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실효값

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목차

1. 개요

실효값(RMS)은 시간에 따라 변하는 전류나 전압의 크기를 나타내는 방법으로, 교류 회로에서 평균 전력을 계산하는 데 사용된다. 실효값은 순시값을 제곱하여 평균한 값의 제곱근으로 정의되며, 시간에 따라 변하는 전압과 전류의 실효값을 사용하여 평균 전력을 계산할 수 있다. 정현파 교류의 경우 실효값은 최댓값을 √2로 나눈 값과 같으며, 교류 전압계 및 전류계는 정현파 교류에서 실효값을 표시한다. 비정현파 교류를 측정할 때는 측정 기기의 종류에 따라 표시되는 값이 다를 수 있으므로 주의해야 한다.

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실효값
개요
정의교류 전압, 전류의 크기를 나타내는 척도
특징전력 계산에 유용
관련 개념평균 전력, 최대 전력, 순시 전력
활용 분야전기 공학, 전자 공학, 오디오 공학
정의 (수학적)
계산 방법파형의 제곱 평균 제곱근을 구함
수식V_{\mathrm{rms}} = \sqrt \int_0^T [v(t)]^2 \, dt}
설명V_{rms}: 실효값
T: 주기
v(t): 시간 t에서의 전압 또는 전류
파형별 실효값
정현파V_{\mathrm{rms}} = {V_{\mathrm{peak}} \over \sqrt{2}} \approx 0.707 V_{\mathrm{peak}}
구형파V_{\mathrm{rms}} = V_{\mathrm{peak}}
삼각파/톱니파V_{\mathrm{rms}} = {V_{\mathrm{peak}} \over \sqrt{3}} \approx 0.577 V_{\mathrm{peak}}
활용
전력 계산P = V_{\mathrm{rms}} I_{\mathrm{rms}} \cos \theta
P: 평균 전력
I_{rms}: 전류의 실효값
θ: 전압과 전류 사이의 위상차
오디오 신호음량 측정 및 비교
주의사항
파형 의존성실효값은 파형에 따라 다른 값을 가짐
직류 성분직류 성분이 포함된 경우, 실효값 계산 시 고려해야 함

2. 정의 및 계산

시간에 따라 변하는 순간 전류 I(t)와 저항 R을 이용해 순간 전력 P(t)를 구하면 다음과 같다.

:P(t) = I^2(t)R

시간에 따른 평균 전력 P_\mathrm{avg}는 다음과 같이 표현 가능하다. (\langle \ldots \rangle는 함수의 평균값)

:\begin{align}

P_\mathrm{avg}

&= \langle P(t) \rangle \\

&= \langle I^2(t)R \rangle \\

&= R \langle I^2(t) \rangle \\

&= \left( I_\mathrm{RMS} \right)^2 R

\end{align}

전류의 실효값(RMS)으로 평균 전력을 계산할 수 있다. 마찬가지로 P_\mathrm{avg} = \left( V_\mathrm{RMS} \right)^2 / R이므로, 다음이 성립한다.

:P_\mathrm{avg} = V_\mathrm{RMS} I_\mathrm{RMS}

즉, 시간에 따라 전압과 전류가 변하는 경우에도 각각의 실효값을 마치 시간 불변의 물리량인 것처럼 적용해서 평균 전력을 구할 수 있다.

삼각함수로 표현된 전류(왼쪽)전류의 제곱값과 제곱값의 평균(오른쪽)


일반적인 주기적 전류 파형 i(t) [A]의 실효값 I_{\mathrm{rms}} [A]는 “순시값 i(t) 을 제곱하여 평균한 값의 제곱근(root mean square)”으로 정의한다. 평균은 1주기에 걸쳐 적분하여 주기 ''T''로 나눈 값이므로, 실효값 I_{\mathrm{rms}} 는 다음과 같다.

: I_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^{T} i(t)^2 dt }

만약 교류인 경우를 가정하여 I(t) = I_p \sin(\omega t)라고 하면, I^2(t)도 주기함수이므로 평균값은 주기 T = 2\pi/\omega만큼의 적분값을 T로 나눈 것이 되므로, 전류의 실효값 I_\mathrm{RMS}는 다음과 같다.

