반사 (기하학)

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1. 개요

반사(reflection)는 유클리드 공간에서 정의되는 변환으로, 특정 초평면을 기준으로 공간의 점들을 대칭 이동시키는 것이다. 반사는 초평면을 고정점으로 가지며, 임의의 점을 해당 초평면에 수직인 방향으로 같은 거리만큼 이동시켜 새로운 점을 생성한다. 반사는 유클리드 공간의 등거리 변환이며, 아핀 변환의 일종으로 선형 변환 성분의 행렬식은 -1이다. 반사의 행렬은 직교 행렬이며, 이러한 행렬 두 개의 곱은 회전을 나타낸다. 반사는 기하학, 물리학, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 활용되며, 특히 컴퓨터 그래픽스에서는 물체의 사실적인 표현을 위해 반사 효과를 시뮬레이션하는 데 사용된다. 반사 변환으로 생성되는 군을 반사군이라고 하며, 콕서터 군이 반사군의 한 예시이다. 카르탕-디외도네 정리에 따르면, n차원 유클리드 공간의 모든 등거리 변환은 최대 n+1개의 반사의 합성으로 표현할 수 있다.

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반사 (기하학)

2. 정의

유클리드 공간에서 반사의 기본적인 개념은 다음과 같다. 평면 (또는 3차원) 기하학에서 점의 반사점을 찾으려면, 반사에 사용되는 선(평면)에 점으로부터 수선을 내리고, 반대쪽으로 같은 거리를 연장한다. 도형의 반사점을 찾으려면, 도형의 각 점을 반사시킨다.

컴퍼스와 자를 사용하여 선 AB에 대한 점 P를 반사시키는 과정은 다음과 같다(그림 참조):

1단계 (빨간색): 점 P를 중심으로 하고 어떤 고정된 반지름 r을 갖는 원을 그려 선 AB 위에 점 A′와 B′을 만든다. 이 점들은 P로부터 등거리에 있을 것이다.
2단계 (녹색): A′와 B′를 중심으로 하고 반지름 r을 갖는 원을 그린다. P와 Q는 이 두 원의 교차점이다.

따라서 점 Q는 선 AB에 대한 점 P의 반사점이다.^[1]

2. 1. 반사 초평면

유클리드 공간

\mathbb R^n

의

(n-1)

차원 부분 아핀 공간

\operatorname{Fix}(R)\subset\mathbb R^n

을 반사 초평면으로 하는 '''반사'''

R\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n

는 다음 조건을 만족한다.

임의의 $\mathbf x\in\mathbb R^n$ 에 대하여, $R(\mathbf x)$ 는 $\operatorname{Fix}(R)$ 가 선분 $(\mathbf x,R(\mathbf x))$ 의 수직 이등분 초평면이 되게 만드는 유일한 점이다.

반사 초평면의 점

\mathbf x_0

및 단위 법벡터

\mathbf n

이 주어졌을 때, 반사는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

R(\mathbf x)=\mathbf x-2((\mathbf x-\mathbf x_0)\cdot\mathbf n)\mathbf n

표준 내적이 주어진 2차원 실수 계량 벡터 공간 '''R'''²에서, 벡터 ''v'', ''a''에 대해

:

\operatorname{Ref}_a(v) = v - 2\,\frac{v\cdot a}{a\cdot a}\,a

는 ''a''에 직교하는 원점을 포함하는 직선에 의한 반사, 또는 단순히 ''a''에 관한 반사라고 한다. 여기서 ''v''·''a''는 ''v''와 ''a''의 점곱이다.

Ref_''a''는 선형 변환이며, 특히 ''v''와 ''a''가 직교하면 Ref_''a''(''v'') = ''v''이며, ''v''가 ''a''의 스칼라 배이면 Ref(''v'') = -''v''가 된다. 따라서 원점을 고정하는 반사의 고유값은 1과 −1이다.

''n'' 차원 계량 벡터 공간에서도 마찬가지로, ''v''의 ''a''에 직교하는 원점을 포함하는 초평면에 의한 반사는 다음과 같다.

