에어리 원반

3. 수학적 상세

원형 구경에서 발생하는 프라운호퍼 회절 무늬(에어리 무늬)의 세기는 원형 개구의 푸리에 변환의 제곱 계수로 주어지며, 다음과 같이 표현된다.

:$I(\backslash theta)\; =\; I\_0\; \backslash left\; (\; \backslash frac\{2\; J\_1(ka\; \backslash sin\; \backslash theta)\}\{ka\; \backslash sin\; \backslash theta\}\; \backslash right\; )^2\; =\; I\_0\; \backslash left\; (\; \backslash frac\{2\; J\_1(x)\}\{x\}\; \backslash right\; )^2$

이때 $I\_0$는 에어리 원반 중심의 최대 세기, $J\_1$는 베셀 함수, $k\; =\; \{2\; \backslash pi\; \backslash over\; \backslash lambda\}$는 파수, $a$는 구경의 반경, $\backslash theta$는 관찰 각도이다. 즉, 원형 구경의 축과 구경 중심과 관찰 지점을 이은 직선이 이루는 각도이다. $x\; =\; ka\; \backslash sin\; \backslash theta\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash pi\; a\}\{\backslash lambda\}\; \backslash frac\{q\}\{R\}$로 나타낼 수 있다. 이때 q는 관찰 평면(또는 초점 평면)상에서 광축에서 떨어진 방사상 거리이고 R은 관찰 거리이다. 구경 뒤에 렌즈가 붙어 있을 경우 렌즈의 초점 평면 상에 에어리 무늬가 나타난다.

$J\_1(x)$가 0이 되려면 $x\; =\; ka\; \backslash sin\; \backslash theta\; \backslash approx\; 0,\; 3.8317,\; 7.0156,\; 10.1735,\; 13.3237,\; 16.4706\backslash dots$ 이어야 한다. 여기서 회절무늬에서 첫 번째 어두운 무늬는 $ka\; \backslash sin\{\backslash theta\}\; =\; 3.8317\backslash dots$ 또는

:$\backslash sin\; \backslash theta\; \backslash approx\; \backslash frac\{3.83\}\{ka\}\; =\; \backslash frac\{3.83\; \backslash lambda\}\{2\; \backslash pi\; a\}\; =\; 1.22\; \backslash frac\{\backslash lambda\}\{2a\}\; =\; 1.22\; \backslash frac\{\backslash lambda\}\{d\}$

에서 나타남을 알 수 있다.

첫 번째 어두운 무늬의 반지름 $q\_1$은 $\backslash theta$ 및 개구수에 다음과 같이 관련된다.

:$q\_1\; =\; R\; \backslash sin\; \backslash theta\; \backslash approx\; 1.22\; \{R\}\; \backslash frac\{\backslash lambda\}\{d\}\; =\; 1.22\; \backslash frac\{\backslash lambda\}\{2A\}$

이때 R은 구경에서의 거리, 개구수 A = sinθ은 그 거리와 구경의 크기의 비율이다. 중앙의 에어리 원반의 반높이($J\_1(x)=\; \{x\}\; /\{2\; \backslash sqrt\{2\}\}$)는 $x\; =\; 1.61633\backslash dots$에서 나타난다.

회절무늬 중앙에서의 세기 $I\_0$는^[28]

:$I\_0\; =\; \backslash frac\{\backslash Epsilon\_A^2\; A^2\}\{2\; R^2\}\; =\; \backslash frac\{P\_0\; A\}\{\backslash lambda^2\; R^2\}$

이때 $\backslash Epsilon$은 구경에서 단위 면적에 대한 광원 세기이고, A는 구경의 넓이($A=\backslash pi\; a^2$), R은 구경에서의 거리이다. 렌즈의 초점 평면상에서 $I\_0\; =\; (P\_0\; A)/(\backslash lambda^2\; f^2)$이다. 첫 번째 밝은 고리의 세기는 중앙의 에어리 원반의 1.75% 정도이다.

3. 1. 포함 일률

4. 관찰 조건

균일하게 조명된 원형 조리개(또는 균일한 평면파 빔)로부터의 빛은 프라운호퍼 회절(원거리 회절)로 인해 조리개로부터 멀리 떨어진 곳에서 에어리 회절 패턴을 나타낸다.

원거리장에서 에어리 패턴을 나타내는 조건은 다음과 같다.

# 조리개를 비추는 입사광은 평면파(조리개를 가로질러 위상 변화가 없음)여야 한다.

# 조리개 영역에 걸쳐 빛의 세기가 일정해야 한다.

# 회절된 빛이 관찰되는 개구(스크린 거리) '''R'''이 개구 크기에 비해 커야 한다.

# 조리개의 반경 '''a'''가 빛의 파장 '''λ'''보다 커야 한다.

마지막 두 조건은 공식적으로 $R\; >\; a^2\; /\; \backslash lambda$와 같이 쓸 수 있다.^[28]

실제로 균일한 조명 조건은 광원을 조리개로부터 멀리 배치함으로써 충족시킬 수 있다. 원거리장 조건이 충족되지 않은 경우(예: 조리개가 큰 경우) 조리개 바로 뒤의 렌즈를 사용하여 원거리 에어리 회절 패턴을 스크린에서 조리개에 훨씬 더 가깝게 얻을 수 있으며, 렌즈 자체가 조리개를 형성할 수도 있다. 에어리 패턴은 무한대가 아닌 렌즈의 초점에 형성된다.^[29]

따라서 렌즈에 의해 집속된 균일한 원형 레이저 빔(평면파 빔)의 초점은 에어리 패턴이다.

