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비트 벡터

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목차

1. 개요

비트 벡터는 가환환 R에 대한 수열의 집합 Rℤ+ 위에 정의된 환 구조로, 비트 다항식을 사용하여 자기 함수 WR을 환 준동형으로 만든다. 비트 벡터 환은 가환환의 범주 위의 자기 함자이며, 비트 다항식, 비트 벡터, 유령 성분, p-비트 벡터 등 다양한 개념과 연관되어 있다. 비트 벡터 환은 아르틴-슈라이어 이론을 일반화하고, p진 정수와 같은 수학적 구조를 설명하는 데 사용된다. 또한, 보편적 성질을 가지며, 가환 단일 멱 대수군과 환 스킴 연구에도 활용된다.

2. 정의

가환환 R이 주어졌을 때, R 계수의 비트 벡터 환은 비트 다항식을 이용하여 정의할 수 있다. 비트 다항식은 다음과 같이 정의되는 다항식열이다.

:W_n(x_1,\dots,x_n)=\sum_{d\mid n}dx_d^{n/d}\in\mathbb Z[x_1,x_2,\dots,x_n]\qquad\forall n\in\mathbb Z^+

비트 벡터 환과 p-비트 벡터에 대한 자세한 내용은 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

2. 1. 비트 다항식

소수 p를 고정한다. 가환환 R에 대한 (소수 p에 상대적인) 비트 벡터 (X_0, X_1, X_2, \ldots)에 대해, 비트 다항식 W_i는 다음과 같이 정의된다.[5]

  • W_0=X_0
  • W_1=X_0^p+pX_1
  • W_2=X_0^{p^2}+pX_1^p+p^2X_2


일반적으로

: W_n=\sum_{i=0}^np^iX_i^{p^{n-i}}.

W_n은 비트 벡터 (X_0,X_1,X_2,\ldots)의 유령 성분이라고 불리며, X^{(n)}으로 표시된다.

2. 2. 비트 벡터 환

가환환 R이 주어졌을 때, R 속의 열의 집합 R^{\mathbb Z^+} 위에 다음과 같은 자기 함수를 정의할 수 있다.

:W_{n,R}\colon R^{\mathbb Z^+}\to R^{\mathbb Z^+}

:W_R\colon(r_1,r_2,\dots)\mapsto\left(W_1(r_1),W_2(r_1,r_2),W_3(r_1,r_2,r_3),\dots\right)

여기서 W_n(x_1,\dots,x_n)=\sum_{d\mid n}dx_d^{n/d}\in\mathbb Z[x_1,x_2,\dots,x_n]\qquad\forall n\in\mathbb Z^+는 비트 다항식이다.

다음 두 조건을 만족시키는 다항식들

:p^{(i)}\in\mathbb Z[x_1,\dots,y_1,y_2,\dots]\qquad\forall i\in\mathbb Z^+

:s^{(i)}\in\mathbb Z[x_1,\dots,y_1,y_2,\dots]\qquad\forall i\in\mathbb Z^+

이 유일하게 존재한다.

  • R^{\mathbb Z^+}은 \vec w+\vec w'=(s^{(1)}(\vec w,\vec w'),s^{(2)}(\vec w,\vec w'),\dots) 및 (\vec w)(\vec w')=(p^{(1)}(\vec w,\vec w'),p^{(2)}(\vec w,\vec w'),\dots)를 정의하였을 때, 환을 이룬다. 이 환을 \operatorname{WittVector}(R)이라고 하자.
  • W\colon\operatorname{WittVector}(R)\to R^{\mathbb Z^+}는 환 준동형을 이룬다. 여기서 정의역은 위에서 정의한 환 구조이며, 공역 R^{\mathbb Z^+}은 가환환 R의 가산 무한 개 직접곱이다.


이 가환환을 '''R 계수의 비트 벡터 환'''(ring of Witt vectors with coefficients in R영어)이라고 한다.

비트 벡터 환은 가환환의 범주 위의 자기 함자를 이룬다.

