엑시톤

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1. 개요
2. 역사
3. 종류
4. 엑시톤의 동역학
5. 엑시톤의 파동함수와 속박 상태 에너지 준위
6. 엑시톤의 생성
7. 엑시톤의 특징
참조

1. 개요

엑시톤은 1931년 야코프 프렌켈에 의해 처음 제안된 개념으로, 에너지 띠 구조에서 전자와 정공의 쿨롱 상호작용으로 형성되는 준입자이다. 엑시톤은 유전율 크기에 따라 프렌켈 엑시톤과 워니어-모트 엑시톤으로 분류되며, 이 외에도 전하 이동 엑시톤, 쌍 엑시톤, 허바드 엑시톤, 표면 엑시톤, 암흑 엑시톤 등 다양한 종류가 존재한다. 엑시톤은 광학적 흡수, 엑시톤의 파동함수와 속박 상태 에너지 준위, 동역학적 특성을 가지며, 반도체의 발광, 광학 소자 등 다양한 분야에서 연구되고 있다.

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엑시톤
엑시톤 정보
와니에 엑시톤이 결정 격자 속을 움직이는 모습
구성	전자, 정공
그룹	이종 원자
질량	m_e, 유효 질량은 별도
전하	-e, 상대적으로 0

2. 역사

야코프 프렌켈(Yakov Frenkel)은 1931년에 에너지띠 구조의 강결합 기술(tight-binding description)을 사용하여 원자 격자의 여기(excitation)를 설명하면서 엑시톤의 개념을 처음 제안했다.^[6] 프렌켈의 모델에서 쿨롱 상호작용으로 결합된 전자와 정공은 격자의 같은 자리 또는 가장 가까운 이웃 자리에 위치한다. 엑시톤은 복합 준입자로서 전하의 순 이동 없이 격자를 이동할 수 있으며, 이는 광전자 장치에 대한 많은 제안으로 이어졌다.

3. 종류

엑시톤은 물질의 유전 상수와 전자-양공 간 상호작용의 세기에 따라 다양한 형태로 존재한다. 크게 유전 상수가 큰 경우와 작은 경우로 나눌 수 있다.

반도체에서는 유전 상수가 일반적으로 커서 전자와 양공 사이의 쿨롱 상호작용이 약화된다. 이로 인해 격자 간격보다 훨씬 큰 반경을 가지는 워니어-모트 엑시톤이 생성된다. 반면, 유전 상수가 매우 작은 물질에서는 쿨롱 상호작용이 강해져 엑시톤이 단위 셀 크기 정도로 작아지는데, 이를 프렌켈 엑시톤이라고 한다.

이 외에도 전하 이동 엑시톤, 쌍 엑시톤, 표면 엑시톤, 암흑 엑시톤, 허바드 엑시톤, 자가 포획 엑시톤 등 다양한 종류의 엑시톤이 존재한다.

3. 1. 프렌켈 엑시톤 (Frenkel Exciton)

유전 상수가 작은 물질에서는 전자와 양공 사이의 쿨롱 상호작용이 강하여 엑시톤의 크기가 단위 셀 정도가 된다. 야코프 프렌켈(Yakov Frenkel)의 이름을 딴 프렌켈 엑시톤(Frenkel exciton)은 보통 0.1 ~ 1 eV 정도의 결합 에너지를 갖는다.^[6] 알칼리 할로겐화물 결정, 안트라센(anthracene) 및 테트라센(tetracene)과 같은 방향족 분자 결정에서 주로 발견된다. 전이 금속 화합물에서 자리 내 d-d 여기 상태도 프렌켈 엑시톤의 예시이다. d-d 전이는 대칭성에 의해 금지되지만, 구조적 완화 등에 의해 대칭성이 깨질 때 결정에서 약하게 허용된다. d-d 전이와 공명하는 광자의 흡수는 단일 원자 위치에서 전자-정공 쌍을 생성하며, 이는 프렌켈 엑시톤으로 취급될 수 있다.

