완화 시간

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1. 개요
2. 볼츠만 운송 방정식
3. 완화 시간 근사
4. 대기 과학에서의 완화 시간
5. 추가 정보
참조

1. 개요

완화 시간은 평형 상태로 되돌아가는 데 걸리는 시간을 의미하며, 여러 분야에서 다양한 의미로 사용된다. 물리학에서는 볼츠만 운송 방정식, RC 회로, 응력 완화, 유전 완화, 액체 및 비정질 고체의 구조 완화, 스핀 완화 등 다양한 현상을 설명하는 데 사용된다. 화학 반응속도론에서는 화학 반응의 속도를 측정하는 데 활용되며, 대기 과학에서는 구름 내 과포화 소멸에 걸리는 시간을, 천문학에서는 은하 내 별들의 중력적 상호작용으로 인해 별의 궤도가 변하는 데 걸리는 시간을 의미한다. 완화 시간은 특정 시점의 비평형 상태 값과 평형 상태 값의 차이를 시간에 대한 변화율로 나눈 값으로 정의되며, 시간에 대한 변화율이 평형과의 차이에 비례하는 경우 지수 함수적으로 감쇠한다. 평균 수명은 완화 시간과 같으며, 반감기는 평균 수명의 ln 2 배로 정의된다.

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천문학에서의 시간 - 동지점
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완화 시간
개요
설명	섭동된 시스템이 평형 상태로 되돌아가는 과정.
수학적 표현	exp(−t/τ)
관련 개념
완화 시간 (Relaxation Time)	시스템이 평형 상태로 돌아가는 데 걸리는 시간.
특징
지수 함수적 감쇠	일반적으로 시스템의 변화는 시간에 따라 지수 함수적으로 감쇠한다.
다양한 시스템에 적용 가능	기체, 액체, 고체 등 다양한 물리적 시스템에서 관찰된다.
응용
유전 완화	유전체 물질에서 전기장이 제거된 후 분극이 사라지는 과정.
자기 완화	자성 물질에서 자화가 평형 상태로 돌아가는 과정.
핵자기 공명 (NMR)	핵 스핀의 완화를 이용한 분광학 기술.
화학 반응	반응물이 평형 농도에 도달하는 과정.
전도	금속이나 반도체에서 전하 캐리어의 평형 상태로의 복귀.
추가 정보
참고	특성 시간 (Characteristic time)

2. 볼츠만 운송 방정식

볼츠만 운송 방정식은 전자의 분포함수가 외부 힘과 충돌에 의해 어떻게 변화하는지를 나타내는 방정식이다. 전자는 외부 힘에 의한 변화와 충돌에 의한 변화를 모두 고려하여 평형 상태를 유지한다.

볼츠만 운송 방정식에서 표류에 의한 분포함수 변화율과 충돌에 의한 분포함수 변화율의 합은 0이다.^[1]

: $(\frac {df} {dt})_{drift}+ (\frac {df} {dt})_{coll}=0$

따라서 충돌에 의한 분포함수 변화율, 즉 충돌항은 다음과 같이 표현된다.^[1]

: $(\frac {df} {dt})_{coll}= \frac{1}{\hbar}(F \cdot \nabla_k f) +v\cdot \nabla_r f + \frac{\partial f}{\partial t}$

2. 1. 전자의 분포함수

외부에서 힘

\vec F

를 가할 때, 전자의 파동 벡터

\vec k

는 다음 식을 만족하며 변화한다.

:

\hbar \frac {d\vec k} {dt}= \vec F

시간 t에서 위치가

\vec r

, 파동 벡터가

\vec k

인 전자의 확률밀도함수를

f(\vec k,\vec r,t)

로 나타내며, 이를 전자의 분포함수라고 부른다.

전자의 상태가 산란되지 않고 외부 힘에 의해서만 변한다고 가정하면, 전자는 dt 시간 후에 위치는

r +\dot r dt

, 파동 벡터는

k +\dot k dt

인 상태가 된다. 역으로,

r -\dot r dt

,

k -\dot k dt

인 상태는 dt초 후에

f(\vec k,\vec r,t)

인 상태로 변화한다고 볼 수 있다.