:\operatorname{WittVector}\colon\operatorname{CRing}\to\operatorname{CRing}

2. 3. ''p''-비트 벡터

소수 ${\displaystyle p}$에 대하여, ${\displaystyle S=\{1,p,p^{2},p^{3},\dots \}}$인 경우를 '''${\displaystyle R}$ 계수의 ${\displaystyle p}$-비트 벡터 환'''()이라고 한다.

${\displaystyle p}$-비트 벡터의 연산은 구체적으로 다음과 같이 주어진다.[5]

  • ${\displaystyle {\vec {r}}+{\vec {s}}=\left(r_{0}+s_{0},r_{1}+s_{1}+(r_{0}^{p}+s_{0}^{p}-(r_{0}+s_{0})^{p})/p,\dots \right)}$
  • ${\displaystyle {\vec {r}}{\vec {s}}=\left(r_{0}s_{0},r_{0}^{p}s_{1}+s_{1}r_{0}^{p}+pr_{1}s_{1},\dots \right)}$


이는 실제 공식에 대한 지름길로 이해해야 한다. 예를 들어 환 ${\displaystyle R}$의 표수가 ${\displaystyle p}$인 경우, 위의 첫 번째 공식에서 ${\displaystyle p}$로 나누는 것이나, 다음 성분에 나타나는 ${\displaystyle p^{2}}$으로 나누는 것은 의미가 없다. 그러나 합의 ${\displaystyle p}$-승을 전개하면, ${\displaystyle X_{0}^{p}+Y_{0}^{p}}$ 항은 이전 항과 상쇄되고 나머지 항은 ${\displaystyle p}$로 간소화되어 ${\displaystyle p}$로 나누는 것이 문제가 되지 않으며, 공식은 의미가 있게 된다. 동일한 고려 사항이 후속 성분에도 적용된다.

3. 성질

S-비트 벡터 환 위의 표준적 환 준동형

: WS: WittVectorS(R) → RS

및 유일한 환 준동형

: ι: Z → R

을 생각하자.



가환환 R 위의 비트 벡터 WittVector(R) = WittVectorZ+(R)는 표준적으로 람다 환의 구조를 갖는다.

4. 예

만약 S = {1}이면, ${\displaystyle \operatorname {WittVector} _{\{1\}}(R)\cong R}$이다.

비트 벡터 링 W(A)에서 항등원은 다음과 같다.

:\underline{1} = (1,0,0,\ldots)

이 원소를 자기 자신에 더하면 자명하지 않은 수열이 생성된다. 예를 들어, W(\mathbb{F}_5)에서

:\underline{1} + \underline{1} = (2,4,\ldots)

인데, 이는 다음과 같다.

:\begin{align}

2 &= 1 + 1\\

4 &= -\frac{32 - 1 - 1}{5} \mod 5 \\

&\cdots

\end{align}

이는 \underline{2}와 같지 않으므로 예상되는 동작이 아니다. 그러나 사상 m:W(\mathbb{F}_5) \to \mathbb{F}_5로 축소하면 m(\omega(1) + \omega(1)) = m(\omega(2))를 얻는다.

원소 x \in A와 원소 a \in W(A)가 있다면

:\underline{x}a = (xa_0,x^pa_1,\ldots,x^{p^n}a_n,\ldots)

이므로 곱셈 역시 매우 자명하지 않은 방식으로 작동한다.


  • p가 가역원인 모든 가환환 R의 비트 환은 단순히 R^\N(R의 가산 개수 복사본의 곱)과 동형이다. 비트 다항식은 항상 비트 벡터 환에서 R^\N으로의 준동형 사상을 제공하며, p가 가역원이라면 이 준동형 사상은 동형 사상이다.

  • 크기가 p^n인 유한체 W(\mathbb{F}_q) \cong \mathcal{O}_K의 비트 환은 p진수 환 K/\mathbb{Q}_p의 차수 n의 고유한 비분기 확장의 정수환이다. K \cong \mathbb{Q}_p(\mu_{q-1}) (\mu_{q-1}는 (q-1)차 단위근)이므로, W(\mathbb{F}_q) \cong \mathbb{Z}_p[\mu_{q-1}]이다.