:\begin{align}

I_\mathrm{RMS}

&= \sqrt{ \frac{1}{T} \int_0^T I^2(t) \,dt } \\

&= \sqrt{ \frac{1}{T} \int_0^T I_p^2 \sin^2(\omega t) \,dt } \\

&= I_p \sqrt{ \frac{1}{T} \int_0^T \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} \,dt } \\

&= I_p \sqrt{ \frac{1}{T} \left[ \frac{t}{2} - \frac{\sin(2\omega t)}{4\omega} \right]_0^T } \\

&= I_p \sqrt{ \frac{1}{T} \frac{T}{2}} = \frac{I_p}{\sqrt{2}}

\end{align}

마찬가지로 전압의 실효값을 계산하면 V_\mathrm{RMS} = V_p / \sqrt{2}이 된다.

2. 1. 일반적인 주기 함수

일반적인 주기 함수 i(t) (주기 T)의 실효값 I_{\mathrm{rms}}는 다음과 같이 계산된다.

: I_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^{T} i(t)^2 dt }

이 값은 순시값 i(t) 를 제곱하여 평균한 값의 제곱근(root mean square)으로 정의된다. 평균은 1주기에 걸쳐 적분하여 주기 ''T''로 나눈 값이다.

2. 2. 정현파 교류 (사인파)

정현파 교류의 경우, 실효값은 최댓값(진폭)을 \sqrt{2}로 나눈 값과 같다. 전류의 순시값을 i(t) = I_{\mathrm{m}} \sin \omega t, 전압의 순시값을 v(t) = V_{\mathrm{m}} \sin \omega t라고 할 때, 전력의 순시값 P(t)는 다음과 같이 표현된다.

:P(t) = i(t) v(t) = I_{\mathrm{m}} V_{\mathrm{m}} \sin^2 \omega t = R {I_{\mathrm{m}}}^2 \sin^2 \omega t = \frac{1}{2} R {I_{\mathrm{m}}}^2 (1 - \cos 2 \omega t)

이 P(t)를 1주기에 걸쳐 적분하고 주기로 나누면 평균 전력 P_R을 구할 수 있으며, 이를 통해 실효값과 최댓값의 관계를 다음과 같이 유도할 수 있다.

: P_R = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{1}{2} R {I_{\mathrm{m}}}^2 (1 - \cos 2 \omega t) dt = \frac{R {I_{\mathrm{m}}}^2}{2T}\left[t - \frac{1}{2 \omega}\sin 2 \omega t\right]_0^T = R\left(\frac{I_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{R} \left(\frac{V_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}\right)^2

따라서, 실효값과 최댓값의 관계는 다음과 같다.

:V_{\mathrm{e}} = V_{\mathrm{m}} / \sqrt{2}

:I_{\mathrm{e}} = I_{\mathrm{m}} / \sqrt{2}

마찬가지로 전압의 실효값을 계산하면 V_\mathrm{RMS} = V_p / \sqrt{2}이 된다.

정현파 교류 전압과 전류에 대해 각각 절댓값의 평균을 “정현파 교류의 평균값”이라고 하며, 각각 *V*av [V], *I*av [A]로 표기한다.

: V_{\mathrm{av}} = \frac{2 V_{\mathrm{m}}}{\pi} =\frac{2\sqrt{2} V_{\mathrm{e}}}{\pi}

: I_{\mathrm{av}} = \frac{2 I_{\mathrm{m}}}{\pi} =\frac{2\sqrt{2} I_{\mathrm{e}}}{\pi}

3. 평균값과 실효값의 관계 (정현파 교류)

정현파 교류 전압과 전류에 대해 각각 절댓값의 평균을 “정현파 교류의 평균값”이라고 한다. 전압의 평균값 *V*av [V]는 다음과 같다.

: V_{\mathrm{av}} = \frac{2 V_{\mathrm{m}}}{T}\int_0^{T/2} \sin \omega t dt = \frac{2 V_{\mathrm{m}}}{\omega T}\left[- \cos \omega t\right]_0^{T/2}


  • ωT*/2 = *π*이므로 다음과 같다.


: V_{\mathrm{av}} = \frac{2 V_{\mathrm{m}}}{\pi} =\frac{2\sqrt{2} V_{\mathrm{e}}}{\pi}

전류의 평균값 *I*av [A]는 다음과 같다.

: I_{\mathrm{av}} = \frac{2 I_{\mathrm{m}}}{\pi} =\frac{2\sqrt{2} I_{\mathrm{e}}}{\pi}

실효값/평균값을 파형률이라고 한다.

4. 전력 계산

시간에 따라 변하는 순간 전류 ${\displaystyle I(t)}$와 저항 ${\displaystyle R}$을 이용해 순간 전력 ${\displaystyle P(t)}$를 구할 수 있다.

