아벨-디니-프링스하임 판정법

2. 정의와 증명

아벨-디니-프링스하임 정리는 발산하는 급수 또는 수렴하는 급수에 대해 주어질 수 있다. 이 두 정의는 동일하므로, 한 가지 경우만 증명하면 충분하다. 부분 합이 $S\_n\text{'}=\backslash frac1\{r\_n\}$ 과 같은 급수에 발산하는 급수에 대한 정리를 적용하면 수렴하는 급수에 대한 정리가 도출된다.^[1]

증명은 다음과 같다.

인 경우만 고려하면 충분하다. 모든 $x\backslash in(0,\backslash infty)$에 대해, 다음 부등식이 성립한다.

:$\backslash epsilon(1-x)\backslash le1-x^\backslash epsilon.$

이는,

:$f(x)=\backslash epsilon(1-x)-1+x^\backslash epsilon$

라고 하면,

:$f(1)=0$

:$f\text{'}(x)=\backslash epsilon(x^\{\backslash epsilon-1\}-1)\backslash ge0\backslash qquad(\backslash forall\; x\backslash in(0,1])$

:$f\text{'}(x)=\backslash epsilon(x^\{\backslash epsilon-1\}-1)\backslash le0\backslash qquad(\backslash forall\; x\backslash in[1,\backslash infty)).$

이기 때문이다.

따라서,

:$\backslash begin\{align\}$

\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{S_nS_{n-1}^\epsilon}

&=\sum_{n=1}^\infty\frac{S_n-S_{n-1}}{S_nS_{n-1}^\epsilon}\\

&=\sum_{n=1}^\infty\frac1{S_{n-1}^\epsilon}\left(1-\frac{S_{n-1}}{S_n}\right)\\

&\le\sum_{n=1}^\infty\frac1{\epsilon S_{n-1}^\epsilon}\left(1-\left(\frac{S_{n-1}}{S_n}\right)^\epsilon\right)\\

&=\sum_{n=1}^\infty\frac1\epsilon\left(\frac1{S_{n-1}^\epsilon}-\frac1{S_n^\epsilon}\right)\\

&=\frac1{\epsilon S_0^\epsilon}\\

&<\infty

\end{align}



Stolz-Cesaro 정리에 의해,

:$\backslash begin\{align\}$

\lim_{n\to\infty}\frac{a_0/S_0+a_1/S_1+\cdots+a_n/S_n}{\ln S_n}

&=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/S_n}{\ln(S_n/S_{n-1})}\\

&=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/S_n}{\ln(1/(1-a_n/S_n))}\\

&=1

\end{align}

2. 1. 발산급수

• $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_n\}\{S\_n\}=\backslash infty$
• 임의의 양의 실수 $\backslash epsilon>0$에 대하여,
• $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{S\_n\}=0$이면, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_0/S\_0+a\_1/S\_1+\backslash cdots+a\_n/S\_n\}\{\backslash ln\; S\_n\}=1$

2. 2. 수렴급수

• (A’) $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_n\}\{r\_n\}=\backslash infty$
• (B’) 임의의 양의 실수 $\backslash epsilon>0$에 대하여,
• (C’) 만약 추가로 $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{r\_n\}=0$이라면, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_0/r\_0+a\_1/r\_1+\backslash cdots+a\_n/r\_n\}\{\backslash ln\; r\_n\}=-1$

• $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_n\}\{r\_n\}=\backslash infty$
• 모든 $\backslash epsilon>0$에 대해 이다.
• 또한 $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{r\_n\}=0$이면 $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_0/r\_0+a\_1/r\_1+\backslash cdots+a\_n/r\_n\}\{\backslash ln\; r\_n\}=-1$이다.

2. 3. 두 경우의 동치성