파라콤팩트 공간

3. 성질

콤팩트 공간과 파라콤팩트 공간의 곱공간은 파라콤팩트 공간이며,^[20] 콤팩트 공간과 메타콤팩트 공간의 곱공간은 메타콤팩트 공간이다.

파라콤팩트 공간의 닫힌집합은 파라콤팩트 공간이다.^[20] 메조콤팩트 공간, 메타콤팩트 공간, 직교 콤팩트 공간, 가산 파라콤팩트 공간의 닫힌집합은 각각 해당 공간들이다.^[21]

파라콤팩트성은 유전적 성질이 아니므로, 파라콤팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라콤팩트 공간이 아닐 수 있다. 또한, 티호노프 정리에 의해 콤팩트 공간들의 곱공간은 콤팩트 공간이지만, 파라콤팩트 공간의 임의의 곱공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않는다.^[20]

3. 1. 콤팩트성과의 관계

이 밖에도, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

• 파라콤팩트 희박 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
• 메타콤팩트 가산 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
• 파라콤팩트 정칙 공간은 준파라콤팩트 공간이다.
• 모든 열린 덮개가 국소 유한 세분을 갖는 정칙 공간은 파라콤팩트 공간이다.
• ('''모리타 정리''') 정칙 린델뢰프 공간은 파라콤팩트 공간이다.^[20] 특히, 모든 국소 콤팩트 하우스도르프 제2 가산 공간은 파라콤팩트 공간이다. 반대로, 가산 강하향 반사슬 조건을 만족시키는 파라콤팩트 공간은 린델뢰프 공간이다. 특히, 분해 가능 파라콤팩트 공간은 린델뢰프 공간이다.
• 국소 콤팩트 연결 위상군은 파라콤팩트 공간이다.^[20]
• 완전 정규 공간은 가산 파라콤팩트 공간이다.^[21]
• 순서 위상을 갖춘 전순서 집합의 임의의 부분 집합은 직교 콤팩트 공간이자 가산 파라콤팩트 공간이다.^[18]
• 순서 위상을 갖춘 전순서 집합이 메타콤팩트 공간이라면, 파라콤팩트 공간이다.^[19]
• ('''마이클의 정리''') 정규 공간은 모든 열린 덮개가 열린 것이 아닌 국소 유한 세분성을 가질 때 파라콤팩트이다. 특히, 모든 정규 린델뢰프 공간은 파라콤팩트이다.
• ('''스미르노프의 거리화 정리''') 위상 공간이 거리화 가능할 필요충분조건은 파라콤팩트, 하우스도르프, 국소 거리화 가능일 때이다.
• 마이클 선택 정리는 바나흐 공간의 비어있지 않은 닫힌 볼록 부분 집합으로의 하반 연속 다중 함수가 ''X''가 파라콤팩트일 때만 연속적인 선택을 허용한다고 말한다.

• 파라콤팩트 공간의 모든 닫힌 부분 집합은 파라콤팩트하다.
• 모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이다.

• 하우스도르프 공간의 파라콤팩트 부분 집합은 닫힐 필요가 없다. 실제로, 거리 공간의 경우 모든 부분 집합이 파라콤팩트하다.
• 파라콤팩트 공간의 곱은 파라콤팩트일 필요가 없다. 하한 극한 위상에서의 실선 '''R'''의 제곱이 이에 대한 전형적인 예이다.

3. 2. 파라콤팩트 하우스도르프 공간

• 파라콤팩트 공간이다.
• 임의의 열린 덮개에 대해, 이에 종속되는 단위 분할이 존재한다.
• 모든 열린 덮개는 열린 성형 세분을 갖는다.^[21]
• 모든 열린 덮개는 열린 무게 중심 세분을 갖는다.^[21]

• 완전 사상(perfect map^영어) $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$에 대하여, $Y$가 파라콤팩트 공간이면 $X$도 파라콤팩트 공간이다.^[20] 닫힌 연속 함수 $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$에 대하여, $X$가 파라콤팩트 하우스도르프 공간이면 $f(X)$ 역시 파라콤팩트 하우스도르프 공간이다.^[22][21][20]
• 완전 사상(perfect map^영어) $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$에 대하여, $Y$가 메타콤팩트 하우스도르프 공간이면 $X$도 메타콤팩트 하우스도르프 공간이다.^[23] 닫힌 연속 함수 $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$에 대하여, 만약 $X$가 메타콤팩트 하우스도르프 공간이고, $Y$가 하우스도르프 공간이면, $f(X)$ 역시 메타콤팩트 하우스도르프 공간이다.^[23]
• 정규 하우스도르프 공간의 유한 개 파라콤팩트 닫힌집합들의 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.^[20]
• 정규 하우스도르프 공간 $X$ 속의 가산 개 파라콤팩트 닫힌집합들의 내부가 이루는 집합족이 $X$의 덮개를 이룰 때, 그 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.^[20]

• 모든 함수 ''f'': ''X'' → '''R'''에 대해, 덮개에 속하는 열린 집합 ''U''가 존재하여, ''f''의 support가 ''U''에 포함된다.
• ''X''의 모든 점 ''x''에 대해, ''x''의 근방 ''V''가 존재하여, 이 모임의 함수 중 유한 개를 제외한 모든 함수가 ''V''에서 0이고, 0이 아닌 함수들의 합은 ''V''에서 항등적으로 1이다.