4. 1. p진 정수

유한체 ${\mathbb{F} }_p$ 위의 p-비트 벡터 환은 p진 정수환 ${\mathbb{Z} }_p$와 동형이다.

p진 정수환 ${\mathbb{Z} }_p$의 '''타이히뮐러 대표원'''의 집합은 0 및 ${\mathbb{Z} }_p$ 속의 1의 p제곱근 가운데 1이 아닌 것들로 구성된다. 이들은 헨젤 보조정리에 의하여 항상 존재한다. 몫환 사영 사상

:f\colon\mathbb Z_p\to\mathbb Z_p/(p)\cong\mathbb F_p

아래

:f|_{\{0\}\cup\{x\in\mathbb Z_p\colon x^p=x\ne1\}}\colon\{0\}\cup\{x\in\mathbb Z_p\colon x^p=x\ne1\}\to\mathbb F_p

는 전단사 함수를 이루며, 따라서 타이히뮐러 대표원들의 집합은 유한체 ${\mathbb{F} }_p$로 여길 수 있다. 타이히뮐러 대표원들을 사용하여, 모든 p진 정수는 다음과 같은 형식적 멱급수로 나타낼 수 있다.

:a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots\qquad(a_i\in\{0\}\cup\{x\in\mathbb Z_p\colon x^p=x\ne1\}\forall i\in\mathbb N)

그렇다면, p진 정수의 합과 곱은 비트 벡터의 합과 곱으로 주어진다.

모든 p진 정수는 거듭제곱 급수 a_0 + a_1 p^1 + a_2 p^2 + \cdots로 표현될 수 있으며, 여기서 a_i는 일반적으로 정수 구간 [0,p-1]=\{0, 1, 2, \ldots, p-1\}에서 가져온다. 이 표현을 사용하여 덧셈과 곱셈에 대한 대수적 표현을 제공하는 것은 어렵다. 왜냐하면 숫자 간의 올림 문제가 발생하기 때문이다. 그러나 대표 계수 a_i\in [0,p-1]을 선택하는 것은 많은 선택 사항 중 하나일 뿐이며, 쿠르트 헨젤은 장에서 단위를 대표자로 제안했다. 따라서 이러한 대표자는 숫자 0과 (p-1)^{\text{th}}의 거듭제곱근이다. 즉, \Z_p에서 x^p - x = 0의 해이며, a_i=a_i^p이다. 이러한 선택은 잉여 필드가 q=p^f로 확대된 \mathbb{F}_q로 확장된 \Z_p의 링 확장으로 자연스럽게 확장된다.

크기가 p인 유한체 W(\mathbb{F}_p) \cong \mathbb{Z}_p의 비트 환은 테히뮐러 표현식으로 작성된 p진 정수 환이다.

5. 역사

에른스트 비트는 1936년에 아르틴-슈라이어-비트 이론(표수 ${\displaystyle p>0}$의 체 위의 ${\displaystyle p^{n}}$차 순환 확대의 이론)을 전개하기 위하여 비트 다항식과 비트 벡터를 도입하였다.[10]

19세기 에른스트 에두아르트 쿠머는 페르마의 마지막 정리에 대한 연구의 일환으로 순환 확대를 연구했으며, 이는 현재 쿠머 이론으로 알려진 분야로 이어졌다. 쿠머 이론은 ${\displaystyle k}$를 원시 ${\displaystyle n}$차 단위근을 포함하는 체라고 할 때, ${\displaystyle k}$의 차수 ${\displaystyle n}$ 순환 체 확대 ${\displaystyle K}$를 분류한다. 그러나 ${\displaystyle k}$가 표수 ${\displaystyle p}$를 갖는 경우, 쿠머 이론은 차수가 표수로 나누어지는 확대에는 적용될 수 없다.