3. 2. 워니어-모트 엑시톤 (Wannier-Mott Exciton)

반도체에서 유전 상수는 일반적으로 크며, 이는 전기장 차폐 효과로 인해 전자와 양공 사이의 쿨롱 상호작용을 감소시킨다. 그 결과, 격자 간격보다 훨씬 큰 반경을 갖는 엑시톤이 생성되는데, 이를 워니어-모트 엑시톤이라고 한다.^[7] 이 엑시톤은 그레고리 워니어(Gregory Wannier)와 네빌 프랜시스 모트(Nevill Francis Mott)의 이름을 따서 명명되었다.

반도체의 전형적인 특징인 전자의 작은 유효 질량은 큰 엑시톤 반지름을 선호한다. 격자 퍼텐셜 효과는 전자와 양공의 유효 질량에 영향을 미치며, 더 낮은 질량과 차폐된 쿨롱 상호 작용으로 인해 결합 에너지는 일반적으로 수소 원자보다 훨씬 작고, 보통 0.01eV 정도이다.^[7]

워니어-모트 엑시톤은 작은 에너지 갭과 높은 유전 상수를 가진 반도체 결정에서 주로 발견되지만, 액체 크세논과 같은 액체에서도 확인되었다. 이들은 '큰 엑시톤'이라고도 불린다.

단일벽 탄소 나노튜브에서 엑시톤은 워니어-모트와 프렌켈 특성을 모두 가지고 있다. 이는 1차원에서 전자와 정공 사이의 쿨롱 상호 작용의 특성 때문이다. 나노튜브 자체의 유전 함수는 파동 함수의 공간적 범위가 튜브 축을 따라 수 나노미터까지 확장될 수 있도록 충분히 크지만, 나노튜브 외부의 진공 또는 유전 환경에서의 불량한 차폐는 큰 (0.4eV ~ ) 결합 에너지를 허용한다.

펨토초 이광자 실험에서 보여주듯이 고위 띠도 엑시톤 형성에 효과적일 수 있다. 극저온에서는 띠의 가장자리에 접근하는 많은 고차 엑시톤 준위가 관찰될 수 있으며,^[8] 원칙적으로 수소 스펙트럼 계열과 유사한 일련의 스펙트럼 흡수선을 형성한다.

벌크 반도체에서 엑시톤은 '''엑시톤 리드베리 에너지'''와 '''엑시톤 보어 반지름'''이라고 하는 에너지와 반지름을 갖는다.^[9]

에너지와 반지름은 다음과 같은 식으로 주어진다.

:

E(n)=- \frac{ \left( \frac{\mu}{m_0 \varepsilon_r^2}\text{Ry} \right)}{n^2}  \equiv -\frac{R_\text{X}}{n^2}

:

r_n = \left(\frac{m_0 \varepsilon_r a_\text{H}}{\mu}  \right)n^2 \equiv a_\text{X}n^2

여기서

\text{Ry}

는 리드베리 에너지 단위(리드베리 상수 참조),

\varepsilon_r

는 (정적) 상대 유전율,

\mu= (m^*_e m^*_h)/(m^*_e+m^*_h)

는 전자와 정공의 환산 질량,

m_0

는 전자 질량,

a_\text{H}

는 보어 반지름이다.

예를 들어, GaAs의 경우 상대 유전율은 12.8이고, 전자와 정공의 유효 질량은 각각 0.067''m₀'' 및 0.2''m₀''이다. 이를 통해

R_\text{X}=4.2

meV와

a_\text{X}=13

nm를 얻는다.

이차원(2D) 물질에서는 계가 물질 평면에 수직인 방향으로 양자 구속된다. 계의 감소된 차원은 왈니어 엑시톤의 결합 에너지와 반지름에 영향을 미친다. 사실, 이러한 시스템에서는 엑시톤 효과가 향상된다.^[10]

단순한 차폐 쿨롱 전위의 경우, 결합 에너지는 2D 수소 원자의 형태를 취한다.^[11]

:

E(n)= -\frac{R_\text{X}}{\left(n-\tfrac{1}{2}\right)^2}

.

대부분의 2D 반도체에서 Rytova–Keldysh 형태는 엑시톤 상호작용에 대한 보다 정확한 근사치이다.^[12]^[13]^[14]

:

V(r)= -\frac{e^2}{8 \epsilon_0 r_0}\left[\text{H}_0\left(\frac{\kappa r}{r_0}\right)-Y_0\left(\frac{\kappa r}{r_0}\right)\right].

