슈뢰딩거 묘사

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1. 개요
2. 양자역학 묘사
3. 시간 변화 연산자
4. 해밀토니안과 시간 변화 연산자
- 4.1. 해밀토니안이 시간에 무관한 경우
- 4.2. 해밀토니안이 시간에 의존하는 경우
  - 4.2.1. 서로 다른 시간의 해밀토니안이 교환 가능한 경우
  - 4.2.2. 서로 다른 시간의 해밀토니안이 교환 불가능한 경우
5. 각 묘사에서의 시간 변화 비교
참조

1. 개요

슈뢰딩거 묘사는 양자역학적 시스템의 시간적 진화를 설명하는 방법 중 하나로, 시스템의 상태 벡터가 시간에 따라 변하고 연산자는 시간에 무관하다고 가정한다. 슈뢰딩거 묘사에서는 상태 벡터가 슈뢰딩거 방정식을 만족하며, 해밀토니안 연산자를 통해 시간 변화를 기술한다. 시간 변화 연산자는 시간 전개 연산자로 정의되며, 유니타리성, 항등성, 닫힘 성질을 갖는다. 슈뢰딩거 묘사는 하이젠베르크 묘사, 상호작용 묘사와 함께 양자역학적 시스템을 설명하는 세 가지 주요 묘사 중 하나이다.

2. 양자역학 묘사

양자역학에서 물리계의 시간 변화를 기술하는 방법에는 여러 가지가 있다. 대표적으로 슈뢰딩거 묘사, 하이젠베르크 묘사, 상호작용 묘사가 있다.

시간 ''t''₀에서의 어떤 상태 |''ψ''〉를 생각해 보자. 물리량 ''A''의 시간 ''t'' 에서의 기댓값 〈''A''〉_''t''은 다음과 같이 주어진다.

: $\begin{align}\langle A \rangle_t & = \langle \psi(t) | A | \psi(t) \rangle\\ & = \langle \psi | U^\dagger A U | \psi \rangle\end{align}$

여기서 ''U''는 시간 변화 연산자이다. 이를 표현하기 위해 시간 변화에 대해 연산자와 상태 벡터가 어떻게 변화할지 선택할 수 있는데, 다음과 같다.

상태 벡터가 변하고, 연산자는 시간에 무관한 경우: 슈뢰딩거 묘사
상태 벡터는 시간에 무관하고, 연산자가 변하는 경우: 하이젠베르크 묘사

기초적인 양자역학에서 양자역학적 시스템의 양자 상태는 복소수 값을 갖는 파동 함수 ''ψ''(''x'', ''t'')|ψ(x, t)^영어로 표현된다. 더 추상적으로는, 상태는 상태 벡터 또는 ''켓''

| \psi \rangle

로 표현될 수 있다. 이 켓은 시스템의 모든 가능한 상태를 포함하는 벡터 공간인 힐베르트 공간의 원소이다. 양자역학적 연산자는 켓

| \psi \rangle

를 받아 다른 켓

| \psi' \rangle

을 반환하는 함수이다.

예를 들어, 양자 조화 진동자는 운동량의 기댓값

\langle \psi | \hat{p} | \psi \rangle

가 시간에 따라 정현파적으로 진동하는 상태

| \psi \rangle

에 있을 수 있다. 이때 이 정현파 진동이 상태 벡터

| \psi \rangle

, 운동량 연산자

\hat{p}

, 또는 둘 모두에 반영될 수 있는데, 이 세 가지 선택 모두 유효하며, 각각 슈뢰딩거 묘사, 하이젠베르크 묘사, 상호작용 묘사에 해당한다.

2. 1. 슈뢰딩거 묘사

시간 ''t''₀에서의 어떤 상태 |''ψ''〉를 생각해 보자. 물리량 ''A''의 시간 ''t'' 에서의 기댓값 〈''A''〉_''t''은 다음과 같이 주어진다.

