완전군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 군 호몰로지
5. 예
6. 오레의 추측 (Ore's conjecture)
참조

1. 개요

완전군은 군 G가 스스로의 교환자 부분군과 같거나, 아벨화가 자명하거나, 모든 정규 부분군에 대한 몫군이 아벨 군이 아닌 군이다. 오토 그룬의 그륀 보조정리에 따르면, 완전군을 그 중심으로 나눈 몫군은 자명한 중심을 가지며, 완전군의 모든 상위 중심은 중심과 같다. 군 호몰로지 관점에서 완전군은 첫 번째 호몰로지 군이 사라지는 군이며, 예시로는 자명군, 5차 교대군 A5, 모든 비아벨 단순군 등이 있다. 오레의 추측은 5개 이상의 원소를 가진 교대군이 교환자만을 포함하며, 모든 유한 비가환 단순군에 대해서도 마찬가지라는 추측으로, 유한 단순군의 분류 정리에 의해 증명되었다.

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완전군

2. 정의

군 $G$ 가 다음의 서로 동치인 조건들을 만족하면 '''완전군'''이라고 한다.

스스로의 교환자 부분군과 같다. 즉, $[G,G]=G$ 이다.
아벨화가 자명하다. 즉, $G^{\text{ab}}=\{1\}$ 이다. 이는 1차 군 코호몰로지가 자명하다는 의미( $H^1(G,\mathbb Z)=0$ )와 같다.
모든 정규 부분군에 대한 몫군이 아벨 군이 아니거나, 자명군이다.

가장 작은 (자명하지 않은) 완전군은 교대군

A_5

이다. 더 일반적으로, 모든 비가환 단순군은 완전군이다. 왜냐하면 단순군의 교환자 부분군은 자기 자신 또는 자명군인데, 비가환이므로 자기 자신이 되어야 하기 때문이다. 하지만 완전군이라고 해서 반드시 단순군인 것은 아니다. 예를 들어, 5개의 원소를 갖는 체 위의 특수 선형군 SL(2,5)는 이진 이십면체 군과 동형인데, 이 군은 완전군이지만 단순군은 아니다. 그 이유는

\left(\begin{smallmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{smallmatrix}\right) = \left(\begin{smallmatrix}4 & 0 \\ 0 & 4\end{smallmatrix}\right)

(체

\mathbb{F}_5

에서)를 포함하는 자명하지 않은 중심을 갖기 때문이다.

두 개의 비가환 단순군의 직적

G_1 \times G_2

는 완전군이지만 단순군은 아니다. 두 원소

(a,b), (c,d) \in G_1 \times G_2

의 교환자는

[(a,b), (c,d)] = ([a,c], [b,d])

로 계산된다. 각 단순군

G_1, G_2

는 완전군이므로 교환자들로 생성된다. 따라서 교환자들의 쌍

([a,c], [b,d])

는 직적

G_1 \times G_2

전체를 생성하므로, 직적 역시 완전군이다.

SO(3)

의 부분군인 이십면체 군

I_{60}

에 대한 몫공간

SO(3)/I_{60}

의 기본군은 크기가 120인 완전군이다.^[1]

더 일반적으로, 준단순군 (단순군의 완전한 중심 확대)은 완전군이지만 단순군은 아니다 (단, 자명하지 않은 확대일 경우). 예를 들어, 가해 불가능한 비단순 유한 특수 선형군 SL(''n'',''q'')는 사영 특수 선형군 PSL(''n'',''q'')의 확대인데, PSL(''n'',''q'')가 단순군이므로 SL(''n'',''q'')는 준단순군에 해당될 수 있다. (앞서 언급한 SL(2,5)는

A_5

와 동형인 PSL(2,5)의 확대이다). 마찬가지로, 실수 및 복소수 위의 특수 선형군 SL(''n'', '''R''') 및 SL(''n'', '''C''')는 완전군이다. 하지만 일반 선형군 GL은 행렬식 함수가 자명하지 않은 아벨화를 제공하며, 그 교환자 부분군이 SL이므로 (자명하거나

\mathbb{F}_2

위의 경우를 제외하고) 완전군이 아니다.

