단위 분할

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 위상 공간에서의 정의
- 2.2. 종속된 단위 분할
3. 성질
- 3.1. 파라콤팩트 공간과 단위 분할
- 3.2. 존재성
4. 다양한 정의
5. 응용
- 5.1. 미분기하학
- 5.2. 해석학
6. 예시
참조

1. 개요

단위 분할은 위상 공간 X에서 정의되는 연속 함수들의 집합으로, 특정 조건을 만족한다. 모든 점 x에서 근방 U_x가 존재하여, 함수 f가 U_x에서 0이 아닌 값을 갖는 경우의 개수가 유한하고, 모든 점 x에서 함수의 합이 1이 된다. 단위 분할은 열린 덮개에 종속될 수 있으며, 파라콤팩트 공간과 밀접한 관련이 있다. 미분기하학, 해석학, 그리고 신호 처리 등 다양한 분야에서 활용되며, 함수의 적분 정의, 리만 계량의 존재 증명, 그리고 필터 설계 등에 사용된다.

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단위 분할
개요
정의	위상 공간 의 열린 덮개 _{i}}에 종속된 단위 분할(partition of unity)은 다음 성질들을 만족하는 함수들의 집합 _{i} : → [0,1]}}이다.
조건	각 _{i}}는 연속 함수이다. _{i}}의 지지집합은 _{i}}의 부분집합이다. 임의의 점 ∈ }에 대해, 유한 개의 _{i}()}만이 0이 아니다. 임의의 점 ∈ }에 대해, ∑_{i}() = 1이다.
종류
매끄러운 단위 분할	가 매끄러운 다양체일 때, 모든 함수 _{i}}가 매끄러운 함수라면, 이를 매끄러운 단위 분할(smooth partition of unity)이라고 한다.
존재
일반적인 경우	모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 단위 분할을 갖는다.
매끄러운 다양체의 경우	모든 매끄러운 다양체는 매끄러운 단위 분할을 갖는다.
활용
적분	단위 분할을 사용하면, 전체 공간에서의 적분을 국소적인 적분들의 합으로 분해할 수 있다.
미분 방정식	단위 분할은 미분 방정식의 해를 구성하는 데 사용될 수 있다.
위상수학	단위 분할은 위상수학적 공간의 성질을 연구하는 데 사용될 수 있다.

2. 정의

위상 공간 $X$ 위의 '''단위 분할''' $\mathcal F$ 는 다음 두 조건을 만족시키는, $X$ 에서 닫힌 구간 $[0,1]$ 로 가는 연속 함수들의 집합이다.

'''국소 유한성''': 모든 점 $x \in X$ 에 대하여, 그 점을 포함하는 적절한 근방 $U_x$ 가 존재하여, 이 근방 위에서 0이 아닌 함수 $f \in \mathcal F$ 의 개수가 유한하다. 즉, $|\{f \in \mathcal F \colon f|_{U_x} \ne 0\}| < \aleph_0$ 인 근방 $U_x \ni x$ 가 존재한다.
'''합이 1''': 모든 점 $x \in X$ 에서, 집합 $\mathcal F$ 에 속하는 모든 함수의 함숫값의 합은 항상 1이다. 즉, $\sum_{f \in \mathcal F} f(x) = 1$ 이다.

또한, 위상 공간

X

의 열린 덮개

\mathcal U

가 주어졌을 때, 단위 분할

\mathcal F

의 모든 함수

f

에 대하여, 그 지지집합

\operatorname{supp} f

가 덮개

\mathcal U

의 어떤 열린 집합

U

안에 포함된다면 (

\operatorname{supp} f \subseteq U

), 이 단위 분할

\mathcal F

를 '''

\mathcal U

에 종속된 단위 분할'''(partition of unity subordinate to

\mathcal U

^영어)이라고 부른다.

2. 1. 위상 공간에서의 정의

위상 공간

X

위의 '''단위 분할'''

\mathcal F

는 다음 두 가지 조건을 만족하는,

X

에서 구간

[0,1]

로 가는 연속 함수들의 모임이다.