따라서 분포함수의 변화율은 다음과 같다.

:

(\frac {df} {dt})_{drift}=[f(k-\dot k dt, r-\dot r dt, t-dt)-f(k,r,t)]/dt

이는 연속적인 전자의 흐름과 관련되므로 표류기간이라고 부른다.

f(k-\dot k dt, r-\dot r dt, t-dt)

을 테일러 전개하면 다음과 같다.

:

f(k-\dot k dt, r-\dot r dt, t-dt)=f(k,r,t)-[\dot k \cdot \frac{\partial f}{\partial k}+\dot r \cdot \frac{\partial f}{\partial r}+ \frac{\partial f}{\partial t}]dt\cdot \cdot \cdot

이를 대입하면 표류기간은 다음과 같다.

:

(\frac {df} {dt})_{drift}=-[ \dot k \cdot \nabla_k f +v\cdot \nabla_r f + \frac{\partial f}{\partial t} ]=-[ \frac{1}{\hbar}(F \cdot \nabla_k f) +v\cdot \nabla_r f + \frac{\partial f}{\partial t} ]

전자는 충돌(collision)에 의한 분포함수의 변화율도 고려하여 평형상태를 유지해야 한다. 따라서 표류에 의한 분포함수 변화율과 충돌에 의한 분포함수 변화율의 합은 0이다.

:

(\frac {df} {dt})_{drift}+ (\frac {df} {dt})_{coll}=0

그러므로 충돌에 의한 분포함수 변화율 식은 다음과 같다.

:

(\frac {df} {dt})_{coll}= \frac{1}{\hbar}(F \cdot \nabla_k f) +v\cdot \nabla_r f + \frac{\partial f}{\partial t}

이를 볼츠만 운송 방정식이라고 부른다.

2. 2. 표류기간 (Drift Term)

전자의 파동 벡터가

\vec k

일 때, 외부에서 힘

\vec F

를 가하면 전자는 다음 식을 만족하며 변화한다.

:

\hbar \frac {d\vec k} {dt}= \vec F

t초일 때 위치가

\vec r

, 파동 벡터가

\vec k

인 전자의 확률밀도함수를

f(\vec k,\vec r,t)

로 나타내고 이를 전자의 분포함수라고 부른다.

전자의 상태가 산란되지 않고 외부에서 가해준 힘에 의해서만 변한다고 가정하면, 전자는 dt 이후에 위치는

r +\dot r dt

, 파동 벡터는

k +\dot k dt

인 상태가 된다. 역으로

r -\dot r dt

,

k -\dot k dt

인 상태가 dt초 후에

f(\vec k,\vec r,t)

인 상태로 변한다고 볼 수 있다.

따라서 분포함수의 변화율은 다음과 같다.

:

(\frac {df} {dt})_{drift}=[f(k-\dot k dt, r-\dot r dt, t-dt)-f(k,r,t)]/dt

이는 연속적인 전자의 흐름과 관계되므로 표류기간이라고 부른다.

f(k-\dot k dt, r-\dot r dt, t-dt)

을 테일러 전개하면 다음과 같다.

:

f(k-\dot k dt, r-\dot r dt, t-dt)=f(k,r,t)-[\dot k \cdot \frac{\partial f}{\partial k}+\dot r \cdot \frac{\partial f}{\partial r}+ \frac{\partial f}{\partial t}]dt\cdot \cdot \cdot

이를 대입하면 표류기간은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

(\frac {df} {dt})_{drift}=-[ \dot k \cdot \nabla_k f +v\cdot \nabla_r f + \frac{\partial f}{\partial t} ]=-[ \frac{1}{\hbar}(F \cdot \nabla_k f) +v\cdot \nabla_r f + \frac{\partial f}{\partial t} ]

2. 3. 충돌항 (Collision Term)

전자는 충돌(collision)에 의한 분포함수의 변화율까지 고려해서 평형 상태를 유지해야 하므로, 표류에 의한 분포함수 변화율과 충돌에 의한 분포함수 변화율의 합은 0이어야 한다.^[1]

:

(\frac {df} {dt})_{drift}+ (\frac {df} {dt})_{coll}=0

따라서 충돌에 의한 분포함수 변화율 식은 다음과 같다.^[1]

:

(\frac {df} {dt})_{coll}= \frac{1}{\hbar}(F \cdot \nabla_k f) +v\cdot \nabla_r f + \frac{\partial f}{\partial t}

이를 볼츠만 운송 방정식이라 한다.^[1]

3. 완화 시간 근사

외부 장(field)이 매우 작고 분포 함수가 열적 평형에 가까우며, 산란(scattering)에 의한 에너지 변화가 매우 작은 탄성 충돌이라고 가정하면, 분포 함수 f(k)는 열적 평형 분포 함수 f₀(k)와 작은 변화량 f₁(k)의 합으로 나타낼 수 있다. 이때 f₁(k)는 f₀(k)에 비해 매우 작다. 이러한 가정 하에 충돌에 의한 분포 함수의 변화율은 다음과 같이 표현된다.^[8]

: $(\frac {df} {dt})_{coll}=-f_1(k)\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k' P(k,k') [1-\frac{f_1(k')}{f_1(k)}]\equiv-\frac{f_1(k)}{\tau(k)} \equiv-\frac{f(k)-f_0(k)}{\tau(k)}$

여기서 τ(k)는 완화 시간으로, 다음과 같이 정의된다.

: $\frac{1}{\tau(k)}=\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k' P(k,k') [1-\frac{f_1(k')}{f_1(k)}]$

이 식에서 V는 크리스탈의 부피, P(k,k')는 k 상태에서 k' 상태로의 전이 확률을 나타낸다.

외부에서 x 방향으로 장이 가해지는 경우, f₁은 다음과 같이 근사할 수 있다.

: $f_1=-\tau v_x F_x \frac{\partial f_0}{\partial E}$

여기서 v_x는 전자의 x 방향 속도, F_x는 x 방향으로 가해지는 힘, E는 전자의 에너지를 나타낸다. 이 식을 완화 시간 식에 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

: $\frac{1}{\tau(k)}=\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k' P(k,k') [1-\frac{k'_x}{k_x}]=\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k' P(k,k') [1-cos\theta]$

여기서 θ는 k와 k' 사이의 각을 의미한다. 즉, 완화 시간은 전자가 산란될 때 운동량의 변화에 영향을 받는다는 것을 알 수 있다.

3. 1. 완화 시간의 정의

크리스탈이 균일하고 분포 함수가 위치에 따라 무관하다고 가정하면, 분포 함수 f(k)는 k' 상태에서 k 상태로 전이되면서 증가하고, k 상태에서 k' 상태로 전이되면서 감소한다. 단위 시간당 전이 확률을 각각 P(k',k), P(k,k')라 할 때, 충돌 항은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[8]

:

(\frac {df} {dt})_{coll}= \sum_{k'}{ P(k',k)f(k')[1-f(k)]-P(k,k')f(k)[1-f(k')] }

여기서

f(k')[1-f(k)]

항은 전자가 k' 상태에 존재하고 k 상태에는 존재하지 않을 확률을 나타낸다. 페르미 준위(Fermi level)가 전도대(conduction band) 바닥에 있는 간단한 경우, f(k)와 f(k')은 매우 작다고 할 수 있다.

열적 평형 상태의 분포 함수를

f_0(k)

로 정의하면, 충돌에 의한 분포 함수 변화율은 0이어야 하므로 다음 관계식이 성립한다.

:

P(k',k)f_0(k')=P(k,k')f_0(k)

이를 이용하면 충돌에 의한 분포 함수 변화율은 다음과 같다.

:

(\frac {df} {dt})_{coll}=- \sum_{k'}{ P(k,k')[f(k)-f(k')\frac{f_0(k)}{f_0(k')}] }=-\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k' P(k,k') [f(k)-f(k')\frac{f_0(k)}{f_0(k')}]

여기서 V는 크리스탈의 부피이다.

외부 장(field)이 매우 작고 분포 함수가 열적 평형에 가까우며, 산란(scattering)에 의한 에너지 변화가 매우 작은 탄성 충돌이라고 가정하면, 다음 식이 성립한다.