자명하지 않은 완전군은 가해일 수 없다. 또한, 유한 완전군의 크기는 4로 나누어떨어져야 하며, 만약 8로 나누어떨어지지 않는다면 3으로 나누어져야 한다.^[2]

모든 비순환군은 완전군이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어,

A_5

는 완전군이지만 비순환적이지 않다 (심지어 초완전도 아니다). 사실,

n\ge 5

인 교대군

A_n

은 완전군이지만 초완전군은 아니며,

n \ge 8

일 때 2차 호몰로지 군

H_2(A_n,\Z)

는

\Z/2

와 동형이다.

완전군의 모든 몫군은 완전군이다. 단순군이 아닌 자명하지 않은 유한 완전군은 항상 적어도 하나의 더 작은 비가환 단순군의 확대여야 한다. 하지만 하나의 군이 여러 다른 단순군의 확대가 될 수도 있다. 실제로, 완전군들의 직적 또한 완전군이다.

모든 완전군

G

에 대해, 전사 사상

f: E \to G

가 존재하며, 이 사상의 핵이

E

의 중심에 포함되는 또 다른 완전군

E

(이를

G

의 '''보편 중심 확대''')가 존재한다. 이러한 성질을 만족하는 사상

f

는 보편적이다. 사상

f

의 핵은

G

의 '''슈어 승수'''라고 불리며, 이는 1904년 이사히 슈어가 처음 연구했다. 슈어 승수는 2차 호몰로지 군

H_2(G)

와 동형이다.

대수적 K-이론의 '''플러스 구성'''에서는, 가환환

A

에 대해 무한 일반 선형군

\operatorname{GL}(A) = \text{colim} \operatorname{GL}_n(A)

을 고려할 때, 기본 행렬들의 부분군

E(A)

는 완전군인 부분군을 형성한다.

특히 대수적 K-이론 분야에서, 군

G

의 교환자 부분군

[G,G]

가 완전군일 경우,

G

를 '''준완전군'''이라고 한다. 즉, 준완전군은

[ [G,G], [G,G] ] = [G,G]

(

G^{(2)} = G^{(1)}

)를 만족하는 군이며, 완전군은

[G,G] = G

(

G^{(1)} = G

)를 만족하는 군이다.

3. 성질

군 $G$ 가 다음의 서로 동치인 조건들을 만족시키면 '''완전군'''이라고 한다.

스스로의 교환자 부분군과 같다. 즉, $[G,G]=G$ 이다.
아벨화가 자명군이다. 즉, $G^{\text{ab}}=\{1\}$ 이다. 이는 1차 군 코호몰로지가 자명하다는 의미( $H^1(G,\mathbb Z)=0$ )와 같다.
모든 정규 부분군에 대한 몫군이 아벨 군이 아니거나, 자명군이다.

'''그륀 보조정리'''(Grün’s lemma|그륀 보조정리^영어)에 따르면, 완전군

G

의 중심

Z(G)

에 대한 몫군

G/Z(G)

의 중심은 자명군이다.^[5] 이 보조정리는 1935년 오토 그룬에 의해 증명되었다.^[4] 그 내용은 다음과 같다.

> '''그륀 보조정리''': 완전군

G

의 중심을

Z(G)

라고 할 때, 몫군

G/Z(G)

의 중심은 자명군이다.

> '''증명:''' ''G''가 완전군이라고 하자. ''Z''₁ =

Z(G)

를 ''G''의 중심으로, ''Z''₂/''Z''₁를 ''G''/''Z''₁의 중심으로 정의하자 (즉, ''Z''₁과 ''Z''₂는 ''G''의 상승 중심 열의 첫 두 항이다). ''H''와 ''K''가 ''G''의 부분군일 때, 이들의 교환자를 [''H'', ''K'']로 표기한다. 정의에 따라 [''Z''₁, ''G''] = {1}이고 [''Z''₂, ''G''] ⊆ ''Z''₁이다. 세 부분군 보조 정리 (또는 이와 동등한 Hall-Witt 항등식)를 이용하면 다음을 얻는다.

