사사키 다양체

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1. 개요

사사키 다양체는 리만 뿔이 켈러 다양체인 접촉 리만 다양체이다. 사사키 다양체는 1960년 사사키 시게오에 의해 정의되었으며, 끈 이론의 발달과 함께 물리학 및 대수 기하학에서 중요성이 부각되었다. 사사키-아인슈타인 다양체와 3-사사키 다양체는 사사키 다양체의 특수한 경우이며, 다양한 예시가 존재한다.

2. 정의

사사키 다양체는 특정 조건을 만족하는 접촉 다양체의 일종이다. 리만 다양체 $(M,g)$ 에 접촉 구조 $\theta$ 가 주어졌다고 하자. 이 다양체 $(M,g,\theta)$ 의 리만 뿔(Riemannian cone^eng)이라는 특정 기하학적 구조를 생각할 수 있다. 만약 이 리만 뿔이 켈러 다양체의 성질을 가지면, 원래의 다양체 $M$ 을 '''사사키 다양체'''라고 부른다.

리만 뿔은 대략적으로 원래 다양체 $M$ 과 양의 반직선 $\mathbb{R}^{>0}$ (또는 실수 전체 $\mathbb{R}$ )의 곱 공간 $M \times \mathbb{R}^{>0}$ 에 특별한 계량 텐서를 부여한 것이다. 리만 뿔이 켈러 다양체가 된다는 것은, 이 뿔 공간 위에 정의된 특정 2차 미분형식이 켈러 형식이 되고, 이것이 뿔의 계량 텐서와 잘 호환된다는 것을 의미한다. 사사키 다양체의 구체적인 정의와 관련된 리만 뿔 및 켈러 구조에 대한 자세한 내용은 하위 섹션에서 다룬다.

2. 1. 리만 뿔

리만 다양체

(M,g)

가 주어졌다고 하자. 이 다양체

M

의 '''리만 뿔'''(Riemannian cone^영어)은 위상 공간

M\times {\R}^{>0}

에 다음과 같은 "뿔 계량"(cone metric^영어)이라는 계량 텐서를 부여한 리만 다양체이다.

:

\hat g = t^2 g + dt^2

여기서

t

는 양의 실수 값을 가지는 반직선

{\R}^{>0}

의 좌표를 나타낸다. 이 정의는 마치 다양체

M

의 각 점 위에 양의 반직선을 세우고, 그 위에서의 거리를

t

와 원래 다양체의 거리

g

를 이용해 정의하는 것과 유사하다.

다른 정의 방식으로는 리만 뿔

(\hat M,\hat g)

을 위상수학적으로

M\times\mathbb R

로 보고, 계량 텐서를 다음과 같이 정의하기도 한다.

:

\hat g=\exp(2t)(g+dt^2)

여기서

t

는 실수 전체(

\mathbb R

)의 좌표이다.

t' = \exp(t)

로 치환하면 두 정의가 변수 변환을 통해 연결됨을 알 수 있다.

리만 뿔의 개념은 사사키 다양체를 정의하는 데 사용된다. 구체적으로, 접촉 구조를 가진 리만 다양체의 리만 뿔이 특정 조건을 만족하여 켈러 다양체가 될 때, 원래의 다양체를 사사키 다양체라고 부른다.

2. 2. 접촉 구조

(M,g)

가 리만 다양체라고 하자.

M

의 '''리만 뿔'''(Riemannian cone^영어)은 위상수학적으로

M\times \mathbb{R}^{>0}

(또는

M \times \mathbb{R}

)이고, 다음과 같은 계량 텐서를 갖춘 리만 다양체이다.

:

\hat g = t^2 g + dt^2

여기서

t

는

\mathbb{R}^{>0}

(양의 실수) 좌표를 나타낸다. (때로는

t

대신

e^t

를 사용하여

\hat g = \exp(2t)(g+dt^2)

형태로 표현하기도 한다.)

(M,g,\theta)

가 접촉 구조

\theta

(1-형식)를 갖춘 리만 다양체라고 하자.

M

의 리만 뿔 위에는 다음과 같은 2차 미분형식을 정의할 수 있다.

:

d(t^2\theta) = t^2 d\theta + 2t dt \wedge \theta

이 2-형식이 심플렉틱 형식일 때,

M

은 접촉 다양체이다.

만약 이 리만 뿔

(M\times \mathbb{R}^{>0}, \hat g)

이 켈러 다양체이고, 위에서 정의한 2-형식

t^2 d\theta + 2t dt \wedge \theta

가 해당 켈러 구조의 켈러 형식이 된다면, 원래의 다양체

M

을 '''사사키 다양체'''라고 부른다. 즉, 접촉 구조를 가진 리만 다양체의 리만 뿔이 켈러 다양체가 될 때, 그 다양체를 사사키 다양체라고 정의한다.

