기수 (수학)

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

기수는 집합의 크기를 나타내는 수학적 개념이다. 선택 공리를 가정한 체르멜로-프렝켈 집합론에서, 기수는 집합과 일대일 대응이 가능한 가장 작은 순서수로 정의된다. 이 정의는 폰 노이만 기수 할당으로 알려져 있으며, 유한 집합의 기수는 그 집합의 가능한 모든 정렬의 공통 서수와 같다. 기수는 덧셈, 곱셈, 거듭제곱과 같은 연산을 가지며, 무한 기수의 연산은 유한 기수와는 다른 특징을 보인다. 예를 들어, 무한 기수의 덧셈과 곱셈은 일반적으로 최댓값으로 계산된다. 기수는 유한 기수와 무한 기수로 분류되며, 무한 기수는 알레프 수로 나타낼 수 있다. 기수는 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 하며, 칸토어에 의해 처음 정립되었다.

더 읽어볼만한 페이지

기수 - 초한수
초한수는 게오르크 칸토어가 도입한 무한 개념을 확장한 수로, 집합의 크기를 나타내는 기수와 정렬된 집합 내의 위치를 나타내는 서수로 나뉘며, 무한에도 여러 종류가 있음을 밝혀 현대 수학의 기초를 다졌다.
기수 - 칸토어의 정리
칸토어의 정리는 집합 X의 멱집합의 크기가 X의 크기보다 항상 크다는 것을 나타내며, 임의의 기수 κ에 대해 2^κ > κ가 성립한다는 내용으로, 칸토어의 대각선 논법으로 증명되고 집합론의 역설과 관련되어 전체 집합의 존재를 가정할 때 칸토어의 역설을 유발한다.

기수 (수학)
기수
정의	집합의 크기를 나타내는 수학적 개념
표기	\|A\|, card(A), #A
관련 분야	집합론, 수리논리학
성질	집합의 크기를 비교하고 무한을 다루는 데 사용됨
기본 개념
유한 기수	자연수와 일대일 대응을 이루는 집합의 크기
무한 기수	자연수 전체의 집합과 크기가 같은 가산 무한 기수 (ℵ₀)와 그 이상의 기수
연속체 가설	ℵ₀와 실수 전체의 집합 사이에는 다른 기수가 존재하지 않는다는 가설
선택 공리	기수의 비교 가능성을 보장하고, 임의의 집합족에서 원소를 선택하는 함수가 존재함을 보장하는 공리
정렬 정리	모든 집합은 정렬 가능하다는 정리
연산
덧셈	두 집합의 합집합의 크기
곱셈	두 집합의 데카르트 곱의 크기
거듭제곱	한 집합에서 다른 집합으로 가는 함수 전체의 집합의 크기
역사
창시자	게오르크 칸토어
초기 연구	무한 집합의 크기를 비교하는 방법 제시
문제점	러셀의 역설 등 집합론의 역설 발생
해결	공리적 집합론의 등장으로 역설 해결 및 기수 개념의 엄밀한 정의 확립
응용
해석학	실수의 크기, 함수의 연속성 등을 다루는 데 사용
위상수학	공간의 연결성, 컴팩트성 등을 다루는 데 사용
모델 이론	논리 체계의 모델의 크기를 다루는 데 사용
참고 사항
서수	집합의 크기를 나타내는 기수와 달리, 순서를 나타내는 수
기수 연산	무한 기수 간의 덧셈, 곱셈, 거듭제곱 연산은 유한 기수와 다른 성질을 가짐

2. 정의

기수는 집합론에서 집합의 크기를 나타내는 개념으로, 두 집합 사이에 전단사 함수가 존재하면 두 집합의 기수가 같다고 정의한다.

기수를 정의하는 방법에는 크게 세 가지가 있다.

동치류를 사용한 정의: 두 집합 사이에 전단사 함수가 존재하면 서로 동치라고 정의한다. 이 동치 관계에 대한 동치류를 통해 기수를 정의할 수 있다. 그러나 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 이러한 동치류가 고유 모임이 되어, 기수들의 집합을 정의할 수 없는 등 기술적인 문제를 일으킨다.^[3] 반면, 유형 이론이나 새 기초 같은 체계에서는 이 정의를 그대로 사용할 수 있다.
폰 노이만 정의: 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서, 집합의 크기는 그 집합과 전단사 함수가 존재하는 가장 작은 순서수로 정의한다. 이는 존 폰 노이만이 도입한 방법이다. 예를 들어, 모든 자연수는 기수이며, 순서수 $\omega$ 는 기수 $\aleph_0$ 이다.
스콧 정의: 선택 공리를 가정하지 않을 때 사용하는 방법으로, 데이나 스콧이 도입하였다. 이를 스콧 계교(Scott’s trick^영어)라고 부른다.^[14] 이 정의에 따르면, 집합의 크기는 그 집합과 같은 크기를 갖는 집합들이 등장하는 최소의 계수에 속하는, 그 집합과 같은 크기를 갖는 모든 집합들의 집합이다.

