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부분분수

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목차

1. 개요

부분 분수는 유리식을 더 간단한 유리식의 합으로 분해하는 방법이다. 유리식은 체 위의 미지수에 대한 다항식의 비로 표현되며, 부분 분수의 존재는 다항식 나눗셈, 분모의 인수분해, 부분 분수 설정, 미정 계수 결정의 단계를 통해 증명된다. 부분 분수 분해는 실수 및 복소수 범위에서 다르게 적용되며, 적분 계산, 급수 전개, 미분 방정식, 유형 함수 등 다양한 분야에서 활용된다. 부분 분수로의 분해는 잔차 방법, 극한 방법 등 다양한 방법으로 수행할 수 있으며, 이를 통해 복잡한 식을 단순화하고 문제를 해결하는 데 도움을 준다.

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부분분수
개요
부분 분수 분해의 예
부분 분수 분해의 예
정의유리 함수를 더 간단한 유리 함수들의 합으로 표현하는 방법
관련 개념유리 함수, 다항식, 부분 분수
수학적 정의
배경부분 분수 분해는 대수학과 미적분학에서 유리 함수를 처리하는 데 유용한 기술이다.
복잡한 유리 함수를 더 간단한 부분 분수로 분해하여 계산을 단순화한다.
기본 아이디어주어진 유리 함수를 분모가 더 낮은 차수를 가지는 부분 분수들의 합으로 표현한다.
분해 조건분모는 인수분해 가능해야 한다.
분자는 분모보다 차수가 낮아야 한다.
분해 방법분모를 인수분해한다.
각 인수에 해당하는 부분 분수를 설정한다.
미정계수를 결정한다.
부분 분수들을 더하여 원래의 유리 함수를 얻는다.
분해 유형
선형 인수의 경우분모가 선형 인수 (ax + b)를 포함하는 경우, 해당 부분 분수는 A/(ax + b) 형태를 가진다.
중복 선형 인수의 경우분모가 중복 선형 인수 (ax + b)^n을 포함하는 경우, 해당 부분 분수는 A_1/(ax + b) + A_2/(ax + b)^2 + ... + A_n/(ax + b)^n 형태를 가진다.
이차 인수의 경우분모가 이차 인수 (ax^2 + bx + c)를 포함하는 경우, 해당 부분 분수는 (Ax + B)/(ax^2 + bx + c) 형태를 가진다.
중복 이차 인수의 경우분모가 중복 이차 인수 (ax^2 + bx + c)^n을 포함하는 경우, 해당 부분 분수는 (A_1x + B_1)/(ax^2 + bx + c) + (A_2x + B_2)/(ax^2 + bx + c)^2 + ... + (A_nx + B_n)/(ax^2 + bx + c)^n 형태를 가진다.
활용 분야
적분 계산복잡한 유리 함수의 적분을 부분 분수 분해를 통해 더 간단한 함수의 적분으로 변환하여 계산할 수 있다.
라플라스 변환라플라스 변환의 역변환을 구할 때 부분 분수 분해가 사용된다.
회로 이론회로 해석에서 전달 함수를 분석하고 시스템의 응답을 예측하는 데 사용된다.
제어 시스템제어 시스템의 안정성 분석 및 제어기 설계를 위해 사용된다.
확률론확률 분포의 특성 함수를 분석하는 데 사용될 수 있다.
예시
예시 1(3x+5)/(x^2-x-2) = 3/(x-2)- 2/(x+1)
예시 21/(x(x+1)(x+2)) = 1/2 * 1/x - 1/(x+1) + 1/2 * 1/(x+2)
주의사항
분모 인수분해부분 분수 분해를 적용하기 전에 분모를 인수분해해야 한다.
분자 차수분자의 차수가 분모의 차수보다 낮아야 한다. 그렇지 않은 경우, 다항식 나눗셈을 먼저 수행해야 한다.
참고 문헌

2. 기본 원리

부분 분수 분해는 유리식을 더 간단한 형태의 분수들의 합으로 나타내는 방법이다. 주어진 유리식 (와 는 일변수 다항식)에 대해, 다음과 같은 기본 원리가 적용된다.

우선, 주어진 유리식에서 분모 를 서로 다른 기약 다항식의 거듭제곱의 곱으로 나타낸다. 즉,

:g=\prod_{i=1}^k p_i^{n_i}

와 같이 표현한다.

그러면, 인 다항식 와 가 존재하여 주어진 유리식을 다음과 같이 분해할 수 있다.

:\frac{f}{g}=b+\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i}\frac{a_{ij}}{p_i^j}

만약 분자의 차수가 분모의 차수보다 작다면, 이다.

이러한 분해는 유일하며, 선형대수를 통해 계산할 수 있다.

복소수 체에서는 모든 기약 다항식 가 차수가 1이므로, 모든 분자 a_{ij}는 상수가 된다. 실수 체에서는 중 일부가 이차식일 수 있으므로, 부분 분수 분해에서 이차 다항식의 거듭제곱으로 선형 다항식의 몫이 발생할 수도 있다.

"서로 다른 기약 다항식"을 "쌍별 소 다항식으로, 그 도함수와 서로 소인"으로 대체할 수 있다. 예를 들어, 는 의 제곱-무료 인수분해의 인수일 수 있다. 유리수 체에서는 인수분해를 최대공약수 계산으로 대체하여 부분 분수 분해를 계산할 수 있다.

2. 1. 다항식 나눗셈

분자의 차수가 분모보다 높을 경우, 초등학교에서 가분수를 대분수로 바꾸는 것과 같은 방법으로 분자의 차수를 낮출 수 있다. 즉, 다음과 같은 분수

:\frac{f(x)}{g(x)}

가 주어졌는데, 분자의 차수가 분모의 차수보다 높아서 f(x) = g(x)Q(x) + R(x)와 같이 나눗셈으로 표현가능하다면, 이 분수는 다음과 같이 바꿀 수 있다.

:Q(x) + \frac{R(x)}{g(x)}

다항식의 나눗셈에 의해 R(x)는 g(x)보다 차수가 낮다.

두 개의 다항식 E와 F이 존재하여

\frac FG=E+\frac{F_1}G,

이고,

\deg F_1 <\deg G,

이며, 여기서 \deg P는 다항식 P의 차수를 나타낸다.