3. 관련 개념

사사키 다양체의 리만 뿔(Riemannian cone)이 어떤 성질을 가지는지에 따라 다음과 같은 중요한 하위 개념들이 정의된다.

'''사사키-아인슈타인 다양체'''(Sasaki–Einstein manifold^영어): 리만 뿔이 칼라비-야우 다양체를 이루는 사사키 다양체이다.^[2]
'''3-사사키 다양체'''(3-Sasakian manifold^영어): 리만 뿔이 초켈러 다양체를 이루는 사사키 다양체이다.^[3]

3. 1. 사사키-아인슈타인 다양체

'''사사키-아인슈타인 다양체'''(Sasaki–Einstein manifold^영어)는 그 리만 뿔(Riemannian cone)이 칼라비-야우 다양체를 이루는 사사키 다양체이다.^[2] 사사키 다양체

M

의 리만 뿔이 켈러 다양체이고 추가적으로 리치 평탄일 경우,

M

을 사사키-아인슈타인 다양체라고 부른다.

리만 뿔이 초켈러 다양체를 이루는 사사키 다양체는 '''3-사사키 다양체'''(3-Sasakian manifold^영어)라고 한다.^[3] 모든 3-사사키 다양체는 사사키-아인슈타인 다양체이자 아인슈타인 다양체이며, 스핀 구조를 갖춘 스핀 다양체이다.

만약 ''M''이 양의 스칼라 곡률을 갖는 켈러-아인슈타인 다양체라면, 고바야시 쇼시치의 관찰에 따라 정칙 선다발 위의 원 다발 ''S''는 사사키-아인슈타인 계량을 가지며, ''S''에서 ''M''으로의 사영을 리만 잠김(Riemannian submersion)으로 만든다. 예를 들어, 3차부터 8차까지의 델 페초 곡면에 대응하는 적절한 원 다발에는 사사키-아인슈타인 계량이 존재한다. 이러한 리만 잠김 구조는 모든 사사키-아인슈타인 다양체의 국소적인 형태를 정확히 설명하지만, 이 다양체들의 전체적인 구조는 더 복잡할 수 있다. 예를 들어, 켈러-아인슈타인 성질을 만족하는 오비폴드 ''M''에서 시작하여 더 일반적으로 사사키-아인슈타인 다양체를 구성할 수도 있다. 이러한 방법을 사용하여 보이어(Boyer), 갈리키(Galicki), 그리고 콜라르 야노스는 위상 동형 유형이 무한히 많은 사사키-아인슈타인 5차원 다양체를 구성했다. 이와 동일한 구성 방법은 5차원 구에 대한 아인슈타인 계량의 모듈라이 공간이 적어도 수백 개의 연결 성분을 가지고 있음을 보여준다.

3. 2. 3-사사키 다양체

'''3-사사키 다양체'''(3-Sasakian manifold^영어)는 그 리만 뿔이 초켈러 다양체를 이루는 사사키 다양체이다.^[3] 모든 3-사사키 다양체는 사사키-아인슈타인 다양체이며, 스핀 구조를 갖춘다.

4. 리브 벡터장

사사키 다양체의 원뿔 위에 정의된 호모세틱 벡터장은 다음과 같이 표현된다.

: $t\partial/\partial t.$

원뿔은 정의상 켈러 다양체이므로, 복소 구조 ''J''가 존재한다. 사사키 다양체의 ''리브 벡터장''은 이 복소 구조와 호모세틱 벡터장을 이용하여 다음과 같이 정의된다.

: $\xi =-J(t\partial/\partial t).$

이 리브 벡터장은 벡터장의 크기가 0이 되는 지점이 없다. 또한, 원뿔 위의 모든 정칙 킬링 벡터장과 가환하며, 특히 사사키 다양체의 모든 등거리 변환과도 가환한다. 만약 리브 벡터장의 궤도가 닫혀 있다면, 그 궤도들의 공간은 켈러 오비폴드가 된다. 단위 반지름을 가지는 사사키 다양체에서 리브 벡터장은 단위 벡터장이며, 다양체가 매입된 공간에 접한다.

5. 예시

사사키 다양체의 구체적인 예시는 다음과 같다.

코니폴드는 실수 차원으로 6차원인 칼라비-야우 다양체인데, 이는 5차원 사사키-아인슈타인 다양체 ''T''^1,1의 리만 뿔(Riemannian cone)로 나타낼 수 있다. 이 ''T''^1,1은 위상수학적으로 ''S''²×''S''³과 같으며, SU(2)×SU(2)×U(1) 등거리변환군을 가진다.
2004년에는 ''Y''^''p'',''q''라는 사사키-아인슈타인 다양체들이 발견되었다.^[4]^[2] 여기서 ''p''와 ''q''는 서로소인 양의 정수이다. 이들은 위상수학적으로 ''S''²×''S''³과 같으며, SU(2)×U(1)×U(1) 등거리변환군을 가진다.
2005년에는 ''L''^{''p'',''q'',''r''₁,…,''r''_n−1}이라는 (2''n''+1)차원 사사키-아인슈타인 다양체들이 발견되었다.^[2]^[5]^[6] 5차원의 경우, 이들은 위상수학적으로 ''S''²×''S''³과 같으며, U(1)×U(1)×U(1) 등거리변환군을 가진다.

