매시 곱

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 낮은 차수의 매시 곱
- 2.2. 불확정성
3. 고차 매시 곱
4. 응용
- 4.1. 보로메오 고리와 브루니안 링크
5. 역사
참조

1. 개요

매시 곱은 미분 등급 대수의 코호몰로지에서 정의되는 연산으로, 여러 개의 코호몰로지류를 입력받아 코호몰로지류들의 집합을 출력한다. 매시 곱은 코호몰로지의 곱 연산만으로는 알 수 없는 위상수학적 불변량을 측정하는 데 사용되며, 보로메오 고리나 브루니안 링크와 같은 얽힘 구조를 분석하는 데 활용된다. 1958년 윌리엄 슈마허 매시에 의해 도입되었다.

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매시 곱
일반 정보
군 G에서 두 원소 a와 b의 곱
분야	대수적 위상수학
상세 정보
유형	호모토피 불변량
관련 개념	연산, 곱, 코호몰로지 환, 미분 등급 대수

2. 정의

미분 등급 대수 $(A,d)$ 의 코호몰로지 $H^\bullet(A)$ 위에 정의되는 ''' $n$ 항 매시 곱''' $\langle\overbrace{-,-,\dots,-}^n\rangle\colon(H^\bullet(A))^n\to\mathcal P(H^\bullet(A))$ 은 $n$ 개의 코호몰로지류를 입력받아 코호몰로지류들의 집합을 출력하는 함수이다.

$H^\bullet(A)$ 의 원소 $u\in H^\bullet(A)$ 에 대하여, $\bar u=(-)^{\deg u+1}u$ 로 정의한다. 그러면 $n$ 항 매시 곱은 다음과 같이 정의된다.

: $\langle[a_{1,1}],\dots,[a_{n,n}]\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n-1}a_{1,i}a_{i+1,n}\colon\qquad \forall 1\le i\le k\le n,\;(i,j)\ne(1,n)\colon da_{i,k}=\sum_{j=i}^{k-1}\bar a_{i,j}a_{j+1,k}\right\}$

이 등식에서 $\deg a_{i,k}=i-k+\sum_{j=i}^k\deg a_{j,j}$ 이며, 따라서 $\deg\langle u_1,\dots,u_n\rangle=\sum_{i=1}^n\deg u_n+2-n$ 이다.

''n''겹 매시 곱은 다음과 같은 형태의 원소 집합으로 정의된다.

: $\bar a_{1,1}a_{2,n}+\bar a_{1,2}a_{3,n}+\cdots+\bar a_{1,n-1}a_{n,n}$

이는 다음 방정식들의 해에 대하여 정의된다.

: $da_{i,j} = \bar a_{i,i}a_{i+1,j}+\bar a_{i,i+1}a_{i+2,j}+\cdots+\bar a_{i,j-1}a_{j,j}$ ( $1 \le i\le j\le n$ 및 $(i,j)\ne (1,n)$ ),

여기서 $\bar u$ 는 $(-1)^{\deg(u)}u$ 를 나타낸다.

고차 매시 곱은 위 방정식 시스템의 해를 구하는 것에 대한 장애물로 생각할 수 있다. 즉, 방정식이 풀릴 때만 0 코호몰로지 클래스를 포함한다. 이 ''n''겹 매시 곱은 $n-1$ 차 코호몰로지 연산이며, 비어 있지 않으려면 많은 하위 차수의 매시 연산이 0을 포함해야 한다.

2. 1. 낮은 차수의 매시 곱

0항 및 1항 매시 곱은 항상 0이다. 2항 매시 곱은 코호몰로지 곱과 같다. 3항 매시 곱은 최초로 자명하지 않은 매시 곱이다.

2. 2. 불확정성

일반적으로 매시 곱은 공집합이거나 두 개 이상의 원소를 가질 수 있는 집합이다. 매시 곱은 특정 몫군 안에서 유일하게 정의된다. 3차 매시 곱의 두 원소 x, y의 차이는 다음과 같은 아이디얼에 속한다.

