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삼각파

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목차

1. 개요

삼각파는 선형적으로 증가했다가 감소하는 형태를 반복하는 비사인파이며, 다양한 수식으로 표현될 수 있다. 주기 p와 진폭 a를 갖는 삼각파는 모듈로 연산, 절대값, 사인 함수, 아크사인 함수, 교대 선형 함수 등을 사용하여 정의할 수 있다. 삼각파는 구형파의 적분으로 표현될 수 있으며, 홀수 고조파의 가산 합성을 통해 근사할 수 있다. 삼각파의 한 주기당 호의 길이는 진폭과 주기에 따라 계산되며, 하드웨어 전자 장치에서 간단하게 구현할 수 있어 응용 분야가 다양하다.

2. 정의

사인파, 사각파, 삼각파, 톱니파


삼각파(三角波, triangle wave)는 이름처럼 삼각형 모양을 가지는 비정현파형 파형이다. 주기적으로 선형적으로 증가했다가 감소하는 형태를 반복하는 것이 특징이다.

삼각파는 수학적으로 다양한 방식으로 정의될 수 있으며, 주로 주기와 진폭을 이용하여 표현한다. 자세한 수학적 정의는 하위 섹션에서 다룬다.

2. 1. 일반적인 정의



주기 ''p''이고 범위가 [0, 1]인 삼각파는 다음과 같이 정의된다.

x(t) = 2 \left| \frac{t}{p} - \left\lfloor \frac{t}{p} + \frac{1}{2} \right\rfloor \right|,

여기서 \lfloor\ \rfloor는 바닥 함수이다. 이는 이동된 톱니파의 절댓값으로 볼 수 있다.

범위가 [-1, 1]인 삼각파의 경우, 수식은 다음과 같다.

x(t)= 2 \left | 2 \left( \frac{t}{p} - \left\lfloor \frac{t}{p} + \frac{1}{2} \right\rfloor \right) \right| - 1.



모듈로 연산과 절댓값을 사용하여 진폭 a 및 주기 p인 삼각파에 대한 보다 일반적인 방정식은 다음과 같다.

y(x) = \frac{4a}{p} \left| \left( \left(x - \frac{p}{4}\right) \bmod p \right) - \frac{p}{2} \right| - a.

예를 들어, 진폭이 5이고 주기가 4인 삼각파의 경우:

y(x) = 5 \left| \bigl( (x - 1) \bmod 4 \bigr) - 2 \right| - 5.

-p/4 항의 값을 변경하여 위상 시프트를 얻을 수 있으며, -a 항의 값을 변경하여 수직 오프셋을 조정할 수 있다.

이는 모듈로 연산과 절댓값만 사용하므로 하드웨어 전자 장치에서 삼각파를 간단하게 구현하는 데 사용할 수 있다.

많은 프로그래밍 언어에서 `%` 연산자는 나머지 연산자 (피제수와 동일한 부호의 결과)이며, 모듈로 연산자가 아님에 유의해야 한다. 모듈로 연산은 `x % p` 대신 `((x % p) + p) % p`를 사용하여 얻을 수 있다. 예를 들어 JavaScript에서는 이러한 방식으로 `4*a/p * Math.abs((((x - p/4) % p) + p) % p - p/2) - a` 형태의 방정식이 된다.

2. 2. 사인 함수와 아크사인 함수를 사용한 표현

주기 ''p''와 진폭 ''a''를 갖는 삼각파는 사인 함수와 아크사인 함수 (값의 범위는 −''π''/2에서 ''π''/2)를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

y(x) = \frac{2a}{\pi} \arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi}{p}x\right)\right).

항등식 \cos{x} = \sin\left(\frac{p}{4}-x\right)을 사용하여 삼각 "사인"파를 삼각 "코사인"파로 변환할 수 있다. 이 위상 변환된 삼각파는 코사인 함수와 아크코사인 함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

y(x) = a - \frac{2a}{\pi} \arccos\left(\cos\left(\frac{2\pi}{p}x\right)\right).

