스토크스의 정리

3. 특수한 경우

미적분학의 기본정리는 구간 $[a,\; b]$ 위의 함수 $f$의 적분을 $f$의 부정적분 $F$를 통해 계산할 수 있다는 정리이다.

:$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\; dx\; =\; F(b)\; -\; F(a)$

스토크스의 정리는 이 정리를 다음과 같이 일반화한다.

• $F$가 $\backslash scriptstyle\; \backslash frac\{dF\}\{dx\}=f(x)$로 결정된다는 것은, 미분 형식의 관점에서 $f(x)\; dx$가 0-형식(0-form)의 외미분(exterior derivative)이 됨을 의미한다. 즉, 함수 $F$에 대해 $dF\; =\; f\; dx$이다. 일반화된 스토크스 정리는 $F$ 대신 더 높은 차수의 미분 형식에도 적용된다.
• 폐구간 $[a,\; b]$는 경계를 갖는 1차원 매끄러운 다양체(one-dimensional manifold with boundary)의 간단한 예이며, 경계는 두 점 $a,\; b$로 이루어진다. 구간 위 함수 $f$의 적분은 고차원 다양체 위에서 미분 형식을 적분하는 것으로 일반화 가능하다. 이때, 다양체는 방향을 가져야 하고, 적분이 잘 정의되기 위해 미분 형식은 콤팩트 지지여야 한다.
• 두 점 $a,\; b$는 구간 $[a,\; b]$의 경계를 이룬다. 일반적으로 스토크스의 정리는 경계를 갖는 유향 다양체 $M$에 적용된다. $M$의 경계 $\backslash partial\; M$은 자체로 다양체가 되며, $M$의 방향성에 따라 자연스럽게 유향 다양체가 된다. 예를 들어 구간의 방향은 두 경계점의 방향을 결정한다.

3. 1. 켈빈-스토크스 정리

3. 2. 그린 정리

4. 증명

스토크스 정리의 증명은 일반적으로 미분 형식과 다양체의 이론을 사용하여 엄밀하게 증명할 수 있다. 하지만, 여기서는 기본적인 벡터 미적분학 지식만으로 이해할 수 있는 증명 방법을 제시한다. 증명은 다음 4단계로 구성된다.^[12] 미분 형식을 이용한 증명 방법도 존재한다.^[10]

'''1단계:''' $\backslash mathbf\{P\}(u,v)$ '''정의하기'''^[19][20][28]

$\backslash mathbf\{P\}(u,v)\; =\; \backslash left(\backslash mathbf\{F\}(\backslash boldsymbol\{\backslash psi\}(u,v))\backslash cdot\backslash frac\{\backslash partial\backslash boldsymbol\{\backslash psi\}\}\{\backslash partial\; u\}(u,v)\backslash right)\backslash mathbf\{e\}\_u\; +\; \backslash left(\backslash mathbf\{F\}(\backslash boldsymbol\{\backslash psi\}(u,v))\backslash cdot\backslash frac\{\backslash partial\backslash boldsymbol\{\backslash psi\}\}\{\backslash partial\; v\}(u,v)\; \backslash right)\backslash mathbf\{e\}\_v$

:$\backslash mathbf\{P\}(u,v)=(\{P\}\_\{1\}(u,v),\; \{P\}\_\{2\}(u,v))$를 $\backslash mathbf\{P\}$가 "$\backslash textbf\{F\}$의 당겨옴"이 되도록 정의한다.

$\backslash mathbf\{P\}(u,v)$는 $\backslash mathbb\{R\}^\{2\}$에 값을 가지는 함수이며, 두 개의 매개변수 ''u'' , ''v''를 갖는다.

