쌍곡공간

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 모형
5. 쌍곡 다양체
- 5.1. 리만 곡면
참조

1. 개요

쌍곡공간은 모든 곳에서 단면 곡률이 -1인 n차원 연결 단일 연결 리만 다양체로 정의되며, 일반적으로 Hⁿ으로 표기한다. 쌍곡공간은 유클리드 공간과 위상동형 및 미분동형이지만 등거리 사상은 존재하지 않는다. 쌍곡공간은 유클리드 기하학과 달리 평행선 공준이 성립하지 않으며, 주어진 선과 그 위에 있지 않은 점을 지나는 두 개 이상의 평행선이 존재한다.

쌍곡 공간은 푸앵카레 반공간 모형, 푸앵카레 원반 모형, 쌍곡면 모형, 벨트라미-클라인 모형, 갠스 모형 등 다양한 모델로 표현될 수 있으며, 이러한 모델들은 등거리 사상을 통해 연결된다. 쌍곡 다양체는 상수 음의 곡률 -1을 갖는 닫힌 다양체로, 보편 피복 공간은 Hⁿ이며 Hⁿ/Γ로 표현될 수 있다. 리만 곡면은 쌍곡면으로 표현 가능하며, 푸흐시안 군을 기본군으로 하는 몫 공간은 쌍곡면의 푸흐시안 모형이다.

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쌍곡공간
개요
쌍곡 기하학 그림
유형	비유클리드 기하학
연구	곡률이 음수인 공간의 기하학적 성질 연구
역사
창시자	야노시 볼랴이 니콜라이 로바쳅스키
특징
주요 특징	유클리드 평행선 공준을 만족하지 않음
곡률	음수 곡률
공간	쌍곡면 푸앵카레 원반 클라인 원반 푸앵카레 반평면 모델
관련 개념
관련 분야	기하학 군론 다양체
관련 개념	쌍곡 함수 쌍곡 공간 쌍곡 평면 비유클리드 기하학 등거리 변환 뫼비우스 변환
예시
예시	쌍곡 공간 푸앵카레 원반 클라인 원반 푸앵카레 반평면 모델

2. 정의

$n\ge2$ 가 2 이상의 정수라고 하자. ''n''차원 '''쌍곡공간'''( $H^n$ )은 모든 곳에서, 모든 방향으로의 단면 곡률(sectional curvature)이 −1인 $n$ 차원 연결 단일 연결 최대 대칭(maximally symmetric) 리만 다양체이다.

$n$ 차원 쌍곡 공간 또는 '''쌍곡 $n$ 공간'''은 일반적으로 $\mathbb H^n$ 로 표기하며, 상수 음의 단면 곡률이 -1인 유일한 단일 연결, $n$ 차원 완비 리만 다양체이다.^[1] 유일성은 이러한 속성을 만족하는 두 개의 리만 다양체가 서로 등거리 사상 관계에 있다는 것을 의미한다. 이는 킬링-호프 정리의 결과이다.

3. 성질

쌍곡공간 $\mathbb{H}^n$ 은 $n$ 차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$ 과 위상동형이자 미분동형이지만, 등거리사상은 존재하지 않는다.

쌍곡공간의 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.

: $R_{ijkl}=-(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})$

여기서 $g_{ij}$ 는 쌍곡공간의 계량 텐서이다.

쌍곡공간의 등거리변환군은 정시적(orthochronous^영어) 로런츠 군 $\operatorname{O}^+(1,n)$ 이다.

3. 1. 평행선

쌍곡 공간은 니콜라이 로바체프스키, 야노시 볼러이와 카를 프리드리히 가우스에 의해 독립적으로 개발되었으며, 유클리드 공간과 유사한 기하학적 공간이지만, 유클리드의 평행선 공준이 더 이상 성립한다고 가정하지 않는다. 대신, 평행선 공준은 (2차원에서) 다음과 같은 대안으로 대체된다.

주어진 선 ''L''과 ''L'' 위에 있지 않은 점 ''P''에 대해, ''P''를 지나고 ''L''과 교차하지 않는 서로 다른 두 개 이상의 선이 존재한다.

이것은 ''P''를 지나는 무한히 많은 그러한 선이 있다는 정리이다.

