멜린 변환

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1. 개요

멜린 변환은 양의 실수선 위에 정의된 함수를 적분 변환하여 얻는 함수이다. 핀란드의 수학자 로베르트 얄마르 멜린에 의해 도입되었으며, 함수의 스케일 불변성, 푸리에 변환 및 라플라스 변환과의 관계, 그리고 리만 제타 함수와 같은 특수 함수와의 연관성 때문에 다양한 분야에서 활용된다. 알고리즘 분석, 수론, 조합론, 확률론, 양자 역학 및 이미지 인식 등에서 응용되며, 특히 AdS/CFT 대응과 같은 현대 물리학 연구에도 중요한 역할을 한다.

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멜린 변환
정의
유형	적분 변환
개발자	ヒャルマル・メリン
수식
변환	$\{{f(x)}\} = F(s) = \int_0^\infty x^{s-1} f(x) dx$
역변환	$\{{F(s)}\} = f(x) = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} x^{-s} F(s) ds$
변수	f(x): 원래 함수 F(s): 변환된 함수 s: 복소 변수 x: 실수 변수 c: 적분 경로를 결정하는 상수
특징
관련 변환	라플라스 변환 푸리에 변환 멜린-푸앵카레 변환

2. 정의

멜린 변환은 주어진 함수의 정의역, 치역, 그리고 적분 가능성에 따라 다양하게 정의된다.

기본적으로 멜린 변환은 적분 변환의 일종으로, 주어진 함수에 대해 적분이 수렴하는 경우에 정의된다. 그러나 적분이 수렴하지 않더라도, 함수의 점근적 급수를 이용하여 멜린 변환을 정의할 수 있다.^[21]

힐베르트 공간 연구에서는 약간 다른 형태의 멜린 변환이 사용되는데, 이는 Lp 공간 함수에 대해 정의되며 유니타리 작용소의 성질을 갖는다.

이처럼 다양한 정의 방식은 멜린 변환의 폭넓은 활용을 가능하게 한다.

2. 1. 기본 정의

\mathbb K

를 실수체

\mathbb R

또는 복소수체

\mathbb C

라고 하자. 양의 실수 집합

\mathbb R^+=(0,\infty)

위에 정의된, 절댓값 적분 가능한 함수

:

f\in\operatorname L^1(\mathbb R^+;\mathbb K)

:

f\colon(0,\infty)\to\mathbb K

가 주어졌다고 하자. 여기서

\operatorname L^1

은 1차 르베그 공간을 의미한다.

\mathcal Mf

의 정의역은 아래 적분이 수렴하는 복소수

s\in\mathbb C

들의 집합이다.

이러한

f

의 '''멜린 변환'''은 (만약 존재한다면) 다음과 같은 적분 변환으로 정의된다.

:

\mathcal Mf(s)=\int_0^\infty x^sf(x)\,\frac{\mathrm dx}x

이는 국소 가적분 함수 ''f''에 대해 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

\left\{\mathcal{M}f\right\}(s) = \varphi(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1} f(x)dx

만약 임의의 작은 양수

\epsilon

에 대해,

x\to +0

일 때

f(x)=O(x^{-a-\epsilon})

이고

x\to +\infty

일 때

f(x)=O(x^{-b+\epsilon})

으로 평가할 수 있다면, 위 적분은 절대 수렴한다. 또한,

\left\{\mathcal{M}f\right\}(s)

는

a<\Re (s) 에서 해석적인 함수가 된다.

2. 2. 확장된 멜린 변환

만약 멜린 변환이 수렴하지 않더라도, 일부 경우 멜린 변환을 정의할 수 있다.^[21]

우선, 함수

f\in\operatorname L^1(\mathbb R^+;\mathbb C)

가 0 근처에서 다음과 같은 점근적 급수를 갖는다고 가정한다.

:

f(x)\sim\sum_{i=0}^\infty a_ix^{\alpha_i}(\ln x)^{m_i}

(이 급수는 점근적 급수이므로 수렴할 필요는 없다.) 여기서

:

\alpha_i\in\mathbb C

는

:

\Re\alpha_0\le\Re\alpha_1\le\Re\alpha_2\le\cdots

:

\sup_{i=0}^\infty\Re\alpha_i=\infty

를 만족시키는 복소수열이며,

:

m_i\in\mathbb N

는 자연수(음이 아닌 정수)의 수열이다.

그렇다면, 임의의

0 에 대하여 "부분 멜린 변환"

:

\mathcal Mf(s)=\int_0^T x^sf(x)\,\frac{\mathrm dx}x

는 해석적 연속을 통해 복소평면 위의 유리형 함수가 되며, 그 극점들은

-\alpha_i

에 위치한다. 극점 근처에서 로랑 급수는 다음과 같다.

:

\mathcal Mf(s)=\frac{(-1)^{m_i}m_i!a_i}{(s+\alpha_i)^{m_i+1}}+\mathcal O\left((s+\alpha_i)^{-m_i}\right)

마찬가지로,

f

가 무한대 근처에서 다음과 같은 점근적 급수를 갖는다고 가정한다.

:

f(x)\sim\sum_{i=0}^\infty b_ix^{\beta_i}(\ln x)^{n_i}

여기서

:

\beta_i\in\mathbb C

는

:

\Re\beta_0\ge\Re\beta_1\ge\Re\beta_2\ge\cdots

:

\inf_{i=0}^\infty\Re\beta_i=-\infty

를 만족시키는 복소수열이며,

:

n_i\in\mathbb N

는 자연수(음이 아닌 정수)의 수열이다.

그렇다면, 임의의

0 에 대하여 "부분 멜린 변환"

:

\mathcal Mf(s)=\int_T^\infty x^sf(x)\,\frac{\mathrm dx}x

는 해석적 연속을 통해 복소평면 위의 유리형 함수가 되며, 그 극점들은

-\beta_i

에 위치한다. 극점 근처에서 로랑 급수는 다음과 같다.

:

\mathcal Mf(s)=-\frac{(-1)^{n_i}n_i!b_i}{(s+\beta_i)^{n_i+1}}+\mathcal O\left((s+\beta_i)^{-n_i}\right)

이에 따라, 임의의

0 에 대하여 (일반화) 멜린 변환을 위와 같은 두 "부분 멜린 변환"의 해석적 연속 의 합인 유리형 함수 로 정의할 수 있으며, 이는 0 의 선택에 의존하지 않는다.

이러한 꼴의 함수에 대하여, 기본대는

:

(\alpha_0,\beta_0)

이다. 특히,

\beta>\alpha_0

일 수 있는데, 이 경우 고전적 멜린 변환은 정의되지 않는다.

3. 성질

멜린 변환은 여러 가지 유용한 성질을 가지며, 다른 변환과의 관계를 통해 그 중요성이 더욱 부각된다.

임의의 함수 $f\in\operatorname L^1((0,\infty);\mathbb K)$ 에 대하여, 멜린 변환 $\mathcal Mf$ 의 정의역은 복소평면에서 띠 모양을 가진다. 이를 $f$ 의 기본대라고 한다. 특히, $f\in\operatorname L^2((0,\infty);\mathbb K)$ 인 경우, $f$ 의 기본대는 항상 $1/2+\mathrm i\mathbb R$ 를 포함한다.

함수 $f$ 가 $x\to0^+$ 일 때 $O(x^{-\alpha})$ , $x\to+\infty$ 일 때 $O(x^{-\beta})$ 와 같은 점근적 성질을 가지면, 열린구간 $(\alpha,\beta)$ 는 $f$ 의 기본대에 속한다.

