균일화 정리

3. 정의

균일화 정리에 따르면, 모든 연결 단일 연결 리만 곡면은 다음 목록 가운데 하나와 서로 전단사 정칙함수를 갖는다.

• 리만 구
• 복소평면
• 열린 단위 원판

4. 닫힌 유향 리만 2-다양체의 분류

유향 2-다양체에서 리만 계량은 등온 좌표를 통해 복소 구조를 유도한다.^[1] 닫힌 유향 리만 2-다양체는 다음 중 하나의 몫 공간과 등거리 변환군의 이산 부분군의 자유 작용에 대해 등각적으로 동등하다.

# 구 (곡률 +1)

# 유클리드 평면 (곡률 0)

# 쌍곡 평면 (곡률 −1)

이는 가우스-보네 정리와 일치하며, 닫힌 표면의 경우 상수 곡률의 부호가 오일러 지표의 부호와 일치해야 함을 의미한다.

5. 증명 방법

균일화 정리의 증명에는 여러 방법이 사용된다. 펠릭스 클라인과 앙리 푸앵카레는 대수 곡선에 대한 균일화 정리를 추측했고, 푸앵카레는 이를 확장하여 비공식적 주장을 제시했다. 일반적인 균일화 정리에 대한 최초의 엄밀한 증명은 앙리 푸앵카레와 파울 쾨베가 1907년에 제공했다. 쾨베는 이후 추가적인 증명과 일반화를 제시했다.

많은 고전적인 증명은 단일 연결 리만 곡면에서 실수 값을 갖는 조화 함수를 구성하는 방식에 의존한다. 조화 함수를 구성하는 일반적인 방법에는 페론 방법, 슈바르츠 교대 방법, 디리클레 원리, 바일의 직교 투영 방법 등이 있다.

닫힌 리만 2-다양체에서는 등각적으로 동등한 메트릭 공간에 대한 비선형 미분 방정식을 사용하는 현대적인 증명 방법도 있다. 여기에는 타히뮐러 이론의 벨트라미 방정식과 조화 사상 관련 공식, 푸앵카레가 연구한 리우빌 방정식, 그리고 리치 흐름 등이 포함된다.

라도 정리는 모든 리만 곡면이 제2 가산임을 보여준다. 이는 균일화 정리 증명에 자주 사용되지만, 일부 증명에서는 라도 정리가 결과로 나타나기도 한다. 제2 가산성은 콤팩트 리만 곡면에 대해 자동적으로 적용된다.

5. 1. 힐베르트 공간 방법

6. 일반화

쾨베는 리만 곡면이 복소 구의 열린 부분 집합과 위상 동형이면 (또는 모든 조르당 곡선이 이를 분리하면), 복소 구의 열린 부분 집합과 등각 동치라는 '''일반 균일화 정리'''를 증명했다.

립만 베르스의 동시 균일화 정리는 동일한 종수 >1의 두 개의 콤팩트 리만 곡면을 동일한 준-푸흐시안 군으로 동시에 균일화하는 것이 가능하다는 것을 보여준다.^[2]

가측 리만 사상 정리는 더 일반적으로 균일화 정리에서 복소 구의 열린 부분 집합으로의 사상을 주어진 유계 가측 벨트라미 계수를 갖는 준등각 사상으로 선택할 수 있음을 보여준다.^[3]

7. 3차원 균일화

3차원에는 8개의 기하학이 있으며, 이를 8개의 서스턴 기하학이라고 부른다. 모든 3차원 다양체가 기하학을 갖는 것은 아니지만, 그리고리 페렐만에 의해 증명된 서스턴의 기하화 추측은 모든 3차원 다양체가 기하화 가능한 조각으로 잘릴 수 있다고 말한다.

참조

_[1] 문서
_[2] 문서
_[3] 저널 Mémoire sur les fonctions fuchsiennes Springer Netherlands
_[4] 저널 Neue Beiträge zur Riemann’schen Functionentheorie https://archive.org/[...] 1883
_[5] 저널 Sur l’uniformisation des fonctions analytiques Springer Netherlands
_[6] 저널 Über die Uniformisierung reeller analytischer Kurven http://resolver.sub.[...] 1907
_[7] 저널 Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven http://resolver.sub.[...] 1907
_[8] 저널 Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven (Zweite Mitteilung) http://resolver.sub.[...] 1907