> :

[Z_2,G,G]=> : [G,Z_2,G]=> 따라서 [''G'', ''G'', ''Z''

₂] = {1}이다. ''G''는 완전군이므로 [''G'', ''G''] = ''G''이다. 그러므로 [''G'', ''Z''₂] = {1}이 성립하고, 이는 ''Z''₂가 ''G''의 중심 ''Z''₁에 포함됨을 의미한다 (''Z''₂ ⊆ ''Z''₁). 따라서 몫군 ''G'' / ''Z''₁ = ''G'' / ''Z''(''G'')의 중심인 ''Z''₂/''Z''₁은 자명군이다.이 정리의 결과로, 완전군의 모든 상위 중심 (상승 중심 열의 상위 항들)은 그 중심과 같다.가장 작은 자명하지 않은 완전군은 차수가 60인 교대군 ''A''₅이다. 더 일반적으로, 모든 비가환 단순군은 완전군이다. 왜냐하면 교환자 부분군은 정규 부분군이고, 단순군의 정규 부분군은 자명군 또는 전체 군뿐인데, 비가환 단순군은 아벨화가 자명해야 하므로 교환자 부분군이 전체 군과 같기 때문이다. 하지만 완전군이라고 해서 반드시 단순군인 것은 아니다. 예를 들어, 5개 원소를 갖는 체

\mathbb{F}_5

위의 특수 선형군 SL(2, 5)는 완전군이지만, 이 군은

\left(\begin{smallmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{smallmatrix}\right)

로 생성되는 자명하지 않은 중심을 가지므로 단순군이 아니다. 이 군은 이진 이십면체 군과 동형이다.

두 개의 비가환 단순군의 직적 역시 완전군이지만 단순군은 아니다. 예를 들어,

G = S_1 \times S_2

라면, 교환자는

[(a,b),(c,d)] = ([a,c], [b,d])

형태가 된다. 각 단순군

S_1, S_2

의 교환자들이 각각

S_1, S_2

를 생성하므로, 교환자들의 쌍은 직적

G

전체를 생성한다. 따라서

[G,G]=G

이지만,

S_1 \times \{1\}

과

\{1\} \times S_2

는 자명하지 않은 정규 부분군이므로

G

는 단순군이 아니다.

SO(3)/I_{60}

의 기본군은 차수가 120인 완전군이다.^[1]

더 일반적으로, 준단순군(단순군의 완전한 중심 확대)은 완전군이지만 단순군은 아니다 (자명하지 않은 확장의 경우). 예를 들어, 유한 특수 선형군 SL(''n'', ''q'')는 사영 특수 선형군 PSL(''n'', ''q'')의 중심 확대이며, 가해군이 아닌 한 (즉, ''n'' ≥ 2 이고 (''n'', ''q'') ≠ (2, 2), (2, 3)) 완전군이다. SL(2, 5)는 ''A''₅와 동형인 PSL(2, 5)의 확대이다. 비슷하게, 실수 및 복소수 위의 특수 선형군 SL(''n'', '''R''')과 SL(''n'', '''C''')도 완전군이다. 반면, 일반 선형군 GL은 행렬식 사상이 자명하지 않은 아벨화를 제공하므로 완전군이 아니다 (GL의 교환자 부분군은 SL이다). 예외는 GL(2,

\mathbb{F}_2

)인데, 이는 대칭군

S_3

와 동형이며 교환자 부분군은 ''A''₃ (차수 3의 순환군)이고 완전군이 아니다.

자명하지 않은 완전군은 가해군일 수 없다. 또한 유한 완전군의 차수는 4로 나누어지며, 만약 8로 나누어지지 않는다면 3으로 나누어진다.^[2]

모든 비순환군은 완전군이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, ''A''₅는 완전군이지만 비순환군은 아니다 (사실, 초완전도 아니다). 실제로,

n \ge 5

인 교대군

A_n

은 완전군이지만,

n \ge 8

일 때

H_2(A_n,\mathbb Z) = \mathbb Z/2

이므로 초완전군이 아니다.

완전군의 모든 몫군은 완전군이다. 단순군이 아닌 자명하지 않은 유한 완전군은 적어도 하나의 더 작은 비가환 단순군의 확대여야 한다. 그러나 하나 이상의 단순군의 확대일 수도 있다.