2. 1. 동치류를 사용한 정의

두 집합 사이에 전단사 함수가 존재하면 서로 동치라고 할 수 있는데, 이러한 관계는 동치 관계를 이룬다. (여기서 집합론적인 문제는 무시한다.) 이 동치 관계에 대한 동치류를 통해 기수를 정의할 수 있다. 하지만 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 이러한 동치류가 고유 모임이 되어, 여러 기술적인 문제를 야기한다. 예를 들어 기수들의 집합을 정의하는 것이 불가능하다.^[3]

반면 유형 이론이나 새 기초(New Foundations) 같은 체계에서는 이 정의를 그대로 사용할 수 있다. 유형 이론을 사용하는 《수학 원리》에서 이 정의를 사용한 것이 그 예시이다.

2. 2. 폰 노이만 정의

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 집합의 크기를 해당 집합과 전단사 함수가 존재하는 가장 작은 순서수로 정의한다. 이는 존 폰 노이만이 도입하였다.

집합

X

의 크기

|X|

는 전단사 함수

X\to\alpha

가 존재하는 가장 작은 순서수

\alpha

이다.

:

|X|=\min\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\alpha\cong X\}

순서수의 고유 모임은 정렬 순서를 갖추었으므로 이 최소는 항상 존재한다.

특정한 집합의 크기가 되는 순서수를 '''기수'''라고 한다. 예를 들어, 모든 자연수는 기수이며, 순서수

\omega

는 기수

\aleph_0

이다. 반면, 순서수

\omega+1

이나

\omega2

,

\omega^\omega

,

\omega^{\omega^{\omega}}

따위는

\omega

와 같은 집합의 크기를 가지므로 기수가 아니다.

형식적으로, 선택 공리를 가정하면, 집합 ''X''의 기수는 ''X''와 α 사이에 전단사 함수가 존재하는 가장 작은 서수 α이다. 이 정의는 폰 노이만 기수 할당으로 알려져 있다.

폰 노이만 기수 할당은 유한 집합의 기수가 그 집합의 모든 가능한 정렬의 공통 서수임을 의미하며, 기수와 서수 산술(덧셈, 곱셈, 거듭제곱, 올바른 뺄셈)은 유한 숫자에서 동일한 답을 제공한다. 그러나 무한 숫자에서는 다르다. 예를 들어, 서수 산술에서는

2^\omega=\omega<\omega^2

인 반면, 기수 산술에서는

2^{\aleph_0}>\aleph_0=\aleph_0^2

이다. 비록 폰 노이만 할당이

\aleph_0=\omega

를 적용하더라도 말이다.

임의의 서수

\beta

에 대해

\beta < \alpha \Rightarrow |\beta| < |\alpha|

를 만족하는 서수

\alpha

를 시작 서수(initial ordinal)라고 한다.^[13] 이때 정렬 가능한 집합

X

에 대해

\min\{\alpha\in\mathbb{ON} :|\alpha| = |X| \}

를 농도

|X|

의 시작 서수라고 한다(단,

\mathbb{ON}

은 서수 전체로 이루어진 클래스).

정렬 가능한 집합의 농도를 그 시작 서수로 정의하는 것을 폰 노이만의 할당이라고 한다.

이때, 서수

\alpha

에 대해 농도

|\alpha|

의 시작 서수가

\alpha

자신이라면,

\alpha

는 기수라고 한다. 또한, 농도가

|\alpha|

와 같은 집합

X

에 대해,

X

의 기수는

\alpha

라고 말하며,

|X|=\alpha

라고 쓴다.

2. 3. 스콧 정의

선택 공리를 가정하지 않을 경우, 데이나 스콧이 도입한 스콧 계교를 사용하여 기수를 정의할 수 있다. 이 정의를 '''스콧 계교'''(Scott’s trick^영어)라고 한다.^[14]

임의의 집합

X

에 대하여,

X

와 같은 크기의 집합이 등장하는 최소의 계수

:

\alpha=\min\left\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon \exists\tilde X\in V_\beta\colon|X|=|\tilde X|\right\}

를 찾을 수 있다. (여기서

V_\beta

는 폰 노이만 전체의 단계이다.)

이 경우,

X

의 '''크기'''

\operatorname{card}(X)

는

V_\alpha

속에서

X

와 같은 크기를 갖는 모든 집합들의 집합이다.

:

\operatorname{card}(X)=\left\{\tilde X\in V_\alpha\colon |X|=|\tilde X|\right\}

'''기수'''는 어떤 집합의 크기가 되는 집합이다. 즉, 집합

S

가 다음 세 조건을 만족시킨다면, '''기수'''라고 한다.