'''국소 유한성''': 모든 점 $x \in X$ 에 대해, $x$ 를 포함하는 적절한 근방 $U_x$ 가 존재하여, 이 근방 $U_x$ 위에서 0이 아닌 함수 $f \in \mathcal F$ 의 개수가 유한하다. 즉, $|\{f \in \mathcal F \colon f|_{U_x} \ne 0\}| < \aleph_0$ 를 만족하는 근방 $U_x \ni x$ 가 존재한다.
'''합이 1''': 모든 점 $x \in X$ 에서, 집합 $\mathcal F$ 에 속하는 모든 함수들의 값을 더하면 항상 1이 된다. 즉, $\sum_{f \in \mathcal F} f(x) = 1$ 이다.

위상 공간

X

의 열린 덮개

\mathcal U

와 단위 분할

\mathcal F

가 주어졌을 때, 만약 단위 분할

\mathcal F

에 속하는 모든 함수

f

에 대해, 그 지지집합

\operatorname{supp} f

가 덮개

\mathcal U

의 어떤 열린 집합

U

안에 완전히 포함된다면 (

\operatorname{supp} f \subseteq U

), 이 단위 분할

\mathcal F

를 '''

\mathcal U

에 종속된 단위 분할'''(partition of unity subordinate to

\mathcal U

^영어)이라고 부른다.

단위 분할의 존재는 주로 두 가지 형태로 나타난다.

# 공간의 임의의 열린 덮개

\{U_i\}_{i \in I}

가 주어지면, 같은 첨자 집합 $I$ 를 가지는 단위 분할

\{\rho_i\}_{i \in I}

가 존재하여, 각 함수

\rho_i

의 지지집합

\operatorname{supp} \rho_i

가 해당 열린 집합

U_i

에 포함된다 (

\operatorname{supp} \rho_i \subseteq U_i

). 이러한 분할을 '''열린 덮개

\{U_i\}_{i \in I}

에 종속된다'''고 한다.

# 공간의 임의의 열린 덮개

\{U_i\}_{i \in I}

가 주어지면, 다른 첨자 집합 $J$ 를 가지는 단위 분할

\{\rho_j\}_{j \in J}

가 존재하여, 각 함수

\rho_j

는 콤팩트 지지집합을 가지며, 각각의

j \in J

에 대해 어떤

i \in I

가 존재하여

\operatorname{supp} \rho_j \subseteq U_i

를 만족한다.

따라서, 단위 분할을 구성할 때 열린 덮개와 같은 첨자를 가지며 지지집합이 해당 열린 집합에 포함되도록 하거나, 각 함수의 지지집합이 콤팩트가 되도록 선택할 수 있다. 만약 공간

X

자체가 콤팩트 공간이라면, 위의 두 조건을 모두 만족하는 단위 분할이 항상 존재한다.

주어진 열린 덮개에 종속된 단위 분할이 항상 존재하는지는 공간의 성질에 따라 다르다.

만약 열린 덮개가 유한 개수의 집합으로 이루어져 있고, 공간 $X$ 가 국소 콤팩트이고 하우스도르프라면, 그 덮개에 종속된 연속 단위 분할이 반드시 존재한다.^[10]
임의의 열린 덮개에 대해 항상 종속된 단위 분할이 존재하기 위한 필요 조건은 공간 $X$ 가 파라콤팩트라는 것이다. 다루는 공간의 범주에 따라서는 이것이 충분 조건이 되기도 한다.^[11]

단위 분할을 구성하는 일반적인 방법 중 하나는 완화자(또는 융기 함수)를 사용하는 것이다. 완화자는 연속이고 매끄러운 다양체에서는 존재하지만, 해석다양체에서는 일반적으로 존재하지 않는다. 따라서 해석적 다양체의 열린 덮개에 대해서는 그 덮개에 종속되는 해석적인 단위 분할이 항상 존재한다고 보장할 수 없다.

만약

R

과

S

가 각각 위상 공간

X

와

Y

위의 단위 분할이라면, 이들의 원소별 곱으로 이루어진 집합

\{\rho\sigma : \rho \in R \land \sigma \in S\}

는 데카르트 곱 공간

X \times Y

위의 단위 분할이 된다.