이것은 F를 G로 유클리드 나눗셈하면 즉시 얻을 수 있으며, 이는 F = EG + F_1이고 \deg F_1 < \deg G가 되도록 E와 F이 존재함을 보장한다.

이를 통해 다음 단계에서 \deg F <\deg G라고 가정할 수 있다.

유리식 \frac{f(x)}{g(x)}에 대해, \deg f \ge \deg g라면, 일변수 다항식환의 나눗셈 정리에 의해,

:f(x)=Q(x)g(x)+R(x), \quad \deg R < \deg g

가 되는 다항식 Q(x), R(x)가 존재하므로,

:\frac{f(x)}{g(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{g(x)}

로 분해할 수 있다.

2. 2. 분모의 인수분해

분모를 더 이상 분해할 수 없는 기약 다항식들의 곱으로 인수분해한다. 한국에서는 주로 실수 범위에서 인수분해하는 것이 일반적이지만, 복소수 범위까지 확장할 수도 있다.

예를 들어, 유리식

:\frac{x+3}{x^2-3x-40}

에서 분모는 (x-8)(x+5)로 인수분해된다. 따라서 다음과 같이 부분분수로 나타낼 수 있다.

:{x+3 \over x^2-3x-40}={x+3 \over (x-8)(x+5)}={A \over x-8}+{B \over x+5}

여기서 A, B는 미정계수이며, 항등식의 성질을 이용하여 구할 수 있다. 계수비교법이나 수치대입법을 통해 A = 11/13, B = 2/13임을 알 수 있다.

다른 예로,

:{10x^2+12x+20 \over x^3-8}

의 경우, 분모는 x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)로 인수분해된다. 따라서

:{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={10x^2+12x+20 \over (x-2)(x^2+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^2+2x+4}

와 같이 부분분수로 나타낼 수 있다. 여기서 A, B, C는 미정계수이며, 위와 같은 방법으로 계산하면 A=7, B=3, C=4를 얻는다. 따라서,

:{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^2+2x+4}

가 성립한다.

분모에 거듭제곱된 일차항이 포함될 경우, 예를 들어

:{p(x) \over (x+2)(x+3)^5}

와 같은 식은 다음과 같이 부분분수로 나타낼 수 있다.

:{A \over x+2}+{B \over x+3}+{C \over (x+3)^2}+{D \over (x+3)^3}+{E \over (x+3)^4}+{F \over (x+3)^5}

만약 분모가 거듭제곱된 이차항을 포함한다면, 예를 들어

:{p(x) \over (x+2)(x^2+1)^5}

와 같은 식은 다음과 같이 부분분수로 나타낼 수 있다.

:{A \over x+2}+{Bx+C \over x^2+1}+{Dx+E \over (x^2+1)^2}+{Fx+G \over (x^2+1)^3}+{Hx+I \over (x^2+1)^4}+{Jx+K \over (x^2+1)^5}

일반적으로, \deg F < \deg G이고, G = G_1 G_2이며, G_1과 G_2가 상호소 다항식일 때, 다음을 만족하는 다항식 F_1과 F_2가 존재한다.

:\frac FG=\frac{F_1}{G_1}+\frac{F_2}{G_2},

여기서 \deg F_1 < \deg G_1이고 \deg F_2 < \deg G_2이다.

이는 베주 항등식을 이용하여 증명할 수 있다. Bézout의 항등식에 의해, CG_1 + DG_2 = 1을 만족하는 다항식 C와 D가 존재한다.

DF=G_1Q+F_1 (\deg F_1 < \deg G_1)로 두고 DF를 G_1으로 유클리드 나눗셈을 수행한다. F_2=CF+QG_2로 설정하면, 다음을 얻는다.

:\frac FG=\frac{F(CG_1 + DG_2)}{G_1G_2}

=\frac{D F}{G_1}+\frac{CF}{G_2}

=\frac{F_1+G_1Q}{G_1}+\frac{F_2-G_2Q}{G_2}

=\frac{F_1}{G_1}+\frac{F_2}{G_2}.

\deg F_2 < \deg G_2임을 보이기 위해, 마지막 분수의 합을 통분하면 F=F_2G_1+F_1G_2를 얻고,

:\deg F_2 =\deg(F-F_1G_2)-\deg G_1 \le \max(\deg F,\deg (F_1G_2))-\deg G_1

< \max(\deg G,\deg(G_1G_2))-\deg G_1= \deg G_2

가 성립한다.

이러한 분해를 반복하면 \frac F {G^k} 형태의 분수를 얻을 수 있으며, 여기서 \deg F < \deg G^k= k\deg G이고, G는 기약 다항식이다.

2. 3. 부분 분수 설정

분모의 각 인수에 대응하는 부분 분수를 설정할 수 있다.

분자의 차수가 낮더라도, 여러 가지 방법으로 부분분수로 분해할 수 있다. 특히 분모가 일차식들의 곱의 형태로 표현될 경우 어렵지 않게 분해할 수 있다. 즉, 다음과 같이 분해된다.

:\frac{f(x)}{(a_1 x+b_1)(a_2 x+b_2) \cdots (a_n x+b_n)} = \frac{A_1}{a_1 x+b_1} + \frac{A_2}{a_2 x+b_2} + \cdots + \frac{A_n}{a_n x+b_n}

여기서 A_1, .... , A_n는 모두 항등식의 미정계수로서 다양한 방법으로 채울 수 있다. 예를 들어 다음과 같다.

:\frac{x+3}{x^2-3x-40}

위와 같이 주어진 유리식을 관찰해보면 분모가 (x-8)(x+5)로 일차식의 곱의 형태로 인수분해됨을 알 수 있다. 그리하여 다음과 같이 전개할 수 있다.

:{x+3 \over x^2-3x-40}={x+3 \over (x-8)(x+5)}={A \over x-8}+{B \over x+5}

여기서 A, B는 정해지지 않은 계수, 즉 미정계수인데, 이는 항등식의 미정 계수법을 통해 다양한 방법으로 채울 수 있다. 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 비교하거나(계수비교법), 적당한 상수를 대입하여 그 수치값을 비교하는(수치대입법) 방법 등을 동원하면 된다. 그리하여 A = 11/13, B = 2/13임을 확인할 수 있다.