$S$ 는 공집합이 아니다.
$S$ 의 모든 원소들은 같은 계수를 가지며, 같은 크기이다.
$S$ 의 원소의 계수를 $\alpha\in\operatorname{Ord}$ 라고 하면, 임의의 순서수 $\beta<\alpha$ 및 $X\in V_\beta$ 에 대하여, $X$ 는 $S$ 의 원소와 같은 크기를 갖지 않는다.

선택 공리를 가정하지 않고, 계수가 가장 작은

X

와 동등한 집합으로 기수를 정의하는 것을 스콧 계교라고 한다.^[3]

3. 역사

게오르크 칸토어는 1874년부터 1884년 사이에 집합론을 창시하면서 현대적인 기수 개념을 정립했다. 칸토어는 전단사 함수(일대일 대응) 개념을 사용하여 유한 집합뿐만 아니라 무한 집합의 크기도 비교할 수 있음을 보였다. 예를 들어, 집합 {1, 2, 3}과 {4, 5, 6}은 원소는 다르지만, 전단사 함수(1→4, 2→5, 3→6)가 존재하므로 같은 기수 3을 갖는다.

칸토어는 전단사 함수 개념을 무한 집합에 적용하여, 자연수 집합 '''N'''과 전단사 함수를 갖는 집합을 가산 집합이라고 정의하고, 이들의 기수를 $\aleph_0$ (알레프-0)이라고 했다.^[1] 그는 무한 집합의 기수를 초월 기수라고 불렀다.

칸토어는 '''N'''의 모든 무계 부분 집합, 순서쌍의 집합, 유리수 집합, 대수적 수 집합도 가산 집합임을 증명했다.

1874년 논문 "모든 실수 대수적 수의 집합의 한 속성"에서 칸토어는 실수 집합이 '''N'''보다 큰 기수를 가짐을 증명하여 더 높은 차수의 기수가 존재함을 보였다. 1891년 논문에서는 대각선 논법을 사용하여 같은 결과를 더 간단하게 증명했다. 실수 집합의 기수는 연속체 기수라고 불리며, $\mathfrak{c}$ 로 표기한다.

칸토어는 가장 작은 초월 기수 $\aleph_0$ 가 존재하며, 모든 기수에 대해 그보다 큰 다음 기수( $\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \ldots$ )가 존재함을 증명했다.

3. 1. 칸토어의 업적

게오르크 칸토어는 1874년부터 1884년 사이에 집합론을 창시하면서 현대적인 기수 개념을 정립했다. 칸토어는 전단사 함수(일대일 대응) 개념을 사용하여 집합의 크기(농도)를 비교했다. 예를 들어, {1, 2, 3}과 {4, 5, 6}은 원소는 다르지만, 전단사 함수(1→4, 2→5, 3→6)가 존재하므로 같은 기수 3을 갖는다.

칸토어는 전단사 함수 개념을 무한 집합에도 적용하여, 자연수 집합 '''N'''과 전단사 함수를 갖는 집합을 가산 집합이라고 정의하고, 이들의 기수를

\aleph_0

(알레프-0)이라고 했다.^[1] 그는 무한 집합의 기수를 초월 기수라고 불렀다.

칸토어는 '''N'''의 모든 무계 부분 집합이 '''N'''과 같은 기수를 갖는다는 것을 증명했다. 또한, 모든 순서쌍의 집합, 유리수 집합, 대수적 수 집합도 가산 집합임을 보였다.

1874년 논문 "모든 실수 대수적 수의 집합의 한 속성"에서 칸토어는 실수 집합이 '''N'''보다 큰 기수를 가짐을 증명하여 더 높은 차수의 기수가 존재함을 보였다.^[10] 1891년 논문에서는 대각선 논법을 사용하여 같은 결과를 더 간단하게 증명했다.^[11] 실수 집합의 기수는 연속체 기수라고 불리며,

\mathfrak{c}

로 표기한다.

칸토어는 가장 작은 초월 기수

\aleph_0

가 존재하며, 모든 기수에 대해 그보다 큰 다음 기수(

\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \ldots

)가 존재함을 증명했다.

그의 연속체 가설은

\mathfrak{c}

가

\aleph_1

과 같다는 명제이다. 이 가설은 집합론의 표준 공리들과 독립적이며, 증명되거나 반증될 수 없음이 폴 코언과 쿠르트 괴델에 의해 밝혀졌다.

3. 2. 연속체 가설

게오르크 칸토어가 제기한 연속체 가설은 자연수 집합의 크기(

\aleph_0

, 알레프-영)와 실수 집합의 크기(

\mathfrak{c}

, 연속체 기수) 사이에 다른 기수가 존재하는지에 대한 질문이다.^[1] 칸토어는

\mathfrak{c}

가

\aleph_1

과 같다고 예측했다.