:

\begin{align}\langle A \rangle_t & =  \langle \psi(t) | A | \psi(t) \rangle\\ & =  \langle \psi | U^\dagger A U | \psi \rangle\end{align}

여기서 ''U''는 시간 변화 연산자이다. 이를 표현하기 위해 시간 변화에 대해 연산자와 상태 벡터가 어떻게 변화할지 선택할 수 있는데, 상태 벡터가 변하고 연산자는 시간에 무관한 경우를 '''슈뢰딩거 묘사'''라고 한다.

슈뢰딩거 묘사에서는 연산자 ''A''는 시간 ''t''에 무관하지만 상태 벡터 |''ψ;''〉는 시간에 따라 변하며 아래의 슈뢰딩거 방정식을 만족한다.

:

i\hbar\frac{\partial{}|\psi\rangle}{\partial{}t}=\hat{H}|\psi\rangle

해밀토니안 연산자

\hat{H}

는 고전적 해밀토니안에 해당하는 연산자로, 후자를 양자화하여 얻는다.

|\psi\rangle

는 폴 디랙의 브라-켓 표기를 사용해 나타낸, 슈뢰딩거 묘사에서의 힐베르트 공간의 상태 벡터이다. 이를 파동 함수

\psi

로 나타낼 수 있다.

기초적인 양자역학에서 양자역학적 시스템의 양자 상태는 복소수 값을 갖는 파동 함수로 표현된다. 더 추상적으로는, 상태는 상태 벡터 또는 ''켓''

| \psi \rangle

로 표현될 수 있다. 이 켓은 시스템의 모든 가능한 상태를 포함하는 벡터 공간인 힐베르트 공간의 원소이다. 양자역학적 연산자는 켓

| \psi \rangle

를 받아 다른 켓

| \psi' \rangle

을 반환하는 함수이다.

양자 조화 진동자는 운동량의 기댓값

\langle \psi | \hat{p} | \psi \rangle

가 시간에 따라 정현파적으로 진동하는 상태

| \psi \rangle

에 있을 수 있다. 이때 이 정현파 진동이 상태 벡터

| \psi \rangle

에 반영되는 것이 슈뢰딩거 묘사이다.

시간 전개는 슈뢰딩거 묘사로 할 때, 연산자 형식에서는 일반적으로 "상태

|\psi\rangle

는 다음의 슈뢰딩거 방정식을 따르도록 시간 전개한다"는 것을 기본 원리로 한다.

:

i\hbar\frac{\partial{}}{\partial{}t}|\psi(t)\rangle=\hat{H}|\psi(t)\rangle

여기서,

\hat{H}

는 계의 총 역학적 에너지를 나타내는 "해밀토니안 (해밀턴 연산자)"라는 에르미트 연산자이며, 대응하는 고전계의 해밀토니안을 정준 양자화함으로써 얻는 경우가 많다.

2. 2. 하이젠베르크 묘사

하이젠베르크 묘사는 상태 벡터는 시간에 대해 불변이고 연산자가 시간에 따라 변하는 묘사이다. 슈뢰딩거 묘사와 달리, 연산자의 시간 변화를 통해 물리계의 동역학을 기술한다.

시간 ''t''₀에서의 어떤 상태 |''ψ''〉를 생각해 보자. 물리량 ''A''의 시간 ''t'' 에서의 기댓값 〈''A''〉_''t''은 다음과 같이 주어진다.

:

\begin{align}\langle A \rangle_t & =  \langle \psi(t) | A | \psi(t) \rangle\\ & =  \langle \psi | U^\dagger A U | \psi \rangle\end{align}

여기서 ''U''는 시간 변화 연산자이다. 이를 표현하기 위해 시간 변화에 대해 연산자와 상태 벡터가 어떻게 변화할지 다음과 같은 두 가지 방법을 선택할 수 있는데, 이 중에서 상태 벡터는 시간 무관, 연산자가 변하는

:

| \psi \rangle \mapsto | \psi \rangle, \quad \quad A \mapsto U^\dagger AU

를 선택하는 경우 하이젠베르크 묘사가 된다.