여기서

r_0

는 소위 차폐 길이이고,

\epsilon_0

는 진공 유전율이며,

e

는 기본 전하이고,

\kappa

는 주변 매질의 평균 유전 상수이고,

r

은 엑시톤 반지름이다. 이 전위에 대해서는 엑시톤 에너지에 대한 일반적인 표현식을 찾을 수 없다. 대신 수치적 절차를 사용해야 하며, 바로 이 전위가 2D 반도체에서 에너지의 비수소적 리드베리 계열을 발생시킨다.^[10]

나노입자에서 엑시톤 반지름은 다음과 같이 주어진다.^[15]^[16]

:

a_\text{X} = \frac{\varepsilon_r}{\mu/m_0}a_0

여기서

\varepsilon_r

은 상대 유전율,

\mu \equiv (m_e^*m_h^*)/(m_e^*+m_h^*)

는 전자-정공 계의 환산 질량,

m_0

는 전자 질량,

a_0

는 보어 반지름이다.

3. 3. 전하 이동 엑시톤 (Charge-Transfer Exciton)

프렌켈 엑시톤과 워니어-모트 엑시톤의 중간적인 경우는 전하 이동(CT) 엑시톤이다.^[18] 분자물리학에서 CT 엑시톤은 전자와 정공이 인접한 분자를 점유할 때 형성된다.^[18] 이들은 주로 유기 및 분자 결정에서 발생한다.^[19] CT 엑시톤은 프렌켈 엑시톤 및 워니어-모트 엑시톤과 달리 정적인 전기 쌍극자 모멘트를 가진다. CT 엑시톤은 전이 금속 산화물에서도 발생할 수 있는데, 이 경우 전이 금속 3d 오비탈의 전자와 산소 2p 오비탈의 정공이 관여한다. 주목할 만한 예로는 상관된 컵레이트의 가장 낮은 에너지 엑시톤^[20] 또는 TiO₂의 2차원 엑시톤이 있다.^[21] 기원에 관계없이 CT 엑시톤의 개념은 항상 한 원자 위치에서 다른 원자 위치로의 전하 이동과 관련이 있으며, 따라서 파동 함수가 몇몇 격자 위치에 걸쳐 퍼진다.

3. 4. 기타 엑시톤

엑시톤끼리 서로 인력이 작용하면 두 엑시톤이 결합하여 쌍 엑시톤(biexciton)이 형성될 수 있는데, 이는 수소 분자와 유사하다. 물질 내에 고밀도 엑시톤이 생성되면, 이들은 상호작용하여 k 공간 간접 반도체에서 관찰되는 전자-정공 액체 상태를 형성한다.^[17]

표면에서는 이른바 '이미지 상태(image states)'가 발생할 수 있는데, 이때 정공은 고체 내부에, 전자는 진공에 위치한다. 이러한 전자-정공 쌍은 표면을 따라서만 이동할 수 있다.

암흑 엑시톤은 전자가 결합된 정공과 다른 운동량을 가지는 엑시톤이다. 이는 광학적으로 금지된 전이 상태에 있어 광자 흡수를 통해 도달할 수 없으므로 포논 산란을 필요로 한다. 암흑 엑시톤은 흡수만으로 형성되는 일반적인 밝은 엑시톤보다 수적으로 더 많을 수 있다.^[22]^[23]^[24]

허바드 엑시톤은 쿨롱 상호작용이 아닌 자기력에 의해 전자와 결합되어 있는 엑시톤이다. 그 이름은 영국의 물리학자 존 허바드에서 유래한다.

결정 내에서 엑시톤은 격자 진동인 포논과 상호 작용한다. GaAs나 Si와 같은 일반적인 반도체에서처럼 이러한 결합이 약하면, 엑시톤은 포논에 의해 산란된다. 그러나 결합이 강하면 엑시톤은 자가 포획될 수 있다.^[30]^[31] '''자가 포획'''은 가상 포논의 밀집된 구름으로 엑시톤을 감싸는 결과를 초래하며, 이는 엑시톤이 결정 전체로 이동하는 능력을 크게 억제한다. 간단히 말해, 이것은 엑시톤 주변의 결정 격자의 국부적 변형을 의미한다.