2. 2. 종속된 단위 분할

위상 공간

X

의 열린 덮개

\mathcal U

와 단위 분할

\mathcal F

가 주어졌을 때, 만약 단위 분할에 속하는 모든 함수

f \in \mathcal F

에 대해, 그 지지집합

\operatorname{supp}f

가

\mathcal U

의 어떤 원소

U

에 포함된다면 (

\operatorname{supp}f \subseteq U

), 이 단위 분할

\mathcal F

를 '''

\mathcal U

에 종속된 단위 분할'''(partition of unity subordinate to

\mathcal U

^영어)이라고 한다.

주어진 열린 덮개에 종속된 단위 분할의 존재는 주로 두 가지 형태로 나타난다.

# 임의의 열린 덮개

\{ U_i \}_{i \in I}

가 주어졌을 때, 동일한 인덱스 집합

I

를 사용하는 단위 분할

\{ \rho_i \}_{i \in I}

가 존재하여 각

i \in I

에 대해 지지집합

\operatorname{supp} \rho_i \subseteq U_i

를 만족한다.

# 공간이 국소 콤팩트인 경우, 임의의 열린 덮개

\{ U_i \}_{i \in I}

에 대해, 각 함수

\rho_j

가 콤팩트 지지집합을 가지며, 각

j \in J

에 대해 어떤

i \in I

가 존재하여

\operatorname{supp} \rho_j \subseteq U_i

를 만족하는, (원래 덮개의 인덱스 집합

I

와는 다를 수 있는) 인덱스 집합

J

를 사용하는 단위 분할

\{ \rho_j \}_{j \in J}

가 존재한다.

따라서, 필요에 따라 열린 덮개와 동일한 인덱스를 갖는 단위 분할을 선택하거나, 각 함수가 콤팩트 지지집합을 갖는 단위 분할을 선택할 수 있다. 만약 공간 자체가 콤팩트 공간이라면, 위의 두 가지 조건을 모두 만족하는 단위 분할이 존재한다.

유한한 열린 덮개의 경우, 공간이 국소 콤팩트이고 하우스도르프라면 항상 그 덮개에 종속된 연속 단위 분할이 존재한다.^[1] 일반적인 열린 덮개에 대해 종속 단위 분할이 존재하기 위한 필요 조건은 공간의 파라콤팩트성이다. 이는 공간이 속하는 범주에 따라 충분 조건이 되기도 한다.^[2]

이러한 단위 분할을 구성할 때는 보통 완화자 (융기 함수)가 사용되는데, 이는 연속적인 경우나 매끄러운 다양체에서는 존재하지만, 해석다양체에서는 일반적으로 존재하지 않는다. 따라서 해석다양체의 열린 덮개에 대해서는, 그 덮개에 종속되는 해석적인 단위 분할이 항상 존재한다고 보장할 수 없다.

3. 성질

하우스도르프 공간에서는 공간이 파라콤팩트 공간이라는 조건과, 임의의 열린 덮개에 대해 그 덮개에 종속된 단위 분할이 존재한다는 조건이 서로 동치이다. 이 관계는 단위 분할의 존재성을 이해하는 데 중요한 성질이다.

3. 1. 파라콤팩트 공간과 단위 분할

하우스도르프 공간의 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

파라콤팩트 공간이다.
임의의 열린 덮개에 대하여, 이에 종속된 단위 분할이 존재한다.

3. 2. 존재성

단위 분할의 존재는 다음 두 가지 주요 형태로 나타난다.

# 공간의 임의의 열린 덮개

\{ U_i \}_{i \in I}

가 주어졌을 때, 같은 인덱스 집합

I

를 사용하는 분할

\{ \rho_i \}_{i \in I}

가 존재하며, 각 함수

\rho_i

의 지지집합이 해당 열린 집합

U_i

에 포함되는 경우 (

\mathrm{supp}\,\rho_i \subseteq U_i

). 이러한 분할은 '''열린 덮개

\{ U_i \}_i

에 종속된다'''고 한다.

# 공간의 임의의 열린 덮개

\{ U_i \}_{i \in I}

가 주어졌을 때, (일반적으로 다른) 인덱스 집합

J

를 사용하는 분할

\{ \rho_j \}_{j \in J}

가 존재하며, 각 함수

\rho_j

는 콤팩트 지지집합을 가지고, 각

j \in J

에 대해 어떤

i \in I

가 존재하여

\rho_j

의 지지집합이

U_i

에 포함되는 경우 (

\mathrm{supp}\,\rho_j \subseteq U_i

).