:

x-y\in ([a_1])+([a_3])

따라서, 매시 곱을 다음과 같은 몫군 속의 값으로 정의하면, 매시 곱은 유일하다.

:

x,y\in\langle[a_1],[a_2],[a_3]\rangle

:

x-y\in H^{\deg a_1+\deg a_2+\deg a_3}/\left([a_1]H^{\deg a_2+\deg a_3}+H^{\deg a_1+\deg a_2}[a_3]\right)

보다 일반적으로,

n

차 매시 곱은 다음과 같은 몫군 속에서 정의된다.

:

x,y\in\langle[a_1],[a_2],\dots,[a_n]\rangle

:

x-y\in H^{\sum_i\deg a_i}/\left([a_1]H^{\deg a_{2,n}}+H^{\deg a_{1,2}}H^{\deg a_{3,n}}+\cdots+H^{\deg a_{1,n-2}}H^{\deg a_{n-1,n}}+H^{\deg a_{1,n-1}}[a_n]\right)

여기서

:

\deg a_{i,j}=i-j+\deg a_i+\deg a_{i+1}+\cdots+\deg a_j

이다.

세 코호몰로지 대수 클래스의 매시 곱은

H^*(\Gamma)

의 원소가 아니라,

H^*(\Gamma)

의 원소 집합이며, 비어 있을 수도 있고 둘 이상의 원소를 포함할 수도 있다. 만약

u, v, w

의 차수가 각각

i,j,k

이면, 매시 곱의 차수는

i+j+k-1

이며,

-1

은 미분

d

에서 비롯된다.

매시 곱은 곱

uv

와

vw

가 모두 완전할 때, 즉, 모든 원소가 다음 몫 그룹

:

\displaystyleH^*(\Gamma)/([u]H^*(\Gamma)+H^*(\Gamma)[w])

의 동일한 원소에 속하는 경우에 비어 있지 않다. 따라서 매시 곱은 처음 두 개 또는 마지막 두 개의 곱이 0인 클래스의 삼중 곱에 대해 정의된 함수로 간주될 수 있으며, 위의 몫 그룹의 값을 취한다.

3. 고차 매시 곱

일반적으로, $H^*(\Gamma)$ 의 ''n''개의 원소 $\langle a_{1,1}, a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle$ 의 ''n''겹 매시 곱은 다음과 같은 형태의 원소 집합으로 정의된다.

: $\bar a_{1,1}a_{2,n}+\bar a_{1,2}a_{3,n}+\cdots+\bar a_{1,n-1}a_{n,n}$

모든 방정식의 해에 대해

: $da_{i,j} = \bar a_{i,i}a_{i+1,j}+\bar a_{i,i+1}a_{i+2,j}+\cdots+\bar a_{i,j-1}a_{j,j}$ ,

$1 \le i\le j\le n$ 및 $(i,j)\ne (1,n)$ 에 대해, 여기서 $\bar u$ 는 $(-1)^{\deg(u)}u$ 를 나타낸다.

고차 매시 곱 $\langle a_{1,1}, a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle$ 는 이러한 방정식 시스템의 모든 $1 \le i\le j\le n$ 에 대한 해를 구하는 것에 대한 장애물로 생각할 수 있다. 즉, 이러한 방정식이 풀릴 때만 0 코호몰로지 클래스를 포함한다. 이 ''n''겹 매시 곱은 $n-1$ 차 코호몰로지 연산이며, 이는 비어 있지 않으려면 많은 하위 차수의 매시 연산이 0을 포함해야 하고, 더욱이 표현하는 코호몰로지 클래스는 모두 하위 차수 연산과 관련된 항에 의해 다르다는 것을 의미한다. 2겹 매시 곱은 일반적인 컵 곱이고 1차 코호몰로지 연산이며, 3겹 매시 곱은 위에서 정의된 삼중 매시 곱과 동일하며 이차 코호몰로지 연산이다.