:

\operatorname{Ref}_a(v) = v - 2\,\frac{v\cdot a}{a\cdot a}\,a

일반적으로, 점 ''c''를 지나고, ''a''에 직교하는 초평면에 의한 반사는 다음과 같이 나타낸다.

:

\operatorname{Ref}_{a,c}(v) = v - 2\,\frac{(v-c)\cdot a}{a\cdot a}\,a

2. 2. 반사의 수학적 표현

유클리드 공간

\mathbb R^n

의

(n-1)

차원 부분 아핀 공간을 반사 초평면으로 하는 반사

R\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n

는 다음과 같다.

임의의 $\mathbf x\in\mathbb R^n$ 에 대하여, $R(\mathbf x)$ 는 반사 초평면이 선분 $(\mathbf x,R(\mathbf x))$ 의 수직 이등분 초평면이 되게 만드는 유일한 점이다.

반사 초평면의 점

\mathbf x_0

및 단위 법벡터

\mathbf n

이 주어졌을 때, 반사는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

R(\mathbf x)=\mathbf x-2((\mathbf x-\mathbf x_0)\cdot\mathbf n)\mathbf n

2차원에서 원점을 지나는 임의의 선에 대한 반사는 다음 공식으로 설명할 수 있다.

:

\operatorname{Ref}_l(v) = 2\frac{v \cdot l}{l \cdot l}l - v,

여기서

v

는 반사되는 벡터,

l

은 반사가 수행되는 선의 임의의 벡터,

v\cdot l

은

v

와

l

의 내적을 나타낸다. 위 공식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:

\operatorname{Ref}_l(v) = 2\operatorname{Proj}_l(v) - v,

이는

l

에 대한

v

의 반사가

v

를

l

에 투영한 것의 2배에서 벡터

v

를 뺀 것과 같다는 것을 의미한다. 선에서의 반사는 1과 −1의 고유값을 가진다.

유클리드 공간

\mathbb R^n

의 벡터

v

가 주어졌을 때, 원점을 지나고

a

에 직교하는 초평면에 대한 반사의 공식은 다음과 같다.

:

\operatorname{Ref}_a(v) = v - 2\frac{v\cdot a}{a\cdot a}a,

여기서

v\cdot a

는

v

와

a

의 내적을 나타낸다. 위의 식에서 두 번째 항은

v

를

a

에 벡터 투영한 것의 두 배이다.

기하 곱을 사용하면, 공식은 다음과 같다.

:

\operatorname{Ref}_a(v) = -\frac{a v a}{a^2} .

이러한 반사는 원점을 고정하는 유클리드 공간의 등거리 변환이므로, 직교 행렬로 나타낼 수 있다. 위의 반사에 해당하는 직교 행렬은 다음과 같은 행렬이다.

:

R = I-2\frac{aa^T}{a^Ta},

여기서

I

는

n \times n

항등 행렬이고

a^T

는

a

의 전치 행렬이다. 이 행렬의 성분은 다음과 같다.

:

R_{ij} = \delta_{ij} - 2\frac{a_i a_j}{ \left\| a \right\| ^2 },

여기서

\delta_{ij}

는 크로네커 델타이다.

원점을 지나지 않는 아핀 초평면

v\cdot a=c

에 대한 반사 공식은 다음과 같다.

:

\operatorname{Ref}_{a,c}(v) = v - 2\frac{v \cdot a - c}{a\cdot a}a.

표준 내적이 주어진 2차원 실수 계량 벡터 공간 '''R'''²에서, 벡터 ''v'', ''a''에 대한 ''a''에 직교하는 원점을 포함하는 직선에 의한 반사(또는 ''a''에 관한 반사)는 다음과 같다.

:

\operatorname{Ref}_a(v) = v - 2\,\frac{v\cdot a}{a\cdot a}\,a

여기서 ''v''·''a''는 ''v''와 ''a''의 점곱이다. Ref_''a''는 선형 변환이며, ''v''와 ''a''가 직교하면 Ref_''a''(''v'') = ''v''이고, ''v''가 ''a''의 스칼라 배이면 Ref(''v'') = -''v''이다. 따라서 원점을 고정하는 반사의 고유값은 1과 −1이다.