모든 완전군 ''G''는 보편적인 중심 확대라고 불리는 또 다른 완전군 ''E''를 결정한다. 이는 전사 함수 ''f'': ''E'' → ''G''가 존재하고, ''f''의 핵이 ''E''의 중심에 포함되는 성질을 만족하며, 이러한 성질 중 보편적이다. ''f''의 핵은 ''G''의 슈어 승수라고 불리며, 이는 1904년 이사히 슈어에 의해 처음 연구되었다. 슈어 승수는 제2 호몰로지 군

H_2(G, \mathbb Z)

와 동형이다.

대수적 K-이론의 '''플러스 구성'''에서는, 가환환

A

에 대해 안정 일반 선형군

\operatorname{GL}(A) = \text{colim} \operatorname{GL}_n(A)

을 고려할 때, 기본 행렬들의 부분군

E(A)

는 완전군인 부분군

[\operatorname{GL}(A), \operatorname{GL}(A)]

와 같다.

교환자 부분군은 정의상 교환자들로 ''생성''되므로, 완전군은 모든 원소가 교환자의 곱으로 표현될 수 있지만, 모든 원소가 반드시 교환자 자체일 필요는 없다. 외위스테인 오레는 1951년에 5개 이상의 원소를 갖는 교대군 ''A''_n (

n \ge 5

)의 모든 원소는 교환자임을 증명했고, 모든 유한 비가환 단순군에 대해서도 이것이 참일 것이라고 추측했다. 이 오레 추측은 유한 단순군의 분류 정리에 의존하여 2008년에 최종적으로 증명되었다.

군 호몰로지의 관점에서 보면, 완전군은 정확히 첫 번째 호몰로지 군

H_1(G, \mathbb Z)

가 자명한 군이다. 이는 군의 첫 번째 호몰로지 군이 정확히 그 군의 아벨화(

G/[G,G]

)와 같기 때문이다. 이 정의는 다음과 같이 확장될 수 있다.

초완전군은 첫 두 호몰로지 군이 자명한 군이다: $H_1(G,\mathbb Z)=H_2(G,\mathbb Z)=0$ .
비순환군은 모든 양수 차수의 (축소) 호몰로지 군이 자명한 군이다: $\tilde H_i(G;\mathbb Z) = 0$ for $i \ge 1$ .

특히 대수적 K-이론 분야에서, 군 G가 '''준완전군'''이라는 것은 교환자 부분군이 완전군인 경우를 의미한다. 즉, ''G''⁽¹⁾ = [G, G] 라 할 때, ''G''⁽²⁾ = [''G''⁽¹⁾, ''G''⁽¹⁾] = ''G''⁽¹⁾ 인 군을 준완전군이라고 한다. 완전군은 ''G''⁽¹⁾ = ''G'' 인 경우이다.

4. 군 호몰로지

군 호몰로지의 관점에서, 완전군은 첫 번째 호몰로지 군 $H_1(G, \mathbb Z)$ 이 자명군인 군이다. 이는 군의 첫 번째 호몰로지 군이 정확히 그 군의 아벨화 $G^{\text{ab}}$ 와 같고, 완전군은 정의상 아벨화가 자명하기 때문이다 ( $G^{\text{ab}}=\{1\}$ ).

이 정의는 다음과 같이 확장될 수 있다.

초완전군은 첫 두 호몰로지 군이 자명한 군이다: $H_1(G,\mathbb Z)=H_2(G,\mathbb Z)=0$ .
비순환군은 모든 양수 차수의 호몰로지 군이 자명한 군이다: $H_i(G,\mathbb Z)=0$ for $i \ge 1$ . 이는 모든 환원 호몰로지 군 $\tilde H_i(G;\mathbb Z)$ 이 자명하다는 것과 동치이다.

5. 예

자명군은 자명하게 완전군이다. 자명군이 아닌 가장 작은 완전군은 5차 교대군 $A_5$ 이다.

일반적으로, 모든 비아벨 단순군은 완전군이다. 이는 군의 교환자 부분군이 군 전체와 같기 때문이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 완전군이라고 해서 항상 단순군인 것은 아니다.