예를 들어, 양자 조화 진동자는 운동량의 기댓값

\langle \psi | \hat{p} | \psi \rangle

가 시간에 따라 정현파적으로 진동하는 상태

| \psi \rangle

에 있을 수 있다. 이때 이 정현파 진동이 운동량 연산자

\hat{p}

에 반영되어야 하는지에 대한 질문을 할 수 있는데, 이 선택이 하이젠베르크 묘사에 해당한다.

2. 3. 상호작용 묘사

상태 벡터와 연산자 모두 시간에 따라 변하는 묘사이다. 슈뢰딩거 묘사와 하이젠베르크 묘사의 중간 형태이며, 섭동 이론 등에서 유용하게 사용된다.

시간 ''t''₀에서의 어떤 상태 |''ψ''〉를 생각해 보자. 물리량 ''A''의 시간 ''t'' 에서의 기댓값 〈''A''〉_''t''은 다음과 같이 주어진다.

:

\begin{align}\langle A \rangle_t & =  \langle \psi(t) | A | \psi(t) \rangle\\ & =  \langle \psi | U^\dagger A U | \psi \rangle\end{align}

여기서 ''U''는 시간 변화 연산자이다.

예를 들어, 양자 조화 진동자는 운동량의 기댓값

\langle \psi | \hat{p} | \psi \rangle

가 시간에 따라 정현파적으로 진동하는 상태

| \psi \rangle

에 있을 수 있다. 이때 이 정현파 진동은 상태 벡터

| \psi \rangle

, 운동량 연산자

\hat{p}

, 또는 둘 모두에 반영될 수 있는데, 이 세 가지 선택 모두 유효하다. 첫 번째 선택은 슈뢰딩거 묘사를, 두 번째는 하이젠베르크 묘사를, 세 번째는 상호작용 묘사를 제공한다.

3. 시간 변화 연산자

시간 ''t''₀에서의 어떤 상태 |''ψ''〉를 생각했을 때, 물리량 ''A''의 시간 ''t'' 에서의 기댓값 〈''A''〉_''t''은 다음과 같이 주어진다.

: $\begin{align}\langle A \rangle_t & = \langle \psi(t) | A | \psi(t) \rangle\\ & = \langle \psi | U^\dagger A U | \psi \rangle\end{align}$

여기서 ''U''는 시간 변화 연산자이다. 시간 변화에 대해 연산자와 상태 벡터가 어떻게 변화할지 선택하는 방법에 따라 슈뢰딩거 묘사와 하이젠베르크 묘사로 나뉜다.

상태 벡터가 변하고, 연산자는 시간 무관: $| \psi \rangle \mapsto U | \psi \rangle, \quad \; A \mapsto A$ (슈뢰딩거 묘사)
상태 벡터는 시간 무관, 연산자가 변함: $| \psi \rangle \mapsto | \psi \rangle, \quad \quad A \mapsto U^\dagger AU$ (하이젠베르크 묘사)

시간 전개 연산자 ''U''(''t'', ''t''₀)는 초기 상태를 특정 시간 후의 상태로 변환시키는 연산자이며, 자세한 정의와 성질은 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

만약 해밀토니안이 시간에 의존하지만, 서로 다른 시간에서의 해밀토니안이 교환 가능하다면, 시간 진화 연산자는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

U(t) = \exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_0^t H(t')\, dt'}\right),

해밀토니안이 시간에 의존하지만, 서로 다른 시간에서의 해밀토니안이 교환 불가능하다면, 시간 진화 연산자는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

U(t) = \mathrm{T}\exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_0^t H(t')\, dt'}\right),

여기서 T는 시간 정렬 연산자이며, 이는 때때로 프리먼 다이슨의 이름을 따서 다이슨 급수라고도 알려져 있다.