''n'' 차원 계량 벡터 공간에서 ''v''의 ''a''에 직교하는 원점을 포함하는 초평면에 의한 반사는 다음과 같다.

:

\operatorname{Ref}_a(v) = v - 2\,\frac{v\cdot a}{a\cdot a}\,a

점 ''c''를 지나고, ''a''에 직교하는 초평면에 의한 반사는 다음과 같다.

:

\operatorname{Ref}_{a,c}(v) = v - 2\,\frac{(v-c)\cdot a}{a\cdot a}\,a

3. 성질

반사의 행렬은 행렬식이 -1인 직교 행렬이며, 고유값은 -1, 1, 1, ..., 1이다. 이러한 행렬 두 개의 곱은 회전을 나타내는 특수한 직교 행렬이다. 모든 회전은 원점을 지나는 초평면에서의 짝수 번의 반사에 의해 나타나며, 모든 부정 회전은 홀수 번의 반사에 의해 나타난다. 따라서 반사는 직교군을 생성하며, 이 결과는 카르탕-디외도네 정리로 알려져 있다.^[1]

유사하게, 유클리드 공간의 모든 등거리 변환으로 구성된 유클리드 군은 아핀 초평면에서의 반사에 의해 생성된다. 일반적으로, 아핀 초평면에서의 반사에 의해 생성되는 군은 반사군으로 알려져 있다. 이러한 방식으로 생성된 유한군은 콕서터 군의 한 예이다.^[1]

3. 1. 등거리 변환

모든 반사는 유클리드 공간의 등거리 변환이며, 방향을 보존하지 않는다. 특히, 모든 반사는 아핀 변환이며, 선형 변환 성분의 행렬식은 -1이다. 원점을 지나는 반사 초평면을 갖는 반사는 선형 변환이다. 모든 반사는 대합이다. 즉, 스스로를 두 번 합성하면 항등 함수를 얻는다.

'''R'''^''n''의 원점을 고정하는 거울 반사는 선형 변환이며, 대응하는 행렬은 행렬식이 -1인 직교 행렬이며, (1, 1, ..., 1, -1)을 고유값으로 갖는다.

위의 정의에 따른 식에 대한 행렬은

:

R_{ij} = \delta_{ij} - 2\frac{a_i a_j}{\|a\|^2}

를 성분으로 하는 직교 행렬이 된다. 여기서 ''δ''_''ij''는 크로네커 델타이다.

이러한 두 행렬의 곱은 특수 직교 행렬이 되어 회전을 나타낸다. 사실, 반대로 원점을 고정하는 어떤 회전도 원점을 통과하는 초평면에 의한 짝수 번의 거울 반사로 표현된다. 또한 직교군 O(''n'')의 어떤 원소도 기껏해야 ''n''번의 거울 반사의 곱으로 표현되며, 거울 반사의 전체는 직교군 O(''n'')을 생성한다. 이 사실은 일반적으로 부호수 (''p'', ''q'')의 이차 형식이 주어진 선형 공간 '''R'''^{''p'', ''q''}에서도 성립하며, 카르탕-뒤돈의 정리로 알려져 있다.

마찬가지로, 유클리드 공간의 등거리 변환군은 아핀 초평면에 의한 거울 반사로 생성된다.

3. 2. 아핀 변환과 선형 변환

모든 반사는 유클리드 공간의 등거리 변환이며, 방향을 보존하지 않는다. 특히, 모든 반사는 아핀 변환이며, 선형 변환 성분의 행렬식은 -1이다. 원점을 지나는 반사 초평면을 갖는 반사는 선형 변환이다. 모든 반사는 대합이다. 즉, 스스로를 두 번 합성하면 항등 함수를 얻는다.^[1]

'''R'''^''n''의 원점을 고정하는 거울 반사는 선형 변환이며, 대응하는 행렬은 행렬식이 -1인 직교 행렬이며, (1, 1, ..., 1, -1)을 고유값으로 갖는다.^[1]

위의 정의에 따른 식에 대한 행렬은

:

R_{ij} = \delta_{ij} - 2\frac{a_i a_j}{\|a\|^2}

를 성분으로 하는 직교 행렬이 된다. 여기서 ''δ''_''ij''는 크로네커 델타이다.^[1]