멜린 변환은 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.^[21]

$\mathcal M(x\mapsto f(\alpha x))\colon s\mapsto \alpha^{-s}\mathcal Mf(s)$
$\mathcal M(x\mapsto x^\alpha f(x))\colon s\mapsto \mathcal Mf(s+\alpha)$
$\mathcal M(x\mapsto f(x^\alpha))\colon s\mapsto \alpha^{-1}\mathcal Mf(s/\alpha)$
$\mathcal M(x\mapsto f(1/x))\colon s\mapsto \mathcal Mf(-s)$
$\mathcal M(x\mapsto \mathrm df(x)/\mathrm dx)\colon s\mapsto (1-s)\mathcal Mf(s-1)$

또한, 멜린 변환은 곱셈 하르 측도

\frac{dx}{x}

에 대하여 커널 ''x''^''s''을 사용하여 적분하는 것으로 생각할 수 있다.

멜린 변환은 푸리에 변환, 라플라스 변환 등 다른 변환과도 밀접한 관계를 가진다.

$\mathcal Mf(s)=\mathcal F[f\circ\exp](-\mathrm is)$
$\mathcal Ff(s)=\mathcal M[f\circ(-\ln)](\mathrm is)$
$\mathcal Bf(s)=\mathcal M[f\circ(-\ln)](s)$
$\mathcal Mf(s)=\mathcal B[x\mapsto f(\exp(-x))](s)$

3. 1. 기본 성질

멜린 변환은 다음과 같은 기본적인 성질을 가지며, 이러한 성질은 멜린 변환을 이해하고 활용하는 데 중요하다.

정의역: 함수 $f(x)$ 의 멜린 변환 $\mathcal Mf(s)$ 의 정의역은 일반 복소평면 상의 띠 모양이다. 이 띠를 $f$ 의 '''기본대'''라고 부른다. 기본대는 $x \to 0^+$ 일 때와 $x \to +\infty$ 일 때 함수의 점근적 성질에 의해 결정된다.^[5] 예를 들어, $f(x)$ 가 $x\to 0^+$ 일 때 $O(x^a)$ 이고, $x\to +\infty$ 일 때 $O(x^b)$ 이면, $\mathcal{M} f(s)$ 는 띠 $\langle -a,-b \rangle$ 에서 정의된다.^[5]

역변환: 멜린 변환은 다음과 같은 역변환 공식을 갖는다.

:

\mathcal M^{-1}F(x)=\frac1{2\mathrm\pi i}\int_{c-\mathrm i\infty}^{c+\mathrm i\infty}x^{-s}F(s)\,\mathrm ds

여기서

c

는 기본대 내에 있는 임의의 실수이다.

선형성: 멜린 변환은 선형 변환이다. 즉, 두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ , 그리고 상수 $a$ 와 $b$ 에 대해 다음이 성립한다.

:

\mathcal{M}\{af(x) + bg(x)\} = a\mathcal{M}\{f(x)\} + b\mathcal{M}\{g(x)\}

스케일링: 함수 $f(x)$ 를 $f(\alpha x)$ ( $\alpha > 0$ )로 스케일링하면, 멜린 변환은 $\alpha^{-s}\mathcal Mf(s)$ 가 된다.^[21]

이동: 함수 $f(x)$ 를 $x^\alpha f(x)$ 로 이동시키면, 멜린 변환은 $\mathcal Mf(s+\alpha)$ 로 이동한다.^[21]

미분: 함수 $f(x)$ 의 도함수 $f'(x)$ 의 멜린 변환은 $-(s-1)\mathcal Mf(s-1)$ 이다.^[21]

아래는 위에서 언급된 성질들을 포함하여 멜린 변환의 여러 성질을 표로 정리한 것이다.

{| class="wikitable"

|+ 멜린 변환의 성질

|-

! 함수 !! 멜린 변환 !! 기본대 !! 비고

|-

|

f(x)

|

\tilde{f}(s)=\{\mathcal{M}f\}(s)=\int_0^{\infty} f(x) x^s \frac{dx}{x}

|

\alpha < \Re s < \beta

| 정의

|-

|

x^{\nu}\,f(x)

|

\tilde{f}(s+\nu)

|

\alpha - \Re \nu < \Re s < \beta - \Re \nu

|

|-

|

f(x^{\nu})

|

\frac{1}

\,\tilde{f}\left(\frac{s}{\nu}\right)

|

\alpha < \nu^{-1} \, \Re s < \beta

|

\nu\in\mathbb{R},\;\nu\neq 0

|-

|

f(x^{-1})

|

\tilde{f}(-s)

|

-\beta < \Re s < -\alpha

|

|-

|

x^{-1}\,f(x^{-1})

|

\tilde{f}(1-s)

|

1-\beta < \Re s < 1-\alpha

| 자기대응

|-

|

\overline{f(x)}

|

\overline{\tilde{f}(\overline{s})}

|

\alpha < \Re s < \beta

|

\overline{z}

는

z

의 켤레복소수

|-

|

f(\nu x)

|

\nu^{-s} \tilde{f}(s)

|

\alpha < \Re s < \beta

|

\nu > 0

, 스케일링

|-

|

f(x)\,\ln x

|

\tilde{f}'(s)

|

\alpha < \Re s < \beta

|

|-

|

f'(x)

|

-(s-1)\, \tilde{f}(s-1)

|

\alpha+1 < \Re s < \beta+1

|

|-

|

\left( \frac{d}{dx} \right)^n \, f(x)

|

(-1)^n \, \frac{\Gamma(s)}{\Gamma(s-n)} \tilde{f}(s-n)

|

\alpha+n < \Re s < \beta+n

|

|-

|

x\,f'(x)

|

- s \,\tilde{f}(s)

|

\alpha < \Re s < \beta

|

|-

|

\left( x\, \frac{d}{dx} \right)^n \, f(x)

|

(-s)^n \tilde{f}(s)

|

\alpha < \Re s < \beta

|

|-

|

\left( \frac{d}{dx} \, x\right)^n \, f(x)

|

(1-s)^n \tilde{f}(s)

|

\alpha < \Re s < \beta

|

|-

|

\int_0^x f(y) \, dy

|

- s^{-1} \,\tilde{f}(s+1)

|

\alpha-1 < \Re s < \min(\beta-1,0)

| 적분이 존재하는 경우

|-

|

\int_x^{\infty} f(y) \, dy

|

s^{-1} \,\tilde{f}(s+1)

|

\max(\alpha-1,0) < \Re s < \beta-1

| 적분이 존재하는 경우

|-

|

\int_0^{\infty}  f_1\left(\frac{x}{y}\right) \, f_2(y) \, \frac{dy}{y}

|

\tilde{f}_1(s) \,\tilde{f}_2(s)

|

\max(\alpha_1,\alpha_2) < \Re s < \min(\beta_1,\beta_2)

| 곱셈 컨볼루션

|-

|

x^{\mu} \int_0^{\infty} y^{\nu} \, f_1\left(\frac{x}{y}\right) \, f_2(y) \, dy

|

\tilde{f}_1(s+\mu) \,\tilde{f}_2(s+\mu+\nu+1)

|

| 곱셈 컨볼루션 (일반화)

|-

|

x^{\mu} \int_0^{\infty} y^{\nu} \, f_1(x\,y) \, f_2(y) \, dy

|

\tilde{f}_1(s+\mu) \,\tilde{f}_2(1-s-\mu+\nu)

|

| 곱셈 컨볼루션 (일반화)

|-

|

f_1(x) \, f_2(x)

|

\frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \tilde{f}_1(r)\,\tilde{f}_2(s-r)\,dr

|

\begin{aligned} \alpha_2+c&<\Re s<\beta_2+c \\ \alpha_1&

| 곱셈. 적분이 존재하는 경우

|}

3. 2. 다른 변환과의 관계

적절한 조건 아래, 멜린 변환은 푸리에 변환으로 표현될 수 있다.