5. 응용

원형 레이저 광선이 빛의 전 영역에 걸쳐 강도가 균일하고 (평평한 윗면) 렌즈에 의해 집속되면 초점에 에어리 원반 패턴이 형성된다. 에어리 원반의 크기는 초점에서의 레이저 세기를 결정한다.^[19]

5. 1. 카메라

5. 2. 인간의 눈

5. 3. 망원경

5. 4. 레이저 빔

6. 가우시안 프로파일 근사

에어리 패턴은 중심에서 멀어질수록 0으로 매우 느리게 감소하며, 바깥쪽 고리는 패턴의 전체 강도에서 상당한 부분을 차지한다. 그 결과, 평균 제곱근(RMS) 스팟 크기는 정의되지 않는다(즉, 무한대).^[15] 스팟 크기를 측정하는 또 다른 방법은 에어리 패턴의 비교적 작은 바깥쪽 고리를 무시하고 중심 로브를 가우시안 프로파일로 근사하는 것이다.

:$$I(q)\; \backslash approx\; I\text{'}\_0\; \backslash exp\; \backslash left(\; \backslash frac\{-\; 2q^2\}\{\backslash omega\_0^2\}\; \backslash right)\; \backslash \; ,$$

여기서 $I\text{'}\_0$는 패턴 중심에서의 조도이고, $q$는 패턴 중심으로부터의 방사형 거리이며, $\backslash omega\_0$는 가우시안 RMS 폭(1차원)이다.

에어리 패턴과 가우시안 프로파일의 피크 진폭을 같게 설정하고($I\text{'}\_0\; =\; I\_0$), 패턴에 대한 최적 근사값을 제공하는 $\backslash omega\_0$의 값을 찾으면,

:$\backslash omega\_0\backslash approx\; 0.84\; \backslash lambda\; N\; \backslash \; ,$

을 얻는다. 여기서 ''N''은 F수이다.

반면에 가우시안 프로파일의 부피가 에어리 패턴과 같도록 하면 다음과 같이 된다.

:$\backslash omega\_0\; \backslash approx\; 0.90\; \backslash lambda\; N\; \backslash \; .$

광학 수차 이론에서 에어리 원반 반지름이 기하 광선 추적을 통해 결정된 RMS 스팟 크기보다 큰 경우 이미징 시스템을 회절 한계 시스템으로 설명한다. 가우시안 프로파일 근사는 비교의 또 다른 방법을 제공한다. 위 근사를 사용하면 에어리 원반에 대한 가우시안 근사의 가우시안 허리 $\backslash omega\_0$가 에어리 원반 반지름($1.22\; \backslash lambda\; N$)의 약 3분의 2인 $0.84\; \backslash lambda\; N$가 된다.

참조

_[1] 백과사전 Light https://archive.org/[...] Richard Griffin & Co.
_[2] 학술지 On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture https://archive.org/[...]
_[3] 학술지 On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture https://archive.org/[...]
_[4] 서적 Amateur Astronomer's Handbook https://books.google[...] Dover Publications
_[5] 학술지 Objects in Telescope Are Farther Than They Appear – How diffraction tricked Galileo into mismeasuring distances to the stars http://scitation.aip[...]
_[6] 학술지 On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture https://archive.org/[...]
_[7] 서적 Physics for Scientists and Engineers (3rd edition) https://books.google[...] Prentice-Hall
_[8] 서적 Optics Addison Wesley 1987
_[9] 서적 Optical System Design https://books.google[...] McGraw-Hill Professional 2000
_[10] 웹사이트 Eye Receptor Density http://www.wdv.com/V[...] 2023-12-18
_[11] 웹사이트 Sight Alignment http://en.wikibooks.[...]
_[12] 서적 Optics Addison Wesley
_[13] 서적 Principles of Optics Pergamon Press
_[14] 학술지 Feynman photon path integral calculations of optical reflection, diffraction, and scattering from conduction electrons
_[15] 학술지 Gaussian approximations of fluorescence microscope point-spread function models https://www.osapubli[...] 2007-04-01
_[16] 학술지 Airy disk diffraction pattern: comparison of some values of f/No. and obscuration ratio
_[17] 학술지 Uniform versus Gaussian beams: a comparison of the effects of diffraction, osbscuration, and aberrations
_[18] 웹사이트 Chapter 7 Obstruction effects (7.1. Central obstruction effect) http://www.telescope[...] 2006-07-14
_[19] 서적 Lasers University Science Books
_[20] 학술지 The influence of astigmatism on the response function of an optical system.
_[21] 학술지 Modelling of imaged ellipse intensity profiles using euclidean geometry
_[22] 서적 Optics Addison Wesley
_[23] 서적 Principles of Optics Pergamon Press
_[24] 학술지
_[25] 학술지 Uniform versus Gaussian beams: a comparison of the effects of diffraction, obscuration, and aberrations http://www.opticsinf[...]
_[26] 학술지 On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture http://www.archive.o[...]
_[27] 학술지 On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture http://www.archive.o[...]
_[28] 서적 Optics Addison Wesley
_[29] 서적 Principles of Optics Pergamon Press