디리클레 에타 함수

3. 적분 표현

디리클레 에타 함수는 다음과 같은 다양한 적분 공식으로 표현될 수 있다.

$\backslash Re\; s\; >\; 0$에서 유효한 다음 공식은 감마 함수의 적분 표현을 변수 변환(Abel, 1823)하여 얻을 수 있으며, 이는 다양한 방식으로 이중 적분으로 표현될 수 있는 멜린 변환을 제공한다(Sondow, 2005).

:$$\backslash begin\{align\}$$

\Gamma(s)\eta(s)

&= \int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x+1} \, dx

= \int_0^\infty \int_0^x \frac{x^{s-2}}{e^x+1} \, dy \, dx \\[8pt]

&= \int_0^\infty \int_0^\infty \frac{(t+r)^{s-2}}{e^{t+r}+1} dr \, dt

=\int_0^1 \int_0^1 \frac{\left(-\log(x y)\right)^{s-2}}{1 + x y} \, dx \, dy.

\end{align}

Cauchy–Schlömilch 변환(Amdeberhan, Moll 등, 2010)을 사용하면 $\backslash Re\; s\; >\; -1$에서 유효한 다음 표현을 증명할 수 있다. 이 절의 첫 번째 적분을 부분 적분하면 또 다른 유도가 가능하다.

:$$2^\{1-s\}\backslash ,\backslash Gamma(s+1)\backslash ,\backslash eta(s)$$

= 2 \int_0^\infty \frac{x^{2s+1}}{\cosh^2(x^2)} \, dx

= \int_0^\infty \frac{t^s}{\cosh^2(t)} \, dt.

Lindelöf (1905)에 의한 다음 공식은 지수 함수에 내포된 로그에 대해 주 값을 취할 때 전체 복소 평면에서 유효하다.

:$$\backslash eta(s)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(1/2\; +\; i\; t)^\{-s\}\}\{e^\{\backslash pi\; t\}+e^\{-\backslash pi\; t\}\}\; \backslash ,\; dt.$$

이는 전체 함수에 대한 옌센(1895) 공식 $(s-1)\backslash ,\backslash zeta(s)$에 해당하며, 전체 복소 평면에서 유효하고 Lindelöf에 의해 증명되었다.

:$$(s-1)\backslash zeta(s)\; =\; 2\backslash pi\backslash ,\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(1/2\; +\; i\; t)^\{1-s\}\}\{(e^\{\backslash pi\; t\}+e^\{-\backslash pi\; t\})^2\}\; \backslash ,\; dt.$$

옌센(1895)은 "이 공식은 그 단순성으로 눈에 띄며, 급수의 합에 매우 중요한 코시 정리를 사용하여 쉽게 증명할 수 있습니다"라고 썼다. 마찬가지로 적분 경로를 윤곽 적분으로 변환하여 모든 $s$에 대해 유효한 이 일반화(Milgram, 2013)와 같은 에타 함수에 대한 다른 공식을 얻을 수 있다.

:$$\backslash eta(s)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(c\; +\; i\; t)^\{-s\}\}\{\backslash sin\{(\backslash pi(c+i\; t))\}\}\; \backslash ,\; dt.$$

음의 실수 축에 있는 영점은 $c\backslash to\; 0^+$로 만들어 에 대해 유효한 공식을 얻음으로써 깔끔하게 소거된다(Milgram, 2013).

:$$\backslash eta(s)\; =\; -\; \backslash sin\backslash left(\backslash frac\{s\backslash pi\}\{2\}\backslash right)\; \backslash int\_\{0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{t^\{-s\}\}\{\backslash sinh\{(\backslash pi\; t)\}\}\; \backslash ,\; dt.$$

4. 수치 계산 알고리즘

대부분의 급수 가속 기술은 교대 급수에 적용되어 에타 함수의 계산에 유용하게 사용될 수 있다. 특히 간단하면서도 합리적인 방법은 교대 급수의 오일러 변환을 적용하는 것이다.

:$\backslash eta(s)=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{2^\{n+1\}\}\backslash sum\_\{k=0\}^n\; (-1)^\{k\}\; \{n\; \backslash choose\; k\}\; \backslash frac\; \{1\}\{(k+1)^s\}.$

두 번째 안쪽 합은 전방 차분이다.

피터 보르웨인은 에타 함수의 효율적인 계산을 위한 방법을 제시하기 위해 체비쇼프 다항식과 관련된 근사를 사용했다.^[3] 만약

:$d\_k\; =\; n\backslash sum\_\{\backslash ell=0\}^k\; \backslash frac\{(n+\backslash ell-1)!4^\backslash ell\}\{(n-\backslash ell)!(2\backslash ell)!\}$

일 때,

:$\backslash eta(s)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{d\_n\}\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{n-1\}\backslash frac\{(-1)^k(d\_k-d\_n)\}\{(k+1)^s\}+\backslash gamma\_n(s),$

이고, $\backslash Re(s)\; \backslash ge\; \backslash frac\{1\}\{2\}$일 때 오차항 $\backslash gamma\_n(s)$의 경계는 다음과 같다.

:$|\backslash gamma\_n(s)|\; \backslash le\; \backslash frac\{3\}\{(3+\backslash sqrt\{8\})^n\}\; (1+2|\backslash Im(s)|)\backslash exp\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}|\backslash Im(s)|\backslash right).$

오차 경계에 있는 $3+\backslash sqrt\{8\}\backslash approx\; 5.8$의 인자는 보르웨인 급수가 ''n''이 증가함에 따라 상당히 빠르게 수렴한다는 것을 나타낸다.

5. 특수값

• η^영어(0) = 1/2이며, 아벨 합으로 계산한 그란디 급수 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·이다.
• η^영어(-1) = 1/4이며, 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·의 아벨 합이다.
• ''k''가 1보다 큰 정수이고, ''B''_''k''가 ''k''번째 베르누이 수일 때, $$\backslash eta(1-k)\; =\; \backslash frac\{2^k-1\}\{k\}\; B\_k.$$이다.
• η^영어(1) = ln2이며, 이는 교대 조화 급수이다.
• η^영어(2) = {{π^2} \over 12}
• η^영어(4) = {{7π^4} \over 720} ≈ 0.94703283
• η^영어(6) = {{31π^6} \over 30240} ≈ 0.98555109
• η^영어(8) = {{127π^8} \over 1209600} ≈ 0.99623300
• η}}(10) = {{73π^{10^영어 \over 6842880} ≈ 0.99903951
• η}}(12) = \over {1307674368000}} ≈ 0.99975769

6. 미분

에타 함수의 s에 대한 미분은 s ≠ 1에 대해 다음과 같다.^[1]

: η'(s) = 2^1-sln(2)ζ(s)+(1-2^1-s)ζ'(s)

: η'(1) = ln(2)γ - (ln(2))²/2 (γ는 오일러-마스케로니 상수)

참조

_[1] 웹사이트 Jupyter Notebook Viewer http://nbviewer.ipyt[...]
_[2] 논문 A new proof of the functional equation for the Zeta-function http://www.jstor.org[...] 1922
_[3] 서적 Constructive, Experimental, and Nonlinear Analysis http://www.cecm.sfu.[...] American Mathematical Society, on behalf of the Canadian Mathematical Society 2008-09-20