:

\mathcal Mf(s)=\mathcal F[f\circ\exp](-\mathrm is)

:

\mathcal Ff(s)=\mathcal M[f\circ(-\ln)](\mathrm is)

마찬가지로, 양쪽 라플라스 변환

\mathcal B

와의 관계는 다음과 같다.

:

\mathcal Bf(s)=\mathcal M[f\circ(-\ln)](s)

:

\mathcal Mf(s)=\mathcal B[x\mapsto f(\exp(-x))](s)

양측 라플라스 변환은 멜린 변환을 사용하여 정의할 수 있다.

:

\mathcal{B}  \left\{f\right\}(s) = \mathcal{M} \left\{f(-\ln x) \right\}(s)

반대로, 멜린 변환은 양측 라플라스 변환으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\mathcal{M}  \left\{f\right\}(s) = \mathcal{B}\left\{ f(e^{-x})\right\}(s).

멜린 변환은 곱셈 하르 측도

\frac{dx}{x}

에 대하여 커널 ''x''^''s''을 사용하여 적분하는 것으로 생각할 수 있으며, 이 측도는

x \mapsto ax

에 대한 팽창에 불변한다. 즉,

x \mapsto ax

일 때

d(ax)/ax = dx/x

가 성립한다. 양측 라플라스 변환은 덧셈 하르 측도

dx

에 대하여 적분하며, 이 측도는 이동에 불변하여

d(x+a) = dx

가 성립한다.

또한, 멜린 변환을 사용하여 푸리에 변환을 정의할 수도 있고, 그 반대도 가능하다. 위에서 정의된 멜린 변환과 양측 라플라스 변환을 이용하면 다음과 같다.

:

\left\{\mathcal{F} f\right\}(-s) = \left\{\mathcal{B} f\right\}(-is)= \left\{\mathcal{M} f(-\ln x)\right\}(-is)\ .

다음과 같이 과정을 되돌릴 수도 있다.

:

\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x}) \right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f(e^{-x})\right\}(-is)\ .

멜린 변환은 푸아송-멜린-뉴턴 사이클을 통해 뉴턴 급수 또는 이항 변환을 푸아송 생성 함수와 연결한다.

3. 3. 유니터리성

복소수 힐베르트 공간

\operatorname L^2(\mathbb R^+;\mathbb C)

에서, 다음과 같이 정의한다.

:

\tilde{\mathcal M}f(s)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\mathcal Mf(s+\mathrm is)

:

\tilde{\mathcal M}^{-1}F(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty x^{-1/2-\mathrm is}F(s)\;\mathrm ds

그러면,

:

\tilde{\mathcal M}\colon\operatorname L^2(\mathbb R^+;\mathbb C)\to\operatorname L^2(\mathbb R;\mathbb C)

는 두 복소수 힐베르트 공간 사이의 유니터리 변환(=등거리 복소수 선형 변환)을 정의한다.

힐베르트 공간 연구에서 멜린 변환은 종종 약간 다른 방식으로 제시된다.

L^2(0,\infty)

에 속하는 함수(Lp 공간 참조)의 경우, 기본 스트립은 항상

\tfrac{1}{2}+i\mathbb{R}

을 포함하므로, 다음과 같이 선형 연산자

\tilde{\mathcal{M}}

을 정의할 수 있다.

:

\tilde{\mathcal{M}}\colon L^2(0,\infty)\to L^2(-\infty,\infty),

:

\{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2} + is} f(x)\,dx.

다시 말해, 다음과 같이 설정한다.

:

\{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s):=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\{\mathcal{M}f\}(\tfrac{1}{2} + is).

이 연산자는 일반적으로 간단하게

\mathcal{M}

으로 표시되고 "멜린 변환"이라고 불리지만, 이 문서에서는 다른 정의와 구별하기 위해

\tilde{\mathcal{M}}

을 사용한다. 그러면 멜린 역정리에 의해

\tilde{\mathcal{M}}

은 역변환을 가지며, 그 역변환은 다음과 같다.

:

\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\colon L^2(-\infty,\infty) \to L^2(0,\infty),

:

\{\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\varphi\}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}-is} \varphi(s)\,ds.

또한, 이 연산자는 등거리 변환이므로, 모든

f\in L^2(0,\infty)

에 대해

\|\tilde{\mathcal{M}} f\|_{L^2(-\infty,\infty)}=\|f\|_{L^2(0,\infty)}

이다(이것은

1/\sqrt{2\pi}

의 계수가 사용된 이유를 설명한다). 따라서,

\tilde{\mathcal{M}}

은 유니터리 작용소이다.

3. 4. 파서벌 정리 및 플랜처렐 정리

f_1(x)

와

f_2(x)

를 기본 띠

\alpha_{1,2}<\real s<\beta_{1,2}

에서 멜린 변환

\tilde{f}_{1,2}(s)=\mathcal{M}\{f_{1,2}\}(s)

가 잘 정의된 함수라고 하자.

c\in\mathbb{R}

이고

\max(\alpha_1,1-\beta_2) 인 경우, 함수 x^{c-1/2}\,f_1(x) 와 x^{1/2-c}\,f_2(x) 가 구간 (0,\infty) 에서 제곱 적분 가능하면, Parseval의 정리가 성립한다.

^[6]

:

\int_0^{\infty} f_1(x)\,f_2(x)\,dx = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \tilde{f_1}(s)\,\tilde{f_2}(1-s)\,ds

우변의 적분은 (적절하게 변환된) 기본 띠의 겹침 내에 완전히 놓이는 수직선

\Re r = c

을 따라 수행된다.

f_2(x)

를

f_2(x)\,x^{s_0-1}

로 대체할 수 있다. 그러면 다음 정리의 대안적 형태가 제공된다.

f_1(x)

와

f_2(x)

를 기본 띠

\alpha_{1,2}<\real s<\beta_{1,2}

에서 멜린 변환

\tilde{f}_{1,2}(s)=\mathcal{M}\{f_{1,2}\}(s)

가 잘 정의된 함수라고 하자.

c\in\mathbb{R}

이고

\alpha_1 이며, s_0\in\mathbb{C} 을 \alpha_2< \Re s_0 - c <\beta_2 로 선택한다. 함수 x^{c-1/2}\,f_1(x) 와 x^{s_0-c-1/2}\,f_2(x) 가 구간 (0,\infty) 에서 제곱 적분 가능하면, 다음이 성립한다.

^[6]

:

\int_0^{\infty} f_1(x)\,f_2(x)\,x^{s_0-1}\,dx = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \tilde{f_1}(s)\,\tilde{f_2}(s_0-s)\,ds

f_2(x)

를

\overline{f_1(x)}

로 대체할 수 있다. 그러면 다음 정리가 제공된다.

f(x)

를 기본 띠

\alpha<\real s<\beta

에서 멜린 변환

\tilde{f}(s) = \mathcal{M}\{f\}(s)

가 잘 정의된 함수라고 하자.

c\in\mathbb{R}

이고

\alpha 인 경우, 함수 x^{c-1/2}\,f(x) 가 구간 (0,\infty) 에서 제곱 적분 가능하면, Plancherel의 정리가 성립한다.