J. 피터 메이는 아이렌베르그-무어 스펙트럼 열의 미분을 설명하는 데 사용될 수 있는 '''행렬 매시 곱'''이라고 하는 추가적인 일반화를 설명했다.

4. 응용

매시 곱은 코호몰로지의 곱 연산만으로는 알 수 없는 위상수학적 불변량들을 측정한다. 예를 들어 보로메오 고리(Borromean rings^영어)는 각 고리에 대응하는 코호몰로지 원소의 3중 매시 곱이 0이 아니므로 세 고리가 얽혀 있다는 사실을 알 수 있다.^[1]

히로아키 우에하라와 윌리엄 매시는 화이트헤드 곱이 야코비 항등식을 만족한다는 것을 증명하기 위해 매시 삼중 곱을 사용했다.

고차 매시 곱은 아티야-히르체브루흐 스펙트럼 열(AHSS)을 사용하여 꼬인 K-이론을 계산할 때 나타난다. 특히, ''H''가 꼬임 3-클래스인 경우, 마이클 아티야와 그레이엄 시걸은 유리수 위에서 클래스 ''x''에 작용하는 AHSS의 고차 미분

d_{2p+1}\

이 ''x''의 단일 사본과 함께 ''p''개의 ''H'' 사본의 매시 곱으로 주어진다는 것을 보여주었다.

만약 매니폴드가 (데니스 설리번의 의미에서) 형식적 이라면, 공간의 모든 매시 곱은 반드시 소멸되어야 한다. 따라서 주어진 매니폴드가 형식적이 아님을 보이는 한 가지 전략은 비자명한 매시 곱을 제시하는 것이다. 여기서 형식적 매니폴드는 그 유리수 호모토피형이 그 드람 복소수의 유한 차원 "최소 모델"로부터 ("형식적으로") 추론될 수 있는 매니폴드를 말한다. 피에르 들리뉴, 필립 그리피스, 존 모건, 데니스 설리번은 콤팩트한 켈러 매니폴드가 형식적임을 보여주었다.

리카르도 롱고니와 파올로 살바토레는 매시 곱을 사용하여 렌즈 공간의 두 점의 위상 공간의 호모토피 유형이 렌즈 공간의 단순 호모토피 유형에 자명하지 않게 의존한다는 것을 보여준다.

4. 1. 보로메오 고리와 브루니안 링크

보로메오 고리^[1]의 여집합은 삼중 매시 곱이 정의되고 0이 아닌 예시를 제공한다. 여집합의 코호몰로지는 알렉산더 쌍대성을 사용하여 계산할 수 있다. 만약 ''u'', ''v'', ''w''가 3개의 고리에 이중적인 1-코체인이라면, 임의의 두 코체인의 곱은 해당 연결수의 배수이므로 0이 되고, 세 원소 모두의 매시 곱은 0이 아니므로 보로메오 고리가 연결되어 있음을 보여준다. 이는 고리들이 쌍으로는 연결되어 있지 않지만(쌍별 곱은 0), 전체적으로는 연결되어 있다(3중 곱은 0이 아님)는 사실을 반영한다.

일반적으로,

(n-1)

-성분 부분 링크가 모두 연결되지 않지만, 전체 ''n''-성분 링크가 자명하지 않게 연결된 ''n''-성분 브루니안 링크는 ''n''-겹 매시 곱에 해당한다. 이때

(n-1)

-성분 부분 링크가 분리되는 것은

(n-1)

-겹 매시 곱이 소멸하는 것에 해당하고, 전체 ''n''-성분이 연결된 것은 ''n''-겹 매시 곱이 소멸하지 않는 것에 해당한다.

5. 역사

윌리엄 슈마허 매시(William Schumacher Massey^영어)가 1958년에 매시 곱을 도입하였다.^[2] 우에하라와 매시는 화이트헤드 곱이 야코비 항등식을 만족함을 증명하기 위해 매시 삼중 곱을 사용했다.

참조

_[1] 논문 Higher order linking numbers https://www.worldsci[...] 1998-05-01
_[2] 서적 Symposium internacional de topología algebraica 멕시코 국립 자치 대학교 1958

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