따라서 단위 분할을 구성할 때, 열린 덮개에 의해 인덱싱되고 지지집합이 해당 열린 집합에 포함되도록 하거나, 각 함수의 지지집합이 콤팩트가 되도록 선택할 수 있다. 만약 공간 자체가 콤팩트 공간이라면, 두 가지 요구 사항(열린 덮개에 종속되면서 동시에 콤팩트 지지집합을 갖는 것)을 모두 만족하는 단위 분할이 존재한다.

하우스도르프 공간의 경우, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

공간이 파라콤팩트 공간이다.
임의의 열린 덮개에 대하여, 그 덮개에 종속된 단위 분할이 존재한다.

만약 공간이 국소 콤팩트이고 하우스도르프 공간이라면, 유한한 열린 덮개에 대해서는 항상 그 덮개에 종속적인 연속 단위 분할이 존재한다.^[10] 공간의 파라콤팩트성은 임의의 열린 덮개에 대해 그 덮개에 종속적인 단위 분할이 존재하기 위한 필요 조건이며, 공간이 속하는 범주에 따라서는 충분 조건이 되기도 한다.^[11]

단위 분할의 구성에는 몰리파이어 (또는 범프 함수)가 사용될 수 있다. 이는 연속 함수나 매끄러운 다양체에서는 존재하지만, 해석적 다양체에서는 존재하지 않는다. 따라서 해석적 다양체의 열린 덮개에 대해서는, 일반적으로 그 덮개에 종속적인 해석적 단위 분할이 존재하지 않는다.

만약

R

과

S

가 각각 공간

X

와

Y

의 단위 분할이면, 모든

\rho \in R

와

\sigma \in S

에 대한 함수들의 곱

\rho\sigma

(여기서

(\rho\sigma)(x,y) = \rho(x)\sigma(y)

) 전체의 집합은 데카르트 곱 공간

X \times Y

의 단위 분할이 된다.

4. 다양한 정의

때로는 덜 제한적인 정의가 사용되기도 한다. 이 정의에서는 특정 지점에서 모든 함수 값의 합이 1일 필요는 없고, 단지 양수이기만 하면 된다. 이러한 함수 집합 $\{ \psi_i \}_{i=1}^\infty$ 가 주어졌을 때, 각 함수를 모든 함수의 합으로 나누어 엄밀한 의미의 단위 분할을 얻을 수 있다. 즉, 새로운 분할은 $\{ \sigma^{-1}\psi_i \}_{i=1}^\infty$ 가 되며, 여기서 $\sigma(x) := \sum_{i=1}^\infty \psi_i(x)$ 이다. 이 합 $\sigma(x)$ 는 각 지점에서 유한한 수의 항만이 0이 아니므로 잘 정의된다. 더 나아가, 일부 문헌에서는 지지 집합(support)이 국소적으로 유한해야 한다는 조건을 생략하고, 모든 $x$ 에 대해 $\sum_{i = 1}^\infty \psi_i(x) < \infty$ 라는 조건만 요구하기도 한다.^[3]

작용소 대수 분야에서 단위 분할은 사영^[4] $p_i$ 들로 구성되는데, 이는 $p_i=p_i^*=p_i^2$ 를 만족한다. 특히 C*-대수의 경우, 이 사영들은 서로 직교한다는 것을 보일 수 있다:^[5]

$p_ip_j=\delta_{i,j}p_i\qquad (p_i,\,p_j\in R).$

하지만 일반적인 *-대수에서는 단위 분할의 항들이 반드시 서로 직교하지는 않는다는 점에 유의해야 한다.^[6]

만약 $a$ 가 단위원을 가진 $\mathrm{C}^*$ -대수 $A$ 의 정규 원소이고, 유한한 스펙트럼 $\sigma(a)=\{\lambda_1,\dots,\lambda_N\}$ 을 갖는다면, 스펙트럼 정리에 따른 사영 $P_i$ 들은 다음과 같은 형태의 단위 분할을 형성한다:^[7]

$a=\sum_{i=1}^N\lambda_i\,P_i.$

콤팩트 양자군 이론에서는 양자 치환군 $(C,u)$ 의 기본 표현 $u\in M_N(C)$ 의 행과 열이 단위 분할을 이룬다.^[8]

5. 응용

단위 분할은 미분기하학, 해석학 등 다양한 수학 분야 및 응용 분야에서 중요한 도구로 사용된다.