^[7]

:

\int_0^{\infty} |f(x)|^2\,x^{2c-1}dx = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} | \tilde{f}(c+it) |^2 \,dt

힐베르트 공간 연구에서 멜린 변환은 약간 다른 방식으로 정의된다.

L^2(0,\infty)

(Lp 공간 참조)의 함수에 대해 기본 띠(fundamental strip)는 항상

\tfrac{1}{2}+i\mathbb{R}

을 포함한다. 따라서, 선형 작용소

\tilde{\mathcal{M}}

을

:

\tilde{\mathcal{M}}\colon L^2(0,\infty)\to L^2(-\infty,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}+is} f(x)\,dx

로 정의할 수 있다. 다시 말해,

:

\{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s):=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\{\mathcal{M}f\}(\tfrac{1}{2}-is)

를 정의할 수 있다. 이 작용소는 일반적으로

\mathcal{M}

로 간단히 표기되며, "멜린 변환"이라고 불린다. 하지만 여기서는 위의 표기와 구별하기 위해

\tilde{\mathcal{M}}

을 기호로 사용한다. 에 의해,

\tilde{\mathcal{M}}

은 가역적이며, 그 역은

:

\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\colon L^2(-\infty,\infty) \to L^2(0,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\varphi\}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}-is} \varphi(s)\,ds

로 얻어진다는 것을 알 수 있다. 또한 이 작용소는 등거리이므로, 즉

\|\tilde{\mathcal{M}} f\|_{L^2(-\infty,\infty)}=\|f\|_{L^2(0,\infty)}

가 모든

f\in L^2(0,\infty)

에 대해 성립한다(이러한 성질을 위해 계수

1/\sqrt{2\pi}

가 사용된다). 따라서,

\tilde{\mathcal{M}}

은 유니타리 작용소이다.

4. 예시

멜린 변환은 다양한 함수에 적용되어 그 특성을 분석하고 활용하는 데 유용하게 사용된다. 몇 가지 예시를 통해 멜린 변환의 활용을 살펴본다.

수론에서 자주 등장하는 함수 $f(x)=[x>1]x^a$ ( $[\cdots]$ 는 아이버슨 괄호)의 멜린 변환은 다음과 같다.^[17]

: $\mathcal Mf(s)=-\frac1{s+a}\qquad(\Re(s+a)<0)$

함수 $f(x) = e^{-x}$ 의 멜린 변환은 감마 함수 $\Gamma(s)$ 로, 다음과 같이 표현된다.^[2]

: $\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1}e^{-x} dx$

이는 카앵-멜린 적분으로 알려져 있다.^[3]

리만 제타 함수 $\zeta(s)$ 는 $f(x) = \frac{1}{e^x-1}$ 의 멜린 변환을 통해 다음과 같은 공식을 얻을 수 있다.^[18]

: $\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx$

확률론에서 멜린 변환은 확률 변수의 곱의 분포를 연구하는 데 사용된다.^[19] 독립적인 확률 변수 ''X''와 ''Y''의 곱의 멜린 변환은 각 확률 변수의 멜린 변환의 곱과 같다.^[20]

: $\mathcal{M}_{XY}(s) = \mathcal{M}_X(s)\mathcal{M}_Y(s)$

멜린 변환은 스케일 불변성을 가지므로 컴퓨터 과학 분야, 특히 이미지 인식에서 유용하게 활용된다. 오디오 타임 스케일-피치 조정에도 사용될 수 있다.

다음은 멜린 변환의 다양한 예시를 보여주는 표이다.

멜린 변환 예시
함수 $f(x)$	멜린 변환 $\tilde{f}(s) = \mathcal{M}\{f\}(s)$	수렴 영역	비고
$e^{-x}$	$\Gamma(s)$	$0 < \Re s < \infty$
$e^{-x}-1$	$\Gamma(s)$	$-1 < \Re s < 0$
$e^{-x}-1 +x$	$\Gamma(s)$	$-2 < \Re s < -1$	일반적으로 $\Gamma(s)$ 는 ^[16] $e^{-x}-\sum_{n=0}^{N-1} \frac{(-1)^n}{n !} x^n$ 의 멜린 변환
$e^{-x^2}$	$\tfrac{1}{2}\Gamma(\tfrac{1}{2}s)$	$0 < \Re s < \infty$
$\mathrm{erfc}(x)$	$\frac{\Gamma(\tfrac{1}{2}(1+s))}{\sqrt{\pi}\;s}$	$0 < \Re s < \infty$
$e^{-(\ln x)^2}$	$\sqrt{\pi} \, e^{\tfrac{1}{4}s^2}$	$-\infty < \Re s < \infty$
$\delta(x-a)$	$a^{s-1}$	$-\infty < \Re s < \infty$	$a>0, \; \delta(x)$ 는 디랙 델타 함수
$u(1-x) = \left\{ \begin{aligned} &1 &&\;\text{if}\; 0$	$\frac{1}{s}$	$0 < \Re s < \infty$	$u(x)$ 는 헤비사이드 계단 함수
$-u(x-1) = \left\{ \begin{aligned} &0 &&\;\text{if}\; 0$	$\frac{1}{s}$	$-\infty < \Re s < 0$
$u(1-x)\,x^a = \left\{ \begin{aligned} &x^a &&\;\text{if}\; 0$	$\frac{1}{s+a}$	$-\Re a < \Re s < \infty$
$-u(x-1)\,x^a = \left\{ \begin{aligned} &0 &&\;\text{if}\; 0$	$\frac{1}{s+a}$	$-\infty < \Re s < -\Re a$
$u(1-x)\,x^a \ln x = \left\{ \begin{aligned} &x^a \ln x &&\;\text{if}\; 0$	$\frac{1}{(s+a)^2}$	$-\Re a < \Re s < \infty$
$-u(x-1)\,x^a \ln x = \left\{ \begin{aligned} &0 &&;\text{if}\; 0$	$\frac{1}{(s+a)^2}$	$-\infty < \Re s < -\Re a$
$\frac{1}{1+x}$	$\frac{\pi}{\sin(\pi s)}$	$0 < \Re s < 1$
$\frac{1}{1-x}$	$\frac{\pi}{\tan(\pi s)}$	$0 < \Re s < 1$
$\frac{1}{1+x^2}$	$\frac{\pi}{2\sin(\tfrac{1}{2}\pi s)}$	$0 < \Re s < 2$
$\ln(1+x)$	$\frac{\pi}{s\,\sin(\pi s)}$	$-1 < \Re s < 0$
$\sin(x)$	$\sin(\tfrac{1}{2}\pi s) \, \Gamma(s)$	$-1 < \Re s < 1$
$\cos(x)$	$\cos(\tfrac{1}{2}\pi s) \, \Gamma(s)$	$0 < \Re s < 1$
$e^{ix}$	$e^{i\pi s/2} \, \Gamma(s)$	$0 < \Re s < 1$
$J_0(x)$	$\frac{2^{s-1}}{\pi} \, \sin(\pi s/2) \, \left[\Gamma(s/2)\right]^2$	$0 < \Re s < \tfrac{3}{2}$	$J_0(x)$ 는 제1종 베셀 함수
$Y_0(x)$	$-\frac{2^{s-1}}{\pi} \, \cos(\pi s/2) \, \left[\Gamma(s/2)\right]^2$	$0 < \Re s < \tfrac{3}{2}$	$Y_0(x)$ 는 제2종 베셀 함수
$K_0(x)$	$2^{s-2} \, \left[\Gamma(s/2)\right]^2$	$0 < \Re s < \infty$	$K_0(x)$ 는 수정된 제2종 베셀 함수

4. 1. 기본 함수

f(x) = [x>1]x^a

와 같이 수론에서 자주 등장하는 함수를 생각해보자. (

[\cdots]

는 아이버슨 괄호로, 괄호 안의 명제가 참이면 1, 거짓이면 0이다.) 이 함수의 멜린 변환은 다음과 같다.