이 가설은 집합론의 표준 체르멜로-프렝켈 공리계(ZFC)와 독립적이라는 것이 증명되었다. 즉, 이 공리계로는 연속체 가설을 증명하거나 반증할 수 없다. 이는 1963년 폴 코언에 의해 밝혀졌으며, 1940년 쿠르트 괴델의 이전 연구를 보완한 결과이다.^[10]

연속체 가설(CH)은

\aleph_0

과

2^{\aleph_0}

(=

\mathfrak{c}

) 사이에 기수가 없다는 명제이며, 이 경우

2^{\aleph_0} = \aleph_1

이다. 일반화된 연속체 가설(GCH)은 모든 무한 기수

\kappa

에 대해

\kappa

와

2^\kappa

사이에 기수가 없다고 명시한다. 연속체 가설과 일반화된 연속체 가설은 모두 ZFC와 독립적인 것으로 증명되었다.^[11]

이스턴의 정리에 따르면, 정규 기수

\kappa

에 대해 ZFC가

2^\kappa

의 기수에 가하는 유일한 제약은

\kappa < \operatorname{cf}(2^\kappa)

이고 지수 함수가 감소하지 않는다는 것이다.

4. 연산

순서수와 마찬가지로, 기수에 대하여 덧셈, 곱셈, 거듭제곱을 정의할 수 있다. 이러한 연산은 자연수에 국한하면 자연수의 연산과 같다. 무한 기수의 연산은 무한 순서수의 연산과 매우 다르며, 무한 기수의 경우 이들 연산은 대부분 자명하다.

두 기수 $\kappa$ 와 $\lambda$ 가 각각 집합 $A$ 와 $B$ 의 크기라고 할 때, 덧셈, 곱셈, 거듭제곱은 다음과 같이 정의된다.

(덧셈) $\kappa+\lambda=|A\sqcup B|$ ^[6] 즉, 분리합집합의 크기다.
(곱셈) $\kappa\lambda=|A\times B|$ ^[6] 즉, 곱집합의 크기다.
(거듭제곱) $\kappa^\lambda=|A^B|$ ^[6] 즉, $B$ 에서 $A$ 로 가는 함수 집합의 크기다.

이 정의들은

A

또는

B

가 구체적으로 어떤 집합인지에 관계없이 성립한다.

기수의 연산은 자연수의 연산을 일반화한 것이며, 유한 기수에 대해서는 자연수의 연산과 일치한다. 또한, 일반적인 산술 연산과 많은 성질을 공유한다.

선택 공리를 가정하면, 무한 기수의 덧셈과 곱셈은 간단하게 계산된다. 두 기수 가운데 적어도 하나가 무한이고, 둘 다 0이 아닐 경우에는 두 기수 중 최댓값과 같다.^[6]

연산	식
덧셈	$\kappa + \lambda = \max\{\kappa, \lambda\}$
곱셈	$\kappa \cdot \lambda = \max\{\kappa, \lambda\}$

무한 기수의 거듭제곱은 체르멜로-프렝켈 집합론(선택 공리를 추가한)으로는 대부분 결정할 수 없다. 예를 들어, $2^{\aleph_0}$ 와 같은 간단한 거듭제곱도 결정할 수 없다(연속체 가설).^[15]

4. 1. 순서

두 집합 사이에 단사 함수가 존재하면, 첫 번째 집합의 기수가 두 번째 집합의 기수보다 작거나 같다고 정의한다. 만약 단사 함수

A\hookrightarrow B

가 존재한다면,

\kappa\le\lambda

라고 정의한다.^[2] 기수 간의 순서는 다음과 같이 정의된다: |''X''| ≤ |''Y''|는 ''X''에서 ''Y''로의 단사 함수가 존재함을 의미한다. 칸토어-베른슈타인-슈뢰더 정리에 따르면 |''X''| ≤ |''Y''|이고 |''Y''| ≤ |''X''|이면 |''X''| = |''Y''|이다. 선택 공리는 두 집합 ''X''와 ''Y''가 주어졌을 때, |''X''| ≤ |''Y''| 또는 |''Y''| ≤ |''X''| 중 하나가 성립한다는 것과 같다.^[4]^[5]

4. 2. 바로 뒤 기수

선택 공리를 가정하면, 모든 기수

\kappa

에 대하여 그 '''바로 뒤 기수'''(successor^영어)

\kappa^+

가 존재한다. 이는

\kappa<\lambda<\kappa^+

인 기수

\lambda

가 존재하지 않는 기수

\kappa^+

이다. 자연수의 경우 이는 단순히

n^+=n+1

이며, 알레프 수의 경우에는 다음과 같다.