4. 엑시톤의 동역학

정공 소멸 확률(전자가 정공을 점유할 확률)은 초과 에너지 손실의 어려움으로 제한된다. 그 결과 엑시톤은 상대적으로 긴 수명을 가질 수 있다. 구리 산화물에서는 수 밀리초까지의 수명이 관측되었다.^[1] 재결합 확률은 전자와 양공 파동함수의 공간적 겹침에 영향을 받는다. (거의 전자가 양공으로 달려 들어갈 확률이다.) 이 겹침은 더 가벼운 전자와 양공에 대해 그리고 높게 여기된 수소적 상태에 대해 더 적다.^[1] 전체 엑시톤은 고체를 통해 움직일 수 있다. 분자 결정을 통해 진행하는 엑시톤은 매우 큰 관심거리이다. 여러 메커니즘들이 문헌에 제안된 바 있는데, 포논과의 상호작용에 따라 손실된 엑시톤 에너지, 방사에 의해 멀리 운반된 에너지가 그중 중요한 두 가지이다. 이 둘의 절충 결합 역시 연구된 바 있다.^[1]

5. 엑시톤의 파동함수와 속박 상태 에너지 준위

벌크 반도체에서 엑시톤은 엑시톤 리드베리 에너지와 엑시톤 보어 반지름이라고 하는 에너지와 반지름을 갖는다.^[9] 엑시톤의 에너지와 반지름은 전자와 정공의 유효질량, 그리고 물질의 유전율에 의해 결정된다.

종류	식	설명
에너지	$E(n)=- \frac{ \left( \frac{\mu}{m_0 \varepsilon_r^2}\text{Ry} \right)}{n^2} \equiv -\frac{R_\text{X}}{n^2}$	$\text{Ry}$ 는 리드베리 에너지 단위, $\varepsilon_r$ 는 (정적) 상대 유전율, $\mu= (m^_e m^_h)/(m^_e+m^_h)$ 는 전자와 정공의 환산 질량, $m_0$ 는 전자 질량
반지름	$r_n = \left(\frac{m_0 \varepsilon_r a_\text{H}}{\mu} \right)n^2 \equiv a_\text{X}n^2$	$a_\text{H}$ 는 보어 반지름

예를 들어, GaAs의 경우 상대 유전율은 12.8이고, 전자와 정공의 유효 질량은 각각 0.067''m₀'' 및 0.2''m₀''이다. 이를 통해 엑시톤 리드베리 에너지( $R_\text{X}$ )는 4.2 meV, 엑시톤 보어 반지름( $a_\text{X}$ )은 13 nm임을 알 수 있다.

이차원(2D) 물질에서는 계가 물질 평면에 수직인 방향으로 양자 구속되어 엑시톤 효과가 향상된다.^[10]

5. 1. 와니어 방정식

엑시톤은 두 입자로 이루어진 슈뢰딩거 방정식 형태의 와니어 방정식으로 기술할 수 있다. 와니어 방정식의 V(r)은 전자와 양공 사이의 쿨롱 퍼텐셜을 나타낸다. 준1차원, 2차원, 3차원 나노구조에 따라 다른 형태의 퍼텐셜을 사용한다.^[9]

와니어 방정식은 수소 원자에 대한 슈뢰딩거 방정식과 모양이 거의 같기 때문에 그 풀이는 많은 양자역학 책에서 찾을 수 있다. 와니어 방정식의 풀이를 통해 엑시톤의 파동함수와 속박 상태 에너지 준위를 계산할 수 있다.

3차원(벌크 반도체)의 경우 엑시톤은 '''엑시톤 리드베리 에너지'''와 '''엑시톤 보어 반지름'''이라고 하는 에너지와 반지름을 갖는다.

::에너지:

E(n)=- \frac{ \left( \frac{\mu}{m_0 \varepsilon_r^2}\text{Ry} \right)}{n^2}  \equiv -\frac{R_\text{X}}{n^2}

::반지름:

r_n = \left(\frac{m_0 \varepsilon_r a_\text{H}}{\mu}  \right)n^2 \equiv a_\text{X}n^2

::

\text{Ry}

는 리드베리 에너지 단위(리드베리 상수),

\varepsilon_r

는 (정적) 상대 유전율,

\mu= (m^*_e m^*_h)/(m^*_e+m^*_h)

는 전자와 정공의 환산 질량,

m_0

는 전자 질량,

a_\text{H}

는 보어 반지름이다.

