복소화

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 텐서 곱을 이용한 정의
3. 기본적 성질들
4. 딕슨 배환
5. 복소 켤레
6. 선형 변환
7. 쌍대 공간과 텐서 곱
참조

1. 개요

복소화는 실수 벡터 공간 V로부터 복소 벡터 공간을 구성하는 과정으로, V와 복소수의 텐서곱을 통해 정의된다. 이 과정은 스칼라 확장의 예시이며, 체 또는 환의 사상에 적용될 수 있다. 복소화된 벡터 공간의 모든 벡터는 원래 공간의 벡터들의 선형 결합으로 표현 가능하며, 복소수 스칼라 곱셈은 일반적인 복소수 연산 규칙을 따른다. 복소화는 실 선형 변환을 복소 선형 변환으로 확장하고, 쌍대 공간 및 텐서 곱과 같은 다른 선형 대수적 구조와도 호환된다. 또한 딕슨 배환을 통해 사원수, 팔원수 등으로 확장하는 방법도 제시되었으며, 복소 켤레 사상을 통해 복소 선형 공간의 추가적인 구조를 제공한다.

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복소화
수학 정보
분야	수학
하위 분야	선형 대수학
정의	실수 벡터 공간의 복소수화는 실수 벡터 공간 V를 복소수 벡터 공간 V로 확장하는 것이다.
추가 정보
참고	복소수 벡터 공간 텐서 곱

2. 정의

실수 벡터 공간 $V$ 의 '''복소화'''(complexification^eng)는 $V$ 를 확장하여 복소 벡터 공간 $V^{\Complex}$ 를 만드는 과정이다. 가장 일반적인 방법은 $V$ 와 복소수 체 $\Complex$ (실수 위의 2차원 벡터 공간으로 간주)의 텐서곱을 이용하는 것이다. 이를 통해 원래의 실수 벡터 공간에 복소수 스칼라 곱셈을 자연스럽게 정의할 수 있게 된다.

이 과정은 실수 벡터 공간의 구조를 복소수 체 위로 확장하는 스칼라 확장의 한 예시로 볼 수 있다. 자세한 수학적 정의와 성질은 하위 섹션에서 다룬다.

2. 1. 텐서 곱을 이용한 정의

V

가 실수 선형 공간이라고 하자.

V

의 '''복소화'''는

V

와 복소수 공간(실수 위에서 2차원 선형 공간으로 간주)의 텐서곱으로 정의된다.

:

V^{\Complex} := V\otimes_{\R} \Complex\,.

텐서 곱의 아래 첨자

\R

은 텐서 곱이 실수 위에서 이루어짐을 나타낸다.

V

가 실수 선형 공간이므로, 이 표기는 명확성을 위해 사용되지만 문맥상 혼동의 여지가 없다면 생략할 수도 있다.

이렇게 정의된

V^{\Complex}

는 우선 실수 선형 공간이다. 여기에 다음과 같이 복소수 스칼라 곱셈을 정의하여

V^{\Complex}

를 복소 선형 공간으로 만든다.

:

\alpha(v \otimes \beta) = v\otimes(\alpha\beta)\qquad\mbox{ 모든 } v\in V \mbox{ 와 }\alpha,\beta \in \Complex\mbox{에 대해}.

이 정의는

V^{\Complex}

가 복소 선형 공간의 공리를 만족하도록 한다.

보다 일반적으로, 복소화는 스칼라 확장의 한 예시로 볼 수 있다. 이 경우 실수 스칼라를 복소수 스칼라로 확장하는 것이다. 이러한 확장은 임의의 체 확장이나 환 준동형 사상에 대해서도 유사하게 정의될 수 있다.

범주론적 관점에서 보면, 복소화는 실수 선형 공간의 범주에서 복소 선형 공간의 범주로 가는 함자 Vect_'''R''' → Vect_'''C'''이다. 이 함자는 복소 구조를 '잊는' 망각 함자 Vect_'''C''' → Vect_'''R'''의 왼쪽 수반 함자이다.

복소 선형 공간

V

의 복소 구조를 잊는 과정을 '''복소수 제거''' 또는 '''실수화'''라고 부른다. 만약 복소 선형 공간

V

가 기저

e_{\mu}

를 가진다면, 그 실수화는 복소수 스칼라 곱셈을 고려하지 않고 기저를

\{e_{\mu}, ie_{\mu}\}

로 하는 실수 선형 공간이 된다. 이 실수화된 공간의 차원은 원래 복소 공간 차원의 두 배가 된다.

