리가 최대 2\sqrt{2}\,\delta이다. 따라서 K가 모든 경계 영역의 합집합이면, K\subset \Delta_{\Gamma}(2\sqrt{2}\,\delta)이다. 보조정리 2에 의해, c(K)\le\overline{c}\,\Delta_{\Gamma}(2\sqrt{2}\,\delta)\le 4\sqrt{2}\,\delta+8\pi\delta^2이다.

\int_R \varphi\,\,-\int_{\bigcup_{i=1}^k R_i} \varphi=\int_K \varphi.

이것은 다음을 산출한다.

\left\vert\sum_{i=1}^k \int_{\Gamma_i} A\,dx+B\,dy\quad-\int_R\varphi \right\vert \le M \delta(1+\pi\sqrt{2}\,\delta) \text{ for some } M > 0.

마찬가지로, 마지막 부등식의 우변이 <\varepsilon.이 되도록 \delta를 선택할 수 있다.

증명 시작 부분의 언급은 모든 경계 영역에서 A와 B의 진동이 최대 \varepsilon임을 의미한다. 다음을 얻는다.

\left\vert\sum_{i=k+1}^s \int_{\Gamma_i}A\,dx+B\,dy\right\vert\le\frac{1}{2} \varepsilon\sum_{i=k+1}^s \Lambda_i.

분해 보조정리(3)에 의해,

\sum_{i=k+1}^s \Lambda_i \le\Lambda + (4\delta)\,4\!\left(\frac{\Lambda}{\delta}+1\right)\le17\Lambda+16.

이들을 결합하면, 최종적으로 다음을 얻는다.

\left\vert\int_\Gamma A\,dx+B\,dy\quad-\int_R \varphi\right\vert< C \varepsilon,

어떤 C > 0에 대해. 이것이 모든 \varepsilon > 0에 대해 참이므로 증명이 완료된다.

4. 다중 연결 영역

연속 미분 가능 함수 (P,Q)의 정의역 D가 다중 연결 영역인 경우, 그 경계가 구분적으로 매끄러운 닫힌 곡선 ''C''1, ''C''2, …, ''C''''n''으로 주어질 수 있다. 이때 ''C''2, …, ''C''''n''이 ''C''1의 내부에 포함된다고 가정하면, ''C''2, …, ''C''''n''의 방향은 양의 방향으로 진행했을 때 영역 ''D''의 내부가 왼쪽에 위치하도록 설정된다. 즉, 외부 경계 ''C''1은 반시계 방향으로, 내부 경계 ''C''2, …, ''C''''n''은 시계 방향으로 진행한다.[8][9]

5. 응용

그린 정리는 평면 기하학, 특히 면적 측량학에서 경계선을 따라 적분함으로써 평면 도형의 면적과 무게 중심을 결정하는 데 사용될 수 있다.[10] 또한, 그린 정리는 플래니미터에도 응용된다.

5. 1. 물리학에서의 응용

물리학에서 그린 정리는 많은 분야에 적용된다. 그중 하나는 2차원 유동 적분을 푸는 것으로, 부피에서 유출되는 유체의 합은 이를 둘러싼 면적을 따라 합한 총 유출량과 같다는 것을 나타낸다.[10] 평면 기하학, 특히 면적 측량학에서 그린 정리는 경계선을 따라 적분함으로써 평면 도형의 면적과 무게 중심을 결정하는 데 사용할 수 있다.

5. 2. 면적 계산

평면 기하학, 특히 면적 측량학에서 그린 정리는 경계선을 따라 적분함으로써 평면 도형의 면적과 무게 중심을 결정하는 데 사용할 수 있다.[4] 그린 정리는 선적분을 통해 면적을 계산하는 데 사용될 수 있다.[4]

평면 영역 D의 면적은 다음과 같이 주어진다.

:A = \iint_D dA.

L과 M을 \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} = 1이 되도록 선택하면, 면적은 다음과 같이 주어진다.

:A = \oint_{C} (L\, dx + M\, dy).

D의 면적을 구하는 가능한 공식에는 다음이 포함된다.[4]

:A=\oint_C x\, dy = -\oint_C y\, dx = \tfrac 12 \oint_C (-y\, dx + x\, dy).

그린 공식은 플래니미터에도 응용되고 있다.

5. 3. 코시 적분 정리 유도

복소수 ''z'' = ''x'' + ''iy''의 정칙 함수

:

f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) \quad u,v \in \mathbb{R}



에 그린 정리를 적용하면, "정칙 함수의 닫힌 곡선 상의 적분은 0이 된다"라는 코시 적분 정리를 유도할 수 있다.

실제로,

:

\oint_C f(z)\, \mathrm{d}z =\oint_C (u\,\mathrm{d}x-v\,\mathrm{d}y)+i \oint_C (u\,\mathrm{d}y+v \,\mathrm{d}x)



에 대하여, 그린 정리에 의해,

:

\oint_C (u\,\mathrm{d}x-v\,\mathrm{d}y) =

\iint_D\biggl ( -\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \biggr )

\, \mathrm{d}x \mathrm{d}y

, \quad

\oint_C (u\,\mathrm{d}y+v\,\mathrm{d}x)=

\iint_D \biggl (\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} \biggr )

\, \mathrm{d}x \mathrm{d}y



이지만, 피적분 함수는 코시-리만 방정식에 의해 0과 같으므로,

:

\oint_C f(z)\, \mathrm{d}z =0



을 얻는다.