'''2단계:''' $\{\backslash oint\}\_\{\backslash Gamma\}\; \backslash mathbf\{F\}\; d\backslash Gamma=\; \{\backslash oint\}\_\{\backslash gamma\}\; (\backslash mathbf\{F\}\backslash circ\backslash psi)\; d\backslash gamma$ '''증명'''^[19][20][28]

$\backslash psi$와 $\backslash gamma$를 정리 섹션에서 정의한 것과 같이 변수 변환을 적용하면,

$$\backslash oint\_\{\backslash partial\backslash Sigma\}\{\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{x\})\backslash cdot\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{\backslash Gamma\}\}$$

= \oint_{\gamma}{\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{\gamma}))\cdot\,\mathrm{d}\boldsymbol{\psi}(\mathbf{\gamma})}

= \oint_{\gamma}{\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))\cdot J_{\mathbf{y}}(\boldsymbol{\psi})\,\mathrm{d}\gamma}

여기서 $J\_\{\backslash mathbf\{y\}\}(\backslash boldsymbol\{\backslash psi\})$는 $\backslash mathbf\{y\}$에서 $\backslash boldsymbol\{\backslash psi\}$의 야코비 행렬을 나타낸다.

$\backslash \{\backslash mathbf\{e\}\_u,\; \backslash mathbf\{e\}\_v\backslash \}$를 $\backslash mathbb\{R\}^2$의 좌표 방향에 대한 정규 직교 기저라고 하고,^[13] $J\_\{\backslash mathbf\{y\}\}(\backslash boldsymbol\{\backslash psi\})$의 열이 $\backslash mathbf\{y\}$에서 $\backslash boldsymbol\{\backslash psi\}$의 편도함수라는 것을 이용하여 이전 방정식을 좌표로 전개하면 다음과 같다.

$$\backslash begin\{align\}$$

\oint_{\partial\Sigma}{\mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{\Gamma}}

&=\oint_{\gamma}{\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))J_{\mathbf{y}}(\boldsymbol{\psi})\mathbf{e}_u(\mathbf{e}_u\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{y}) + \mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))J_{\mathbf{y}}(\boldsymbol{\psi})\mathbf{e}_v(\mathbf{e}_v\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{y})} \\

&=\oint_{\gamma}{\left(\left(\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial u}(\mathbf{y})\right)\mathbf{e}_u + \left(\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial v}(\mathbf{y})\right)\mathbf{e}_v\right)\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{y}}

\end{align}

'''3단계:''' $$

\iint_{\mathbb{S}} \nabla\times\mathbf{F}\ d\mathbb{S}

=\iint_{D} \left( \frac{\partial {P}_{2}}{\partial u} - \frac{\partial {P}_{1}}{\partial v} \right) dudv

'''증명'''^[19][20][28]

먼저, 그린 정리에 나타나는 편도함수를 곱 규칙을 통해 계산한다.

$$\backslash begin\{align\}$$

\frac{\partial P_u}{\partial v} &= \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \boldsymbol{\psi})}{\partial v}\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} + (\mathbf{F}\circ \boldsymbol\psi) \cdot\frac{\partial^2 \boldsymbol\psi}{\partial v \, \partial u} \\[5pt]

\frac{\partial P_v}{\partial u} &= \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \boldsymbol{\psi})}{\partial u}\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v} + (\mathbf{F}\circ \boldsymbol\psi) \cdot\frac{\partial^2 \boldsymbol\psi}{\partial u \, \partial v}

\end{align}

혼합 편도함수의 등식에 의해 두 번째 항은 차이에서 사라진다.^[14]

$$\backslash begin\{align\}$$

\frac{\partial P_v}{\partial u} - \frac{\partial P_u}{\partial v}

&= \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \boldsymbol{\psi})}{\partial u}\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v} - \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \boldsymbol{\psi})}{\partial v}\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} \\[5pt]

&= \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v}\cdot(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} - \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u}\cdot(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v} && \text{(체인 규칙)}\\[5pt]

&= \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v}\cdot\left(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F}-{(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})}^{\mathsf{T}}\right)\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u}

\end{align}



여기서 이차 형식의 행렬 $J\_\{\backslash boldsymbol\backslash psi(u,v)\}\backslash mathbf\{F\}-(J\_\{\backslash boldsymbol\backslash psi(u,v)\}\backslash mathbf\{F\})^\{\backslash mathsf\{T\}\}$은 외적을 설명한다.