분모에 더 이상 인수분해 되지 않는 다항식이 있을 때도 부분분수로 분해되는 경우가 있다. 예를 들어 분모가 삼차식이고 분자가 이차식 이하인 경우, 다음과 같이 분해된다.

:\frac{ax^2 + bx + c}{(dx + e)(fx^2 + gx + h)} = \frac{A_1}{dx + e} + \frac{A_2 x + A_3}{fx^2 + gx + h}

예를 들어 다음과 같다.

:{10x^2+12x+20 \over x^3-8}

이 경우 인수분해 공식에 의해 분모가 x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)와 같이 분해됨을 즉시 파악할 수 있다. 그리하여,

:{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={10x^2+12x+20 \over (x-2)(x^2+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^2+2x+4}

위와 같이 변형된다. 여기서 A, B, C도 마찬가지로 미정계수이며, 다양한 방법으로 채울 수 있다. 계산해보면 차례로 7, 3, 4가 나오므로,

:{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^2+2x+4}

위와 같은 등식이 성립하게 된다.

분모에 거듭제곱된 일차항이 포함될 경우 다음과 같이 계산된다. 예를 들어,

:{p(x) \over (x+2)(x+3)^5}

와 같은 식일 경우 다음과 같은 방법으로 부분분수를 설정해야 한다.

:{A \over x+2}+{B \over x+3}+{C \over (x+3)^2}+{D \over (x+3)^3}+{E \over (x+3)^4}+{F \over (x+3)^5}

이를 응용하여 다음과 같이 거듭제곱된 이차항을 포함한다고 하자.

:{p(x) \over (x+2)(x^2+1)^5}

그러면 미정계수를 포함하는 분자는 모두 일차식이 된다.

:{A \over x+2}+{Bx+C \over x^2+1}+{Dx+E \over (x^2+1)^2}+{Fx+G \over (x^2+1)^3}+{Hx+I \over (x^2+1)^4}+{Jx+K \over (x^2+1)^5}

두 다항식 P(x)와 Q(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2) \cdots (x-\alpha_n)이 주어졌을 때, 여기서 ''α''''n''은 서로 다른 상수이고 deg P < n 일 때, 부분 분수에 대한 명시적인 표현은 다음과 같이 가정하여 얻을 수 있다.

:\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{c_1}{x-\alpha_1} + \frac{c_2}{x-\alpha_2} + \cdots + \frac{c_n}{x-\alpha_n}

그리고 대입, ''x''의 거듭제곱을 포함하는 항의 계수 비교 또는 다른 방법을 사용하여 ''c''''i'' 상수를 구한다. (이것은 미정 계수법의 변형이다.)

더 직접적인 계산 방법은 라그랑주 보간법과 밀접한 관련이 있으며, 다음과 같이 작성한다.

:\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i=1}^n \frac{P(\alpha_i)}{Q'(\alpha_i)}\frac{1}{(x-\alpha_i)}

여기서 Q'는 다항식 Q의 도함수이다. \tfrac{1}{x-\alpha_j}의 계수는 ''f/g''의 잔여라고 한다.

만약 \deg P \geq \deg Q 이면, 유클리드 나눗셈을 사용하여 ''P''를 ''Q''로 나누는 것이 필요하며, 다항식의 나눗셈을 사용하면 P(x) = E(x) Q(x) + R(x) 가 되며 deg R < n 이 된다. ''Q''(''x'')로 나누면 다음이 된다.

:\frac{P(x)}{Q(x)} = E(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}

그런 다음 나머지 분수에 대한 부분 분수를 구한다.

만약 ''Q''(''x'')가 주어진 필드에서 기약 가능한 인수를 포함한다면, 분모에 그러한 인수 ''F''(''x'')를 가진 각 부분 분수의 분자 ''N''(''x'')는 상수가 아닌 deg N < deg F 를 가진 다항식으로 구해야 한다. 예를 들어, 다음 분해를 '''R'''에 대해 취한다.

:\frac{x^2 + 1}{(x+2)(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-1} + \frac{cx + d}{x^2 + x + 1}.

만약 Q(x) = (x - \alpha)^r S(x) 이고 S(\alpha) \neq 0 이면 부분 분수 분해에서, r개의 (x - \alpha) 의 첫 번째 거듭제곱은 부분 분수의 분모로 나타난다. 예를 들어, 만약 S(x) = 1 이면 부분 분수 분해는 다음과 같은 형식을 갖는다.

:\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x)}{(x-\alpha)^r} = \frac{c_1}{x-\alpha} + \frac{c_2}{(x-\alpha)^2} + \cdots + \frac{c_r}{(x-\alpha)^r}.

2. 4. 미정 계수 결정

항등식의 성질을 이용하여 각 부분 분수의 미정 계수를 결정한다. 주로 다음 방법들이 사용된다.

  • 계수비교법: 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 비교하는 방법이다.
  • 수치대입법: 적당한 상수를 대입하여 그 수치값을 비교하는 방법이다.


예를 들어, 다음 유리식을 부분 분수로 분해하는 경우를 생각해 보자.

:\frac{x+3}{x^2-3x-40}

분모가 (x-8)(x+5)로 인수분해되므로, 다음과 같이 전개할 수 있다.

:{x+3 \over x^2-3x-40}={x+3 \over (x-8)(x+5)}={A \over x-8}+{B \over x+5}

여기서 A, B는 미정 계수이며, 항등식의 성질을 이용하여 결정할 수 있다. 계수비교법을 사용하면, 양변에 (x-8)(x+5)를 곱하여 다음을 얻는다.