3. 2. 유클리드 공간으로의 매장

힐베르트 정리에 의해 쌍곡 평면은 유클리드 3차원 공간에 등거리적으로 매장될 수 없다. 반면, 내시 매장 정리에 따르면 쌍곡 n차원 공간은 더 높은 차원의 유클리드 공간(내시 매장 정리에 따르면 쌍곡 평면의 경우 5차원)에 등거리적으로 매장될 수 있다.

유클리드 공간에 등거리적으로 매장될 때, 쌍곡 공간의 모든 점은 안장점이다.

3. 3. 부피 증가 및 등주 부등식

쌍곡 공간 내 공의 부피는 유클리드 공간에서처럼 다항식적으로 증가하는 것이 아니라, 공의 반지름에 따라 지수적으로 증가한다. 즉,

B(r)

이

\mathbb H^n

에서 반지름

r

을 갖는 임의의 공이라면 다음과 같다.

:

\mathrm{Vol}(B(r)) = \mathrm{Vol}(S^{n-1}) \int_0^r \sinh^{n-1}(t) dt

여기서

S^{n-1}

은 반지름이 1인 유클리드

(n-1)

-구의 전체 부피이다.

쌍곡 공간은 또한 선형 등주 부등식을 만족한다. 즉, 경계의 길이가

r

인 임의의 매립된 원반의 면적이

i \cdot r

보다 작도록 하는 상수

i

가 존재한다. 이는 등주 부등식이 2차적인 유클리드 공간과 대조된다.

3. 4. 기타 거리적 성질

쌍곡 공간은 유클리드 공간과 구별되는 많은 다른 거리적 성질을 가지고 있다. 일부는 대규모 성질만을 사용하여 일반적인 거리 공간에 대한 음의 곡률 개념을 일반화한 그로모프 쌍곡 공간 설정으로 일반화될 수 있다. 더 세밀한 개념은 CAT(-1)-공간이다.^[1]

4. 모형

''n''차원 쌍곡공간은 다양한 좌표계로 표현될 수 있으며, 여러 모델을 통해 그 성질을 이해할 수 있다. 각 모델은 쌍곡공간의 서로 다른 측면을 보여주며, 이들은 모두 서로 등거리사상을 가진다.

'''푸앵카레 반공간 모형''': 상반 공간을 이용해 쌍곡공간을 나타낸다.
'''푸앵카레 원반 모형''': 단위 구를 이용해 쌍곡공간을 나타낸다.
'''쌍곡면 모형''': 민코프스키 공간에 쌍곡면을 등거리로 삽입하여 표현한다.
'''벨트라미-클라인 모형''': 단위 구를 이용하는 또 다른 모형이다.
'''대칭 공간''': 코셋 공간 $\mathrm{SO}(n, 1)/\mathrm{O}(n)$ 으로 표현한다.

4. 1. 푸앵카레 반공간 모형

''n''차원 열린 상반공간

\mathbb R^+\times\mathbb R^{n-1}=\{(z,\mathbf x)|z>0,\mathbf x\in\mathbb R^{n-1}\}

에 다음과 같은 계량 텐서를 부여하여 정의한다.

:

ds^2=z^{-2}(dz^2+\Vert d\mathbf x\Vert^2)

이 리만 다양체는

H^n

과 등거리사상을 가지며, 이를 '''푸앵카레 반공간 모형'''(Poincaré half-space model^영어)이라고 한다. 이 경우, 측지선은

z=0

평면에 수직인 반원들이다.

4. 2. 푸앵카레 공 모형

반지름이 1인 ''n''차원 열린 초공

B^n=\{\mathbf x\in\mathbb R^n|\Vert\mathbf x\Vert<1\}

에 다음과 같은 계량 텐서를 부여하여 정의한다. 여기서

(r,\Omega)

는 구면좌표계이다 (

r\in[0,1)

,

\Omega\in S^{n-1}

).

:

ds^2=\frac4{(1-r^2)^2}(dr^2+r^2d\Omega^2)

이 리만 다양체는

H^n

과 등거리사상을 가지며, 이를 '''푸앵카레 공 모형'''(Poincaré ball model^영어)이라고 한다. 이 경우, 측지선은 구면

\partial B^n=S^{n-1}=\{\mathbf x\in\mathbb R^n|\Vert\mathbf x\Vert=1\}

에 수직인 원호이다.