$\{(J\_\{\backslash boldsymbol\backslash psi(u,v)\}\backslash mathbf\{F\})\}$를 대입하면,

$$\backslash left(\{(J\_\{\backslash boldsymbol\backslash psi(u,v)\}\backslash mathbf\{F\})\}\; -\; \{(J\_\{\backslash boldsymbol\backslash psi(u,v)\}\backslash mathbf\{F\})\}^\{\backslash mathsf\{T\}\}\; \backslash right)\; \backslash mathbf\{x\}\; =(\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{F\})\backslash times\; \backslash mathbf\{x\},\; \backslash quad\; \backslash text\{for\; all\}\backslash ,\; \backslash mathbf\{x\}\backslash in\backslash R^\{3\}$$

편도함수의 차이를 (스칼라) 삼중 곱으로 나타낼 수 있다.

$$\backslash begin\{align\}$$

\frac{\partial P_v}{\partial u} - \frac{\partial P_u}{\partial v}

&= \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v}\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) \times \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} \times \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v}

\end{align}

곡면 적분의 정의에는 삼중 곱이 포함되어 있다.

$$\backslash begin\{align\}$$

\iint_\Sigma (\nabla\times\mathbf{F})\cdot \, d\mathbf{\Sigma}

&=\iint_D {(\nabla\times\mathbf{F})(\boldsymbol\psi(u,v))\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u}(u,v)\times \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v}(u,v)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v}

\end{align}

따라서,

$$\backslash iint\_\backslash Sigma\; (\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{F\})\backslash cdot\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{\backslash Sigma\; \}\; =\; \backslash iint\_D\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash partial\; P\_v\}\{\backslash partial\; u\}\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; P\_u\}\{\backslash partial\; v\}\; \backslash right)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}u\backslash ,\backslash mathrm\{d\}v$$

'''4단계: 그린 정리로 귀결'''^[19][20][28]

2단계와 3단계의 결과를 그린 정리에 대입하면 스토크스 정리를 얻을 수 있다.

미분 형식을 이용하면, 함수 $\backslash mathbf\{F\}$에 연관된 미분 1-형식을 $\backslash omega\_\{\backslash mathbf\{F\}\}$라고 할 때,

$$\backslash star\backslash omega\_\{\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{F\}\}=\backslash mathrm\{d\}\backslash omega\_\{\backslash mathbf\{F\}\},$$

여기서 $\backslash star$는 호지 쌍대이고 $\backslash mathrm\{d\}$는 외미분이다. 따라서 일반화된 스토크스 정리에 의해,^[16]

$$\backslash oint\_\{\backslash partial\backslash Sigma\}\{\backslash mathbf\{F\}\backslash cdot\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{\backslash gamma\}\}$$

=\oint_{\partial\Sigma}{\omega_{\mathbf{F}}}

=\int_{\Sigma}{\mathrm{d}\omega_{\mathbf{F}}}

=\int_{\Sigma}{\star\omega_{\nabla\times\mathbf{F}}}

=\iint_{\Sigma}{\nabla\times\mathbf{F}\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}}

5. 응용

스토크스 정리는 미적분학의 기본정리를 일반화한 것으로, 다양한 분야에 응용된다. 특히, 3차원 공간에서 폐곡선에 대한 선적분을 해당 폐곡선이 둘러싼 곡면에서의 면적분으로 변환하는 '''켈빈-스토크스 정리'''(Kelvin–Stokes theorem^영어)가 대표적이다.

:$\backslash oint\_\{\backslash partial\; R\}\{\backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{r\}\}\; =\; \backslash iint\_\{R\}\{\backslash operatorname\{curl\}\backslash ,\backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{S\}\}$

이는 그린 정리를 통해 증명될 수 있다.

스토크스 정리는 층상 벡터장(보존력장)에서 스칼라 포텐셜의 유일성을 증명하고, 전자기학에서 맥스웰 방정식의 미분형과 적분형 사이의 관계를 설명하는 데에도 사용된다.

