블랙-리터만 모형

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1. 개요
2. 역사적 배경
3. 블랙-리터만 모델의 작동 원리
4. 최적 포트폴리오 구성
참조

1. 개요

블랙-리터만 모형은 현대 포트폴리오 이론의 기대 수익률 추정의 어려움을 해결하기 위해 개발된 자산 배분 모형이다. 시장 균형 상태에서의 자산 배분을 초기 기대 수익률로 가정하고, 투자자의 견해와 확신 정도를 반영하여 기대 수익률을 조정한 후 최적의 자산 배분을 계산한다. 이 모형은 시장 균형 기대수익률을 초기값으로 사용하며, 자본자산 가격결정 모형(CAPM) 등을 활용하여 추정할 수 있다. 블랙-리터만 모형은 베이즈 통계 기법을 활용하여 투자자의 사전적 기대 수익률에 대한 신념과 관측된 시장 데이터를 결합하며, 수식을 통해 사후적 기대 수익률을 도출한다.

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블랙-리터만 모형
모형 정보
유형	자산 배분 모형
개발자	피셔 블랙 로버트 리터만
발표 연도	1990년
활용
주요 목적	투자자의 주관적인 견해를 시장 균형에 통합 자산 배분 최적화
입력 변수	시장 자본화 자산 수익률의 공분산 행렬 투자자의 견해
출력 변수	최적의 자산 가중치 수정된 자산 수익률 예측
특징
장점	다양한 투자 견해 통합 가능 직관적인 모형 구조
단점	입력 변수 추정의 어려움 민감도 분석 필요

2. 역사적 배경

현대 포트폴리오 이론(해리 마코위츠의 평균-분산 접근법)은 자산의 기대 수익률과 공분산을 알면 효율적인 포트폴리오를 구성할 수 있는 이론적 토대를 제공한다. 그러나 이 이론은 몇몇 자산의 공분산은 적절하게 추정할 수 있지만, 기대 수익률에 대한 합리적인 추정치를 도출하기 어렵다는 현실적인 문제에 직면했다.^[2]

블랙-리터만 모형은 사용자가 기대 수익률 추정치를 직접 입력하지 않아도 되도록 함으로써 이 문제를 해결했다. 대신, 초기 기대 수익률은 균형 자산 배분이 시장에서 관찰되는 것과 같도록 요구되는 것이라고 가정한다. 사용자는 자신의 기대 수익률 가정이 시장과 어떻게 다른지, 그리고 그 가정에 대해 얼마나 확신하는지를 제시하면 된다. 이를 바탕으로 블랙-리터만 모형은 평균-분산 효율적인 자산 배분을 계산한다.^[2]

공매도가 허용되지 않는 경우와 같이 포트폴리오 제약 조건이 있는 경우, 최적의 포트폴리오를 찾는 가장 쉬운 방법은 블랙-리터만 모형을 사용하여 자산의 기대 수익률을 생성한 다음, 평균-분산 최적화를 사용하여 제약 최적화 문제를 해결하는 것이다.^[2]

3. 블랙-리터만 모델의 작동 원리

블랙-리터만 모형은 베이즈 정리를 기반으로 작동하며, 시장 균형 기대수익률과 투자자의 견해를 결합하여 새로운 기대수익률을 도출한다.

현대 포트폴리오 이론에 따르면, 투자자는 여러 자산군에 걸쳐 자신의 포트폴리오를 어떻게 배분할지 결정해야 한다. 이때, 각 자산의 기대 수익률과 공분산을 알면 최적의 자산 배분을 계산할 수 있다. 그러나 현실에서는 자산의 공분산은 비교적 정확하게 추정할 수 있지만, 기대 수익률을 합리적으로 추정하기는 어렵다.

블랙-리터만 모형은 이러한 문제를 해결하기 위해, 투자자가 직접 기대 수익률을 입력하는 대신 시장 균형 상태에서의 기대 수익률을 초기값으로 사용한다. 즉, 시장에서 관찰되는 자산 배분이 균형 상태를 반영한다고 가정한다. 이후 투자자는 자신의 견해가 시장과 어떻게 다른지, 그리고 그 견해에 대한 확신 정도를 제시한다. 이를 바탕으로 블랙-리터만 모형은 투자자의 견해를 반영한 새로운 기대수익률을 계산한다.^[2]

3. 1. 시장 균형 기대수익률

블랙-리터만 모형은 현대 포트폴리오 이론에서 기대 수익률 추정의 어려움을 해결하기 위해 개발되었다. 이 모형은 사용자가 직접 기대 수익률을 입력하는 대신, 시장 균형 상태에서의 기대 수익률을 초기값으로 사용한다. 즉, 시장에서 관찰되는 자산 배분이 균형 상태를 반영한다고 가정한다.^[2]

사용자는 자신의 기대 수익률이 시장 균형과 어떻게 다른지, 그리고 그 차이에 대한 확신 정도를 제시한다. 이를 바탕으로 블랙-리터만 모형은 평균-분산 효율적인 자산 배분을 계산한다.^[2]

공매도 제약과 같이 포트폴리오 구성에 제약이 있는 경우, 블랙-리터만 모형을 통해 생성된 기대 수익률을 사용하여 제약 조건이 있는 최적화 문제를 해결할 수 있다.