:x+3 = A(x+5) + B(x-8)

우변을 전개하면 (A+B)x + (5A-8B)가 되고, 좌변과 계수를 비교하면 A+B=1, 5A-8B=3을 얻는다. 이 연립 방정식을 풀면 A = 11/13, B = 2/13를 얻는다.[1]

수치대입법을 사용하는 경우, x=8을 대입하면 11=13A를 얻고, x=-5를 대입하면 -2=-13B를 얻는다. 따라서 A = 11/13, B = 2/13이다.[1]

분모에 더 이상 인수분해 되지 않는 다항식이 있을 때도 부분분수로 분해되는 경우가 있다. 예를 들어,

:{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={10x^2+12x+20 \over (x-2)(x^2+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^2+2x+4}

와 같이 분해된다. 여기서 A, B, C도 미정계수이며, 위와 같은 방법으로 계산하면 A=7, B=3, C=4를 얻는다.[1]

분모에 거듭제곱된 일차항이나 이차항이 포함된 경우에도 유사한 방법으로 부분 분수를 설정하고 미정 계수를 결정할 수 있다.[1]

두 다항식 P(x)와 Q(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2) \cdots (x-\alpha_n)이 주어졌을 때 (단, ''α''''n''은 서로 다른 상수이고 deg ''P'' < ''n''), 부분 분수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{c_1}{x-\alpha_1} + \frac{c_2}{x-\alpha_2} + \cdots + \frac{c_n}{x-\alpha_n}

이때, 각 상수 ci는 미정 계수법을 통해 결정할 수 있다.[1]

라그랑주 보간법과 관련된 공식을 이용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

:\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i=1}^n \frac{P(\alpha_i)}{Q'(\alpha_i)}\frac{1}{(x-\alpha_i)}

여기서 Q'는 다항식 Q의 도함수이다. \tfrac{1}{x-\alpha_j}의 계수는 ''f/g''의 잔여라고 한다.[1]

2. 5. 유용한 공식 (참고)

다음 공식들은 부분 분수 분해를 빠르게 수행하는 데 유용하다.[1]

고교 수학 시험에도 흔히 등장하는 공식으로 다음과 같은 식이 있다.

:\frac{1}{A \cdot B} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right)

좌변의 분수가 우변의 부분분수로 분해된다. B - A가 단순할 때 유용하다. 예를 들어 다음과 같이 분해된다.

:\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}

이를 증명하면 다음과 같다.

:{1 \over (x+1)(x+2)} = {a \over x+1} - {b \over x+2}={a (x+2)\over (x+1)(x+2)} - {b (x+1)\over (x+2)(x+1)}={a (x+2)- {b (x+1)}\over (x+1)(x+2)}

:\therefore {1 \over \cancel{(x+1)(x+2)}} ={a (x+2)- { b(x+1)}\over \cancel{(x+1)(x+2)}}

:\therefore {1} ={ a(x+2)- b(x+1)}

:{1} =ax+2a- bx-b

:{1} =(a-b)x+(2a-b)

우변의x차항에대한 좌변의 x차항은 없으므로 x차항의 계수는 0, 상수항은1이다.

:(a-b)-(2a-b)= 0 - 1

:a-b-2a+b= - 1

:-a= - 1

:a= 1

이번에는 (a-b)= 0 , (2a-b)=1 을 더하면,

:(a-b)+(2a-b)= 0 + 1

:a-b+2a-b= 1

:3a-2b= 1

:3a-2b= 1 에 a= 1 를 대입하면,

:3-2b= 1

:-2b= 1-3

:-2b= -2

:{2b \over 2}= {2 \over 2}

:b= 1

따라서,

: \therefore {1 \over (x+1)(x+2)} = {1 \over x+1} - {1 \over x+2}이다.[1]

비슷하게, 다음과 같은 공식을 활용할 수 있다.[1]

:\frac{1}{A \cdot B \cdot C} = \frac{1}{C-A}\left(\frac{1}{A \cdot B} - \frac{1}{B \cdot C} \right)

3. 실수 및 복소수 범위에서의 분해

실수에 대한 임의의 유리 함수 f(x)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}

여기서 p(x)와 q(x) \neq 0는 실수 다항식 함수이다. 분자와 분모를 q(x)의 최고차항 계수로 나누면, 일반성을 잃지 않고 q(x)를 모닉 다항식으로 가정할 수 있다. 대수학의 기본 정리에 의해 q(x)는 다음과 같이 표현된다.

:q(x) = (x-a_1)^{j_1}\cdots(x-a_m)^{j_m}(x^2+b_1x+c_1)^{k_1}\cdots(x^2 + b_n x + c_n)^{k_n}

여기서 a_1, \dots, a_m, b_1, \dots, b_n, c_1, \dots, c_n는 b_{i}^{2} -4c_{i} < 0을 만족하는 실수이고, j_1, \dots, j_m , k_1, \dots, k_n 는 양의 정수이다. (x -a_i) 는 q(x)의 실수 근에 해당하는 ''선형 인수''이며, ( x_i^2 + b_ix + c_i ) 는 q(x)의 복소수 켤레근 쌍에 해당하는 ''기약 이차 인수''이다.

이에 따라 f(x)의 부분 분수 분해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} = P(x) + \sum_{i=1}^m\sum_{r=1}^{j_i} \frac{A_{ir}}{(x-a_i)^r} + \sum_{i=1}^n\sum_{r=1}^{k_i} \frac{B_{ir}x+C_{ir}}{(x^2+b_ix+c_i)^r}

여기서 ''P''(''x'')는 다항식(0일 수도 있음)이고, ''A''''ir'', ''B''''ir'', ''C''''ir''은 실수 상수이다. 이 상수들은 공통 분모 ''q''(''x'')를 곱하여 얻어지는 방정식에서 계수를 비교하거나, 선형대수의 방법, 또는 극한을 이용하여 찾을 수 있다.

복소수 계수의 일변수 유리식은 극(분모 다항식의 영점)을 통해 인수 정리를 사용하여 일차식의 곱으로 분해할 수 있다. 따라서 다항식 항 외에 분자가 상수이고 분모가 일차식의 거듭제곱인 항으로 이루어진 부분 분수 분해를 얻을 수 있다.

실수 계수 다항식의 경우 허근은 켤레 복소수로 존재하므로, 일차식과 이차식의 곱으로 분해된다. 따라서 실수 계수 일변수 유리식의 부분 분수 분해는 분자가 상수이고 분모가 일차식의 거듭제곱인 항, 분자가 일차식 이하이고 분모가 이차식의 거듭제곱인 항, 그리고 다항식 항으로 구성된다.