이러한 두 행렬의 곱은 특수 직교 행렬이 되어 회전을 나타낸다. 사실, 반대로 원점을 고정하는 어떤 회전도 원점을 통과하는 초평면에 의한 짝수 번의 거울 반사로 표현된다. 또한 직교군 O(''n'')의 어떤 원소도 기껏해야 ''n''번의 거울 반사의 곱으로 표현되며, 거울 반사의 전체는 직교군 O(''n'')을 생성한다. 이 사실은 일반적으로 부호수 (''p'', ''q'')의 이차 형식이 주어진 선형 공간 '''R'''^{''p'', ''q''}에서도 성립하며, 카르탕-뒤돈의 정리로 알려져 있다.^[1]

3. 3. 고정점

반사의 고정점 집합은 반사 초평면이다.^[1] '''R'''^''n''의 원점을 고정하는 거울 반사는 선형 변환이며, 대응하는 행렬은 행렬식이 −1인 직교 행렬이고, (1, 1, ..., 1, −1)을 고유값으로 갖는다.^[1]

3. 4. 연산에 대한 닫힘

모든 반사는 등거리 변환이며, 방향을 보존하지 않는다. 반사

R

의 등거리 변환

I

에 의한 켤레 역시 반사이며, 그 반사 초평면은 다음과 같다.

:

\operatorname{Fix}(I\circ R\circ I^{-1})=I(\operatorname{Fix}(R))

'''R'''^''n''의 원점을 고정하는 거울 반사는 선형 변환이며, 대응하는 행렬은 행렬식이 −1인 직교 행렬이고, (1, 1, ..., 1, −1)을 고유값으로 갖는다.

이러한 두 행렬의 곱은 특수 직교 행렬이 되어 회전을 나타낸다. 반대로 원점을 고정하는 어떤 회전도 원점을 통과하는 초평면에 의한 짝수 번의 거울 반사로 표현된다. 또한 직교군 O(''n'')의 어떤 원소도 기껏해야 ''n''번의 거울 반사의 곱으로 표현되며, 거울 반사의 전체는 직교군 O(''n'')을 생성한다.

4. 표현 방법

반사는 선형 변환의 성질을 가지며, 이는 행렬을 사용하여 표현할 수 있다. 또한, 3차원 공간에서의 반사는 사원수의 곱셈을 통해 간결하게 나타낼 수 있다.^[1]

4. 1. 행렬 표현

반사의 선형 변환 성분은 적절한 기저에 대하여 다음과 같은 행렬 표현을 갖는다.

:

\begin{pmatrix}1\\&\ddots\\&&1\\&&&-1\end{pmatrix}

유클리드 공간

\mathbb R^n

의 벡터

v

가 주어졌을 때, 원점을 지나고

a

에 직교하는 초평면에 대한 반사는 직교 행렬로 나타낼 수 있다. 이 반사에 해당하는 직교 행렬은 다음과 같다.

:

R = I-2\frac{aa^T}{a^Ta},

여기서

I

는

n \times n

항등 행렬이고

a^T

는

a

의 전치 행렬이다. 이 행렬의 성분은 다음과 같다.

:

R_{ij} = \delta_{ij} - 2\frac{a_i a_j}{ \left\| a \right\| ^2 },

여기서

\delta_{ij}

는 크로네커 델타이다.

\mathbb R^n

의 원점을 고정하는 거울 반사는 선형 변환이며, 대응하는 행렬은 행렬식이 −1인 직교 행렬이며, (1, 1, ..., 1, −1)을 고유값으로 갖는다.

4. 2. 사원수 표현

3차원 벡터를 순허수 사원수로 여겼을 때,

\mathbb R^3

위의 반사는 사원수 곱셈을 통해 간단하게 나타낼 수 있다. 구체적으로, 점

\mathbf x_0

을 지나며 단위 법벡터

\mathbf n

을 갖는 초평면

\operatorname{Fix}(R)\subset\mathbb R^3

에 대한 반사는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

:

R(\mathbf x)=\mathbf x_0+\mathbf n(\mathbf x-\mathbf x_0)\mathbf n

여기서 우변의 곱셈은 사원수의 곱셈이다.^[1]

5. 반사의 합성

평면에서 평행한 두 직선을 축으로 하여 연이어 반사하면 평행 이동을 얻는다.