::예를 들어, GaAs의 경우 상대 유전율은 12.8이고, 전자와 정공의 유효 질량은 각각 0.067''m₀'' 및 0.2''m₀''이다. 이를 통해

R_\text{X}=4.2

meV와

a_\text{X}=13

nm를 얻는다.

이차원(2D) 물질에서는 계가 물질 평면에 수직인 방향으로 양자 구속되어 엑시톤 효과가 향상된다.^[10] 단순한 차폐 쿨롱 전위의 경우, 결합 에너지는 2D 수소 원자의 형태를 취한다.^[11]

::

E(n)= -\frac{R_\text{X}}{\left(n-\tfrac{1}{2}\right)^2}

.

::대부분의 2D 반도체에서 Rytova–Keldysh 형태는 엑시톤 상호작용에 대한 보다 정확한 근사치이다.^[12]^[13]^[14]

::

V(r)= -\frac{e^2}{8 \epsilon_0 r_0}\left[\text{H}_0\left(\frac{\kappa r}{r_0}\right)-Y_0\left(\frac{\kappa r}{r_0}\right)\right].

::

r_0

는 소위 차폐 길이,

\epsilon_0

는 진공 유전율,

e

는 기본 전하,

\kappa

는 주변 매질의 평균 유전 상수,

r

은 엑시톤 반지름이다. 이 전위에서는 엑시톤 에너지에 대한 일반적인 표현식을 찾을 수 없어 수치적 절차를 사용해야 하며, 이 전위가 2D 반도체에서 에너지의 비수소적 리드베리 계열을 발생시킨다.^[10]

양자 구속 효과를 나타내는 나노입자(양자점, 0차원 반도체)에서 엑시톤 반지름은 다음과 같다.^[15]^[16]

:

a_\text{X} = \frac{\varepsilon_r}{\mu/m_0}a_0

::

\varepsilon_r

은 상대 유전율,

\mu \equiv (m_e^*m_h^*)/(m_e^*+m_h^*)

는 전자-정공 계의 환산 질량,

m_0

는 전자 질량,

a_0

는 보어 반지름이다.

상대 운동의 파동 함수의 퍼짐이 격자 간격에 비해 상당히 큰 경우 '''와니에 엑시톤''', 작은 경우 '''프렌켈 엑시톤'''이라고 부른다. 엑시톤을 생성하는 데 필요한 에너지는 전자와 정공 사이의 결합 에너지만큼 밴드갭 에너지보다 낮다. 즉, 엑시톤 상태는 전자와 정공이 고립되어 있는 상태보다 안정적이다.

5. 2. 엑시톤의 파동함수

반도체에서 유전 상수는 일반적으로 커서, 스크리닝 효과로 인해 전자와 양공 사이의 쿨롱 상호작용이 감소한다. 이는 격자 간격보다 훨씬 큰 반경을 갖는 못-워니어 엑시톤을 생성한다. 결과적으로 격자 퍼텐셜 효과는 전자와 양공의 유효 질량에 영향을 미치며, 더 낮은 질량과 스크린된 쿨롱 상호 작용으로 인해 결합 에너지는 보통 수소 원자보다 훨씬 작아, 대개 0.1 전자볼트 정도이다.

엑시톤은 두 입자로 이루어진 슈뢰딩거 방정식 형태인 와니어 방정식으로 기술할 수 있다.

:

-[\frac{\hbar^2 \nabla^2_r}{2m_r} + V(r)]\psi_\nu (r) = E_\nu\psi_\nu (r)

와니어 방정식에서 V(r)은 전자와 양공 사이의 쿨롱 퍼텐셜로 나타낼 수 있는데, 나노구조가 2차원이나 3차원일 때 그 모양은 다음과 같다.

:

V(r)=\frac{e^2}{\epsilon_0 r}

양자선과 같은 준1차원적인 나노구조에서는 2차원, 3차원에서의 퍼텐셜과 약간 다른 모양인

V^{q1D}(z)

로 대체하여 방정식을 풀어야 한다.

:

V^{q1D}(z) = \frac{e^2}{\epsilon_0} \frac{1}{|z| + \gamma R}

:(반지름이 R인 원통형 양자선에 대한 쿨롱 퍼텐셜,

\gamma

는 보정상수.)