4. 응용

부분 분수 분해 계산은 다양한 분야에서 응용된다.


  • 실수 변수 적분법에서 실수값을 갖는 유리 함수의 부정적분을 구하는 데 사용된다.
  • 라플라스 변환을 이용한 미분방정식 풀이 과정에서, 부분 분수 분해를 통해 역변환을 쉽게 계산할 수 있다.

4. 1. 적분 계산

유리 함수의 부정적분을 구할 때, 부분 분수 분해를 통해 적분 가능한 형태로 변형할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 함수는 직접 적분하기 어렵다.

:\int \frac{2}{x^2 - 1} dx

그러나 다음과 같이 부분 분수로 변형하여 쉽게 적분할 수 있다.

:\int \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} dx = \ln |x - 1| - \ln |x + 1| + C

여기서 C는 적분상수이다.

다른 예시로, 다음과 같은 부정적분을 살펴보자.

:\int \frac{x^4+x^3+x^2+1}{x^2+x-2} \,dx

먼저 다항식의 긴 나눗셈을 수행하고 분모를 인수분해하면 다음과 같다.

:\int \left(x^2 + 3 + \frac{-3x+7}{(x+2)(x-1)}\right) dx

이제 부분 분수 분해를 수행한다.

:\int \left(x^2+3+ \frac{-3x+7}{(x+2)(x-1)}\right) dx = \int \left(x^2+3+ \frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x-1)}\right) dx

여기서,

:A(x-1)+B(x+2)=-3x+7이다.

x=1을 대입하면 B를, x=-2를 대입하면 A를 구할 수 있다.

:A=\frac{-13}{3} \ , B=\frac{4}{3}

이 값을 다시 적분에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

:\int \left(x^2+3+ \frac{-13/3}{(x+2)}+\frac{4/3}{(x-1)}\right) \,dx = \frac{x^3}{3} \ + 3x-\frac{13}{3} \ln(|x+2|)+\frac{4}{3} \ln(|x-1|)+C

4. 2. 급수 전개

부분 분수 분해는 유리 함수를 무한 급수 형태로 전개할 때 유용하게 사용된다. 예를 들어, 다음과 같은 유리식을 생각해 보자.

:\frac{2-x}{(1-x)^2} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots

이 무한급수의 계수들은 수열을 이루는데, 일반항을 직접 구하기는 어렵다. 하지만 부분 분수로 분해하면 계산이 쉬워진다.

:\frac{2-x}{(1-x)^2} = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2}

여기서 다음 등식을 이용한다.

:\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \frac{d}{dx}\sum x^n = \sum (n+1)x^n

따라서 다음 결과를 얻는다.

:\frac{1}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2} = \sum x^n + \sum (n+1)x^n = \sum (n+2)x^n

유리식의 부분 분수 분해와 비슷한 개념은 유형 함수에도 적용할 수 있다. 일반적인 유형 함수는 극(pole)이 무한 개이므로, 분해 결과는 무한 합 즉, 급수 형태가 된다. 이를 부분 분수 전개(partial fraction expansion)라고 부른다.

예를 들어, 는 가 정함수이므로 유형 함수이다. 이 함수는 다음과 같이 부분 분수로 전개할 수 있다.

:\frac{1}{\sin^2 z} = \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(z - n\pi)^2}

4. 3. 미분 방정식

라플라스 변환을 이용한 미분방정식 풀이 과정에서, 부분 분수 분해를 통해 역변환을 쉽게 계산할 수 있다.[5] 예를 들어 다음과 같은 미분방정식이 있다고 하자.

:\frac{d^2 y}{dt^2} - 3 \frac{dy}{dt} + 2y = e^{3t} ;\; y(0) = 1, y'(0) = 0

양변에 라플라스 변환을 취하면 다음 등식이 된다.

:s^2 Y(s) - s - 3[sY(s) - 1] + 2Y(s) = \frac{1}{s-3}

이를 Y(s)에 대해 정리하면 다음 등식이 성립한다.

:

\begin{align}

Y(s) &= \frac{1}{(s-3)(s^2 -3s +2)} + \frac{s-3}{s^2 -3s +2}\\

& = \frac{1}{(s-1)(s-2)(s-3)} + \frac{s-3}{(s-1)(s-2)}

\end{align}



그런데 이 두 항은 직접 역 라플라스 변환을 취하기에 너무 어렵다. 다음과 같이 모두 부분분수로 쪼갤 수 있다.

:

\begin{align}

Y(s) & = \frac{1}{2} \frac{1}{s-1} - \frac{1}{s-2} + \frac{1}{2} \frac{1}{s-3} + \frac{2}{s-1} - \frac{1}{s-2}\\

& = \frac{5}{2} \frac{1}{s-1} - \frac{2}{s-2} + \frac{1}{2} \frac{1}{s-3}

\end{align}



따라서 해는 다음과 같이 된다.

:y(t) = \frac{5}{2}e^t - 2e^{2t} + \frac{1}{2}e^{3t}

4. 4. 유형 함수

유형 함수의 부분 분수 분해는 유리식의 그것과 유사하게 확장된다. 일반적으로 유형 함수의 극은 유한 개라고 할 수 없으므로, 이 분해는 무한 합 즉 급수로의 전개가 된다. 이를 '''부분 분수로의 전개''' 또는 '''부분 분수 전개'''라고 부르는 경우가 많다.

예를 들어, 1/sin2 ''z''는 sin ''z''가 정함수이므로 유형 함수이다. 이것은 다음과 같이 부분 분수로 전개된다.

:\frac{1}{\sin^2 z} = \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(z - n\pi)^2}

5. 예제

부분분수는 다양한 계산에서 등장하는 기법으로, 잘 익혀두면 유용하다.


  • '''예제 1'''


주어진 유리식 \frac{x+3}{x^2-3x-40}은 분모가 (x-8)(x+5)로 인수분해되므로, 부분 분수로 분해할 수 있다. 고등학교 수학 시험에 자주 나오는 공식은 다음과 같다.

:\frac{1}{A \cdot B} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right)

이 공식을 이용하면 \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}와 같이 간단히 분해할 수 있다. 다음 공식도 활용 가능하다.