:

\mathcal Mf(s)=-\frac1{s+a}\qquad(\Re(s+a)<0)

f\colon x\mapsto\exp(-x)

의 멜린 변환은 감마 함수이며, 다음과 같다.

:

\mathcal Mf(s)=\int_0^\infty x^{s-1}\exp(-x) dx=\Gamma(s)

위 적분이 수렴하는

s\in\mathbb C

의 값, 즉 멜린 변환의 정의역은 다음과 같다.

:

\operatorname{dom}(\mathcal Mf)=([0,\infty)+\mathrm i\mathbb R)\setminus\{0\}

특히,

x\mapsto\exp(-x)

의 멜린 변환의 기본띠는

\mathbb R^++\mathrm i\mathbb R

이다.

그 역변환인 적분

:

\mathcal M^{-1}\Gamma(x)=\frac1{2\mathrm\pi\mathrm i}\int_{c-\mathrm i\infty}^{c+\mathrm i\infty}x^{-s}\Gamma(s)\,\mathrm ds

은 '''카앵-멜린 적분'''(Cahen–Mellin integral^영어)이라고 한다.

베르누이 수의 생성 함수

:

f(x)=\sum_{i=0}^\infty\frac{B_ix^{i-1}}{i!}=\frac1{\exp(x)-1}

의 멜린 변환은 다음과 같다.

:

\mathcal Mf(s)=\Gamma(s)\zeta(s)

여기서

\Gamma

는 감마 함수이며

\zeta

는 리만 제타 함수이다. 이에 따라, 감마 함수의 극점을 통해 리만 제타 함수의 음의 정수에서의 값을 알 수 있다.

:

\zeta(-n)=(-1)^n\frac{B_{n+1}}{n+1}\qquad(n\in\mathbb N)

\int_0^\infty x^a dx

는

a\in\mathbb{R}

의 어떤 값에 대해서도 수렴하지 않으므로, 멜린 변환은 전체 양의 실수 축에서 정의된 다항 함수에 대해서는 정의되지 않는다. 그러나 실수 축의 다른 구간에서 0으로 정의함으로써 멜린 변환을 취할 수 있다. 예를 들어,

f(x) = \begin{cases} x^a  & x < 1, \\ 0 & x > 1, \end{cases}

인 경우,

:

\mathcal M f (s)= \int_0^1 x^{s-1}x^adx = \int_0^1 x^{s+a-1}dx = \frac 1 {s+a}.

따라서

\mathcal M f (s)

는

s=-a

에서 단순 극점을 가지며,

\Re (s)>-a

에 대해 정의된다.

마찬가지로,

f(x)=\begin{cases} 0  & x < 1, \\ x^b & x > 1, \end{cases}

인 경우,

:

\mathcal M f (s)= \int_1^\infty x^{s-1}x^bdx = \int_1^\infty x^{s+b-1}dx = - \frac 1 {s+b}.

따라서

\mathcal M f (s)

는

s=-b

에서 단순 극점을 가지며,

\Re (s)<-b

에 대해 정의된다.

p > 0

에 대해,

f(x)=e^{-px}

라고 하면,

:

\mathcal M f (s) = \int_0^\infty x^{s} e^{-px}\frac{dx}{x} = \int_0^\infty \left(\frac{u}{p} \right)^{s}e^{-u} \frac{du}{u} = \frac{1}{p^s}\int_0^\infty u^{s}e^{-u} \frac{du}{u} = \frac{1}{p^{s}}\Gamma(s).

p > 0

에 대해,

f(x)=e^{-x^p}

(즉,

f

는 스케일링 인자가 없는 일반화 가우스 분포이다.)라고 하면,

:

\mathcal M f (s) = \int_0^\infty x^{s-1}e^{-x^p}dx = \int_0^\infty x^{p-1}x^{s-p}e^{-x^p}dx = \int_0^\infty x^{p-1}(x^p)^{s/p-1}e^{-x^p}dx = \frac{1}{p}\int_0^\infty u^{s/p-1}e^{-u}du = \frac{\Gamma(s/p)}{p} .

특히,

s=1

로 설정하면 감마 함수의 다음 형태를 얻는다.

:

\Gamma\left(1+\frac{1}{p}\right) = \int_0^\infty e^{-x^p}dx.

다음 표는 멜린 변환의 예시를 보여준다.

선택된 멜린 변환
함수 $f(x)$	멜린 변환 $\tilde{f}(s) = \mathcal{M}\{f\}(s)$	수렴 영역	비고
$e^{-x}$	$\Gamma(s)$	$0 < \Re s < \infty$
$e^{-x}-1$	$\Gamma(s)$	$-1 < \Re s < 0$
$e^{-x}-1 +x$	$\Gamma(s)$	$-2 < \Re s < -1$	일반적으로 $\Gamma(s)$ 는 ^[16] $e^{-x}-\sum_{n=0}^{N-1} \frac{(-1)^n}{n !} x^n,$ for $-N< \Re s <-N+1$ 의 멜린 변환이다.
$e^{-x^2}$	$\tfrac{1}{2}\Gamma(\tfrac{1}{2}s)$	$0 < \Re s < \infty$
$\mathrm{erfc}(x)$	$\frac{\Gamma(\tfrac{1}{2}(1+s))}{\sqrt{\pi}\;s}$	$0 < \Re s < \infty$
$e^{-(\ln x)^2}$	$\sqrt{\pi} \, e^{\tfrac{1}{4}s^2}$	$-\infty < \Re s < \infty$
$\delta(x-a)$	$a^{s-1}$	$-\infty < \Re s < \infty$	$a>0, \; \delta(x)$ 는 디랙 델타 함수이다.
$u(1-x) = \left\{ \begin{aligned} &1 &&\;\text{if}\; 0$	$\frac{1}{s}$	$0 < \Re s < \infty$	$u(x)$ 는 헤비사이드 계단 함수이다
$-u(x-1) = \left\{ \begin{aligned} &0 &&\;\text{if}\; 0$	$\frac{1}{s}$	$-\infty < \Re s < 0$
$u(1-x)\,x^a = \left\{ \begin{aligned} &x^a &&\;\text{if}\; 0$	$\frac{1}{s+a}$	$-\Re a < \Re s < \infty$
$-u(x-1)\,x^a = \left\{ \begin{aligned} &0 &&\;\text{if}\; 0$	$\frac{1}{s+a}$	$-\infty < \Re s < -\Re a$
$u(1-x)\,x^a \ln x = \left\{ \begin{aligned} &x^a \ln x &&\;\text{if}\; 0$	$\frac{1}{(s+a)^2}$	$-\Re a < \Re s < \infty$
$-u(x-1)\,x^a \ln x = \left\{ \begin{aligned} &0 &&;\text{if}\; 0$	$\frac{1}{(s+a)^2}$	$-\infty < \Re s < -\Re a$
$\frac{1}{1+x}$	$\frac{\pi}{\sin(\pi s)}$	$0 < \Re s < 1$
$\frac{1}{1-x}$	$\frac{\pi}{\tan(\pi s)}$	$0 < \Re s < 1$
$\frac{1}{1+x^2}$	$\frac{\pi}{2\sin(\tfrac{1}{2}\pi s)}$	$0 < \Re s < 2$
$\ln(1+x)$	$\frac{\pi}{s\,\sin(\pi s)}$	$-1 < \Re s < 0$
$\sin(x)$	$\sin(\tfrac{1}{2}\pi s) \, \Gamma(s)$	$-1 < \Re s < 1$
$\cos(x)$	$\cos(\tfrac{1}{2}\pi s) \, \Gamma(s)$	$0 < \Re s < 1$
$e^{ix}$	$e^{i\pi s/2} \, \Gamma(s)$	$0 < \Re s < 1$
$J_0(x)$	$\frac{2^{s-1}}{\pi} \, \sin(\pi s/2) \, \left[\Gamma(s/2)\right]^2$	$0 < \Re s < \tfrac{3}{2}$	$J_0(x)$ 는 제1종 베셀 함수이다.
$Y_0(x)$	$-\frac{2^{s-1}}{\pi} \, \cos(\pi s/2) \, \left[\Gamma(s/2)\right]^2$	$0 < \Re s < \tfrac{3}{2}$	$Y_0(x)$ 는 제2종 베셀 함수이다
$K_0(x)$	$2^{s-2} \, \left[\Gamma(s/2)\right]^2$	$0 < \Re s < \infty$	$K_0(x)$ 는 수정된 제2종 베셀 함수이다