와니어 방정식은 수소 원자에 대한 슈뢰딩거 방정식과 모양이 거의 같기 때문에, 그 해는 여러 양자역학 책에서 찾을 수 있다. 와니어 방정식을 풀면 엑시톤의 파동함수와 속박 상태 에너지 준위를 계산할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.

'''준1차원'''

:

f_\lambda (|z|)=N_\lambda W_{\lambda, 1/2} (\frac{2(|z|+\gamma R)}{\lambda a_0})

: (여기서

N_\lambda

는 규격화 상수,

W_{\lambda ,1/2}

는 Whittaker function,

\lambda = \frac{e^2}{\hbar \epsilon_0} \sqrt{-\frac{m_r}{2E_\nu}}

이다.)

'''2차원'''

:

\psi_{n,m}(r)=\sqrt{\frac{1}{na_0^2 (n+ \frac{1}{2})^3} \frac{(n-|m|)!}{[(n+|m|)!]^3}}\rho^

e^{-\frac{\rho}{2}} L_{n+|m|}^{2|m|} (\rho) e^{im\phi}

: (여기서

\rho=\frac{2r}{(n+1/2)a_0}

, L은 연관 라게르 다항식,

n=0,1,2,.., m=0,\pm1, \pm2,...

이다.)

'''3차원'''

:

\psi_{n,l,m}(r)=-\sqrt{(\frac{2}{na_0})^3 \frac{(n-l-1)!}{2n [(n+l)!]^3}}\rho^l e^{-\frac{\rho}{2}} L_{n+l}^{2l+1} \rho) Y_{l,m}(\theta , \phi)

: (여기서

\rho=\frac{2r}{na_0}

, L은 연관 라게르 다항식, Y는 구면 조화 함수,

n=1,2,3,..., l=0,1,2,...

이다.)

벌크 반도체에서 엑시톤은 '''엑시톤 리드베리 에너지'''와 '''엑시톤 보어 반지름'''이라고 하는 에너지와 반지름을 갖는다.^[9]

에너지는 다음과 같다.

:

E(n)=- \frac{ \left( \frac{\mu}{m_0 \varepsilon_r^2}\text{Ry} \right)}{n^2}  \equiv -\frac{R_\text{X}}{n^2}

여기서

\text{Ry}

는 리드베리 에너지 단위(리드베리 상수 참고),

\varepsilon_r

는 (정적) 상대 유전율,

\mu= (m^*_e m^*_h)/(m^*_e+m^*_h)

는 전자와 정공의 환산 질량,

m_0

는 전자 질량이다.

반지름은 다음과 같다.

:

r_n = \left(\frac{m_0 \varepsilon_r a_\text{H}}{\mu}  \right)n^2 \equiv a_\text{X}n^2

여기서

a_\text{H}

는 보어 반지름이다.

예를 들어, GaAs의 경우 상대 유전율은 12.8이고, 전자와 정공의 유효 질량은 각각 0.067''m₀'' 및 0.2''m₀''이다. 이를 통해

R_\text{X}=4.2

meV와

a_\text{X}=13

nm를 얻는다.

이차원(2D) 물질에서는 계가 물질 평면에 수직인 방향으로 양자 구속된다. 계의 감소된 차원은 왈니어 엑시톤의 결합 에너지와 반지름에 영향을 미친다. 이러한 시스템에서는 엑시톤 효과가 향상된다.^[10]

단순한 차폐 쿨롱 전위의 경우, 결합 에너지는 2D 수소 원자의 형태를 취한다.^[11]

:

E(n)= -\frac{R_\text{X}}{\left(n-\tfrac{1}{2}\right)^2}

.

대부분의 2D 반도체에서 Rytova–Keldysh 형태는 엑시톤 상호작용에 대한 보다 정확한 근사치이다.^[12]^[13]^[14]

:

V(r)= -\frac{e^2}{8 \epsilon_0 r_0}\left[\text{H}_0\left(\frac{\kappa r}{r_0}\right)-Y_0\left(\frac{\kappa r}{r_0}\right)\right].