평면에서 교차하는 두 직선을 축으로 하여 연이어 반사하면 회전을 얻는다.

두 반사를 연속해서 적용하면 평행 이동이나 회전 같은 변환을 얻을 수 있다. 평행하는 반사 초평면을 갖는 두 반사를 합성하면 평행 이동이 되며, 교차하는 반사 초평면을 갖는 두 반사를 합성하면 회전이 된다.

5. 1. 평행 이동

평행하는 반사 초평면을 갖는 두 반사

R

,

R'

의 합성

R'\circ R

은 평행 이동이며, (

R

의 반사 초평면에서

R'

의 반사 초평면을 향하는) 공통 법벡터의 방향으로 반사 초평면 사이 거리의 2배만큼 평행 이동한다. 즉, 만약

:

\operatorname{Fix}(R)=\{\mathbf x\in\mathbb R^n\colon(\mathbf x-\mathbf x_0)\cdot\mathbf n=0\}

:

\operatorname{Fix}(R')=\{\mathbf x\in\mathbb R^n\colon(\mathbf x-\mathbf x_0')\cdot\mathbf n=0\}

:

\|\mathbf n\|=1

이라면,

R'\circ R

의 평행 이동 벡터는

:

2(\mathbf x_0'-\mathbf x_0)\cdot\mathbf n

이다. 반대로, 모든 평행 이동은 이러한 두 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.

5. 2. 회전

교차하는 반사 초평면을 갖는 두 반사

R

,

R'

의 합성

R'\circ R

은 회전이다. 이 회전은 두 반사 초평면의 교집합을 고정점 집합으로 가지며, 고정점 집합과 수직인 각 평면으로 제한되었을 때 두 반사 초평면 사이의 각의 2배만큼 (

R

에서

R'

을 향하여) 회전시킨다. 즉, 만약

:

\operatorname{Fix}(R)=\{\mathbf x\in\mathbb R^n\colon(\mathbf x-\mathbf x_0)\cdot\mathbf n=0\}

:

\operatorname{Fix}(R')=\{\mathbf x\in\mathbb R^n\colon(\mathbf x-\mathbf x_0')\cdot\mathbf n'=0\}

:

\|\mathbf n\|=\|\mathbf n'\|=1

:

\mathbf n\times\mathbf n'\ne 0

이라면,

R'\circ R

의 고정점 집합은

:

\operatorname{Fix}(R)\cap\operatorname{Fix}(R')

이다. 또한, 평면

\mathbf x_0+(\operatorname{Fix}(R)\cap\operatorname{Fix}(R'))^\perp

(

\mathbf x_0\in\operatorname{Fix}(R)\cap\operatorname{Fix}(R')

)로 제한되었을 때, 회전

:

R'\circ R\restriction(\mathbf x_0+(\operatorname{Fix}(R)\cap\operatorname{Fix}(R'))^\perp)

의 회전 중심은

\mathbf x_0

이며, 회전 각도는

:

2\arccos(\mathbf n\cdot\mathbf n')

이다. 반대로, 3차원 이하 유클리드 공간 위의 회전은 두 반사의 합성으로 나타낼 수 있다. 그러나 이는 4차원부터는 성립하지 않는다.

6. 예시

''xy'' 평면에서 벡터 (''x'', ''y'')를 (''x'', −''y'')로 바꾸는 것은 ''x''축에 대한 반사이다. 가우스 평면에서 복소수 ''z'' = ''x'' + ''yi''의 켤레 복소수 $\bar{z} = x - y i$ 는 실수축에 대한 반사로 생각할 수 있다.^[1]

6. 1. 2차원 유클리드 공간에서의 반사

2차원 유클리드 공간

\mathbb R^2

위의 x축 및 y축에 대한 반사는 각각 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}

:

\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\y\end{pmatrix}

가우스 평면에서 복소수 ''z'' = ''x'' + ''yi''에 대한 켤레 복소수

\bar{z} = x - y i

는 실수축에 관한 반사로도 간주할 수 있다. 이는 ''xy'' 평면의 벡터 (''x'', ''y'')에 대해 (''x'', -''y'')를 대응시키는 변환이 ''x''축에 관한 반사이기 때문이다.