5개의 원소를 갖는 유한체 $\mathbb F_5$ 에 대한 2×2 특수선형군 $\operatorname{SL}(2;\mathbb F_5)$ 는 완전군이지만 단순하지 않다. 이 군은 이진 이십면체 군과 동형이며, $\left(\begin{smallmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{smallmatrix}\right)$ 를 포함하는 자명하지 않은 중심을 갖는다.
두 개의 비가환 단순군의 직적은 완전군이지만 단순군은 아니다.
준단순군(단순군의 완전한 중심 확대)은 완전군이지만 단순군은 아니다. 예를 들어, 사영 특수 선형군 PSL(''n'',''q'')의 확장인 특수 선형군 SL(''n'',''q'') (''n'' ≥ 2, ''q'' ≥ 4)는 대부분 가해 불가능한 비단순 완전군이다. 앞서 언급한 SL(2,5)는 ''A''₅와 동형인 PSL(2,5)의 확장인 예에 해당한다.
$SO(3)/I_{60}$ 의 기본군은 차수가 120인 완전군이다.^[1]

반면, 일반 선형군 GL은 행렬식 사상이 자명하지 않은 가환화를 제공하므로 일반적으로 완전군이 아니다 (자명하거나

\mathbb{F}_2

위에서 GL과 SL이 같은 특수한 경우는 제외). GL의 교환자 부분군은 SL이다.

자명하지 않은 완전군은 가해군일 수 없다. 또한, 유한 완전군의 차수는 4의 배수이며, 만약 8의 배수가 아니라면 3의 배수이다.^[2]

모든 비순환군이 완전군인 것은 아니며, 그 역도 성립하지 않는다. 예를 들어, ''A''₅는 완전군이지만 비순환적이지 않으며, 초완전군도 아니다. 사실,

n\ge 5

인 교대군

A_n

은 완전군이지만,

n \ge 8

일 때 제2 호몰로지 군

H_2(A_n,\Z)

이

\Z/2

와 같으므로 초완전군은 아니다.

완전군의 모든 몫군은 완전군이다. 단순군이 아닌 자명하지 않은 유한 완전군은 적어도 하나의 더 작은 단순 비가환군의 확장이 된다.

모든 완전군 ''G''는 보편 중심 확대(universal central extension)라고 불리는 또 다른 완전군 ''E''를 결정한다. 이때 전사 사상 ''f'': ''E'' → ''G''가 존재하며, ''f''의 핵은 ''E''의 중심에 속한다. 이 핵은 ''G''의 슈어 승수(Schur multiplier)라고 불리며, 호몰로지 군

H_2(G)

와 동형이다.

대수적 K-이론의 플러스 구성에서, 가환환

A

에 대한 무한 일반 선형군

\operatorname{GL}(A) = \text{colim} \operatorname{GL}_n(A)

을 고려할 때, 기본 행렬의 부분군

E(A)

는 완전군 부분군을 형성한다.

외위스테인 오레는 1951년에 5개 이상의 원소에 대한 교대군과 모든 유한 비가환 단순군에서 모든 원소가 교환자 자체로 표현될 수 있다고 추측했다. 이 오레 추측은 유한 단순군의 분류 정리에 기반하여 2008년에 증명되었다.

6. 오레의 추측 (Ore's conjecture)

완전군은 그 교환자 부분군과 같은 군을 의미한다. 교환자 부분군은 군 내의 모든 교환자에 의해 생성되므로, 완전군의 모든 원소는 교환자들의 곱으로 표현될 수 있다. 그러나 완전군에는 교환자들의 곱으로 표현되지만 교환자 자체는 아닌 원소가 포함될 수도 있다.

외위스테인 오레는 1951년에, 5개 이상의 원소를 갖는 교대군의 모든 원소는 실제로는 교환자 자체라는 것을 증명하였다. 더 나아가 그는 모든 유한 비가환 단순군에 대해서도 같은 성질이 성립할 것이라고 추측했는데, 이를 오레의 추측이라고 부른다.

오레의 추측은 2008년에 최종적으로 참임이 증명되었다. 이 증명은 유한 단순군의 분류 정리에 크게 의존한다.

참조

_[1] 논문 The Poincaré Conjecture
_[2] StackExchange Is a non-trivial finite perfect group of order 4n? https://math.stackex[...] 2015-07-07
_[3] 저널 The Ore conjecture https://www.math.auc[...]
_[4] 문서 Satz is German for "theorem".
_[5] 저널 Beiträge zur Gruppentheorie. I. http://resolver.sub.[...]

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