여기서

r_0

는 소위 차폐 길이,

\epsilon_0

는 진공 유전율,

e

는 기본 전하,

\kappa

는 주변 매질의 평균 유전 상수,

r

은 엑시톤 반지름이다. 이 전위에 대해서는 엑시톤 에너지에 대한 일반적인 표현식을 찾을 수 없다. 대신 수치적 절차를 사용해야 하며, 이 전위가 2D 반도체에서 에너지의 비수소적 리드베리 계열을 발생시킨다.^[10]

양자점으로 작용하는 나노입자에서 엑시톤 반지름은 다음과 같이 주어진다.^[15]^[16]

:

a_\text{X} = \frac{\varepsilon_r}{\mu/m_0}a_0

여기서

\varepsilon_r

은 상대 유전율,

\mu \equiv (m_e^*m_h^*)/(m_e^*+m_h^*)

는 전자-정공 계의 환산 질량,

m_0

는 전자 질량,

a_0

는 보어 반지름이다.

5. 3. 엑시톤의 속박 상태 에너지 준위

반도체에서 유전 상수는 일반적으로 커서 스크리닝 효과가 전자와 양공 사이의 쿨롱 상호작용을 감소시킨다. 이로 인해 격자 간격보다 훨씬 큰 반경을 갖는 못-워니어 엑시톤이 나타난다. 격자 퍼텐셜 효과는 전자와 양공의 유효 질량에 영향을 미치며, 더 낮은 질량과 스크린된 쿨롱 상호 작용으로 인해 결합 에너지는 보통 수소 원자보다 훨씬 작아, 대개 0.1 전자볼트 정도이다.^[9]

엑시톤은 두 입자로 이루어진 슈뢰딩거 방정식 형태인 와니어 방정식으로 기술할 수 있다. 와니어 방정식의 풀이를 통해 엑시톤의 파동함수와 속박 상태 에너지 준위를 계산할 수 있으며, 그 결과는 차원에 따라 다음과 같다.

준1차원: $E_\lambda=-E_0 \frac{1}{\lambda^2}$
2차원: $E_n =-E_0\frac{1}{(n+1/2)^2}$
3차원: $E_n=-E_0\frac{1}{n^2}$

위 식에서

E_0=\frac{e^4m_r}{2\epsilon_0^2\hbar^2}

이다.

벌크 반도체에서 엑시톤은 '''엑시톤 리드베리 에너지'''와 '''엑시톤 보어 반지름'''이라고 하는 에너지와 반지름을 갖는다.^[9]

종류	식	설명
에너지	$E(n)=- \frac{ \left( \frac{\mu}{m_0 \varepsilon_r^2}\text{Ry} \right)}{n^2} \equiv -\frac{R_\text{X}}{n^2}$	$\text{Ry}$ 는 리드베리 에너지 단위, $\varepsilon_r$ 는 (정적) 상대 유전율, $\mu= (m^_e m^_h)/(m^_e+m^_h)$ 는 전자와 정공의 환산 질량, $m_0$ 는 전자 질량
반지름	$r_n = \left(\frac{m_0 \varepsilon_r a_\text{H}}{\mu} \right)n^2 \equiv a_\text{X}n^2$	$a_\text{H}$ 는 보어 반지름

예를 들어, GaAs의 경우 상대 유전율은 12.8이고, 전자와 정공의 유효 질량은 각각 0.067''m₀'' 및 0.2''m₀''이다. 이를 통해 $R_\text{X}=4.2$ meV와 $a_\text{X}=13$ nm를 얻는다.

이차원(2D) 물질에서는 계가 물질 평면에 수직인 방향으로 양자 구속되어 엑시톤 효과가 향상된다.^[10] 단순한 차폐 쿨롱 전위의 경우, 결합 에너지는 2D 수소 원자의 형태를 취한다.^[11]

: $E(n)= -\frac{R_\text{X}}{\left(n-\tfrac{1}{2}\right)^2}$ .

양자점과 같이 양자 구속 효과를 나타내는 나노입자에서 엑시톤 반지름은 다음과 같이 주어진다.^[15]^[16]

: $a_\text{X} = \frac{\varepsilon_r}{\mu/m_0}a_0$

여기서 $\varepsilon_r$ 은 상대 유전율, $\mu \equiv (m_e^*m_h^*)/(m_e^*+m_h^*)$ 는 전자-정공 계의 환산 질량, $m_0$ 는 전자 질량, $a_0$ 는 보어 반지름이다.