표수가 차수를 나누는 경우는 아르틴-슈라이어 이론으로 설명된다. 아르틴과 슈라이어는 아르틴-슈라이어 정리를 통해, 표수 ${\displaystyle p}$인 체 ${\displaystyle k}$의 차수 ${\displaystyle p}$ 확장이 '아르틴-슈라이어 다항식'의 분해체와 같다는 것을 증명했다. 아브라함 아드리안 알버트는 이 아이디어를 확장하여 차수 ${\displaystyle p^{n}}$ 확대를 설명했다.[3]

비트는 이 다항식들을 활용하여, 차수 ${\displaystyle p^{n}}$ 체 확대와 순환 대수의 구성을 통일하였다. 그는 현재 ${\displaystyle W_{n}(k)}$로 표기되는 ${\displaystyle n}$차 절단 ${\displaystyle p}$-전형적인 비트 벡터의 환을 도입하고, 아르틴-슈라이어 다항식의 차수 ${\displaystyle p^{n}}$ 아날로그를 다음과 같이 제시했다.

: ${\displaystyle F(x)-x-a,}$

여기서 ${\displaystyle a\in W_{n}(k)}$이다. ${\displaystyle \wp }$를 연산자 ${\displaystyle x\mapsto F(x)-x}$로 정의하면, ${\displaystyle k}$의 차수 ${\displaystyle p^{n}}$ 확장은 차수 ${\displaystyle p^{n}}$인 순환 부분군 ${\displaystyle \Delta \subseteq W_{n}(k)/\wp (W_{n}(k))}$와 전단사 관계에 있으며, 여기서 ${\displaystyle \Delta }$는 체 ${\displaystyle k(\wp ^{-1}(\Delta ))}$에 해당한다.

6. 생성 함수

비트(Witt)는 생성 함수를 사용하여 비트 벡터에 대한 또 다른 접근 방식을 제시했다.[6] X를 비트 벡터라 하고 다음을 정의한다.

:f_X(t)=\prod_{n\ge 1}(1-X_n t^n)=\sum_{n\ge 0}A_n t^n

로그 미분을 취하면 고스트 성분(ghost components)을 얻을 수 있다.

:\begin{align}


  • t\frac{d}{dt}\log f_X(t)&= -t\frac{d}{dt} \sum_{n\ge 1} \log(1-X_n t^n) \\

&=\sum_{m\ge 1}\sum_{d|m}dX_{d}^{m/d}t^m \\

&=\sum_{m\ge 1}X^{(m)}t^m

\end{align}

Z=X+Y일 경우, f_{Z}(t)=f_X(t) f_Y(t)이므로, 덧셈은 다항식으로 표현될 수 있다.

W=XY로 설정하면,

:-t\frac{d}{dt}\log f_W(t)=-\sum_{m\ge 1}X^{(m)}Y^{(m)}t^m.

:\sum_{m\ge 1}X^{(m)}Y^{(m)}t^m=\sum_{m\ge 1}\sum_{d|m}d X_d^{m/d}\sum_{e|m}e Y_e^{m/e}t^m.

따라서 곱셈 또한 다항식으로 표현될 수 있다.

7. 환 스킴

가환환 R을 R 위의 비트 벡터 환으로 보내는 사상(고정된 소수 p에 대해)은 가환환에서 가환환으로 가는 함자이며, 표현 가능하므로, Spec(Z) 위의 비트 스킴이라고 하는 환 스킴으로 생각할 수 있다. 비트 스킴은 대칭 함수환의 스펙트럼과 표준적으로 동일시될 수 있다.[1]

마찬가지로, 잘린 비트 벡터 환과 보편 비트 벡터 환은 각각 잘린 비트 스킴과 보편 비트 스킴이라고 하는 환 스킴에 해당한다.[1]

더욱이, 가환환 R을 집합 Rn으로 보내는 함자는 아핀 공간 AnZ에 의해 표현되며, Rn 위의 환 구조는 AnZ을 On으로 표기되는 환 스킴으로 만든다. 잘린 비트 벡터의 구성에서, 이에 연관된 환 스킴 Wn은 비트 다항식에 의해 주어진 사상 Wn→ On이 환 스킴의 사상이 되도록 하는 유일한 환 구조를 갖춘 스킴 AnZ임을 알 수 있다.[1]