:

\aleph_{\alpha}^+=\aleph_{\alpha+1}

유한 기수의 따름 기수는 따름 순서수와 차이가 없으나, 무한의 경우에는 무한 순서수와 그 따름 순서수의 크기가 같으므로 다른 정의를 필요로 한다. 따라서, 폰 노이만 기수 배정법과 선택 공리를 이용해 기수 κ의 따름 기수 κ⁺를 다음과 같이 정의한다.

:

\kappa^+ = |\inf \{ \lambda \in\operatorname{Ord} \ |\ \kappa < |\lambda| \}|.

여기에서

\operatorname{Ord}

는 순서수들의 고유 모임이다. 하르톡스의 정리에 따르면 임의의 정렬 가능 기수에 대해 그보다 더 큰 정렬 가능 기수를 구성할 수 있으므로, 위의 집합이 공집합이 아니며, 또한 순서수는 정렬 집합이므로 최소 원소가 실제로 존재한다. 따라서 κ와 κ⁺ 사이에 기수가 존재하지 않는다.

4. 3. 덧셈 · 곱셈 · 거듭제곱

순서수와 마찬가지로, 기수에 대하여 덧셈, 곱셈, 거듭제곱을 정의할 수 있다. 이러한 연산은 자연수에 국한하면 자연수의 연산과 같다. 무한 기수의 연산은 무한 순서수의 연산과 매우 다르며, 무한 기수의 경우 이들 연산은 대부분 자명하다.

두 기수

\kappa

와

\lambda

가 각각 집합

A

와

B

의 크기라고 하자. 이 정의들은

A

또는

B

가 구체적으로 어떤 집합인지 관계없다.

(덧셈) $\kappa+\lambda=|A\sqcup B|$ 즉, 분리합집합의 크기다.
(곱셈) $\kappa\lambda=|A\times B|$ 즉, 곱집합의 크기다.
(거듭제곱) $\kappa^\lambda=|A^B|$ 즉, 함수 $B\to A$ 의 집합의 크기다.

만약 ''X''와 ''Y''가 상호 배타적이라면, 덧셈은 ''X''와 ''Y''의 합집합으로 주어진다.^[6] 두 집합이 이미 상호 배타적이지 않다면, 동일한 기수성을 가진 상호 배타적인 집합으로 대체될 수 있다(예: ''X''를 ''X''×{0}으로, ''Y''를 ''Y''×{1}로 대체).

:

|X| + |Y| = | X \cup Y|.

^[6]

0은 덧셈에 대한 항등원이다. ''κ'' + 0 = 0 + ''κ'' = ''κ''.

덧셈은 결합적이다. (''κ'' + ''μ'') + ''ν'' = ''κ'' + (''μ'' + ''ν'').

덧셈은 교환적이다. ''κ'' + ''μ'' = ''μ'' + ''κ''.

덧셈은 두 인수에 대해 감소하지 않는다.

:

(\kappa \le \mu) \rightarrow ((\kappa + \nu \le \mu + \nu) \mbox{ and } (\nu + \kappa \le \nu + \mu)).

선택 공리를 가정하면, 무한 기수의 덧셈은 간단하다. ''κ'' 또는 ''μ'' 중 하나가 무한하다면,

:

\kappa + \mu = \max\{\kappa, \mu\}\,.

기수의 곱셈은 데카르트 곱에서 유래한다.

:

|X|\cdot|Y| = |X \times Y|

^[6]

''κ''·0 = 0·''κ'' = 0.

''κ''·''μ'' = 0 → (''κ'' = 0 또는 ''μ'' = 0).

1은 곱셈의 항등원이다. ''κ''·1 = 1·''κ'' = ''κ''.

곱셈은 결합 법칙이 성립한다. (''κ''·''μ'')·''ν'' = ''κ''·(''μ''·''ν'').

곱셈은 교환 법칙이 성립한다. ''κ''·''μ'' = ''μ''·''κ''.

곱셈은 두 피연산수에 대해 단조 증가한다.

:''κ'' ≤ ''μ'' → (''κ''·''ν'' ≤ ''μ''·''ν'' 및 ''ν''·''κ'' ≤ ''ν''·''μ'').

곱셈은 덧셈에 대해 분배 법칙이 성립한다.

:''κ''·(''μ'' + ''ν'') = ''κ''·''μ'' + ''κ''·''ν'' 및

:(''μ'' + ''ν'')·''κ'' = ''μ''·''κ'' + ''ν''·''κ''.

선택 공리를 가정하면, 무한 기수의 곱셈도 쉽다. 만약 ''κ'' 또는 ''μ'' 중 하나가 무한이고 둘 다 0이 아니면,

:

\kappa\cdot\mu = \max\{\kappa, \mu\}.

따라서 두 무한 기수의 곱은 그들의 합과 같다.

지수는 다음과 같이 정의된다.