미분다양체 이론에서는 유클리드 공간에서 정의된 성질을 다양체 전체로 확장하거나, 다양체 위 함수의 적분(부피 형식 기준)을 엄밀하게 정의하고, 임의의 다양체 위에 리만 계량이 존재함을 보이는 데 단위 분할이 활용된다. 또한 유계 영역에서 소볼레프 공간 함수의 전역적으로 매끄러운 근사 함수를 구성하는 데에도 사용된다.^[9]

구체적인 응용 사례는 다음과 같다.

최급강하법에서는 적분의 점근적 근삿값을 구할 때 단위 분할을 이용한다.
Linkwitz–Riley 필터는 단위 분할의 원리를 실제로 응용하여 입력 신호를 고주파 성분과 저주파 성분으로 분리하는 전자 회로이다.
고정된 차수 ''m''의 베른슈타인 다항식은 단위 구간 $[0, 1]$ 위에서 단위 분할을 형성하는 ''m''+1개의 선형 독립 다항식 집합이다.
대수기하학의 약한 힐베르트 영점 정리는 특정 조건 하에서 다항식들을 이용해 단위 분할을 구성할 수 있음을 보여준다. 즉, $\mathbb{C}^n$ 에서 공통 영점을 갖지 않는 다항식 $f_1, \dots, f_r$ 에 대해 $a_1 f_1 + \dots + a_r f_r = 1$ 을 만족하는 다항식 $a_1, \dots, a_r$ 이 존재하며, 이는 $\rho_i = a_i f_i$ 가 자리스키 위상의 열린 덮개 $U_i = \{x \in \mathbb{C}^n \mid f_i(x) \neq 0\}$ 에 대한 다항식 단위 분할을 형성함을 의미한다.

5. 1. 미분기하학

미분기하학에서 단위 분할은 유클리드 공간 위의 함수에 대해 정의된 성질들을 매끄러운 다양체 전체로 확장하는 데 사용된다.

예를 들어, 다양체 위에서 정의된 함수의 적분(부피 형식 기준)을 정의할 때 단위 분할을 활용할 수 있다. 먼저, 다양체의 단일 좌표 근방 안에 지지집합(support)을 갖는 함수의 적분을 정의한다. 그 다음, 단위 분할을 사용하여 임의 함수의 적분을 정의한다. 마지막으로, 이렇게 정의된 적분 값이 사용된 단위 분할이나 좌표 근방계의 선택에 의존하지 않음을 보여야 한다. 즉, 다양체의 좌표근방계에 종속되는 단위 분할을 찾고, 각 단위 분할 조각을 국소 좌표계를 이용해 유클리드 공간으로 보내 적분을 계산한 뒤 합산하는 방식을 사용하며, 이 결과가 좌표계나 단위 분할 선택과 무관함을 증명하는 것이다.

또한, 단위 분할은 임의의 다양체에 리만 계량이 존재함을 보이는 데에도 사용된다.

5. 2. 해석학

단위 분할은 다양체 위에서 정의된 함수의 적분 (특히 부피 형식을 이용한 적분)을 정의하는 데 사용된다. 먼저 다양체의 국소 좌표계(좌표 조각) 안에서 지지집합(support)을 갖는 함수의 적분을 정의하고, 단위 분할을 이용해 임의 함수의 적분을 정의한 뒤, 이 정의가 단위 분할의 선택과 무관함을 보인다. 또한, 단위 분할은 임의의 다양체 위에 리만 계량이 존재함을 증명하는 데에도 사용된다.

최급강하법에서 적분의 점근적 근사를 구성하는 데 단위 분할이 사용된다.

Linkwitz–Riley 필터는 입력 신호를 고주파 성분과 저주파 성분으로 나누는 두 개의 출력 신호로 분리하는 데 단위 분할을 실제로 응용한 예시이다.

고정된 차수 ''m''의 베른슈타인 다항식은 단위 구간 [0, 1]에서 단위 분할을 이루는 ''m''+1개의 선형 독립 다항식 집합이다.