4. 2. 특수 함수

감마 함수(

\Gamma(s)

)와 리만 제타 함수(

\zeta(s)

)는 멜린 변환을 통해 서로 연관된다. 베르누이 수의 생성 함수

:

f(x)=\sum_{i=0}^\infty\frac{B_ix^{i-1}}{i!}=\frac1{\exp(x)-1}

의 멜린 변환은 감마 함수와 리만 제타 함수의 곱으로 표현된다.

:

\mathcal Mf(s)=\Gamma(s)\zeta(s)

이를 통해 리만 제타 함수의 음의 정수에서의 값을 구할 수 있다.

:

\zeta(-n)=(-1)^n\frac{B_{n+1}}{n+1}\qquad(n\in\mathbb N)

또한, 멜린 변환을 사용하여 리만 제타 함수에 대한 공식을 유도할 수 있다.

:

\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty x^{s-1}\frac{1}{e^x-1} dx.

야코비 세타 함수(

\theta(x)

)의 멜린 변환은 리만 제타 함수이다.

:

\mathcal M\theta(s)=\int_0^\infty x^{s-1}\theta(x)\;\mathrm dx=\zeta(s)

다음은 멜린 변환의 예시들이다.

멜린 변환 예시
함수 $f(x)$	멜린 변환 $\tilde{f}(s) = \mathcal{M}\{f\}(s)$	수렴 영역	비고
$e^{-x}$	$\Gamma(s)$	$0 < \Re s < \infty$
$e^{-x}-1$	$\Gamma(s)$	$-1 < \Re s < 0$
$e^{-x}-1 +x$	$\Gamma(s)$	$-2 < \Re s < -1$	$\Gamma(s)$ 는 ^[16] $e^{-x}-\sum_{n=0}^{N-1} \frac{(-1)^n}{n !} x^n$ 의 멜린 변환
$e^{-x^2}$	$\tfrac{1}{2}\Gamma(\tfrac{1}{2}s)$	$0 < \Re s < \infty$
$\mathrm{erfc}(x)$	$\frac{\Gamma(\tfrac{1}{2}(1+s))}{\sqrt{\pi}\;s}$	$0 < \Re s < \infty$
$J_0(x)$	$\frac{2^{s-1}}{\pi} \, \sin(\pi s/2) \, \left[\Gamma(s/2)\right]^2$	$0 < \Re s < \tfrac{3}{2}$	$J_0(x)$ 는 제1종 베셀 함수
$Y_0(x)$	$-\frac{2^{s-1}}{\pi} \, \cos(\pi s/2) \, \left[\Gamma(s/2)\right]^2$	$0 < \Re s < \tfrac{3}{2}$	$Y_0(x)$ 는 제2종 베셀 함수
$K_0(x)$	$2^{s-2} \, \left[\Gamma(s/2)\right]^2$	$0 < \Re s < \infty$	$K_0(x)$ 는 수정된 제2종 베셀 함수

4. 3. 카앵-멜린 적분

멜린 변환의 역변환은 다음과 같이 정의된다.

:

\mathcal M^{-1}F(x)=\frac1{2\mathrm\pi i}\int_{c-\mathrm i\infty}^{c+\mathrm i\infty}x^{-s}F(s)\,\mathrm ds

여기서

c\in\mathbb R

는 임의의 상수이며,

x^{-s}

는 주분지(principal branch^영어)를 사용한다. 특히,

f\in\operatorname L^2((0,\infty);\mathbb K)

인 경우, 항상

c=1/2

로 설정할 수 있다.

함수

f(x) = e^{-x}

의 멜린 변환은 감마 함수이다.

:

\mathcal Mf(s)=\int_0^\infty x^{s-1}\exp(-x) dx=\Gamma(s)

이 적분은

\Re(s)>0

에서 해석적이다.

그 역변환인 다음 적분은 '''카앵-멜린 적분'''(Cahen–Mellin integral^영어)이라고 한다.^[3]^[17]

:

\mathcal M^{-1}\Gamma(x)=\frac1{2\mathrm\pi\mathrm i}\int_{c-\mathrm i\infty}^{c+\mathrm i \infty}x^{-s}\Gamma(s)\,\mathrm ds

이는 복소 평면상의 종축을 따라가는 선 적분이며, ''c''는

a 를 만족하는 임의의 실수이다.

c>0

,

\Re(y)>0

및 주분지 상의

y^{-s}

에 대해, 다음이 성립한다.

:

e^{-y}= \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \Gamma(s) y^{-s}\;ds

5. 응용

멜린 변환은 여러 분야에서 유용하게 활용된다.

양자장론에서는 분배 함수의 멜린 변환을 통해 1고리 진공 진폭(one-loop vacuum amplitude)을 계산한다. 이는 파인먼 도형에 대응되는 적분을 계산하는 데 중요한 역할을 한다. 이때 등장하는 보조 변수인 '슈윙거 매개 변수'는 양자장론을 시그마 모형으로 간주했을 때 입자의 세계선 시간에 해당한다. (자세한 내용은 #연산자의 제타 함수 참고)

조합론에서도 멜린 변환이 자주 등장한다.^[25] (자세한 내용은 #조합론 참고)

그 밖에도, 멜린 변환은 확률론에서 확률 변수 곱의 분포를 연구하는 데 중요한 도구로 사용되며,^[8] 알고리즘 분석과 이미지 인식 분야에도 널리 활용된다.^[12] AdS/CFT 대응에서는 멜린 공간이 푸리에 공간과 유사한 역할을 한다는 사실이 밝혀지기도 했다.^[13]^[14]^[15]

5. 1. 수론

수론에서 자주 등장하는 함수는 다음과 같다.

:

f(x)=[x>1]x^a

여기서

[\cdots]

는 아이버슨 괄호로, 괄호 속 명제가 참이면 1, 거짓이면 0이다.

이 함수의 멜린 변환은 다음과 같다.

:

\mathcal Mf(s)=-\frac1{s+a}\qquad(\Re(s+a)<0)

야코비 세타 함수

\theta(x)

의 멜린 변환은 리만 제타 함수이다.

:

\mathcal M\theta(s)=\int_0^\infty x^{s-1}\theta(x)\;\mathrm dx=\zeta(s)

베르누이 수의 생성 함수

:

f(x)=\sum_{i=0}^\infty\frac{B_ix^{i-1}}{i!}=\frac1{\exp(x)-1}

의 멜린 변환은 다음과 같다.