:

|X|^

= \left|X^Y\right|,

여기서 ''X^Y''는 ''Y''에서 ''X''로 가는 모든 함수의 집합이다.^[6]

:κ⁰ = 1 (특히 0⁰ = 1), 빈 함수를 참조하십시오.

:1 ≤ ''μ''이면, 0^''μ'' = 0.

:1^''μ'' = 1.

:''κ''¹ = ''κ''.

:''κ''^{''μ'' + ''ν''} = ''κ''^''μ''·''κ''^''ν''.

:κ^{''μ'' · ''ν''} = (''κ''^''μ'')^''ν''.

:(''κ''·''μ'')^''ν'' = ''κ''^''ν''·''μ''^''ν''.

지수는 두 변수 모두에서 감소하지 않는다.

:(1 ≤ ''ν'' and ''κ'' ≤ ''μ'') → (''ν''^''κ'' ≤ ''ν''^''μ'') and

:(''κ'' ≤ ''μ'') → (''κ''^''ν'' ≤ ''μ''^''ν'').

2^|''X''|는 집합 ''X''의 멱집합의 기수이며, 칸토어의 대각선 논법은 2^|''X''| > |''X''|가 모든 집합 ''X''에 대해 성립함을 보여준다. 이는 가장 큰 기수가 존재하지 않음을 증명한다(왜냐하면 모든 기수 ''κ''에 대해 항상 더 큰 기수 2^''κ''를 찾을 수 있기 때문이다).

이 섹션의 나머지 명제는 선택 공리를 가정한다.

:''κ''와 ''μ''가 모두 유한하고 1보다 크고, ''ν''가 무한대이면, ''κ''^''ν'' = ''μ''^''ν''.

:''κ''가 무한대이고 ''μ''가 유한하고 0이 아니면, ''κ''^''μ'' = ''κ''.

2 ≤ ''κ''이고 1 ≤ ''μ''이며 둘 중 적어도 하나가 무한대이면,

:Max (''κ'', 2^''μ'') ≤ ''κ''^''μ'' ≤ Max (2^''κ'', 2^''μ'').

쾨니히의 정리를 사용하면, 모든 무한 기수 ''κ''에 대해 ''κ'' < ''κ''^cf(''κ'') 및 ''κ'' < cf(2^''κ'')임을 증명할 수 있으며, 여기서 cf(''κ'')는 ''κ''의 공종성이다.

4. 4. 무한 기수의 산술 연산

선택 공리를 가정하면, 무한 기수의 덧셈과 곱셈은 간단하게 계산된다. 두 기수 가운데 적어도 하나가 무한이고, 둘 다 0이 아닐 경우에는 두 기수 중 최댓값과 같다.^[6]

연산	식
덧셈	$\kappa + \lambda = \max\{\kappa, \lambda\}$
곱셈	$\kappa \cdot \lambda = \max\{\kappa, \lambda\}$

무한 기수의 거듭제곱은 체르멜로-프렝켈 집합론(선택 공리를 추가한)으로는 대부분 결정할 수 없다. 예를 들어, $2^{\aleph_0}$ 와 같은 간단한 거듭제곱도 결정할 수 없다(연속체 가설).^[15] 다만, 일반화 연속체 가설을 추가로 가정하면 무한 기수의 거듭제곱을 완전히 결정할 수 있다.

쾨니히의 정리를 사용하면, 모든 무한 기수 ''κ''에 대해 ''κ'' < ''κ''^cf(''κ'') 및 ''κ'' < cf(2^''κ'')임을 증명할 수 있다. 여기서 cf(''κ'')는 ''κ''의 공종도이다.

기수에 대한 기본적인 연산은 유한 기수에 대해 자연수 상의 잘 알려진 연산과 일치하도록 정의된다.

두 무한 기수의 곱은 그들의 합과 같다.

선택 공리를 가정하고, 무한 기수 ''π''와 0이 아닌 기수 ''μ''가 주어지면, ''μ'' · ''κ'' = ''π''를 만족하는 기수 ''κ''가 존재할 필요충분조건은 ''μ'' ≤ ''π''이다. 이 기수 ''κ''는 ''μ'' < ''π''일 경우에만 유일하며 (그리고 ''π''와 같으며) ''π''이다.

선택 공리를 가정하고, 무한 기수 ''κ''와 0보다 큰 유한 기수 ''μ''가 주어졌을 때, $\nu^\mu = \kappa$ 를 만족하는 기수 ''ν''는 $\kappa$ 가 된다.

선택 공리를 가정하고, 무한 기수 ''κ''와 1보다 큰 유한 기수 ''μ''가 주어졌을 때, $\mu^\lambda = \kappa$ 를 만족하는 기수 ''λ''가 존재할 수도 있고, 존재하지 않을 수도 있다. 그러나 그러한 기수가 존재한다면, 그것은 무한하며 ''κ''보다 작고, 1보다 큰 모든 유한 기수 ''ν''도 $\nu^\lambda = \kappa$ 를 만족할 것이다.