: ${\displaystyle P(t)=I^{2}(t)R}$

시간에 따른 평균 전력 ${\displaystyle P_{\mathrm {avg} }}$에 대해 다음 등식이 성립한다. (단, ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$는 함수의 평균값.)

: ${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\mathrm {avg} }&=\langle P(t)\rangle \\&=\langle I^{2}(t)R\rangle \\&=R\langle I^{2}(t)\rangle \\&=\left(I_{\mathrm {RMS} }\right)^{2}R\end{aligned}}}$

이로써 전류의 실효값(RMS)으로 평균 전력을 계산할 수 있다는 것을 알 수 있다. 마찬가지로 ${\displaystyle P_{\mathrm {avg} }=\left(V_{\mathrm {RMS} }\right)^{2}/R}$이므로, 다음이 성립한다.

: ${\displaystyle P_{\mathrm {avg} }=V_{\mathrm {RMS} }I_{\mathrm {RMS} }}$

다시 말해, 시간에 따라 전압과 전류가 변하는 경우에도 각각의 실효값을 마치 시간 불변의 물리량인 것처럼 적용해서 평균 전력을 구할 수 있다는 것이다.

만약 교류인 경우를 가정하여 ${\displaystyle I(t)=I_{p}\sin(\omega t)}$라고 하면, ${\displaystyle I^{2}(t)}$도 주기함수이므로 평균값은 주기 ${\displaystyle T=2\pi /\omega }$만큼의 적분값을 T로 나눈 것이 되므로, 전류의 실효값 ${\displaystyle I_{\mathrm {RMS} }}$는 다음과 같다.

: ${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathrm {RMS} }&={\sqrt \int _{0}^{T}I^{2}(t)\,dt}}\\&={\sqrt \int _{0}^{T}I_{p}^{2}\sin ^{2}(\omega t)\,dt}}\\&=I_{p}{\sqrt \int _{0}^{T}{\frac {1-\cos(2\omega t)}{2}}\,dt}}\\&=I_{p}{\sqrt \left[{\frac {t}{2}}-{\frac {\sin(2\omega t)}{4\omega }}\right]_{0}^{T}}}\\&=I_{p}{\sqrt {\frac {T}{2}}}}={\frac {I_{p}}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}}$

마찬가지로 전압의 실효값을 계산하면 ${\displaystyle V_{\mathrm {RMS} }=V_{p}/{\sqrt {2}}}$이 된다.

5. 측정 및 표시

5. 1. 진실효값 (True RMS)

일반적인 주기적 전류 파형 i(t) [A]의 실효값 I_{\mathrm{rms}} [A]는 “순시값 i(t) 을 제곱하여 평균한 값의 제곱근(root mean square)”으로 정의된다. 평균은 1주기에 걸쳐 적분하여 주기 ''T''로 나눈 값이므로, 다음 식 I_{\mathrm{rms}} 가 실효값이 된다.

: I_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^{T} i(t)^2 dt }

교류전압계, 교류전류계는 정현파 교류에서는 실효값을 표시한다. 하지만 엄밀하게는, 평균값의 상수배

: \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} I_{\mathrm{av}} = \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} \frac{1}{T}\int_0^{T} |i(t)| dt

을 표시하는 타입과, 진실효값 I_{\mathrm{rms}} 을 표시하는 타입이 있다. 정현파 교류를 측정하는 경우 이들은 일치하므로 구별할 필요는 없지만, 비정현파 교류를 측정하는 경우 표시된 값이 어떤 의미인지를 구별할 필요가 있다.

아날로그 전압계, 전류계에서는, 정류기형은 평균값 표시, 가동철편형은 진실효값 표시이다. 디지털 전압계, 전류계에서는 「진실효값 표시」가 가능한 기종이 많으며, 특히 명기하는 경우가 많다.

5. 2. 측정 기기

아날로그 전압계와 전류계에서는 정류기형은 평균값 표시를, 가동철편형은 진실효값 표시를 한다. 디지털 전압계와 전류계에서는 '진실효값 표시'가 가능한 기종이 많으며, 특히 명기하는 경우가 많다. 교류전압계 및 교류전류계는 정현파 교류에서 실효값을 표시한다. 하지만 평균값의 상수배를 표시하는 타입과 진실효값을 표시하는 타입이 있다. 정현파 교류 측정 시에는 이들이 일치하므로 구별할 필요가 없지만, 비정현파 교류 측정 시에는 표시된 값이 어떤 의미인지 구별해야 한다.

6. 관련 용어


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