3. 1. 정의

시간 전개 연산자 ''U''(''t'', ''t''₀)는 시간 ''t''₀에서의 케트에 작용하여 다른 시간 ''t''에서의 케트를 생성하는 연산자로 정의된다. 브라-켓 표기법을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

| \psi(t) \rangle = U(t,t_0) | \psi(t_0) \rangle.

브라의 경우,

:

\langle \psi(t) | = \langle \psi(t_0) |U^{\dagger}(t,t_0).

시간 전개는 슈뢰딩거 묘사로 할 때, 연산자 형식에서는 일반적으로 "상태

|\psi\rangle

는 다음의 슈뢰딩거 방정식을 따르도록 시간 전개한다"는 것을 기본 원리로 한다.

:

i\hbar\frac{\partial{}}{\partial{}t}|\psi(t)\rangle=\hat{H}|\psi(t)\rangle

여기서,

\hat{H}

는 계의 총 역학적 에너지를 나타내는 "해밀토니안 (해밀턴 연산자)"라는 에르미트 연산자이며, 대응하는 고전계의 해밀토니안을 정준 양자화함으로써 얻는 경우가 많다.

시간 발전 연산자

\hat{U}(t,t_0) \

는 다음과 같이 정의된다.

:

| \psi(t) \rangle = \hat{U}(t,t_0) | \psi(t_0) \rangle

이는 상태의 시간 발전에 대한 정보를 모두 담고 있는 연산자이다. 이 연산자를

t_0 \

에서의 상태 벡터에 작용시키면,

t \

에서의 상태 벡터를 얻을 수 있다.

브라에 대해서는 다음과 같다.

:

\langle \psi(t) | = \langle \psi(t_0) |\hat{U}^{\dagger}(t,t_0)

3. 2. 성질

시간 전개 연산자는 다음과 같은 중요한 성질들을 갖는다.

'''유니타리성'''
'''항등성'''
'''닫힘'''

각 성질에 대한 자세한 내용은 하위 섹션을 참고하라.

3. 2. 1. 유니타리성

시간 전개 연산자는 유니타리여야 한다. 이는 상태 벡터의 노름이 시간에 따라 변하지 않아야 함을 의미한다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\langle \psi(t)| \psi(t) \rangle = \langle \psi(t_0)|U^{\dagger}(t,t_0)U(t,t_0)| \psi(t_0) \rangle  = \langle \psi(t_0) | \psi(t_0) \rangle.

따라서, 다음이 성립한다.

:

U^{\dagger}(t,t_0)U(t,t_0)=I.

슈뢰딩거 방정식으로부터 상태 벡터의 노름이 시간에 따라 변하지 않는 것을 알 수 있으므로, 시간 발전 연산자는 유니타리여야 한다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\langle \psi(t)| \psi(t) \rangle = \langle \psi(t_0)|\hat{U}^{\dagger}(t,t_0)\hat{U}(t,t_0)| \psi(t_0) \rangle = \langle \psi(t_0) | \psi(t_0) \rangle

따라서 다음이 성립한다.

:

\hat{U}^{\dagger}(t,t_0)\hat{U}(t,t_0)=\hat{I}

3. 2. 2. 항등성

''t''가 ''t''₀일 때, ''U''는 항등 연산자이며, 다음이 성립한다.

:

| \psi(t_0) \rangle = U(t_0,t_0) | \psi(t_0) \rangle

분명히,

\hat{U}(t_0,t_0) \

는 항등 연산자이다.

:

| \psi(t_0) \rangle = \hat{U}(t_0,t_0) | \psi(t_0) \rangle

따라서

:

\hat{U}(t_0,t_0)=\hat{I}

3. 2. 3. 닫힘

연속적인 시간 변화는 두 시간 변화 연산자의 곱으로 표현 가능하다. 즉, ''t''₀에서 ''t''까지의 시간 전개는 ''t''₀에서 중간 시간 ''t''₁까지, 그 다음 ''t''₁에서 최종 시간 ''t''까지의 두 단계 시간 전개로 볼 수 있다. 따라서 다음이 성립한다.