3. 기본적 성질들

복소화된 벡터 공간 $V^{\mathbb{C}}$ 의 모든 벡터 $v$ 는 원래 실수 벡터 공간 $V$ 에 속하는 두 벡터 $v_1$ 과 $v_2$ 를 사용하여 다음과 같은 형태로 유일하게 표현될 수 있다.

: $v = v_1 + iv_2$

여기서 $i$ 는 허수 단위이다. 이 표현은 $V$ 와 복소수 $\mathbb{C}$ 의 텐서 곱 $V \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$ 에서 유도된 것이지만, 보통 위와 같이 간단한 형태로 사용한다.

복소수 $a+bi$ ( $a, b$ 는 실수)를 벡터 $v = v_1 + iv_2$ 에 곱하는 연산은 다음과 같이 정의된다. 이는 일반적인 복소수 곱셈 규칙과 유사하다.

: $(a+ib)(v_1 + iv_2) = (av_1 - bv_2) + i(bv_1 + av_2)$

이러한 구조 덕분에 복소화된 공간 $V^{\mathbb{C}}$ 는 $V$ 의 두 복사본의 직합으로 생각할 수 있다.

: $V^{\mathbb{C}} \cong V \oplus iV$

원래 벡터 공간 $V$ 의 벡터 $v$ 는 $V^{\mathbb{C}}$ 안에서 $v + i0$ (또는 텐서 곱 표기법으로는 $v \otimes 1$ )에 해당한다고 볼 수 있다. 이를 통해 $V$ 를 $V^{\mathbb{C}}$ 의 실수 선형 부분 공간으로 자연스럽게 간주할 수 있다.

만약 $V$ 가 실수 체 $\mathbb{R}$ 위에서 유한한 차원을 가지고 기저 $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ 를 갖는다면, $V^{\mathbb{C}}$ 는 복소수 체 $\mathbb{C}$ 위에서 $\{e_1 + i0, e_2 + i0, \dots, e_n + i0\}$ (또는 $\{e_1 \otimes 1, e_2 \otimes 1, \dots, e_n \otimes 1\}$ )를 기저로 갖는다. 따라서 $V^{\mathbb{C}}$ 의 복소 차원은 $V$ 의 실수 차원과 같다.

: $\dim_{\mathbb{C}} V^{\mathbb{C}} = \dim_{\mathbb{R}} V$

4. 딕슨 배환

레너드 딕슨을 비롯한 20세기 수학자들은 실수( $\R$ )에서 복소수( $\C$ )로 나아가는 복소화 과정을 추상화했다. 이 과정은 케일리-딕슨 구성으로 알려져 있다.

먼저 실수 $\R$ 에 항등 대합 $x^*=x$ 를 적용하는 것에서 시작한다. 그 다음, $\R$ 의 두 복사본을 사용하여 원소 $z=(a,b)$ 를 만들고, 복소 켤레 $z^*=(a,-b)$ 를 새로운 대합으로 도입한다. 이렇게 두 배로 늘어난 집합의 두 원소 $w=(a,b)$ 와 $z=(c,d)$ 는 다음 규칙에 따라 곱한다.

$w z = (a,b) \times (c,d) = (ac\ - \ d^*b,\ da \ + \ b c^*)$

여기서 $b, d$ 는 실수이므로 $b^*=b, d^*=d$ 이다. 따라서 곱셈 결과는 $(ac-db, da+bc)$ 가 된다.

마지막으로, 이 두 배로 늘어난 집합에는 노름 $N(z)=z^*z$ 가 주어진다. 실수 $\R$ 와 항등 대합으로 시작하면, 두 배가 된 집합은 복소수 $\C$ 가 되고, 그 노름은 $N(z) = (a,-b)(a,b) = (a^2 - (-b)b, (-b)a + ba) = (a^2+b^2, 0)$ 에 대응하는 $a^2+b^2$ 이 된다.

이 과정을 반복할 수 있다. 복소수 $\C$ 를 두 배로 하고, 대합을 $(a,b)^*=(a^*,-b)$ (여기서 $a, b$ 는 복소수)로 정의하면 사원수가 생성된다. 사원수를 다시 같은 방식으로 두 배로 하면 팔원수(케일리 수)가 만들어진다. 딕슨은 1919년에 이러한 대수 구조를 밝히는 데 중요한 기여를 했다.

