멱영 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 멱영 공간
- 2.2. 단순 공간
3. 성질
4. 역사
5. 예
참조

1. 개요

멱영 공간은 점을 가진 공간 (X, •)에서 기본군의 작용이 특정 조건을 만족시키는 유한한 길이의 호모토피 군 중심열이 존재할 때를 의미한다. 특히, 기본군 π1(X, •)의 고차 호모토피 군에 대한 작용이 모두 자명한 단순 공간은 멱영 공간이며, 단일 연결 공간은 항상 단순 공간이다. 멱영 공간의 개념은 에마누엘 드로르 파르준에 의해 도입되었으며, 홀수 차원 실수 사영 공간은 멱영 공간의 예시이다.

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멱영 공간
개요
유형	위상 공간
성질	단순히 연결된 공간, 반국소적으로 단순히 연결된 공간, 국소적으로 경로 연결된 공간, 경로 연결된 공간
관련 개념	호모토피, 기본군, 코호몰로지, CW 복합체
정의
정의	위상 공간 X가 주어졌을 때, X의 기본군 π₁(X)가 멱영군이면 X를 멱영 공간이라고 한다. X가 경로 연결되어 있고, 모든 열린 덮개 {Uᵢ}에 대해 다음 조건이 성립하면 X는 멱영 공간이다. 각 Uᵢ는 경로 연결되어 있다. 기본군의 상 π₁(X) → π₁(Uᵢ)는 멱영군 G에 대해 G → G/N 형태의 준동형과 같다.
성질
화이트헤드 정리 일반화	멱영 공간 X, Y와 X에서 Y로의 사상 f: X → Y가 주어졌을 때, f가 모든 기본군 πₙ(X, x) → πₙ(Y, f(x))에 대해 동형 사상을 유도하면 f는 호모토피 동치이다. 여기서 x는 X의 임의의 점이다. 특히 Y가 멱영 공간일 필요는 없다. Y가 화이트헤드 공간이면 충분하다.
예시
예시	모든 단순히 연결된 공간은 멱영 공간이다. 멱영군은 멱영 공간이다. 멱영 공간들의 곱은 멱영 공간이다. 멱영 공간들의 호모토피 올림은 멱영 공간이다. 아벨 군의 에일렌베르크-맥레인 공간 K(A, n)은 멱영 공간이다.
참고 문헌
참고 문헌	Bousfield, Aldridge K.; Kan, Daniel M. (1987). Homotopy Limits, Completions and Localizations. Lecture Notes in Mathematics (영어). 304. Springer. p. 59. doi:10.1007/978-3-540-38117-4. MR 0365573. Dror, Emmanuel (1971). “A generalization of the Whitehead theorem”. Symposium on Algebraic Topology (Battelle Seattle Res. Center, Seattle, Wash., 1971). Lecture Notes in Mathematics (영어). 249. Springer. pp. 13–22. doi:10.1007/BFb0060891. MR 0350725.

2. 정의

점을 가진 공간 $(X, \bullet)$ 가 주어졌다고 하자. 이 경우, 기본군 $\pi_1(X, \bullet)$ 은 고차 호모토피 군 $\pi_n(X, \bullet)$ 위에 다음과 같이 작용한다. 우선, 밑점 포함 사상 $\{\bullet\} \hookrightarrow \mathbb{S}^n$ 은 쌍대올뭉치이므로, 호모토피 확장 성질을 사용하여 임의의 경로

: $\gamma \colon [0, 1] \to X$

: $\gamma(0) = \bullet_X$

: $\gamma(1) = \bullet_X'$

및 호모토피 군의 원소

: $f \colon (\mathbb{S}^n, \bullet_{\mathbb{S}^n}) \to (X, \bullet_X)$

: $[f] \in \pi_n(X, \bullet_X)$

에 대하여 호모토피류

: $f' \colon (\mathbb{S}^n, \bullet_{\mathbb{S}^n}) \to (X, \bullet_X')$

: $[f'] \in \pi_n(X, \bullet_X')$

를 유일하게 정의할 수 있다. 만약 $\bullet_X' = \bullet_X$ 인 경우, 즉 경로 $\gamma$ 가 닫힌 고리일 때, 위와 같은 경로의 호모토피류는 기본군 $\pi_1(X, \bullet)$ 의 원소이다. 따라서 이는 군의 작용

: $\pi_1(X, \bullet) \times \pi_n(X, \bullet) \to \pi_n(X, \bullet)$

을 정의한다.

주어진 점을 가진 공간 $(X, \bullet_X)$ 에서, 만약 각 $i \in \mathbb{N}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 유한한 길이의 호모토피 군 중심열

: $\pi_i(X, \bullet_X) = G^i_1 \vartriangleright G^i_2 \vartriangleright \dotsb \vartriangleright G^i_{n_i} = \{1\}$

이 존재한다면, $(X, \bullet_X)$ 를 '''멱영 공간'''이라고 한다.