:\frac{1}{A \cdot B \cdot C} = \frac{1}{C-A}\left(\frac{1}{A \cdot B} - \frac{1}{B \cdot C} \right)

다른 예로, \frac{3x + 5}{(1-2x)^2}와 f(x)=\frac{1}{x^2+2x-3}도 부분분수로 분해할 수 있다.

  • '''예제 2'''


분모에 더 이상 인수분해되지 않는 다항식이 있어도 부분분수로 분해되는 경우가 있다. 예를 들어 \frac{10x^2+12x+20}{x^3-8}과 같은 식이 있다.

다른 예로, f(x)=\frac{x^3+16}{x^3-4x^2+8x}는 나눗셈을 통해 부분분수로 분해할 수 있다. 이 분수는 복소수를 사용하여 완전히 분해할 수도 있다.

  • '''예제 3'''


다음 예제는 컴퓨터 대수 시스템을 사용하지 않고 부분 분수 분해에 필요한 거의 모든 방법을 보여준다.

f(x)=\frac{x^9-2x^6+2x^5-7x^4+13x^3-11x^2+12x-4}{x^7-3x^6+5x^5-7x^4+7x^3-5x^2+3x-1}

다항식 나눗셈과 분모의 인수분해를 수행한 후, 부분 분수 분해를 할 수 있다. 또는, 다항식 항등식에서 x = 1, \imath에서 일부 도함수를 계산하여 계수에 대한 다른 선형 종속성을 얻을 수도 있다.

  • '''예제 4 (잔차 방법)'''


Residue method영어

f(x)가 복소수에서 유리수 진분수이면, 로랑 급수의 유일성에 따라, 레지듀를 이용하여 부분 분수로 분해할 수 있다.

  • '''예제 5 (극한 방법)'''


극한은 부분 분수 분해를 찾는 데 사용될 수 있다.[4]

  • '''예제 6 (적분)'''


부분분수 변형을 통해 다음과 같은 함수를 쉽게 적분할 수 있다.

:\int \frac{2}{x^2 - 1} dx

부분 분수로 변형하면 다음과 같다.

:\int \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} dx = \ln |x - 1| - \ln |x + 1| + C

여기서 C는 적분상수이다.

5. 1. 예제 1

주어진 유리식 \frac{x+3}{x^2-3x-40}을 살펴보면, 분모가 (x-8)(x+5)로 인수분해된다. 따라서 다음과 같이 부분 분수로 분해할 수 있다.

:{x+3 \over x^2-3x-40}={x+3 \over (x-8)(x+5)}={A \over x-8}+{B \over x+5}

여기서 A, B는 미정계수로, 항등식의 성질을 이용하여 값을 구할 수 있다. 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 비교하거나(계수비교법), 적당한 상수를 대입하여 수치를 비교하는(수치대입법) 방법을 사용하면 된다. 이 예제에서는 A = 11/13, B = 2/13임을 알 수 있다.

고등학교 수학 시험에 자주 나오는 공식으로 다음과 같은 형태가 있다.

:\frac{1}{A \cdot B} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right)

이 공식을 이용하면 좌변의 분수를 우변처럼 부분 분수로 쉽게 분해할 수 있다. 예를 들어, B - A가 단순한 경우, 다음과 같이 분해된다.

:\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}

위 식은 다음과 같은 과정을 거쳐 유도할 수 있다.

:{1 \over (x+1)(x+2)} = {a \over x+1} - {b \over x+2}={a (x+2)\over (x+1)(x+2)} - {b (x+1)\over (x+2)(x+1)}={a (x+2)- {b (x+1)}\over (x+1)(x+2)}

:\therefore {1 \over \cancel{(x+1)(x+2)}} ={a (x+2)- { b(x+1)}\over \cancel{(x+1)(x+2)}}

:\therefore {1} ={ a(x+2)- b(x+1)}

:{1} =ax+2a- bx-b

:{1} =(a-b)x+(2a-b)

우변의 x항에 대한 좌변의 x항은 없으므로 x항의 계수는 0, 상수항은 1이다.

두 식 (a-b)= 0 , (2a-b)=1 을 연립하여 풀면, a= 1 , b= 1 를 얻는다.

따라서,

: \therefore {1 \over (x+1)(x+2)} = {1 \over x+1} - {1 \over x+2}

비슷하게, 다음 공식을 활용할 수도 있다.

:\frac{1}{A \cdot B \cdot C} = \frac{1}{C-A}\left(\frac{1}{A \cdot B} - \frac{1}{B \cdot C} \right)

다른 예시로, \frac{3x + 5}{(1-2x)^2}는 다음과 같이 분해할 수 있다.

:\frac{3x + 5}{(1-2x)^2} = \frac{A}{(1-2x)^2} + \frac{B}{(1-2x)}.

분모를 제거하면 3x + 5 = A + B(1 − 2x)이다. 이를 전개하고 x의 거듭제곱의 계수를 비교하면,

:5 = A + B 이고 3x = −2Bx 이다.

이 연립 방정식을 풀면 A = 13/2이고 B = −3/2를 얻는다. 따라서,

:\frac{3x + 5}{(1-2x)^2} = \frac{13/2}{(1-2x)^2} + \frac{-3/2}{(1-2x)}.

마지막 예시로, f(x)=\frac{1}{x^2+2x-3}의 경우, 분모는 q(x)=x^2+2x-3=(x+3)(x-1)로 인수분해된다.

따라서 부분 분수 분해는 다음과 같다.

:f(x)=\frac{1}{x^2+2x-3} =\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-1}

좌변의 분모를 곱하면 다음의 다항식 항등식을 얻는다.

:1=A(x-1)+B(x+3)

이 방정식에 x = −3을 대입하면 A = −1/4가 되고, x = 1을 대입하면 B = 1/4가 되므로 다음과 같다.