다른 방식으로, 복소수 $\C$ 에서 시작하되 자명한 대합 $z^*=z$ 를 사용할 수도 있다. 이 경우 생성되는 노름은 $N(z)=z^*z=z^2$ 이다. 이 $\C$ 를 케일리-딕슨 구성에 따라 두 배로 하면 이중 복소수가 생성된다. 이를 다시 두 배로 하면 이중 사원수가, 또다시 두 배로 하면 이중 팔원수가 생성된다.

기본이 되는 대수가 결합적일 때, 케일리-딕슨 구성을 통해 생성된 대수는 노름이 곱셈을 보존하는 성질, 즉 $N(p\,q) = N(p)\,N(q)$ 를 만족한다. 이러한 대수를 합성 대수라고 부른다.

5. 복소 켤레

복소화된 벡터 공간 $V^{\mathbb{C}}$ 는 일반적인 복소 벡터 공간보다 더 많은 구조를 가지며, 다음과 같이 정의되는 표준 복소 켤레 사상 $\chi$ 를 갖는다.^[1]

: $\chi : V^{\mathbb{C}} \to \overline{V^{\mathbb{C}}}$

: $\chi(v\otimes z) = v\otimes \bar z.$

여기서 $\overline{V^{\mathbb{C}}}$ 는 $V^{\mathbb{C}}$ 의 복소 켤레 벡터 공간을 나타낸다.

이 사상 $\chi$ 는 $V^{\mathbb{C}}$ 에서 자기 자신으로 가는 켤레 선형 사상으로 보거나, 또는 $V^{\mathbb{C}}$ 에서 $\overline{V^{\mathbb{C}}}$ 로 가는 복소 선형 동형 사상으로 간주할 수 있다.^[1]

반대로, 복소 켤레 $\chi$ 를 갖는 복소 벡터 공간 $W$ 가 주어졌을 때, $W$ 는 다음과 같이 정의된 실수 부분 공간 $V$ 의 복소화 $V^{\mathbb{C}}$ 와 복소 벡터 공간으로서 동형이다.^[1]

: $V = \{ w \in W : \chi(w) = w \}.$

즉, 복소 켤레를 갖는 모든 복소 벡터 공간은 실수 벡터 공간의 복소화이다.^[1]

예를 들어, $W = \mathbb{C}^n$ 이고 표준 복소 켤레가 다음과 같이 주어졌다고 하자.^[1]

: $\chi(z_1,\ldots,z_n) = (\bar z_1,\ldots,\bar z_n)$

이 경우, 불변 부분 공간 $V = \{ w \in W : \chi(w) = w \}$ 는 단순히 실수 부분 공간 $\mathbb{R}^n$ 이다.^[1]

6. 선형 변환

두 실수 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 사이의 선형 변환 $f: V \to W$ 가 주어졌을 때, 이 변환을 자연스럽게 확장하여 다음과 같은 복소수 선형 변환을 정의할 수 있다.

: $f^{\Complex} : V^{\Complex} \to W^{\Complex}$

여기서 $V^{\Complex}$ 와 $W^{\Complex}$ 는 각각 $V$ 와 $W$ 의 복소화된 공간을 나타내며, 변환은 다음과 같이 정의된다.

: $f^{\Complex}(v\otimes z) = f(v)\otimes z.$

이 변환 $f^{\Complex}$ 를 $f$ 의 '''복소화'''라고 부른다. 선형 변환의 복소화는 다음과 같은 중요한 성질들을 만족한다.

항등 변환의 복소화는 복소화된 공간의 항등 변환이다: $(\mathrm{id}_V)^{\Complex} = \mathrm{id}_{V^{\Complex}}$
변환 합성의 복소화는 각 변환의 복소화의 합성과 같다: $(f \circ g)^{\Complex} = f^{\Complex} \circ g^{\Complex}$
변환 합의 복소화는 각 변환의 복소화의 합과 같다: $(f+g)^{\Complex} = f^{\Complex} + g^{\Complex}$
실수 스칼라 곱의 복소화는 스칼라 곱과 같다: $(a f)^{\Complex} = a f^{\Complex} \quad \forall a \in \R$

범주론의 관점에서 보면, 복소화는 실수 벡터 공간의 범주에서 복소수 벡터 공간의 범주로 가는 가법) 함자를 정의한다고 할 수 있다.