임의의 $i \in \mathbb{N}$ 및 $1 \le j < n_i$ 에 대하여, 기본군 $\pi_1(X, \bullet_X)$ 의 작용은 $G^i_j$ 를 $G^i_{j+1}$ 안으로 보낸다. 즉, $\pi_1(X, \bullet_X) \cdot G^i_j \subseteq G^i_{j+1}$ 이다. 이는 기본군 $\pi_1(X, \bullet_X)$ 의 몫군 $G^i_j / G^i_{j+1}$ 위의 작용이 자명하다는 것을 의미한다.

특히, 위 조건에서

i=1

인 경우를 생각하면, 기본군

\pi_1(X, \bullet_X)

자체가 멱영군이어야 한다는 조건이 나온다.

2. 1. 멱영 공간

점을 가진 공간

(X, \bullet)

가 주어졌다고 하자. 이 경우, 기본군

\pi_1(X, \bullet)

은 고차 호모토피 군

\pi_n(X, \bullet)

위에 다음과 같이 작용한다. 우선, 밑점 포함 사상

\{\bullet\} \hookrightarrow \mathbb{S}^n

은 쌍대올뭉치이므로, 호모토피 확장 성질을 사용하여 임의의 경로

:

\gamma \colon [0, 1] \to X

:

\gamma(0) = \bullet_X

:

\gamma(1) = \bullet_X'

및 호모토피 군의 원소

:

f \colon (\mathbb{S}^n, \bullet_{\mathbb{S}^n}) \to (X, \bullet_X)

:

[f] \in \pi_n(X, \bullet_X)

에 대하여 호모토피류

:

f' \colon (\mathbb{S}^n, \bullet_{\mathbb{S}^n}) \to (X, \bullet_X')

:

[f'] \in \pi_n(X, \bullet_X')

를 유일하게 정의할 수 있다. 만약

\bullet_X' = \bullet_X

인 경우, 즉 경로

\gamma

가 닫힌 고리일 때, 위와 같은 경로의 호모토피류는 기본군

\pi_1(X, \bullet)

의 원소이다. 따라서 이는 군의 작용

:

\pi_1(X, \bullet) \times \pi_n(X, \bullet) \to \pi_n(X, \bullet)

을 정의한다.

주어진 점을 가진 공간

(X, \bullet_X)

에서, 만약 각

i \in \mathbb{N}

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 유한한 길이의 호모토피 군 중심열

:

\pi_i(X, \bullet_X) = G^i_1 \vartriangleright G^i_2 \vartriangleright \dotsb \vartriangleright G^i_{n_i} = \{1\}

이 존재한다면,

(X, \bullet_X)

를 '''멱영 공간'''이라고 한다.

임의의 $i \in \mathbb{N}$ 및 $1 \le j < n_i$ 에 대하여, 기본군 $\pi_1(X, \bullet_X)$ 의 작용은 $G^i_j$ 를 $G^i_{j+1}$ 안으로 보낸다. 즉, $\pi_1(X, \bullet_X) \cdot G^i_j \subseteq G^i_{j+1}$ 이다. 이는 기본군 $\pi_1(X, \bullet_X)$ 의 몫군 $G^i_j / G^i_{j+1}$ 위의 작용이 자명하다는 것을 의미한다.

특히, 위 조건에서

i=1

인 경우를 생각하면, 기본군

\pi_1(X, \bullet_X)

자체가 멱영군이어야 한다는 조건이 나온다.

2. 2. 단순 공간

주어진 점을 가진 공간

(X,\bullet_X)

에서, 만약 기본군

\pi_1(X,\bullet_X)

의, 임의의 차수 호모토피 군

\pi_n(X,\bullet_X)

(

n \ge 1

)에 대한 작용이 모두 자명하다면,

(X,\bullet_X)

를 '''단순 공간'''(單純空間, simple space^영어)이라고 한다.

특히,

n=1

인 경우, 즉 기본군

\pi_1(X,\bullet_X)

자체에 대한 작용이 자명해야 하므로, 단순 공간의 기본군은 아벨 군이어야 한다.

3. 성질

모든 단순 공간은 멱영 공간이다. 단일 연결 공간은 (기본군이 자명군이므로) 항상 단순 공간이다.

4. 역사

에마누엘 드로르 파르준(עִמָּנוּאֵל דְרוֹר פַרְג׳וּן^heb, Emmanuel Dror Farjoun^eng)이 도입하였다.^[3]

5. 예

홀수 차원 실수 사영 공간은 멱영 공간이다. 그러나 실수 사영 평면은 멱영 공간이 아니다.

참조

_[1] 서적 Homotopy Limits, Completions and Localizations https://books.google[...] Springer Science+Business Media
_[2] 서적 Symposium on Algebraic Topology (Battelle Seattle Res. Center, Seattle, Wash., 1971) Springer Science+Business Media 1971
_[3] 서적 A generalization of the Whitehead theorem 1971

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