:

\mathcal Mf(s)=\Gamma(s)\zeta(s)

여기서

\Gamma

는 감마 함수이며

\zeta

는 리만 제타 함수이다. 이에 따라, 감마 함수의 극점을 통해 리만 제타 함수의 음의 정수에서의 값을 구할 수 있다.

:

\zeta(-n)=(-1)^n\frac{B_{n+1}}{n+1}\qquad(n\in\mathbb N)

멜린 변환을 사용하여 리만 제타 함수

\zeta(s)

에 대한 기본적인 공식을 생성할 수 있다.

f(x)=\frac{1}{e^x-1}

라고 하면, 다음과 같다.

\mathcal M f (s) = \int_0^\infty x^{s-1}\frac{1}{e^x-1}dx = \int_0^\infty x^{s-1}\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}dx = \int_0^\infty x^{s-1}\sum_{n=1}^\infty e^{-nx}dx = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty x^{s}e^{-nx}\frac{dx}{x} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}\Gamma(s)=\Gamma(s)\zeta(s) .

따라서,

\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty x^{s-1}\frac{1}{e^x-1} dx.

페론 공식은 디리클레 급수에 적용된 역 멜린 변환을 설명한다. 멜린 변환은 소수 계량 함수의 분석에 사용되며, 리만 제타 함수에 대한 논의에도 등장한다. 역 멜린 변환은 일반적으로 리이즈 평균에서 나타난다.

5. 2. 연산자의 제타 함수

양자장론에서, 해밀토니언 연산자

H

에 대하여,

\operatorname{tr}(H^{-s})

는

s=1

일 때 그린 함수=전파 인자이며, 분배 함수

Z(\beta)=\operatorname{tr}(-\beta H)

의 멜린 변환으로 얻어진다.

:

\operatorname{tr}(H^{-s})=\int_0^\infty\operatorname{tr}(-\beta H)\;\mathrm d\beta

여기서

\beta

는 분배 함수의 관점에서 온도의 역수이다.

이는 파인먼 도형에 대응된 적분을 계산하는 데 매우 중요하다. 1고리 진공 진폭

\operatorname{tr}(H^{-s})

을 계산하려면 이를 위와 같은 꼴의 멜린 변환으로 나타내는데, 이때 등장하는 보조 변수

\beta

를 '''슈윙거 매개 변수'''(Schwinger parameter^영어)라고 한다. 이는 양자장론을 일종의 시그마 모형으로 간주하였을 때, 입자의 세계선의 시간(윅 회전 Wick rotation^영어)에 해당한다.

보다 일반적으로, 콤팩트 매끄러운 다양체

M

위의 복소수 매끄러운 벡터 다발

E

위의 라플라스형 연산자

H

의 열핵

:

K(t,-,-)\in\Gamma^\infty((E\otimes|\Lambda M|^{1/2})\boxtimes(E^*\otimes|\Lambda M|^{1/2})\qquad(t\in\mathbb R^+)

를 생각하자. 임의의 함수

f\in \mathcal C^\infty(M;\mathbb R)

에 대하여, 힐베르트 공간

:

\mathcal H=\operatorname L^2(M;E)

에서의 대각합

:

\operatorname{tr}\left(f\exp(-tH)\right)

을 정의할 수 있다. 이것의

t

에 대한 멜린 변환을 취하면 다음과 같다.

:

\Gamma(s)\zeta_D(s;f)=\int_0^\infty t^s\operatorname{tr}\left(f\exp(-tH)\right)\,\frac{\mathrm dt}t

여기서 감마 함수 인자

\Gamma(s)

를 삽입하였다. 이 경우,

\zeta_D(s;f)

는 (적절한 해석적 연속을 가하면) 라플라스형 연산자

H

의 '''제타 함수'''(zeta function^영어)라고 한다. 제타 함수의 특이점들은 라플라스형 연산자에 대한 다양한 정보들을 담고 있다.^[24]

5. 3. 조합론

멜린 변환은 조합론에서도 자주 등장한다.^[25]

일반적으로 필요한 수렴성을 가정하면, 멱급수와 관련된 디리클레 급수를 연결할 수 있다.

:

F(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac {a_n}{n^s}, \quad f(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nz^n

멜린 변환을 포함하는 형식적 항등식에 의하여:

:

\Gamma(s)F(s)=\int_{0}^{\infty}x^{s-1}f(e^{-x})dx

양측 라플라스 변환은 멜린 변환을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x) \right\}(s)

반대로, 멜린 변환은 양측 라플라스 변환에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s)

마찬가지로 푸리에 변환도 멜린 변환을 사용하여 나타낼 수 있으며, 그 역도 가능하다. 만약 양측 라플라스 변환을 위와 같이 정의한다면, 다음이 성립한다.

:

\left\{\mathcal{F} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f\right\}(is)= \left\{\mathcal{M} f(-\ln x)\right\}(is)

반대로 다음도 성립한다.

:

\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B}f(e^{-x})\right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f(e^{-x})\right\}(-is)

멜린 변환은 또한, 뉴턴 급수나 이항 변환을, 푸아송 모함수와 결부시킨다.

5. 4. 물리학

양자장론에서 분배 함수의 멜린 변환은 1고리 진공 진폭(one-loop vacuum amplitude^영어)이라고 한다. 해밀토니언 연산자

H

에 대하여,

:

\operatorname{tr}(H^{-s})

를 생각하자. 이는

s=1

일 때 그린 함수=전파 인자이다. 이는 다음과 같이 분배 함수

:

Z(\beta)=\operatorname{tr}(-\beta H)

의 멜린 변환으로 얻어진다.

:

\operatorname{tr}(H^{-s})=\int_0^\infty\operatorname{tr}(-\beta H)\;\mathrm d\beta

여기서

\beta

는 (분배 함수의 관점에서) 온도의 역수이다.

이 사실은 파인먼 도형에 대응된 적분을 계산하는 데 매우 중요한 역할을 한다. 1고리 진공 진폭

\operatorname{tr}(H^{-s})

을 계산하려면 이를 위와 같은 꼴의 멜린 변환으로 나타내는데, 이 경우 등장하는 보조 변수

\beta

를 '''슈윙거 매개 변수'''(Schwinger parameter^영어)라고 한다. 이는 양자장론을 일종의 시그마 모형으로 간주하였을 때, 입자의 세계선의 시간( 의

\mathrm i

배 -- 윅 회전 Wick rotation^영어)에 해당한다.

5. 5. 확률론

확률론에서 멜린 변환은 확률 변수 곱의 분포를 연구하는 데 필수적인 도구이다.^[8] 만약 ''X''가 확률 변수이고, X⁺^영어 = max{''X'', 0}이 양의 부분을, X⁻^영어 = max{−''X'', 0}이 음의 부분을 나타낸다면, ''X''의 멜린 변환은 다음과 같이 정의된다.^[9]

:

\mathcal{M}_X(s) = \int_0^\infty  x^s dF_{X^+}(x) + \gamma\int_0^\infty x^s dF_{X^-}(x),

여기서 ''γ''는 γ² = 1^영어을 만족하는 형식적인 부정원이다. 이 변환은 a ≤ 0 ≤ b^영어인 복소수 띠 의 모든 ''s''에 대해 존재한다.^[9]

확률 변수 ''X''의 멜린 변환

\mathcal{M}_X(it)

는 고유하게 그 분포 함수 ''F_X''를 결정한다.^[9] 확률론에서 멜린 변환의 중요성은 만약 ''X''와 ''Y''가 두 개의 독립적인 확률 변수라면, 그들의 곱의 멜린 변환이 ''X''와 ''Y''의 멜린 변환의 곱과 같다는 사실에 있다.^[10]

:

\mathcal{M}_{XY}(s) = \mathcal{M}_X(s)\mathcal{M}_Y(s)

5. 6. 원통 좌표계에서의 라플라스 방정식

일반적인 차원(하나의 각도와 하나의 반지름, 그리고 나머지 길이로 이루어진 직교 좌표계)에서 원통 좌표계의 라플라시안에는 항상 다음 항이 존재한다.^[11]

:

\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) = f_{rr} + \frac{f_r}{r}

예를 들어, 2차원 극좌표계에서 라플라시안은 다음과 같다.