5. 성질

모든 기수의 모임은 고유 모임이다 (칸토어 역설). 선택 공리를 가정하면, 기수는 정렬 순서를 이룬다. 알레프 함수는 순서수의 고유 모임과 무한 기수의 고유 모임 사이의 일대일 대응을 정의하며, 이는 정렬 순서를 갖춘 고유 모임의 동형사상이다.

모든 무한 기수는 극한 순서수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, ω·2는 극한 순서수이지만, 그 크기는 $\aleph_0$ =ω이므로 기수가 아니다. 대부분의 순서수는 극한 순서수가 아니므로, 기수들은 순서수들 중에서 상당히 드물게 분포한다.

5. 1. 산술 연산의 대수적 성질

기수의 덧셈과 곱셈은 결합 법칙과 교환 법칙을 만족한다.

:

\kappa+\lambda=\lambda+\kappa

:

\kappa\lambda=\lambda\kappa

:

(\kappa+\lambda)+\mu=\kappa+(\lambda+\mu)

:

(\kappa\lambda)\mu=\kappa(\lambda\mu)

덧셈은 0을 항등원으로 갖고, 곱셈은 1을 항등원으로 갖는다. 0과의 곱은 0이다.

:

\kappa+0=\kappa\cdot1=\kappa

:

\kappa\cdot0=0

또한, 다음과 같은 분배 법칙이 성립한다.

:

\kappa(\lambda+\mu)=\kappa\lambda+\kappa\mu

:

\kappa^{\lambda+\mu}=\kappa^\lambda\kappa^\mu

:

\kappa^{\lambda\mu}=(\kappa^\lambda)^\mu

:

(\kappa\lambda)^\mu=\kappa^\mu\lambda^\mu

거듭 제곱은 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.

:

0^\kappa=\begin{cases}0&\kappa\ne0\\1&\kappa=0\end{cases}

:

1^\kappa=1

:

2^\kappa>\kappa

(칸토어의 정리)

:

\kappa^0=1

:

\kappa^1=\kappa

^[6]

5. 2. 산술 연산의 단조성

기수의 덧셈, 곱셈, 거듭제곱은 자연수에 국한하면 자연수의 연산과 같지만, 무한 기수의 경우 연산은 무한 순서수의 연산과 매우 다르며 대부분 자명하다.

기수의 덧셈과 곱셈은 증가 함수이다. 거듭제곱 역시 두 매개변수에 대해서 증가 함수이다.

$\kappa\le\lambda\implies\kappa+\mu\le\lambda+\mu$
$\kappa\le\lambda\implies\kappa\mu\le\lambda\mu$
$\kappa\le\lambda\implies\kappa^\mu\le\lambda^\mu$
$\kappa\le\lambda\implies\mu^\kappa\le\mu^\lambda$ ( $\mu>0$ )

대우를 취하면 다음을 얻는다.

$\kappa+\mu<\lambda+\mu\implies \kappa<\lambda$
$\kappa\mu<\lambda\mu\implies \kappa<\lambda$
$\kappa^\mu<\lambda^\mu\implies\kappa<\lambda$
$\mu^\kappa<\mu^\lambda\implies\kappa<\lambda$ ( $\mu>0$ )

그러나 기수의 연산들은 순증가 함수가 아니다. 예를 들어,

$2<3$

이지만

$\aleph_0+2=\aleph_0+3$
$\aleph_0\cdot2=\aleph_0\cdot3$
$\aleph_0^2=\aleph_0^3$
$2^{\aleph_0}=3^{\aleph_0}$

이다.

6. 분류

기수는 유한 기수와 무한 기수(초한 기수)로 나눌 수 있다. 유한 기수는 자연수(음이 아닌 정수)와 같으며, 선택 공리를 가정하면 무한 기수는 알레프 수와 같다.^[2] 즉, 선택 공리를 가정하였을 때 기수는 다음과 같다.

: $0, 1, 2, 3, \dots n, \dots; \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \dots, \aleph_\omega, \aleph_{\omega+1}, \dots$

알레프 수의 경우, 임의의 순서수 $\alpha$ 가 알레프 수 $\aleph_\alpha$ 의 첨수가 될 수 있으며, 따라서 어떤 의미에서 알레프 수는 순서수만큼이나 많다. 동시에, 자연수와 알레프 수는 순서수들의 고유 모임의 부분모임이다. 선택 공리를 가정하지 않을 경우에는 알레프 수가 아닌 무한 기수가 있을 수도 있다.

기수는 순서수와 비슷하게 세 가지로 분류할 수 있다. 모든 기수 $\kappa$ 는 다음 세 가지 중 하나에 속한다.