5. 1. 비회전장 (Irrotational Fields)

• '''[TLH0]''' $H$는 조각별로 매끄럽다.
• '''[TLH1]''' 모든 $t\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(t,\; 0)\; =\; c\_0(t)$이다.
• '''[TLH2]''' 모든 $t\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(t,\; 1)\; =\; c\_1(t)$이다.
• '''[TLH3]''' 모든 $s\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(0,\; s)\; =\; H(1,\; s)$이다.

5. 2. 맥스웰 방정식

• 패러데이 법칙: 전기장 $\backslash mathbf\{E\}$에 대한 스토크스 정리는 다음과 같다.

• 암페어 법칙: 자기장 $\backslash mathbf\{B\}$에 대한 스토크스 정리는 다음과 같다.

5. 3. 보존력

• '''[TLH0]''' $H$는 조각별로 매끄럽다.
• '''[TLH1]''' 모든 $t\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(t,\; 0)\; =\; c\_0(t)$이다.
• '''[TLH2]''' 모든 $t\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(t,\; 1)\; =\; c\_1(t)$이다.
• '''[TLH3]''' 모든 $s\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(0,\; s)\; =\; H(1,\; s)$이다.

• '''[SC0]''' $H$는 ''조각별로 매끄럽다''.
• '''[SC1]''' 모든 $t\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(t,\; 0)\; =\; c\_0(t)$이다.
• '''[SC2]''' 모든 $t\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(t,\; 1)\; =\; \backslash mathbf\{p\}$이다.
• '''[SC3]''' 모든 $s\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(0,\; s)\; =\; H(1,\; s)\; =\; \backslash mathbf\{p\}$이다.

• '''[SC0']''' $H$는 ''연속적''이다.
• '''[SC1]''' 모든 $t\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(t,\; 0)\; =\; c(t)$이다.
• '''[SC2]''' 모든 $t\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(t,\; 1)\; =\; \backslash mathbf\{p\}$이다.
• '''[SC3]''' 모든 $s\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(0,\; s)\; =\; H(1,\; s)\; =\; \backslash mathbf\{p\}$이다.