:

U(t, t_0) = U(t, t_1) U(t_1, t_0).

시간

t_0 \

에서

t \

로의 시간 발전은,

t_0 \

에서 중간 시간

t_1 \

로의 시간 발전과

t_1 \

에서

t \

로의 시간 발전을 합친 것으로 볼 수도 있다. 따라서, 다음 식을 얻는다.

:

\hat{U}(t,t_0) = \hat{U}(t,t_1)\hat{U}(t_1,t_0)

3. 3. 미분 방정식

시간 변화 연산자는 슈뢰딩거 방정식으로부터 유도되는 다음 미분 방정식을 만족시킨다.^[3]

:

i \hbar \frac{\partial}{\partial t} U(t) = H U(t).

여기서 ''H''는 해밀토니안이다.

해밀토니안이 시간에 의존하지 않는 경우, 시간 변화 연산자는 다음과 같은 지수 함수 형태로 표현 가능하다.^[3]

:

U(t) = e^{-iHt / \hbar}.

''H''는 연산자이므로, 이 지수식은 테일러 급수를 통해 계산해야 한다.

:

e^{-iHt / \hbar} = 1 - \frac{iHt}{\hbar} - \frac{1}{2} \left(\frac{Ht}{\hbar}\right)^2 + \cdots .

4. 해밀토니안과 시간 변화 연산자

슈뢰딩거 묘사에서 상태 벡터 $|\psi\rangle$ 는 시간에 따라 변하며 슈뢰딩거 방정식을 만족한다.

: $i\hbar\frac{\partial{}|\psi\rangle}{\partial{}t}=\hat{H}|\psi\rangle$

해밀토니안 연산자 $\hat{H}$ 는 고전적 해밀토니안에 해당하는 연산자로, 후자를 양자화하여 얻는다. $|\psi\rangle$ 는 폴 디랙의 브라-켓 표기를 사용해 나타낸, 슈뢰딩거 묘사에서의 힐베르트 공간의 상태 벡터이다. 이를 파동 함수 $\psi$ 로 나타낼 수 있다.

시간 진화 연산자는 $t_0 = 0$ 이라는 관례를 사용하여 ''t''₀ 지수를 생략하고 ''U''(''t'')로 표기한다. 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = H |\psi(t)\rangle,$

여기서 ''H''는 해밀토니안이다. 시간 진화 연산자 ''U''를 사용하여 $|\psi(t)\rangle = U(t) |\psi(0)\rangle$ 로 나타내면,

$i \hbar {\partial \over \partial t} U(t) | \psi (0) \rangle = H U(t)| \psi (0)\rangle.$

$|\psi(0)\rangle$ 은 상수 케트( $t = 0$ 에서의 상태 케트)이고, 위의 방정식이 힐베르트 공간의 임의의 상수 케트에 대해 성립하므로, 시간 진화 연산자는 다음 방정식을 따라야 한다.

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} U(t) = H U(t).$

시간 전개는 슈뢰딩거 묘사로 할 때, 연산자 형식에서는 일반적으로 "상태 $|\psi\rangle$ 는 슈뢰딩거 방정식을 따르도록 시간 전개한다"는 것을 기본 원리로 한다.

: $i\hbar\frac{\partial{}}{\partial{}t}|\psi(t)\rangle=\hat{H}|\psi(t)\rangle$

여기서, $\hat{H}$ 는 계의 총 역학적 에너지를 나타내는 해밀토니안 (해밀턴 연산자)이라는 에르미트 연산자이며, 대응하는 고전계의 해밀토니안을 정준 양자화함으로써 얻는 경우가 많다.

4. 1. 해밀토니안이 시간에 무관한 경우

해밀토니안이 시간에 무관한 경우, 시간 변화 연산자는 다음과 같이 표현된다.^[3]

:

U(t)=e^{-iHt/\hbar}.