0
'''따름 기수'''(successor cardinal^영어): $\kappa=\lambda^+$ 인 기수 $\lambda$ 가 존재하는 경우이다.
'''극한 기수'''(limit cardinal^영어): 0이 아니며 따름 기수가 아닌 기수이다.

7. 예

모든 자연수 $0, 1, 2, \dots$ 는 기수이다.
알레프-0 ( $\aleph_0$ )은 가산 무한 집합의 크기이다. 예를 들어, 자연수 집합, 정수 집합, 유리수 집합, 대수적 수 집합의 크기가 이에 해당한다.^[1]
연속체 ( $2^{\aleph_0}$ )는 실수 집합의 크기이자 자연수 집합의 멱집합의 크기이며, 임의의 차원의 유클리드 공간의 점의 수이다.
큰 기수는 집합론에서 연구되는 매우 큰 기수들이다.

8. 추가 개념 (일본어 위키에서)

알레프 수는 서수 $\alpha$ 에 대해 $\aleph_\alpha$ 로 표시되며, 초한 재귀로 정의된다. 베트 수 역시 서수 $\alpha$ 에 대해 초한 재귀로 정의된다. 무한 기수 $\kappa$ 가 특정 조건을 만족하면 정칙 기수, 만족하지 않으면 특이 기수라고 한다. 정칙 극한 기수는 약 도달 불가능 기수, 정칙 강 극한 기수는 강 도달 불가능 기수라고 한다.

8. 1. 알레프 수와 베트 수

알레프 수는 서수

\alpha

에 대해

\aleph_\alpha

로 표시되며, 다음과 같이 초한 재귀로 정의된다.

0: $\aleph_0 = |\mathbb{N}|$
후속 서수: $\aleph_{\alpha+1} := \aleph_{\alpha}^+$ (후속 참조)
극한 서수: $\aleph_{\gamma} := \rm{sup}\{\aleph_{\alpha} : \alpha < \gamma \}$ (단, $\gamma$ 는 극한 서수)

알레프 수의 열

\{\aleph_\alpha\}_{\alpha\in\mathbb{ON}}

을 알레프 수라고 부르기도 한다. 모든 알레프 수는 어떤

\alpha

에 의해

\aleph_\alpha

로 나타낼 수 있으며,

\aleph_\alpha

의 시서수는

\omega_\alpha

로 쓴다.

베트 수는 서수

\alpha

에 대해 다음과 같이 초한 재귀로 정의된다.

0: $\beth_0 = \aleph_0$
후속 서수: $\beth_{\alpha+1} := 2^{\beth_\alpha}$ (후속 참조)
극한 서수: $\beth_\gamma := \rm{sup}\{\beth_\alpha : \alpha < \gamma \}$ (단, $\gamma$ 는 극한 서수)

열

\{\beth_\alpha\}_{\alpha\in\mathbb{ON}}

혹은 열 위의 기수를 베트 수(beth number)라고 부른다.

8. 2. 정칙 기수와 특이 기수

무한 기수

\kappa

가 다음 조건을 만족하면 정칙 기수라고 한다.

$|\mathcal{S}| < \kappa$ 이고 $X\in\mathcal{S} \rightarrow |X| < \kappa$ 이면 $|\bigcup\mathcal{S}| < \kappa$

만족하지 않으면 특이 기수라고 한다.

\aleph_\alpha

가 정칙 기수가 되는 것은

\rm{cf}(\omega_\alpha) = \omega_\alpha

와 동치이다.

정칙 극한 기수를 약 도달 불가능 기수, 정칙 강 극한 기수를 강 도달 불가능 기수라고 한다.

참조

_[1] 문헌
_[2] 웹사이트 Cardinal Number https://mathworld.wo[...] 2020-09-06
_[3] 논문 On the Development of the Notion of a Cardinal Number 2010-05
_[4] 서적 Elements of Set Theory Academic Press Inc.
_[5] 간행물 Über das Problem der Wohlordnung http://gdz.sub.uni-g[...] B. G. Teubner 2014-02-02
_[6] 문헌
_[7] 서적 Topological Properties of Spaces of Continuous Functions Springer-Verlag
_[8] 서적 Topological Spaces John Wiley & Sons
_[9] 서적 Boolean Algebras in Analysis Kluwer Academic Publishers
_[10] 논문 Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen. https://www.degruyte[...] 1874-01-01
_[11] 논문 Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigketislehre http://resolver.sub.[...]
_[12] 논문 The June meeting in Vancouver https://www.ams.org/[...] 1955
_[13] 문서 ただし '''ON''' の最小元という意味で0を始順序数ということもある
_[14] 저널 The June meeting in Vancouver 1955-09
_[15] 서적 Zermelo–Fraenkel Set Theory Charles E. Merrill Publishing Company 1968

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com