참조

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_[8] 문서 Γ may not be a Jordan curve if the loop γ interacts poorly with ψ. Nonetheless, Γ is always a loop (topology)|loop, and topologically a connected sum of countable set|countably many Jordan curves, so that the integrals are well-defined.
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_[14] 문서 For all a, b ∈ ℝ^{n}, for all A ; n× n square matrix, a⋅ A b = a^mathsf{T}A b and therefore a⋅ A b = b ⋅ A^mathsf{T} a
_[15] 문서 In this article, e_1= [[1],[0],[0]] , e_2 = [[0],[1],[0]] , e_3 = [[0],[0],[1]] . Note that, in some textbooks on vector analysis, these are assigned to different things.
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_[25] 서적 ベクトル解析現代数学レクチャーズ C- 1 培風館
_[26] 문서 조르단 폐곡선정리에 따르면 조르단 곡선은 ℝ3을 두 개의 연결된 영역으로 분할합니다. 첫 번째(제한된 영역)는 콤팩트 집합이고 다른 하나는 콤팩트하지 않습니다.
_[27] 문서 γ가 폐곡선이므로 Γ도 폐곡선입니다. 그러나 Γ는 반드시 단순 폐곡선일 필요는 없습니다.
_[28] 문서 미분 형식을 아는 사람은 다음 사실을 상상할 것입니다. 즉, A=(a1,a2,a3)에 다음 두 가지 동일시를 적용한 경우, *A = ωA = a1dx1+a2dx2+a3dx3 *A = ∗ωA= a1dx2 ∧ dx3+a2dx3 ∧ dx1+a3dx1 ∧ dx2, 본 증명은 위의 fωF의 끌어내림에 의한 증명과 같습니다. 실제로, * ∇×F = dωF *ψ∗(dωF)=(∂P2/∂ u - ∂P1/∂ v) du∧ dv가 성립합니다. 여기서 "d"는 미분 형식의 외미분이며 위의 P1 P2는 증명 본문의 P1 및 P2와 동일한 것입니다.
_[29] 문서 일반적으로 x가 ''m'' 차원 벡터, y가 ''n'' 차원 벡터이고 ''A''가 ''m'' ×''n'' 행렬일 때 다음이 성립합니다. *〈 x | A| y〉 = 〈y| tA | x〉 *〈 x | A| y〉 + 〈 x | B | y〉 = 〈x| A+B |y〉
_[30] 문서 등식 :((JF)ψ(u,v) - t(JF)ψ(u,v)) x =(∇×F)× x, ∀x∈ℝ3 (★0)의 증명은 「벡터곱」의 선형성으로부터 제시된다. 먼저 벡터곱의 표현 행렬(정확하게는 작용소"'''a'''×"의 표현 행렬)을 구한다(예:https://ishikawash.hatenadiary.org/entry/20080823/1219469105 또는 "Eric Lengyel(저) "Mathematics for 3d Game Programming and Computer Graphics (Game Development Series)" Charles River Media (2003/11)」을 참조). 3차원 실수 벡터'''a''','''x'''가 다음과 같이 나타내어지면, :a=[a1, a2, a3] x=[x1, x2, x3] 라면, '''a'''×'''x'''는, :a×x=[a2x3−a3x2, a3x1−a1x3, a1x2−a2x1] 이므로, :a×e1=[0, a3, −a2] a×e2=[−a3, 0, a1] a×e3=[a2, −a1, 0] 이므로, :a×x=[[0, −a3, a2], [a3, 0, −a1], [−a2, a1, 0]] [x1, x2, x3] (★1) 자, 3×3행렬 A=(aij)을 생각한다. 위의'''a'''에 다음 대입 조작을 하면, :a1=a32−a23 :a2=a13−a31 :a3=a21−a12 위의(★1)보다 다음 등식이 유도된다. :(A−tA)x=a×x (★2) 이다. 또한(★1),(★2)보다 위의 A에, JF를 대입하면, :a=(∇×F) (★3) 가 판명된다. 이상으로부터(★0)이 제시되었다.
_[31] 문서 일반적으로 헬름홀츠의 정리라고 불리는 정리(전자기학 등에서 자주 사용됨)와는 다른 것이다.
_[32] 문서 '''정의 (보통 의미의 Homotopy and Homotope).''' ''Z''와 ''W''를 위상 공간으로 하고, ''f''0, ''f''1 : ''Z'' → ''W''라고 한다. 이때, 연속 사상 ''H'' : ''Z'' × [0, 1] → ''W''가 ''f''0과 ''f''1" 사이의 호모토피라고 하는 것은 다음이 성립하는 것을 의미한다. *[H1] ''H''(''t'', 0) = ''f''0(''t'') for all ''t'' ∈ ''Z'', *[H2] ''H''(''t'', 1) = ''f''1(''t'') for all ''t'' ∈ ''Z''. (2) ''f''0와 ''f''1" 사이에 호모토피가 존재하는(구축할 수 있는) 경우, ''f''0와 ''f''1"는 호모토픽이라고 한다. (3) ''f''0와 ''f''1이 호모토픽이고, ''H''가 이들 사이의 호모토피라고 했을 때, 특히 ''f''0, ''f''1, ''H''의 모두가 구분적으로 매끄러울 때, 「''H''는, ''f''0, ''f''1 사이의 구분적으로 매끄러운 호모토피」라고 한다.