엑시톤을 생성하는 데 필요한 에너지는 전자와 정공 사이의 결합 에너지만큼 밴드갭 에너지보다 낮다. 즉, 엑시톤 상태는 전자와 정공이 고립되어 있는 상태보다 안정적이다. 따라서 반사 스펙트럼에서는 띠간 전이에 의한 연속 스펙트럼보다 저에너지 쪽에 뾰족한 피크로 나타난다.

5. 4. 광학적 흡수

외부에서 들어온 광자와 엑시톤의 반응에 의해 흡수가 일어난다. 이때 흡수되는 에너지는 위에서 보인 엑시톤의 에너지 준위를 통해 예상할 수 있다.

흡수 과정에서 총 에너지와 파수벡터가 보존되어야 한다. 엑시톤의 파수벡터 보존은 엑시톤을 이루고 있는 전자와 양공 각각의 파수벡터가 보존되는 것을 의미하지는 않는다.

실제로 엑시톤과 광자는 상호작용을 하는데, 이를 폴라리톤이라는 준입자를 통해 설명한다. 엑시톤의 광학적 흡수에 대해 더 자세히 알기 위해서는 폴라리톤에 대한 이해가 필요하며, 포논에 대한 효과도 고려해야 한다.

6. 엑시톤의 생성

엑시톤은 주로 광여기와 같은 방법으로 전자-정공 쌍생성에 의해 생성된다. 빛 등의 여기(excitation)에 의해 절연체 또는 반도체의 가전자대 전자가 전도대로 전이하면서 엑시톤이 형성된다.

구체적으로는 다음과 같은 과정을 거친다.

1. 빛 등의 여기에 의해, 절연체 또는 반도체의 가전자대의 전자가 전도대로 전이하여, 가전자대에 정공이, 전도대에 전자가 형성된다.

2. 정공은 양의 전하를 가지므로, 음의 전하를 가진 전자와 사이에 쿨롱 인력이 발생한다. 이 상태는 간단히 수소 원자의 핵(양성자)과 전자와 유사하게 취급할 수 있다.

3. 양성자와 전자가 쌍을 이룬 상태가 수소 원자인 것처럼, 전자와 정공이 쌍을 이룬 상태를 하나의 입자로 취급할 수 있으며, 이 상태를 '''엑시톤'''이라고 한다. 엑시톤은 비금속 결정에서 대표적인 전자 여기 상태이며, 광학적 특성에 크게 기여한다.

여기된 정공과 여기된 전자로도 엑시톤을 만들 수 있다.

7. 엑시톤의 특징

엑시톤은 전자와 양공의 결합 상태이므로 전기적으로 중성이며, 전류를 발생시키지 않는다.^[29] 엑시톤은 저온의 반도체에서 빛을 방출하는 주 메커니즘이며, 온도가 높아지면 자유 전자-양공 재결합으로 대체된다.^[29] 엑시톤 상태의 존재 여부는 엑시톤과 관련된 빛의 흡수로 확인할 수 있으며, 보통 밴드갭 바로 아래에서 관측된다.^[29]

엑시톤은 포논, 격자 왜곡과 상호작용하여 폴라론을 형성할 수 있다.^[29] 엑시톤끼리 상호작용하여 인력이 작용하면 수소 분자와 비슷한 쌍 엑시톤을 형성할 수 있다.^[29] 고밀도 엑시톤은 상호작용하여 전자-정공 액체를 형성할 수 있는데, 이는 k 공간 간접 반도체에서 관찰되는 상태이다.^[29]

엑시톤은 정수 스핀 입자로 낮은 밀도에서 보즈 통계를 따른다.^[40] 일부 시스템에서는 상호 작용이 반발적인 경우 보스-아인슈타인 응축 상태가 예측되며, 실제로 실험에서 관측되기도 했다.^[40] 결정 내에서 자유롭게 이동할 수 있는 엑시톤은 자유 엑시톤이라고 불린다.

참조

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_[2] 논문 Exciton physics and device application of two-dimensional transition metal dichalcogenide semiconductors 2018-09-10
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_[9] 서적 Optical Properties of Solids https://global.oup.c[...] Oxford University Press 2010-03-25
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_[41] 학술지 Exciton Condensation in Bilayer Quantum Hall Systems 2014-01-10
_[42] 학술지

엑시톤

1. 개요

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