이 외에도 구, 유클리드 공간, 사영 공간 등을 이용하여 사사키 다양체의 예시를 구성할 수 있다.

5. 1. 구 (Sphere)

S^{2n-1}

구는 자연스러운 켈러 다양체 구조를 가지는

{\R}^{2n}={\C}^{n}

공간의 부분 다양체로 생각할 수 있다. 이는 사사키 다양체의 한 예시가 된다.

이 포함 관계

S^{2n-1}\hookrightarrow {\R}^{2n}={\C}^{n}

에서 우변인

{\R}^{2n}={\C}^{n}

은 자연스러운 켈러 다양체이다. 기하학적으로 이는 구 위에 원뿔 구조를 부여한 것으로 해석할 수 있다 (주어진 내장 메트릭 사용).

S^{2n-1}

위의 접촉 1-형식은 구의 각 점에서의 단위 법선 벡터

\vec{N}

과

{\C}^n

의 복소 구조

i

를 이용하여 구성할 수 있다. 구체적으로, 법선 벡터에 복소 구조를 작용한

i\vec{N}

는 구의 접벡터가 되며, 이 벡터와 관련된 형식이 바로 접촉 1-형식이다.

5. 2. 유클리드 공간

유클리드 공간

{\R}^{2n+1}

은 특정한 접촉 형식과 리만 메트릭을 부여하여 사사키 다양체의 비콤팩트 예시로 만들 수 있다. 좌표

(\vec{x},\vec{y},z)

를 갖춘

{\R}^{2n+1}

공간에 다음과 같은 접촉 형식

\theta

와 리만 메트릭

g

를 부여한다.

\theta=\frac12 dz+\sum_i y_i\,dx_i

g=\sum_i (dx_i)^2+(dy_i)^2+\theta^2.

5. 3. 사영 공간

사사키 다양체의 예시로 실수 사영 공간을 들 수 있다.

{\mathbb P}^{2n-1}{\mathbb R}\hookrightarrow {\C}^{n}/{\Z}_2

여기서 우변

{\C}^{n}/{\Z}_2

는 자연스러운 켈러 구조를 가지며, 군

{\Z}_2

는 원점에 대한 반사(antipodal map)로 작용한다.

다른 예시들은 다음과 같다.

(2n-1)차원 구 $S^{2n-1}$ 는 다음과 같이 ${\C}^{n}$ 에 포함될 수 있다.

S^{2n-1}\hookrightarrow {\R}^{2n}={\C}^{n}

여기서 우변

{\C}^{n}

은 자연스러운 켈러 다양체이며, 구 위의 원뿔 구조(cone structure)로 볼 수 있다.

S^{2n-1}

위의 접촉 1-형식은 구에 대한 단위 법선 벡터

\vec{N}

으로부터 구성된 접선 벡터

i\vec{N}

와 관련된 형식이다. 여기서

i

는

{\C}^n

의 복소 구조이다.

좌표 $(\vec{x},\vec{y},z)$ 를 갖는 공간도 예시가 될 수 있다. 이 공간은 다음과 같은 접촉 형식 $\theta$ 와 리만 메트릭 $g$ 를 가진다.

\theta=\frac12 dz+\sum_i y_i\,dx_i

g=\sum_i (dx_i)^2+(dy_i)^2+\theta^2.

5. 4. 코니폴드

코니폴드는 실수 차원으로 6차원인 칼라비-야우 다양체의 한 종류이다. 이는 5차원 사사키-아인슈타인 다양체인 ''T''^1,1의 리만 뿔(conifold)로 표현될 수 있다. 이 ''T''^1,1 다양체는 위상수학적으로 ''S''²×''S''³과 같으며, SU(2)×SU(2)×U(1) 등거리변환군을 가진다. 코니폴드는 끈 이론에서 중요한 예시로 다루어진다.

5. 5. ''Y''^''p'',''q'' 다양체

2004년에 ''Y''^''p'',''q''라는 사사키-아인슈타인 다양체들이 발견되었다.^[4]^[2] 여기서 ''p''와 ''q''는 서로소인 양의 정수이다. 이 다양체들은 위상수학적으로 ''S''²×''S''³과 같으며, SU(2)×U(1)×U(1) 등거리변환군을 가진다.