2차원에서 원점을 지나는 임의의 선에 대한 반사는 다음 공식으로 설명할 수 있다.

:

\operatorname{Ref}_l(v) = 2\frac{v \cdot l}{l \cdot l}l - v,

여기서

v

는 반사되는 벡터를 나타내고,

l

은 반사가 수행되는 선의 임의의 벡터를 나타내며,

v\cdot l

은

v

와

l

의 내적을 나타낸다. 위 공식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:

\operatorname{Ref}_l(v) = 2\operatorname{Proj}_l(v) - v,

이는

l

에 대한

v

의 반사가

v

를

l

에 투영한 것의 2배에서 벡터

v

를 뺀 것과 같다는 것을 의미한다. 선에서의 반사는 1과 -1의 고유값을 가진다.

7. 활용

반사는 기하학을 비롯한 여러 학문 분야와 실생활에서 다양하게 활용된다.

7. 1. 기하학

평면 (또는 3차원) 기하학에서 점의 반사점을 찾으려면, 반사에 사용되는 선(평면)에 점으로부터 수선을 내리고, 반대쪽으로 같은 거리를 연장한다. 도형의 반사점을 찾으려면, 도형의 각 점을 반사시킨다.

컴퍼스와 자를 사용하여 선 에 대한 점 를 반사시키려면 다음과 같이 진행한다(그림 참조).

1단계 (빨간색): 점 를 중심으로 하고 어떤 고정된 반지름 을 갖는 원을 그려 선 위에 점 와 을 만든다. 이 점들은 로부터 등거리에 있을 것이다.
2단계 (녹색): 와 를 중심으로 하고 반지름 을 갖는 원을 그린다. 와 는 이 두 원의 교차점이다.

점 는 선 에 대한 점 의 반사점이다.

8. 반사군

유클리드 군은 아핀 초평면에서의 반사에 의해 생성된다. 일반적으로, 아핀 초평면에서의 반사에 의해 생성되는 군은 반사군으로 알려져 있다.

8. 1. 직교군

반사의 행렬은 직교 행렬이며, 행렬식은 −1이고 고유값은 −1, 1, 1, ..., 1이다. 이러한 행렬 두 개의 곱은 회전을 나타내는 특수한 직교 행렬이다. 모든 회전은 원점을 지나는 초평면에서의 짝수 개의 반사에 의해 나타나며, 모든 부정 회전은 홀수 개의 반사에 의해 나타난다. 따라서 반사는 직교군을 생성하며, 이 결과는 카르탕-디외도네 정리로 알려져 있다.

8. 2. 콕서터 군

반사군 가운데 유한군은 콕서터 군의 예시이다.

9. 카르탕-디외도네 정리

반사의 행렬은 직교 행렬이며, 행렬식은 −1이고 고유값은 −1, 1, 1, ..., 1이다. 이러한 행렬 두 개의 곱은 회전을 나타내는 특수한 직교 행렬이다. 모든 회전은 원점을 지나는 초평면에서의 짝수 개의 반사에 의해 나타나며, 모든 부정 회전은 홀수 개의 반사에 의해 나타난다. 따라서 반사는 직교군을 생성하며, 이 결과는 카르탕-디외도네 정리로 알려져 있다.^[1]

유사하게, 유클리드 공간의 모든 등거리 변환으로 구성된 유클리드 군은 아핀 초평면에서의 반사에 의해 생성된다. 일반적으로, 아핀 초평면에서의 반사에 의해 생성되는 군은 반사군으로 알려져 있다. 이러한 방식으로 생성된 유한군은 콕서터 군의 예시이다.^[1]

참조

_[1] 웹사이트 "Reflexion\" is an archaic spelling" https://web.archive.[...]
_[2] 서적 A Concrete Introduction to Higher Algebra https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[3] 서적 Contemporary Abstract Algebra https://books.google[...] Cengage Learning
_[4] 서적 Algebra: A Graduate Course https://books.google[...] American Mathematical Society

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