:

\nabla^2 f = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}

3차원 원통 좌표계에서 라플라시안은 다음과 같다.

:

\nabla^2 f = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.

이 항은 멜린 변환으로 처리할 수 있는데,^[11] 그 이유는 다음과 같다.

:

\mathcal M \left(r^2 f_{rr} + r f_r,  r \to s \right) = s^2 \mathcal M \left(f,  r \to s \right) = s^2 F

예를 들어, 극좌표계에서 2차원 라플라스 방정식은 두 변수에 대한 편미분 방정식이다.

:

r^2 f_{rr} +  r f_r + f_{\theta \theta} = 0

위 식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} = 0

반지름에 대한 멜린 변환을 사용하면 간단한 조화 진동자 방정식이 된다.

:

F_{\theta \theta} + s^2 F = 0

일반적인 해는 다음과 같다.

:

F (s, \theta) = C_1(s) \cos (s\theta) + C_2(s) \sin (s \theta)

이제, 원래 라플라스 방정식에 다음과 같은 쐐기 경계 조건을 적용해 보자.

:

f(r,-\theta_0) = a(r), \quad  f(r,\theta_0) = b(r)

이것들은 멜린 변환하면 다음과 같이 간단하게 표현된다.

:

F(s,-\theta_0) = A(s), \quad  F(s,\theta_0) = B(s)

이러한 조건을 해에 적용하면 다음과 같이 된다.

:

F (s, \theta) = A(s) \frac {\sin(s (\theta_0 - \theta))}{\sin (2 \theta_0 s)}+ B(s) \frac {\sin(s (\theta_0 + \theta))}{\sin (2 \theta_0 s)}

멜린 변환에 대한 합성곱 정리에 의해 멜린 영역에서의 해는 역변환될 수 있다.

:

f(r, \theta) = \frac{r^m \cos (m \theta)}{2 \theta_0} \int_0^\infty \left ( \frac{a(x)}{x^{2m} + 2r^m x^m \sin(m \theta) + r^{2m}} + \frac{b(x)}{x^{2m} - 2r^m x^m \sin(m \theta) + r^{2m}} \right ) x^{m-1} \, dx

이때 다음 역변환 관계가 사용되었다.

:

\mathcal M^{-1} \left( \frac {\sin (s \varphi)}{\sin (2 \theta_0 s)}; s \to r \right) = \frac 1 {2 \theta_0} \frac{r^m \sin (m \varphi)}{1+2r^m \cos(m \varphi) + r^{2m}}

여기서

m= \frac \pi {2 \theta_0}

이다.

5. 7. 알고리즘 분석 및 이미지 인식

멜린 변환은 알고리즘 분석에 널리 사용되는데, 이는 멜린 변환의 스케일 불변성 속성 때문이다.^[12] 스케일링된 함수의 멜린 변환 크기는 순수 허수 입력을 갖는 원래 함수의 크기와 동일하다. 이러한 스케일 불변성 속성은 푸리에 변환의 시프트 불변성 속성과 유사하다. 시간 이동된 함수의 푸리에 변환 크기는 원래 함수의 푸리에 변환 크기와 동일하다.

이러한 성질은 이미지 인식에 유용하다. 객체가 카메라에서 멀어지거나 가까워질 때 객체의 이미지는 쉽게 스케일링된다. 멜린 변환은 스케일 불변성 때문에 컴퓨터 과학 분야에서 널리 사용된다. 어떤 스케일 변환이 가해진 함수의 멜린 변환의 절대값은 원래 함수의 절대값과 같다. 이 스케일 불변성은 푸리에 변환의 시프트 불변성과도 유사하다. 시간에 대해 시프트된 함수의 푸리에 변환의 절대값은 원래 함수의 그것과 같다.

물체의 이미지는 해당 물체가 카메라에 가까워지거나 멀어지는 것만으로도 쉽게 스케일이 변하기 때문에, 이러한 멜린 변환의 성질은 이미지 인식에 유용하다.

5. 8. AdS/CFT 대응

양자역학, 특히 양자장론에서 푸리에 공간은 운동량과 위치가 서로의 푸리에 변환 관계에 있어 매우 유용하며 널리 사용된다(예를 들어, 파인만 다이어그램은 운동량 공간에서 훨씬 쉽게 계산된다). 2011년, A. 리암 피츠패트릭(A. Liam Fitzpatrick), 자레드 카플란(Jared Kaplan), 주앙 페네도네스(João Penedones), 수브라트 라주(Suvrat Raju), 발트 C. 반 리스(Balt C. van Rees)는 멜린 공간이 AdS/CFT 대응에서 유사한 역할을 한다는 것을 보였다.^[13]^[14]^[15]

6. 역사

핀란드의 수학자 로베르트 얄마르 멜린(Robert Hjalmar Mellin^sv, 1854~1933)이 멜린 변환을 도입하였다.^[22]^[23] 이후 외젠 카앵(Eugène Cahen^프랑스어, 1865~1941)이 그 이론을 개량하였다.

참조

_[1] 논문 Zur Theorie zweier allgemeinen Klassen bestimmter Integrale
_[2] 서적 A Course of Modern Analysis Cambridge University Press
_[3] 논문 Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes https://zenodo.org/r[...]
_[4] 논문 On Riemann's Reduction of Dirichlet Series to Power Series
_[5] 논문 Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums https://hal.inria.fr[...]
_[6] harvtxt
_[7] harvtxt
_[8] harvtxt
_[9] harvtxt
_[10] harvtxt
_[11] 간행물 Chapter 6: The Mellin Transform, par. 4.3: Distribution of a Potential in a Wedge
_[12] 간행물 The Average Case Analysis of Algorithms: Mellin Transform Asymptotics Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (INRIA)
_[13] 문서 A Natural Language for AdS/CFT Correlators https://arxiv.org/ab[...]
_[14] 문서 Unitarity and the Holographic S-Matrix https://arxiv.org/ab[...]
_[15] 강연 AdS/CFT and the Holographic S-Matrix http://online.kitp.u[...]
_[16] 문서 The Mellin Transform The Transforms and Applications Handbook
_[17] 논문 Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes
_[18] harvtxt
_[19] harvtxt
_[20] harvtxt
_[21] 서적 Quantum field theory I: basics in mathematics and physics. A bridge between mathematicians and physicists Springer-Verlag 2006
_[22] 저널 Über die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien der Gamma- und hypergeometrischen Functionen 1896
_[23] 저널 Über den Zusammenhang zwischen den Linearen Differential- und Differenzengleichungen 1902
_[24] 저널 Heat kernel expansion: user’s manual 2003
_[25] 저널 Mellin transforms and asymptotics: harmonic sums http://algo.inria.fr[...] 1995-06-26

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