4. 예

• 모든 콤팩트 공간은 파라콤팩트 공간이다.
• 모든 정규 공간 린델뢰프 공간은 마이클의 정리에 의해 하우스도르프인 경우 파라콤팩트 공간이다.^[2] 특히, 모든 국소 콤팩트 공간 하우스도르프 공간 가산 제2 공리 공간은 파라콤팩트 공간이다.
• 조르겐프라이 직선은 콤팩트, 국소 콤팩트, 가산 제2 공리, 거리화 가능 공간이 아님에도 파라콤팩트 공간이다.
• 모든 CW 복합체는 파라콤팩트 공간이다.^[3]
• ('''A. H. Stone의 정리''') 모든 거리 공간은 파라콤팩트 공간이다.^[4] 초기 증명은 다소 복잡했지만, M. E. Rudin에 의해 간단한 증명이 발견되었다.^[5] 이 증명들은 비분리 가능 공간의 경우 선택 공리를 필요로 한다. ZF 이론은 약한 종속 선택 공리가 추가된 후에도 이를 증명하기에 충분하지 않다는 것이 밝혀졌다.^[6]
• 콤팩트 집합에 의한 소진을 허용하는 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 공간이다.

• 가장 유명한 반례는 긴 직선으로, 비파라콤팩트 위상 다양체이다. (긴 직선은 국소 콤팩트이지만 가산 제2 공리가 아니다.)
• 또 다른 반례는 비가산 집합 개수의 무한 이산 공간의 곱 공간이다. 특정점 위상을 갖는 모든 무한 집합은 파라콤팩트가 아니며, 사실 메타콤팩트 공간도 아니다.
• Prüfer 다양체 ''P''는 비파라콤팩트 곡면이다.
• Bagpipe 정리는 2^ℵ₁개의 비파라콤팩트 곡면의 위상적 동치류가 있음을 보여준다.
• 조르겐프라이 평면은 두 개의 파라콤팩트 공간의 곱임에도 불구하고 파라콤팩트 공간이 아니다.

5. 역사

1940년에 존 윌더 튜키는 "완전 정규 공간"이라는 개념을 정의하였다.^[24][25] 1944년에 프랑스의 수학자 장 디외도네는 파라콤팩트 공간의 개념을 정의하였다.^[25][26] 1948년에 아서 해럴드 스톤은 완전 정규 공간의 개념과 파라콤팩트 공간의 개념이 (하우스도르프 조건 아래) 서로 동치임을 증명하였다.^[25][27]

모리타 정리는 모리타 기이치가 1948년에 증명하였다.^[28][25]

참조

_[1] 논문 The point of pointless topology https://www.ams.org/[...] 1983
_[2] 문서
_[3] 웹사이트 Vector bundles and K-theory http://pi.math.corne[...]
_[4] 뉴스 Paracompactness and product spaces https://www.ams.org/[...] 1948
_[5] 논문 A new proof that metric spaces are paracompact 1969-02
_[6] 논문 On Stone's theorem and the axiom of choice 1998-04
_[7] 서적 Loop Spaces, Characteristic Classes and Geometric Quantization https://books.google[...] Springer
_[8] 서적 Convergence and Uniformity in Topology Princeton University Press, Princeton, N. J.
_[9] 웹사이트 Vector bundles and K-theory http://www.math.corn[...]
_[10] 뉴스 Paracompactness and product spaces http://www.ams.org/m[...] 1948
_[11] 뉴스 A new proof that metric spaces are paracompact http://www.ams.org/j[...] 1969-02
_[12] 뉴스 On Stone's Theorem and the Axiom of Choice http://www.ams.org/p[...] 1998-04
_[13] 서적 Loop Spaces, Characteristic Classes and Geometric Quantization https://books.google[...] Springer
_[14] 서적 위상수학 경문사 2010
_[15] 서적
_[16] 서적
_[17] 문서
_[18] 저널 https://archive.org/[...]
_[19] 저널
_[20] 서적 http://www.pearsonhi[...]
_[21] 서적 https://archive.org/[...]
_[22] 저널
_[23] 서적
_[24] 저널
_[25] 서적 Springer
_[26] 저널
_[27] 저널
_[28] 저널