3. 2. 투자자의 견해 반영

블랙-리터만 모형은 투자자가 자신의 견해를 반영하여 자산별 기대수익률을 조정할 수 있도록 한다. 예를 들어, 대한민국 주식 시장의 성장 가능성이 높다고 판단하는 투자자는 한국 주식의 기대수익률을 높게 설정할 수 있다.

투자자의 견해는 절대적 또는 상대적 방식으로 표현할 수 있다.

절대적 견해: "한국 주식의 기대수익률은 10%이다."와 같이 특정 자산의 기대수익률을 직접적으로 명시하는 방식이다.
상대적 견해: "한국 주식의 기대수익률은 미국 주식보다 2% 높다."와 같이 다른 자산과의 비교를 통해 표현하는 방식이다.

또한, 투자자는 자신이 설정한 각 견해에 대해 확신도(confidence level)를 함께 설정할 수 있다. 확신도가 높을수록 해당 견해가 최종적인 기대수익률에 더 큰 영향을 미치게 된다.

3. 3. 사후 기대수익률 도출

블랙-리터만 모형은 투자자가 기대 수익률 추정치를 직접 입력하는 대신, 시장 균형 상태에서의 기대 수익률을 초기값으로 활용한다. 투자자는 자신의 견해가 시장과 얼마나 다른지, 그리고 그 견해에 대한 확신 정도를 제시한다. 이를 바탕으로 블랙-리터만 모형은 투자자의 견해를 반영한 사후 기대수익률을 도출한다. 이 값은 현대 포트폴리오 이론의 평균-분산 최적화에 사용되어, 공매도 제약 등과 같은 조건에서도 최적의 포트폴리오를 구성할 수 있게 한다.^[2]

3. 4. 수식 표현

블랙-리터만 모형은 베이즈 통계 기법을 활용하여 투자자의 사전 신념과 시장 데이터를 결합한다. Satchell and Scowcroft|(2000)^영어를 참고하여 블랙-리터만 모형의 수식 표현을 설명한다.

시장에

n

개의 자산이 존재한다고 가정하면, 이러한 자산의 기대 수익률

\mu

는 확률 변수로 간주된다. 투자자는 기대 수익률에 대한 사전 신념을 가지는데, 이는

k

개의 변수

X

로 표현된다.

:

X = P\mu \sim N(q, \Omega)

여기서

P

는

k

행

n

열의 행렬,

q

는

k

차원 벡터,

\Omega

는

k

차원 대각 행렬이다. 예를 들어,

P

를 시가총액 가중 평균 포트폴리오를 가로로 나열한 1행 n열의 행렬이라고 하면,

X = P\mu

는 시가총액 가중 평균 주가 지수의 기대 수익률이 되고, 이는 평균

q

, 분산

\Omega

인 정규 분포를 따른다고 해석할 수 있다.

관측된 기대 수익률

\Pi

가 주어졌을 때, 투자자는 이를 바탕으로 사후 기대 수익률

\mu

의 분포를 계산한다. 베이즈 정리에 따라,

:

f(\mu \;| \;\Pi) \propto f(\Pi \;| \;\mu) f(\mu) = f(\Pi \;| \;\mu) f(X)

가 성립한다. 여기서

f

는 밀도 함수를 나타낸다. 계산 결과, 사후 기대 수익률

\mu

는 평균

\mu_{BL}

, 분산

\Sigma_{BL}

인 정규 분포를 따른다.

:

\mu_{BL} = \Big((\tau\Sigma)^{-1} + P^\prime \Omega^{-1}P\Big)^{-1}\Big((\tau\Sigma)^{-1}\Pi + P^\prime\Omega^{-1}q\Big),

:

\Sigma_{BL} = \Sigma+\Big((\tau\Sigma)^{-1} + P^\prime \Omega^{-1}P\Big)^{-1}

투자자는 이

\mu_{BL}

값을 현대 포트폴리오 이론의 평균 분산 분석에 사용하여 포트폴리오를 선택한다.

관측된 기대 수익률

\Pi

는 CAPM을 가정하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

\Pi = \delta \Sigma w_{\mathrm m}

여기서

\delta

는 시장 포트폴리오의 위험 프리미엄을 분산으로 나눈 값,

w_{\mathrm m}

는 각 자산의 시가총액을 시장 전체 시가총액으로 나눈 시장 포트폴리오 벡터이다.

투자자 신념의 정확성을 나타내는 매개변수

\tau,\Omega

값은 투자자가 직접 선택한다.^[2]

4. 최적 포트폴리오 구성

블랙-리터만 모형을 통해 생성된 자산의 기대 수익률은 평균-분산 최적화를 사용하여 제약 최적화 문제를 해결하는 데 사용된다.^[2] 이는 공매도가 허용되지 않는 경우와 같이 포트폴리오에 제약 조건이 있을 때 유용하다. 예를 들어, 국제적인 연금 기금은 주요 국가나 지역의 국채에 어떻게 자산을 배분해야 하는지 결정해야 하는데, 이때 블랙-리터만 모형을 활용하여 최적의 포트폴리오를 구성할 수 있다.

참조

_[1] 웹사이트 Black Litterman Model https://www.wallstre[...] 2022-09-14
_[2] PDF http://www.cis.upenn[...] 2024-08

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