변환

f^{\Complex}

는 켤레 연산과 교환 가능(commute)하다. 즉,

f^{\Complex}

는

V^{\Complex}

의 실수 부분 공간을 원래 변환

f

를 통해

W^{\Complex}

의 실수 부분 공간으로 보낸다. 반대로, 어떤 복소 선형 변환

g: V^{\Complex} \to W^{\Complex}

가 켤레 연산과 교환 가능하다면, 그 변환

g

는 어떤 실수 선형 변환의 복소화이다.

예를 들어,

\R^n

에서

\R^m

으로 가는 선형 변환을

m \times n

행렬로 나타낼 수 있다. 이 변환의 복소화는 정확히 동일한 행렬로 표현되지만, 이제는

\C^n

에서

\C^m

으로 가는 복소 선형 변환으로 간주된다.

7. 쌍대 공간과 텐서 곱

실수 벡터 공간 $V$ 의 쌍대 공간 $V^*$ 는 $V$ 에서 실수 집합 $\mathbb{R}$ 로 가는 모든 실수 선형 사상들이 이루는 벡터 공간이다. $V^*$ 의 복소화 $(V^*)^{\mathbb{C}}$ 는 $V$ 에서 복소수 집합 $\mathbb{C}$ 로 가는 모든 실수 선형 사상들의 공간 $\text{Hom}_{\mathbb{R}}(V, \mathbb{C})$ 와 자연스럽게 동형이라고 생각할 수 있다. 즉, 다음과 같은 관계가 성립한다.

$(V^*)^{\mathbb{C}} = V^*\otimes \mathbb{C} \cong \mathrm{Hom}_{\mathbb{R}}(V,\mathbb{C}).$

이 동형 사상은 $\varphi_1, \varphi_2 \in V^*$ 에 대해 다음과 같이 주어진다.

$(\varphi_1\otimes 1 + \varphi_2\otimes i) \leftrightarrow \varphi_1 + i \varphi_2$

여기서 $\varphi_1, \varphi_2$ 는 $V^*$ 의 원소이다. 복소 켤레 연산은 다음과 같이 정의된다.

$\overline{\varphi_1 + i\varphi_2} = \varphi_1 - i \varphi_2.$

주어진 실수 선형 사상 $\varphi:V\rightarrow\mathbb{C}$ 는 선형성을 이용하여 복소 선형 사상 $\varphi:V^{\mathbb{C}}\rightarrow\mathbb{C}$ 로 확장될 수 있다. 즉, 다음과 같다.

$\varphi(v\otimes z) = z\varphi(v).$

이 확장은 $\text{Hom}_{\mathbb{R}}(V,\mathbb{C})$ 에서 $\text{Hom}_{\mathbb{C}}(V^{\mathbb{C}},\mathbb{C})$ 로 가는 동형 사상을 제공한다. 후자는 복소화된 공간 $V^{\mathbb{C}}$ 의 복소 쌍대 공간 $(V^{\mathbb{C}})^*$ 이므로, 다음과 같은 자연스러운 동형 사상이 존재한다.

$(V^*)^{\mathbb{C}} \cong (V^{\mathbb{C}})^*.$

더 일반적으로, 두 실수 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 가 주어지면 다음과 같은 자연스러운 동형 사상이 존재한다.

$\mathrm{Hom}_{\mathbb{R}}(V,W)^{\mathbb{C}} \cong \mathrm{Hom}_{\mathbb{C}}(V^{\mathbb{C}},W^{\mathbb{C}}).$

복소화 연산은 텐서곱, 외대수, 대칭 텐서를 취하는 연산과 교환 가능하다. 예를 들어, $V$ 와 $W$ 가 실수 벡터 공간일 때 다음과 같은 자연스러운 동형 사상이 성립한다.

$(V \otimes_{\mathbb{R}} W)^{\mathbb{C}} \cong V^{\mathbb{C}} \otimes_{\mathbb{C}} W^{\mathbb{C}}\,$

여기서 좌변의 텐서곱은 실수를 계수로 하고, 우변의 텐서곱은 복소수를 계수로 한다. 일반적으로 동일한 패턴이 적용된다. 예를 들어, 외대수의 경우 다음이 성립한다.

$(\Lambda_{\mathbb{R}}^k V)^{\mathbb{C}} \cong \Lambda_{\mathbb{C}}^k (V^{\mathbb{C}}).$

모든 경우에 동형 사상은 "자명한(canonical)" 방식으로 주어진다.

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