약한 힐베르트 영점 정리에 따르면,

\mathbb{C}^n

에서 공통 영점을 갖지 않는 다항식

f_1, \dots, f_r \in \mathbb{C}[x_1, \dots, x_n]

이 주어졌을 때,

a_1 f_1 + \dots + a_r f_r = 1

을 만족하는 다항식

a_1, \dots, a_r

이 존재한다. 여기서

\rho_i = a_i f_i

는 자리스키 위상의 열린 덮개

U_i = \{x \in \mathbb{C}^n \mid f_i(x) \neq 0\}

에 종속된 다항식 단위 분할을 형성한다.

단위 분할은 유계 영역에서 소볼레프 공간 함수의 전역적으로 매끄러운 근사 함수를 구성하는 데 사용된다.^[9]

6. 예시

$S^1$ (원) 위의 단위 분할을 구성하는 예시는 다음과 같다. 먼저, 원 위의 한 점 $p \in S^1$ 를 제외한 집합 $S^1 -\{p\}$ 와 실수 집합 $\mathbb{R}$ 사이의 차트(사상)를 생각할 수 있다. 이 차트는 $S^1 -\{p\}$ 를 $\mathbb{R}$ 위의 어떤 구간으로 대응시키며, 설명을 위해 이 구간에 대응되는 $S^1$ 위의 점을 $q$ 라고 하자.

이제, $\mathbb{R}$ 위에서 정의되는 범프 함수 $\Phi$ 를 다음과 같이 정의한다.

$\Phi(x) = \begin{cases}\exp\left(\frac{1}{x^2-1}\right) & x \in (-1,1) \\0 & \text{그 외의 경우}\end{cases}$

이 함수 $\Phi$ 는 구간 $(-1, 1)$ 밖에서는 함숫값이 0이다. 이 함수와 $1 - \Phi$ 는 각각 $S^1$ 전체로 자연스럽게 확장될 수 있다. 구체적으로, 점 $p$ 에서는 $\Phi(p) = 0$ 으로, 점 $q$ 에서는 $(1-\Phi)(q) = 1 - \Phi(q) = 0$ (즉, $\Phi(q)=1$ )으로 정의하여 확장한다.

이렇게 정의된 함수들과 각 함수의 지지집합(함숫값이 0이 아닌 점들의 폐포)에 해당하는 열린집합들을 이용하여 다음과 같은 집합족을 구성할 수 있다.

$\{ (S^1 - \{p\}, \Phi), (S^1 - \{q\}, 1-\Phi) \}$

여기서 $S^1 - \{p\}$ 는 함수 $\Phi$ 의 지지집합을 포함하는 열린집합이고, $S^1 - \{q\}$ 는 함수 $1-\Phi$ 의 지지집합을 포함하는 열린집합이다. 이 집합족은 $S^1$ 위의 단위 분할 조건을 만족한다. 즉, 각 함수( $\Phi$ , $1-\Phi$ )는 음이 아닌 값을 가지며 각각의 지지집합은 해당 열린집합 안에 포함되고, $S^1$ 위의 모든 점에서 두 함수의 값의 합은 $\Phi(x) + (1-\Phi(x)) = 1$ 이 된다.

참조

_[1] 서적 Real and complex analysis McGraw-Hill
_[2] 서적 Infinite dimensional analysis: a hitchhiker's guide Springer
_[3] 서적 A guide to distribution theory and Fourier transforms https://www.worldcat[...] World Scientific Pub. Co 2003
_[4] 서적 A Course in Functional Analysis Springer
_[5] 서적 Compact matrix quantum groups and their combinatorics Cambridge University Press 2023
_[6] 웹사이트 Pairwise orthogonality for partitions of unity in a *-algebra https://mathoverflow[...] 2024-02-07
_[7] 서적 C*-Algebras and Operator Theory Academic Press 1990
_[8] 서적 Introduction to Quantum Groups Springer 2023
_[9] 간행물 Partial Differential Equations American Mathematical Society 2010-03-02
_[10] 서적 Real and complex analysis McGraw-Hill
_[11] 서적 Infinite dimensional analysis: a hitchhiker's guide Springer

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