:f(x) =\frac{1}{x^2+2x-3} =\frac{1}{4}\left(\frac{-1}{x+3}+\frac{1}{x-1}\right)

5. 2. 예제 2

분모에 더 이상 인수분해되지 않는 다항식이 있을 때도 부분분수로 분해되는 경우가 있다. 예를 들어

:\frac{10x^2+12x+20}{x^3-8}

와 같은 식이 있다. 이 경우 인수분해 공식에 의해 분모가 x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)와 같이 분해됨을 즉시 파악할 수 있다. 그리하여,

:{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={10x^2+12x+20 \over (x-2)(x^2+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^2+2x+4}

위와 같이 변형된다. 여기서 A, B, C도 마찬가지로 미정계수이며, 다양한 방법으로 값을 구할 수 있다. 계산해보면 차례로 7, 3, 4가 나오므로,

:{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^2+2x+4}

위와 같은 등식이 성립하게 된다.

다른 예시로,

:f(x)=\frac{x^3+16}{x^3-4x^2+8x}

를 나눗셈하면,

:f(x)=1+\frac{4x^2-8x+16}{x^3-4x^2+8x}=1+\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}

를 얻는다.

인수 ''x''2 − 4''x'' + 8은 판별식이 음수이므로 실수 범위 내에서 기약 다항식이다. 따라서 실수 범위 내에서의 부분 분수 분해는 다음과 같은 형태를 갖는다.

:\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-4x+8}

양변에 ''x''3 − 4''x''2 + 8''x''를 곱하면, 다음과 같은 다항식 항등식을 얻는다.

:4x^2-8x+16 = A \left(x^2-4x+8\right) + \left(Bx+C\right)x

''x'' = 0을 대입하면 16 = 8''A''이므로 ''A'' = 2이다. ''x''2 계수를 비교하면 4 = ''A'' + ''B'' = 2 + ''B''이므로 ''B'' = 2이다. 1차 계수를 비교하면 −8 = −4''A'' + ''C'' = −8 + ''C''이므로 ''C'' = 0이다. 따라서,

:f(x)=1+2\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{x^2-4x+8}\right)

이다.

이 분수는 복소수를 사용하여 완전히 분해될 수 있다. 대수학의 기본 정리에 따르면 차수 ''n''의 모든 복소수 다항식은 ''n''개의 (복소수) 근을 가지며 (일부는 중복될 수 있음), 다음과 같이 분해될 수 있다.

:\frac{x}{x^2-4x+8}=\frac{D}{x-(2+2i)}+\frac{E}{x-(2-2i)}

양변에 분모를 곱하면 다음과 같다.

:x=D(x-(2-2i))+E(x-(2+2i))

이 방정식의 양변에 대한 ''x''의 계수와 상수(''x''에 관하여) 계수를 동일하게 하면 ''D''와 ''E''에 대한 두 개의 선형 방정식 시스템을 얻으며, 해는 다음과 같다.

:D=\frac{1+i}{2i}=\frac{1-i}{2}, \qquad E=\frac{1-i}{-2i}=\frac{1+i}{2}.

따라서 우리는 완전한 분해를 얻는다.

:f(x)=\frac{x^3+16}{x^3-4x^2+8x}=1+\frac{2}{x}+\frac{1-i}{x-(2+2i)}+\frac{1+i}{x-(2-2i)}

5. 3. 예제 3

이 예제는 컴퓨터 대수 시스템을 사용하지 않고 우리가 사용해야 할 거의 모든 "트릭"을 보여준다.

f(x)=\frac{x^9-2x^6+2x^5-7x^4+13x^3-11x^2+12x-4}{x^7-3x^6+5x^5-7x^4+7x^3-5x^2+3x-1}

다항식 나눗셈과 분모의 인수분해를 수행한 후, 다음을 얻는다.

f(x)=x^2+3x+4+\frac{2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x}{(x-1)^3(x^2+1)^2}

부분 분수 분해는 다음과 같은 형태를 취한다.

\frac{2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x}{(x-1)^3(x^2+1)^2} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}+\frac{Dx+E}{x^2+1}+\frac{Fx+G}{(x^2+1)^2}.

좌변의 분모를 곱하면 다음 다항식 항등식을 얻는다.

\begin{align}

&2x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 3x^3 + x^2 + 3x \\[4pt]

={}&A\left(x-1\right)^2 \left(x^2+1\right)^2+B\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)^2 +C\left(x^2+1\right)^2 + \left(Dx+E\right)\left(x-1\right)^3\left(x^2+1\right)+\left(Fx+G\right)\left(x-1\right)^3

\end{align}

이제 서로 다른 ''x'' 값을 사용하여 계수를 계산한다.

\begin{cases} 4 = 4C & x =1 \\ 2 + 2i = (Fi + G) (2+ 2i) & x = i \\ 0 = A- B +C - E - G & x = 0 \end{cases}

이것을 풀면 다음을 얻는다.

\begin{cases} C = 1 \\ F =0, G =1 \\ E = A-B\end{cases}

이러한 값을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

\begin{align}

&2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x \\[4pt]

={}& A\left(x-1\right)^2 \left(x^2+1\right)^2 + B\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)^2 + \left(x^2 + 1\right)^2 + \left(Dx + \left(A-B\right)\right)\left(x-1\right)^3 \left(x^2+1\right) + \left(x-1\right)^3 \\[4pt]

={}& \left(A + D\right) x^6 + \left(-A - 3D\right) x^5 + \left(2B + 4D + 1\right) x^4 + \left(-2B - 4D + 1\right) x^3 + \left(-A + 2B + 3D - 1\right) x^2 + \left(A - 2B - D + 3\right) x

\end{align}

양쪽의 ''x''6과 ''x''5의 계수를 비교하면 다음과 같다.

\begin{cases} A+D=2 \\ -A-3D = -4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad A= D = 1.

따라서:

2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x = 2x^6 -4x^5 + (2B + 5) x^4 + (-2B - 3) x^3 + (2B +1) x^2 + (- 2B + 3) x

''B'' = 0이 된다. 따라서 부분 분수 분해는 다음과 같다.

f(x)=x^2+3x+4+\frac{1}{(x-1)} + \frac{1}{(x - 1)^3} + \frac{x + 1}{x^2+1}+\frac{1}{(x^2+1)^2}.

또는 확장하는 대신 위의 다항식 항등식에서 x = 1, \imath에서 일부 도함수를 계산하여 계수에 대한 다른 선형 종속성을 얻을 수 있다. (이를 위해, ''x'' − ''a'')''m''''p''(''x'')의 ''x'' = ''a''에서의 도함수가 ''m'' > 1일 경우 사라지고, ''m'' = 1일 경우 단순히 ''p''(''a'')임을 기억한다.) 예를 들어, ''x'' = 1에서의 첫 번째 도함수는 다음을 제공한다.