''H''는 연산자이므로, 이 지수식은 테일러 급수를 통해 계산해야 한다.

:

e^{-iHt/\hbar}=1-\frac{iHt}{\hbar}-\frac{1}{2}(\frac{Ht}{\hbar})^2+\cdots.

따라서,

:

|\psi(t)\rangle=e^{-iHt/\hbar}|\psi(0)\rangle.

|\psi(0)\rangle

는 임의의 케트이다. 그러나 초기 케트가 해밀토니안의 고유 상태이고, 고유값이 ''E''라면,

:

|\psi(t)\rangle=e^{-iEt/\hbar}|\psi(0)\rangle.

해밀토니안의 고유 상태는 ''정상 상태''이다. 즉, 시간의 흐름에 따라 전체 위상 인자만 얻는다.

4. 2. 해밀토니안이 시간에 의존하는 경우

해밀토니안이 시간에 의존하는 경우, 시간 진화 연산자 ''U''(''t'')는 다음 방정식을 만족해야 한다.^[3]

:

i \hbar \frac{\partial}{\partial t} U(t) = H(t) U(t).

여기서 ''H''(''t'')는 시간에 따라 변하는 해밀토니안이다. 이 경우, 서로 다른 시간에서의 해밀토니안이 교환 가능한지 여부에 따라 시간 진화 연산자를 다르게 표현할 수 있다.

4. 2. 1. 서로 다른 시간의 해밀토니안이 교환 가능한 경우

해밀토니안이 시간에 의존하지만, 서로 다른 시간에서의 해밀토니안이 교환 가능하다면, 시간 변화 연산자는 다음과 같이 쓸 수 있다.^[3]

:

U(t) = \exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_0^t H(t')\, dt'}\right)

4. 2. 2. 서로 다른 시간의 해밀토니안이 교환 불가능한 경우

해밀토니안이 시간에 의존하지만, 서로 다른 시간에서의 해밀토니안이 교환 불가능하다면, 시간 변화 연산자는 다음과 같이 쓸 수 있다.^[3]

:}}.

여기서 T는 시간 정렬 연산자이며, 이는 때때로 프리먼 다이슨의 이름을 따서 다이슨 급수라고도 알려져 있다.

5. 각 묘사에서의 시간 변화 비교

시간에 무관한 해밀토니안 ''H''_S에 대한 각 묘사에서의 시간 변화 비교
다음의 진화:	슈뢰딩거 (S)	하이젠베르크 (H)	상호작용 (I)
켓 상태	>\psi_{\rm S}(t) \rang = e^{-i H_{\rm S} ~t / \hbar} \| \psi_{\rm S}(0) \rang	상수	>\psi_{\rm I}(t) \rang = e^{i H_{0, \mathrm{S}} ~t / \hbar} \| \psi_{\rm S}(t) \rang
관측 가능량	상수	$A_{\rm H} (t)=e^{i H_{\rm S}~ t / \hbar} A_{\rm S} e^{-i H_{\rm S}~ t / \hbar}$	$A_{\rm I} (t)=e^{i H_{0, \mathrm{S}} ~t / \hbar} A_{\rm S} e^{-i H_{0, \mathrm{S}}~ t / \hbar}$
밀도 행렬	$\rho_{\rm S} (t)= e^{-i H_{ \rm S} ~t / \hbar} \rho_{\rm S}(0) e^{i H_{\rm S}~ t / \hbar}$	상수	$\rho_{\rm I} (t)=e^{i H_{0, \mathrm{S}} ~t / \hbar} \rho_{\rm S} (t) e^{-i H_{0, \mathrm{S}}~ t / \hbar}$

참조

_[1] 서적 McGraw Hill Encyclopaedia of Physics https://archive.org/[...] McGraw Hill
_[2] 서적 Quantum mechanics McGraw Hill
_[3] 문서 At {{nowrap|''t'' {{=}} 0}}, ''U''(''t'') must reduce to the identity operator.

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