6. 다른 정리와의 관계

그린 정리는 켈빈-스토크스 정리와 발산 정리의 특수한 경우이다.

6. 1. 스토크스 정리와의 관계

그린 정리는 곡면 위의 면적분과 그 경계선 위의 선적분의 관계를 다루는 켈빈-스토크스 정리의 특수한 경우이다.[1][2] 2차원 벡터장을 3차원 벡터장으로 확장하여 켈빈-스토크스 정리를 적용하면 그린 정리를 유도할 수 있다.

2차원 벡터장 \mathbf{F} = (L, M, 0)을 생각하자. 그린 정리의 좌변은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:\oint_C (L\, dx + M\, dy) = \oint_C (L, M, 0) \cdot (dx, dy, dz) = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}.

이제 켈빈-스토크스 정리를 적용하면,

:\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS

가 된다. 여기서 S는 평면 D의 영역이고, \mathbf{\hat n}은 양의 z 성분을 갖는 단위 법선 벡터이다.

적분 내부의 식을 계산하면,

:\nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} = \left[ \left(\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial M}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial L}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \mathbf{k} \right] \cdot \mathbf{k} = \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)

이므로, 그린 정리의 우변을 얻는다.

:\iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS = \iint_D \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \, dA.

미분 형식과 외미분을 사용하면, 그린 정리는 일반화된 스토크스 정리의 특수한 경우로도 볼 수 있다. 일반화된 스토크스 정리는 다음과 같다.

:\int_{\partial D} \omega = \int_D \mathrm{d}\omega

여기서 1차 미분 형식 \omega = P dx + Q dy에 대해, 그 외미분은

:\mathrm{d} \omega = \biggl ( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \biggr ) \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y

이며, 이는 그린 정리와 일치한다.

6. 2. 발산 정리와의 관계

그린 정리는 발산 정리의 2차원 버전과 동일하다.

:\iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA=\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, ds

여기서 \nabla\cdot\mathbf{F}는 2차원 벡터장 \mathbf{F}의 발산이고, \mathbf{\hat n}는 경계에서 바깥쪽을 향하는 단위 법선 벡터이다.

이를 확인하기 위해 방정식 오른쪽에 있는 단위 법선 \mathbf{\hat n}을 고려해 보자. 그린 정리에서 d\mathbf{r} = (dx, dy)는 곡선을 따라 접선 방향을 가리키는 벡터이고, 곡선 ''C''는 경계를 따라 양의 방향(반시계 방향)으로 향하는 곡선이므로, 바깥쪽 법선은 이 벡터의 오른쪽으로 90°를 가리키는 벡터가 된다. 한 가지 선택은 (dy, -dx)일 것이다. 이 벡터의 길이는 \sqrt{dx^2 + dy^2} = ds이다. 따라서 (dy, -dx) = \mathbf{\hat n}\,ds이다.

그린 정리의 왼편부터 시작한다.

:\oint_C (L\, dx + M\, dy) = \oint_C (M, -L) \cdot (dy, -dx) = \oint_C (M, -L) \cdot \mathbf{\hat n}\,ds

\mathbf{F} = (M, -L)로 2차원 발산 정리를 적용하면, 그린 정리의 오른편을 얻을 수 있다.

:\oint_C (M, -L) \cdot \mathbf{\hat n}\,ds = \iint_D\left(\nabla \cdot (M, -L) \right) \, dA = \iint_D \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \, dA

7. 역사

조지 그린은 1828년 논문 ''수학적 분석을 전기 및 자기 이론에 적용하는 에세이''에서 그린 정리와 유사한 결과를 언급했다. 오귀스탱 루이 코시는 1846년에 그린 정리를 언급하는 논문을 발표했는데, 이는 현대 교과서에 나오는 형태의 그린 정리가 처음으로 인쇄된 버전이다. 베른하르트 리만은 1851년에 그린 정리에 대한 증명을 제공했다.

참조

[1] 서적 Mathematical methods for physics and engineering https://archive.org/[...] Cambridge University Press
[2] 서적 Vector analysis and an introduction to tensor analysis https://books.google[...] McGraw Hill Education
[3] 서적 Mathematical Analysis Addison-Wesley 1960
[4] 서적 Calculus https://archive.org/[...] Brooks/Cole
[5] 서적 A history of mathematics: an introduction https://edisciplinas[...] Addison-Wesley
[6] 서적 chapter.1
[7] 서적 第2章
[8] 간행물 Sur la définition générale des fonctions analytiques, d'après Cauchy http://www.ams.org/j[...]
[9] 서적 ベクトル解析入門 森北出版 1997
[10] 서적


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