5. 6. ''L''^{''p'',''q'',''r''₁,…,''r''_n−1} 다양체

2005년에는 ''L''^{''p'',''q'',''r''₁,…,''r''_n−1}이라는 (2''n''+1)차원 사사키-아인슈타인 다양체들이 발견되었다.^[2]^[5]^[6] 5차원의 경우, 이들은 위상수학적으로 ''S''²×''S''³이고, U(1)×U(1)×U(1) 등거리변환군을 가진다.

6. 역사

사사키 다양체는 1960년 일본의 기하학자 사사키 시게오佐々木重夫^일본어가 처음으로 정의하였다.^[7]^[8]^[9]^[1] 1970년대 중반 이후에는 끈 이론이 등장하기 전까지 이 분야에 대한 연구 활동이 상대적으로 적었다. 이후 끈 이론의 발전과 함께, 찰스 P. 보이어Charles P. Boyer^영어와 Krzysztof Galicki|크시슈토프 갈리츠키^pl 및 동료 연구자들의 연구를 통해 물리학과 대수 기하학 분야에서 다시 중요하게 다루어지기 시작했다.

6. 1. 사사키 시게오의 정의 (1960)

사사키 다양체는 1960년 일본의 기하학자 사사키 시게오(佐々木重夫^일본어)가 처음으로 정의하였다.^[7]^[8]^[9]^[1]

6. 2. 끈 이론과의 연관성

사사키 다양체는 1960년 일본의 기하학자 사사키 시게오에 의해 처음 소개되었다.^[1] 그러나 1970년대 중반 이후 끈 이론이 등장하기 전까지 이 분야에 대한 연구는 활발하지 않았다. 끈 이론의 발전 이후, 찰스 P. 보이어와 크시슈토프 갈리츠키 및 그들의 공동 연구자들의 일련의 논문을 통해 사사키 다양체는 물리학과 대수 기하학 분야에서 중요한 대상으로 주목받기 시작했다.

6. 3. 현대적 연구 동향

1970년대 중반 이후 끈 이론이 등장하기 전까지 사사키 다양체 분야는 상대적으로 활동이 적었다. 그러나 이후 찰스 P. 보이어와 크시슈토프 갈리츠키 및 그들의 공동 연구자들의 일련의 논문을 통해 물리학과 대수 기하학 분야에서 다시 주목받기 시작했다.

사사키 다양체

M

의 리만 원뿔이 켈러 다양체이면서 추가적으로 리치 평탄일 경우,

M

은 사사키-아인슈타인 다양체라고 불린다. 만약 리만 원뿔이 초켈러 다양체라면,

M

은 3-사사키 다양체라고 한다. 모든 3-사사키 다양체는 아인슈타인 다양체이자 스핀 다양체이다.

양의 스칼라 곡률을 가진 켈러-아인슈타인 다양체 ''M''이 주어졌을 때, 고바야시 쇼시치는 정규 선다발 내의 원 다발 ''S''가 사사키-아인슈타인 메트릭을 가지며, ''S''에서 ''M''으로의 사영이 리만 부분 침강을 이룬다는 사실을 관찰했다. 예를 들어, 3번째부터 8번째까지의 델 페초 곡면에 대한 적절한 원 다발에는 사사키-아인슈타인 메트릭이 존재한다. 이러한 리만 부분 침강 구조는 모든 사사키-아인슈타인 다양체의 국소적인 모습을 정확히 설명해주지만, 이들 다양체의 전역적인 구조는 더 복잡할 수 있다.

보다 일반적으로, 켈러-아인슈타인 오비폴드(orbifold) ''M''에서 시작하여 사사키-아인슈타인 다양체를 구성할 수도 있다. 보이어, 갈리키, 그리고 콜라르 야노스는 이러한 관찰을 이용하여 위상적으로 구별되는 무한히 많은 사사키-아인슈타인 5-다양체를 구성했다. 이와 동일한 구성 방법은 5-구에 대한 아인슈타인 메트릭의 모듈 공간이 적어도 수백 개의 연결 성분을 가지고 있음을 보여주는 데 사용되기도 했다.

참조

_[1] 웹사이트 Sasaki biography http://www-groups.dc[...]
_[2] 서적 String Theory and M-Theory: A Modern Introduction https://web.archive.[...] Cambridge University Press 2013-06-29
_[3] 저널 3-Sasakian Manifolds 1999
_[4] 저널 Sasaki-Einstein metrics on ''S''²×''S''³
_[5] 저널 New Einstein–Sasaki spaces in five and higher dimensions 2005
_[6] 저널 New Einstein-Sasaki and Einstein Spaces from Kerr–de Sitter 2009-07
_[7] 저널 On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure I 1960
_[8] 저널 On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure II 1961
_[9] 맥튜터 Shigeo Sasaki

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