8. 가환 단일 멱 대수군

표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위에서, 모든 단일 멱 아벨 연결 대수적 군은 덧셈군 G_a의 복사본의 곱과 동형이다. 표수 p인 체에서는 절단된 비트 군 스킴이 반례가 된다. (곱셈을 잊고 단순히 덧셈 구조를 사용하여 그것들을 대수적 군으로 만든다.) 그러나 이것들은 본질적으로 유일한 반례이다. 표수 p의 대수적으로 닫힌 체 위에서, 모든 단일 멱 아벨 연결 대수적 군은 절단된 비트 군 스킴의 곱과 동종이다.

9. 보편적 성질

앙드레 조얄은 ''p''-전형적인 비트 벡터의 보편적 성질을 설명했다.[7] 비트 벡터의 형성은 특성 ''p'' 환을 프로베니우스 자기 사상의 리프트를 포함하여 특성 0으로 변형하는 보편적인 방법이다.[8]

이를 위해, '''\delta-환''' (R, \delta)을 가환 환 R과 집합의 사상 \delta: R \to R로 정의한다. 여기서 \delta는 ''p''-미분이며, 다음 관계를 만족한다.


  • \delta(0) = \delta(1) = 0;
  • \delta(x y) = x^p \delta(y) + y^p \delta(x) + p \delta(x) \delta(y);
  • \delta(x + y) = \delta(x) + \delta(y) + \frac{x^p+y^p-(x+y)^p}{p}.


\delta-환 (R, \delta)이 주어졌을 때, 사상 \phi: R \to R을 공식 \phi(x) = x^p + p \delta(x)로 정의하면, \phi는 R/p 상의 프로베니우스를 리프팅하는 환 준동형사상이다. 만약 R이 ''p''-비틀림이 없는 경우, 이 공식은 프로베니우스 리프트로부터 R 상의 \delta-환 구조를 유일하게 정의한다. 따라서 \delta-환 개념은 ''p''-비틀림이 없는 경우에 프로베니우스 리프트를 대체하는 적절한 개념으로 간주할 수 있다.

\delta-환의 모음과 \delta-구조를 존중하는 환 준동형사상은 범주 \mathrm{CRing}_{\delta}로 만들어진다. 망각 함자 U: \mathrm{CRing}_{\delta} \to \mathrm{CRing}가 있으며, 이의 오른쪽 수반은 비트 벡터의 함자 W와 동일하다. 함자 U는 극한과 쌍대극한을 생성하며, 자유 함자의 한 유형으로 명시적으로 설명 가능한 왼쪽 수반을 허용한다. \mathrm{CRing}_{\delta}가 \mathrm{CRing}으로부터 국소적 표현 가능성을 상속받아 수반 함자 정리에 따라 함자 W를 구성할 수 있다.

W는 특성 ''p''의 완전 환의 충실충만 함자로 제한된다. 그러면 그 본질적 이미지는 완벽하고 기저 환이 ''p''-진적으로 완전한 \delta-환으로 구성된다.[9]

참조

[1] 웹사이트 Notes on Witt Vectors: a motivated approach http://www.claymath.[...] 1999
[2] 서적 Über eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper 1924
[3] 간행물 Cyclic fields of degree p^n over F of characteristic p 1934
[4] 간행물 Zyklische algebraische Funktionenkörper vom Grad ''pn'' ''über endlichen Konstantenkörper der Charakteristik'' ''p'' 1936
[5] 논문 Complexe de de Rham-Witt et cohomologie cristalline http://www.numdam.or[...] 1979
[6] 서적 Algebra https://archive.org/[...] Springer 2005-09-19
[7] 논문 δ-anneaux et vecteurs de Witt 1985
[8] 웹사이트 Is there a universal property for Witt vectors? https://mathoverflow[...] 2022-09-06
[9] 웹사이트 Lecture II: Delta rings https://www.math.ias[...] 2018-10-08
[10] 저널 Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad pn. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik pn http://www.digizeits[...] 1936


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