_[33] 문서 본문에서도 언급한 것처럼 예를 들어 "Differentiable Manifolds (Modern Birkhauser Classics)" Birkhaeuser Boston (2008/1/11)[https://books.google.co.jp/books?id=r2K31Pz5EGcC&pg=PA194&lpg=PA194&dq=Piecewise+Smooth+Homotopy&source=bl&ots=UxiEdS2Zs7&sig=Hyxm5iPebJ_sEKz1IGfKO5Zs130&hl=ja#v=onepage&q=Piecewise%20Smooth%20Homotopy&f=false] 등에서는 호모토피나 호모토픽이라는 용어를, 본문 Theorem 2-1의 의미로 사용하고 있다. 이러한 용어 사용법은 보존력을 논하는 데는 편리하지만, 통상적인 사용법과는 다르다. 따라서 본 기사 내에서의 모호성 회피를 위한 용어의 정의를 다음과 같이 한다. '''정의 (Tube-like-Homotopy and Tube-Homotope).''' ''c''0, ''c''1가 다음을 충족한다고 한다. *'''[A]''' ''M''는 가미분 다양체, *'''[B]''' ''c''0 : [0, 1] → ''M''와 ''c''1 : [0, 1] → ''M''의 정의역이, 함께 [0,1] 폐구간 *'''[C]''' ''c''0, 와 ''c''1는 연속 곡선. 이때, '''(1) Tube-Like-Homotopy:'''
''' 호모토피"H" : [0, 1] × [0, 1] → ''M''가"Tube-Like"라고 하는 것은 다음이 성립하는 것을 의미한다.''' *'''[TLH0]''' ''H'' is continues *'''[TLH1]''' ''H''(''t'', 0) = ''c''0(''t'') *'''[TLH2]''' ''H''(''t'', 1) = ''c''1(''t'') *'''[TLH3]''' ''H''(0, ''s'') = ''H''(1, ''s'') for all ''s'' ∈ [0, 1] '''(2) Tube Homotope:'''
''c''0, and ''c''1가 "Tube Homotope"라는 것은, ''c''0 와''c''1 사이에, Tube-like-Homotopy가 존재한다는 것을 의미한다. '''(3) Tube like and piecewise smooth homotopy:'''
이들이, 구분적으로 매끄러운 경우에는, ''Tube like and piecewise smooth homotopy'' “Piecewise smooth Tube Homotope” 등이라고 칭한다.
_[34] 문서 곡선 α: [a1, b1] → ''M'' , β: [a2, b2, ] → ''M'', α(b1) = β(a2)일 때, 새로운 곡선 α ⊕ β가 다음 성질을 충족하도록 구성할 수 있다. :임의의 구분적으로 매끄러운 벡터장''F''(단, F의 정의역은 α ⊕ β의 값역을 포함한다)에 대해, 다음이 성립한다. :∫α⊕βF d(α⊕β)= ∫αF dα+∫βF dβ 위의 joint는 다음과 같이 구성할 수 있다. 이는 기본군을 정의할 때 사용된다. '''정의 (Joint of paths).''' ''M''를 위상 공간으로 하고, 두 개의 곡선 α: [a1, b1] → ''M'' , β: [a2, b2] → ''M'', 를 생각한다. α, β가 다음을 충족할 때, :α(b1) = β(a2) 새로운 곡선이 다음과 같이 정의된다. 이를 α와 β의 joint라고 한다. α ⊕ β : [a1, b1+(b2-a2)] → ''M'' :(α⊕β) (t) = α(t) a1≤ t ≤ b1, β(t+(a2−b1)) b1 < t ≤ b1+(b2−a2)
_[35] 문서 ''M''에 대한 곡선 α: [a1, b1] → ''M'' , 대해, 새로운 곡선 ⊖α를, 다음 성질을 충족하도록 구성할 수 있다. :구분적 매끄러운 벡터장 ''F''(단''F''의 정의역이 α의 값역을 포함하는 것으로 한다)에 대해 :∫⊖αF d(⊖α)=−∫αF dα 이것도, 기본군을 구성할 때 사용된다. “Backwards”의 정의는 다음과 같다. '''정의 (Backward of curve).''' ''M''를 위상 공간으로 했을 때, α: [a1, b1] → ''M'' 에 대해, ⊖α : [a1, b1] → ''M''를 다음과 같이 정의한다. :⊖α(t)=α(b1+a1−t) 이를 α의 “Backwards”라고 한다. 물론, 더 나아가, α: [a1, b1] → ''M'' β: [a2, b2] → ''M'' 가, α(b1)=β(b2) (즉, α(b1)=⊖β(a2)를 충족할 때, α⊖β를 다음과 같이 정의할 수 있다. :α⊖β:=α⊕(⊖β)
_[36] PDF http://www.rac.es/fi[...]
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