2. 3. 교대 선형 함수를 사용한 표현

주기 ''p''이고 범위가 [0, 1]인 삼각파는 다음과 같이 정의된다.

x(t) = 2 \left| \frac{t}{p} - \left\lfloor \frac{t}{p} + \frac{1}{2} \right\rfloor \right|,

여기서 \lfloor\ \rfloor는 바닥 함수이다. 이는 이동된 톱니파의 절댓값으로 볼 수 있다.

범위가 [-1, 1]인 삼각파의 경우, 수식은 다음과 같다.

x(t)= 2 \left | 2 \left( \frac{t}{p} - \left\lfloor \frac{t}{p} + \frac{1}{2} \right\rfloor \right) \right| - 1.

모듈로 연산과 절댓값을 사용하여 진폭 a 및 주기 p인 삼각파에 대한 보다 일반적인 방정식은 다음과 같다.

y(x) = \frac{4a}{p} \left| \left( \left(x - \frac{p}{4}\right) \bmod p \right) - \frac{p}{2} \right| - a.

예를 들어, 진폭이 5이고 주기가 4인 삼각파의 경우:

y(x) = 5 \left| \bigl( (x - 1) \bmod 4 \bigr) - 2 \right| - 5.

-p/4 항의 값을 변경하여 위상 시프트를 얻을 수 있으며, -a 항의 값을 변경하여 수직 오프셋을 조정할 수 있다.

이는 모듈로 연산과 절댓값만 사용하므로 하드웨어 전자 장치에서 삼각파를 간단하게 구현하는 데 사용할 수 있다.

많은 프로그래밍 언어에서 % 연산자는 나머지 연산자 (피제수와 동일한 부호의 결과)이며, 모듈로 연산자가 아님에 유의해야 한다. 모듈로 연산은 x % p 대신 ((x % p) + p) % p를 사용하여 얻을 수 있다. 예를 들어 JavaScript에서는 이러한 방식으로 4*a/p * Math.abs((((x - p/4) % p) + p) % p - p/2) - a 형태의 방정식이 된다.

삼각파의 또 다른 정의는 -1에서 1까지의 범위를 가지며 주기 ''p''를 갖는 경우 다음과 같다.

x(t) = \frac{4}{p} \left(t - \frac{p}{2} \left\lfloor\frac{2t}{p} + \frac{1}{2} \right\rfloor \right)(-1)^\left\lfloor\frac{2 t}{p} + \frac{1}{2} \right\rfloor.

3. 구형파와의 관계

삼각파는 또한 구형파의 적분으로 표현될 수 있다.

x(t) = \int_0^t \sgn\left(\sin\frac{u}{p}\right)\,du.

4. 고조파 (Harmonics)



삼각파는 기본파의 홀수 고조파만을 더하는 방식으로 근사할 수 있다. 이때 홀수 고조파들은 번갈아 가며 부호를 바꾸거나(위상을 π만큼 변경) 더하며, 각 고조파의 진폭은 해당 고조파 차수(''n'')의 제곱에 반비례하도록 조절한다. 이러한 가산 합성 과정을 통해 삼각파에 가까운 파형을 만들 수 있다.

이를 수학적으로 표현하면 다음과 같다.



x_\text{triangle}(t) = \frac8{\pi^2} \sum_{i=0}^{N - 1} \frac{(-1)^i}{n^2} \sin(2\pi f_0 n t)



여기서 ''N''은 합성에 사용되는 고조파의 개수, ''t''는 시간, f_0는 기본 주파수, ''i''는 0부터 시작하는 정수 인덱스이며, ''n'' = 2''i'' + 1 로 정의되는 홀수 고조파의 차수이다.

애니메이션에서 볼 수 있듯이, 이 무한 푸리에 급수는 더하는 고조파의 수(''N'')가 많아질수록(즉, ''N''이 무한대에 가까워질수록) 실제 삼각파 모양에 빠르게 수렴한다.

5. 호의 길이

삼각파의 한 주기당 호의 길이는 진폭 ''a''와 주기 길이 ''p''에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

s = \sqrt{(4a)^2 + p^2}.


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