2\cdot6-4\cdot5+5\cdot4-3\cdot3+2+3 = A\cdot(0+0) + B\cdot( 4+ 0) + 8 + D\cdot0

즉, 8 = 4''B'' + 8이므로 ''B'' = 0이다.

5. 4. 예제 4 (잔차 방법)

Residue method영어

복소수에서, f(x)가 유리수 진분수이고 다음과 같이 분해될 수 있다고 가정한다.

:f(x) = \sum_i \left( \frac{a_{i1}}{x - x_i} + \frac{a_{i2}}{( x - x_i)^2} + \cdots + \frac{a_{i k_i}}{(x - x_i)^{k_i}} \right).

다음과 같이 정의한다.

: g_{ij}(x) = (x - x_i)^{j-1}f(x),

그러면 로랑 급수의 유일성에 따라, a_{ij}는 점 x_i에 대한 g_{ij}(x)의 로랑 전개에서 (x - x_i)^{-1} 항의 계수, 즉 레지듀이다.

:a_{ij} = \operatorname{Res}(g_{ij},x_i).

이것은 다음 공식으로 직접 주어진다.

:a_{ij} = \frac 1 {(k_i-j)!}\lim_{x\to x_i}\frac{d^{k_i-j}}{dx^{k_i-j}} \left((x-x_i)^{k_i} f(x)\right),

또는 x_i가 단순 근일 때,

:a_{i1}=\frac{P(x_i)}{Q'(x_i)},

여기서

:f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}.

예를 들어

: f(z)=\frac{z^{2}-5}{(z^2-1)(z^2+1)}=\frac{z^{2}-5}{(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)}

따라서, f(z)는 분모가 z+1, z-1, z+i, z-i인 유리 함수로 분해될 수 있다. 각 항은 1차이므로 -1, 1, -i 및 i는 단순 극점이다.

따라서, 각 극점과 관련된 잔차는 다음과 같다.

:\frac{P(z_i)}{Q'(z_i)} = \frac{z_i^2 - 5}{4z_i^3},

각각

: 1, -1, \tfrac{3i}{2}, -\tfrac{3i}{2},

이며,

: f(z)=\frac{1}{z+1}-\frac{1}{z-1}+\frac{3i}{2}\frac{1}{z+i}-\frac{3i}{2}\frac{1}{z-i}.

5. 5. 예제 5 (극한 방법)

극한은 부분 분수 분해를 찾는 데 사용될 수 있다.[4] 다음 예제를 살펴보자.

: \frac{1}{x^3 - 1}

먼저 분모를 인수분해하여 분해를 결정한다.

: \frac{1}{x^3 - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + x + 1}.

모든 식에 x-1을 곱하고, x \to 1일 때의 극한을 취하면,

:\lim_{x \to 1} \left((x-1)\left ( \frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^2 + x + 1} \right )\right) = \lim_{x \to 1} A + \lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(Bx + C)}{x^2 + x + 1} =A.

한편,

:\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \lim_{x \to 1}\frac{1}{x^2 + x + 1} = \frac13,

따라서:

:A = \frac{1}{3}.

x를 곱하고 x \to \infty일 때의 극한을 취하면,

:\lim_{x \to \infty} x\left( \frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^2 + x + 1} \right )= \lim_{x \to \infty} \frac{Ax}{x-1} + \lim_{x \to \infty} \frac{Bx^2+Cx}{x^2+x+1}= A+B,

그리고

:\lim_{x \to \infty} \frac{x}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} =0.

이는 A + B = 0을 의미하므로 B = -\frac{1}{3}이다.

x = 0에 대해, -1 = -A + C,를 얻고, 따라서 C = -\tfrac{2}{3}이다.

모두 합하면, 분해는 다음과 같다.

:\frac{1}{x^3 -1} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x - 1} + \frac{-x -2}{x^2 + x + 1} \right ).

5. 6. 예제 6 (적분)

다음과 같은 함수는 직접 적분하기 어렵다.

:\int \frac{2}{x^2 - 1} dx

그러나 다음과 같이 부분 분수로 변형하여 쉽게 적분할 수 있다.

:\int \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} dx = \ln |x - 1| - \ln |x + 1| + C

여기서 C는 적분상수이다.

다음과 같은 부정 적분을 예로 들어보자.

\int \frac{x^4+x^3+x^2+1}{x^2+x-2} \,dx

분해를 수행하기 전에, 다항식의 긴 나눗셈을 수행하고 분모를 인수분해해야 한다. 이를 수행하면 다음과 같은 결과가 나온다.

\int \left(x^2 + 3 + \frac{-3x+7}{(x+2)(x-1)}\right) dx

이제 부분 분수 분해를 수행할 수 있다.

\int \left(x^2+3+ \frac{-3x+7}{(x+2)(x-1)}\right) dx = \int \left(x^2+3+ \frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x-1)}\right) dx

따라서:

A(x-1)+B(x+2)=-3x+7.

이 경우, B를 구하기 위해 x=1, A를 구하기 위해 x=-2를 대입하면 다음과 같은 결과가 나온다.

A=\frac{-13}{3} \ , B=\frac{4}{3}

이 모든 것을 적분에 다시 대입하면 답을 구할 수 있다.

\int \left(x^2+3+ \frac{-13/3}{(x+2)}+\frac{4/3}{(x-1)}\right) \,dx = \frac{x^3}{3} \ + 3x-\frac{13}{3} \ln(|x+2|)+\frac{4}{3} \ln(|x-1|)+C

참조

[1] 서적 Algebra & Trigonometry https://books.google[...] Cengage Learning 2016
[2] 논문 Algorithms for partial fraction decomposition and rational function integration https://ftp.cs.wisc.[...] ACM 1971
[3] 서적 The Growth of Mathematical Knowledge Kluwer Academic Publilshers 2000
[4] 서적 Problem Book for First Year Calculus Springer-Verlag
[5] 서적 Differential Equations and Their Applications Springer-Verlag


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