4. 3. 갠스 모형

''n''차원 유클리드 공간

\mathbb R^n

에, 다음과 같은 계량 텐서를 부여한다.

:

ds^2=\frac{d\tilde r^2}{1+\tilde r^2}+\tilde r^2d\Omega^2

여기서

(\tilde r,\Omega)

는

\mathbb R^n

의 구면좌표계이다.

이 리만 다양체는

H^n

과 등거리사상을 가지며, 이를 '''갠스 모형'''(Gans model^영어)이라고 한다.^[2]

갠스 모형

(\tilde r,\Omega)

은 푸앵카레 공 모형

(r,\Omega)

과 다음과 같이 대응된다.

:

\tilde r=2r/(1-r^2)

갠스 모형은 쌍곡면 모형

(t,\rho,\Omega)

과 다음과 같이 대응된다.

:

(t,\rho)=(\sqrt{1+r^2},r)

즉, 이는 쌍곡면 모형

(t,\mathbf x)

을

\mathbf x

공간으로 그대로 사영한 것이다.

4. 4. 쌍곡면 모형

민코프스키 공간

\mathbb R^{1,n}=\{(t,\mathbf x)|t\in\mathbb R,\mathbf x\in\mathbb R^n\}

은 다음과 같은 계량을 갖는다.

:

ds^2=-dt^2+\Vert d\mathbf x\Vert^2

민코프스키 공간 속의, 다음과 같은

n

차원 초곡면을 생각하자.

:

\{(t,\mathbf x)\in\mathbb R^{1,n}|t^2-\Vert\mathbf x\Vert^2=1,\;t>0\}

이 초곡면은 민코프스키 공간으로부터 계량 텐서를 유도받으며, 이 계량 텐서는 양의 정부호임을 보일 수 있다. 따라서, 이 초곡면은 리만 다양체를 이룬다. 이 리만 다양체는

H^n

과 등거리사상을 가지며, 이를 '''쌍곡면 모형'''(hyperboloid model^영어)이라고 한다.

4. 5. 동차공간으로서의 정의

쌍곡공간은 동차공간으로서 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

H^n\cong\operatorname O^+(1,n)/\operatorname O(n)

여기서

\operatorname O^+(1,n)

은 정시적(orthochronous^영어) 로런츠 군이며,

\operatorname O(n)

은 직교군이다.

5. 쌍곡 다양체

상수 음의 곡률 -1을 갖는 모든 완비, 연결, 단순 연결 다양체는 실수 쌍곡 공간 '''H'''^''n''에 등거리이다. 결과적으로, 상수 음의 곡률 -1을 갖는 모든 닫힌 다양체 ''M''(즉 쌍곡 다양체)의 보편 피복 공간은 '''H'''^''n''이다. 따라서 모든 이러한 ''M''은 '''H'''^''n''/Γ로 쓸 수 있으며, 여기서 Γ는 '''H'''^''n''상의 등거리 변환의 비틀림이 없는 이산군이다. 즉, Γ는 SO⁺(''n'', 1)의 격자이다.

5. 1. 리만 곡면

균일화 정리에 따르면, 모든 리만 곡면은 타원형, 포물선형 또는 쌍곡선형이다. 대부분의 쌍곡면은 자명하지 않은 기본군 π₁ = Γ을 가진다. 이러한 방식으로 나타나는 군은 푸흐시안 군으로 알려져 있다. 상반평면 '''H'''²/Γ를 기본군으로 몫 공간으로 나눈 것은 쌍곡면의 푸흐시안 모형으로 알려져 있다. 푸앵카레 상반평면 또한 쌍곡선이지만 단순 연결이고 비콤팩트하다. 이것은 다른 쌍곡면의 보편 피복이다.

3차원 쌍곡면에 대한 유사한 구성은 클라인 모형이다.^[1]

참조

_[1] 논문 The heat kernel on hyperbolic space
_[2] 저널 A new model of the hyperbolic plane 1996-03

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