기약분수

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1. 개요
2. 예시
3. 유일성
4. 활용
5. 일반화
참조

1. 개요

기약분수는 분자와 분모의 공약수가 1뿐인 분수를 의미한다. 분자와 분모를 공약수로 나누거나, 최대공약수로 나누어 기약분수를 만들 수 있다. 모든 유일수는 양의 분모를 가진 기약분수로 유일하게 표현될 수 있으며, 이는 2의 제곱근이 무리수임을 증명하는 데 사용될 수 있다. 기약분수의 개념은 고유 인수 분해 정역의 분수체로 일반화된다.

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기약분수
정의
기약 분수	더 이상 약분할 수 없는 분수
영어	Irreducible fraction, reduced fraction, simplest form
성질
분모와 분자	분모와 분자가 서로소인 정수 분수
표현	분모와 분자를 나눌 수 있는 공통 약수가 1뿐인 분수
예시	sfrac: "1/4" sfrac: "5/6" sfrac: "-101/100"
약분
정의	분수를 기약 분수로 만드는 과정
방법	분모와 분자의 최대공약수로 분모와 분자를 나눔
예시	sfrac: "2/4" = sfrac: "1/2"

2. 예시

$\frac{120}{90}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$

위 식에서 첫 번째 등식은 분자와 분모를 10으로 약분한 결과이고, 두 번째 등식은 분자와 분모를 3으로 약분한 결과이다. 더 이상 약분되지 않으므로 최종 결과가 기약분수이다.

단위분수는 분자가 1인 분수를 뜻한다. 기약분수는 분모와 분자가 1 이외의 공약수를 갖지 않는 분수이므로, 모든 단위분수는 기약분수이다.

2. 1. 약분을 통한 기약분수 만들기

numerator|분자^영어와 denominator|분모^영어의 공약수로 나누어 기약분수를 만드는 과정을 단계별로 설명한다.

:

\frac{120}{90}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}

첫 번째 단계에서 120과 90의 공약수인 10으로 나누고, 두 번째 단계에서 12와 9의 공약수인 3으로 나누어 기약분수 4/3|4/3^영어를 얻는다. 약분을 하기 위한 공약수는 유클리드 호제법 등의 방법으로 찾아낼 수 있다.

원래 분수는 90과 120의 최대공약수인 30을 사용하여 한 단계로 줄일 수도 있다. 120 ÷ 30 = 4이고 90 ÷ 30 = 3이므로, 다음과 같다.

:

\frac{120}{90}=\frac{4}{3}

어떤 방법이 "직접" 더 빠른지는 분수와 공통 인자를 쉽게 찾아낼 수 있는지에 따라 달라진다. denominator|분모^영어와 numerator|분자^영어가 너무 커서 육안으로 서로소임을 확인할 수 없는 경우, 분수가 실제로 기약 분수인지 확인하기 위해 최대공약수 계산이 필요하다.^[1]

2. 2. 최대공약수를 이용한 기약분수 만들기

분자와 분모의 최대공약수를 한 번에 나누어 기약분수를 만들 수 있다. 120과 90의 최대공약수인 30으로 나누면 바로 기약분수 4/3를 얻는다.^[1]

:

\frac{120}{90}=\frac{4}{3}

어떤 방법을 사용할지는 숫자의 크기와 공약수를 찾는 난이도에 따라 달라진다.^[1]

2. 3. 유클리드 호제법

분자와 분모가 너무 커서 눈으로 서로소인지 확인하기 어려운 경우에는 최대공약수를 계산하여 기약분수인지 확인해야 한다. 최대공약수를 구하는 방법으로는 유클리드 호제법 등을 사용할 수 있다.^[1]

3. 유일성

모든 유리수는 양의 분모를 가진 기약분수로서의 ''유일한'' 표현을 갖는다. 유일성은 정수의 소인수분해의 유일성에 따른 결과이며, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ( $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 는 정수이고 $b$ , $d$ 는 양수)이고 $\frac{a}{b}$ 와 $\frac{c}{d}$ 가 기약분수이면, $ad = bc$ 를 의미하며, 양변은 동일한 소인수분해를 공유해야 한다. $a$ 와 $b$ 는 소인수를 공유하지 않으므로, $a$ 의 소인수 집합(중복 포함)은 $c$ 의 소인수의 부분집합이고 그 반대도 마찬가지이므로 $a = c$ 이고 같은 논리로 $b = d$ 이다.

4. 활용

2의 제곱근의 무리수 증명 등 여러 무리수 증명에 기약분수로 나타내는 방법이 활용된다. 예를 들어, 어떤 증명에서 $\sqrt{2}$ 를 정수의 비율, 즉 ''a''와 ''b''가 가장 작은 정수인 기약분수 $\frac{a}{b}$ 로 표현할 수 있다고 가정한다. $\sqrt{2}$ 가 1보다 크므로 ''a'' > ''b''이다. $\frac{a}{b}$ 가 $\sqrt{2}$ 와 같다면, $\frac{2b - a}{a - b}$ 도 $\sqrt{2}$ 와 같다(교차 곱을 통해 확인). 그런데 이 분수는 더 작은 두 정수의 비율이므로 모순이 발생한다. 따라서 2의 제곱근을 두 정수의 비율로 표현할 수 있다는 가정은 거짓이다.

5. 일반화

기약분수의 개념은 유일 인수 분해 정역의 분수체로 일반화된다. 이러한 체의 모든 원소는 분모와 분자가 서로소인 분수로 표현될 수 있으며, 이는 분모와 분자를 최대공약수로 나누어 얻을 수 있다.^[6] 이는 특히 체 위의 유리식에 적용된다. 주어진 원소에 대한 기약분수는 분모와 분자를 동일한 가역 원소로 곱하는 것을 제외하면 유일하다. 유리수의 경우, 모든 수는 분모와 분자의 부호를 변경하여 만들어지는 두 개의 기약분수를 갖는다. 이 모호성은 분모가 양수가 되도록 요구함으로써 제거할 수 있다. 유리 함수의 경우, 분모는 모닉 다항식이 되도록 요구할 수 있다.^[7]

참조

_[1] 간행물 Fraction
_[2] 서적 The Legacy of Niels Henrik Abel: The Abel Bicentennial, Oslo, June 3-8, 2002 https://books.google[...] Springer
_[3] 서적 Elements of Arithmetic and Algebra: For the Use of the Royal Military College Longman, Brown, Green, and Longmans
_[4] 서적 Integers, Fractions, and Arithmetic: A Guide for Teachers https://books.google[...] American Mathematical Society
_[5] 서적 Learning Modern Algebra https://books.google[...] Mathematical Association of America
_[6] 서적 Abstract Algebra https://books.google[...] CRC Press
_[7] 서적 Abstract Algebra https://books.google[...] Springer

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