:

f(k)=f_0(k)+f_1(k)

:

f_1(k)<

:

f_0(k)\cong f_0(k')

이를 통해 다음 식이 만족한다.

:

(\frac {df} {dt})_{coll}=-f_1(k)\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k' P(k,k') [1-\frac{f_1(k')}{f_1(k)}]\equiv-\frac{f_1(k)}{\tau(k)} \equiv-\frac{f(k)-f_0(k)}{\tau(k)}

따라서 충돌의 완화 시간은 다음과 같이 정의할 수 있다.^[8]

:

\frac{1}{\tau(k)}=\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k' P(k,k') [1-\frac{f_1(k')}{f_1(k)}]

한편, 완화 시간 근사(relaxation time approximation)를 이용하면 볼츠만 수송 방정식(Boltzmann transport equation)은 다음과 같이 완화 시간으로 표현할 수 있다.

:

\frac{1}{\hbar}(F \cdot \nabla_k f) +v\cdot \nabla_r f + \frac{\partial f}{\partial t} =-\frac{f-f_0}{\tau}

공간적으로 균일하고 정상 상태(steady state)일 때 위 식은 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다.

:

\frac{1}{\hbar}(F \cdot \nabla_k f) =-\frac{f_1}{\tau}

만약 외부에서 걸어주는 장이 x 방향이라면,

:

f_1=-\frac{\tau}{\hbar}F_x \frac{\partial f}{\partial k_x}=-\frac{\tau}{\hbar}F_x \frac{\partial f}{\partial E}\frac{\partial E}{\partial k_x}=-\tau v_x F_x \frac{\partial f}{\partial E}

위 식이 만족하고, 여기서

v_x=\frac {\hbar k_x}{m*}

이고 m*는 전자의 유효 질량(effective mass)이다.

:

f=f_0+f_1

과

f_0>>f_1

을 이용하면

:

f_1=-\tau v_x F_x \frac{\partial f_0}{\partial E}

로 근사할 수 있고, 이 식을 완화 시간 식에 대입하면 다음과 같은 식을 얻는다.

:

\frac{1}{\tau(k)}=\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k' P(k,k') [1-\frac{k'_x}{k_x}]=\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k' P(k,k') [1-cos\theta]

여기서

\theta

는 k와 k' 사이의 각을 의미한다.

감쇠된 외력이 없는 진동에서 용수철에 매달린 추의 운동은 다음과 같은 상미분 방정식으로 모델링할 수 있다.

:

m\frac{d^2 y}{d t^2}+\gamma\frac{d y}{d t}+ky=0

이때 변위는

y(t) = A e^{-t/T} \cos(\mu t - \delta)

의 형태를 가지며, 상수 T (

=2m/\gamma

)를 이 계의 완화 시간이라 하고, 상수 μ를 준주파수라 한다.

응축물질물리학에서 완화는 일반적으로 작은 외부 섭동에 대한 선형 응답으로 연구된다. 외부 섭동이 없더라도 기저에 있는 미시적 과정이 활동적이기 때문에, "평형으로의 완화" 대신 "평형에서의 완화"를 연구할 수도 있다(요동-소산 정리 참조).

많은 경우, 완화 시간은 특정 시점의 비평형 상태 값과 평형 상태 값의 차이를 시간에 대한 변화율로 나눈 값으로 정의된다.^[9]

:

[\mbox{Relaxation Time}] = \frac{[\mbox{Equilibrium Value}]-[\mbox{Present Value}]}{[\mbox{Rate of Change with respect to Time}]}\,.

이는 시간을 가로축으로 하여 어떤 양의 시간 변화를 그래프로 나타냈을 때, 특정 시점에서의 접선이 평형값과 교차할 때까지의 시간을 의미한다. 단, 완화 시간 내에 평형값에 도달하는 것은 시간 변화를 나타내는 곡선의 접선일 뿐이며, 실제로 평형에 도달하는지 여부와는 무관하다.

시간에 대한 변화율이 평형과의 차이에 비례하는 경우, 완화 시간은 시간에 대해 일정해진다.

:

[\mbox{Rate of Change with respect to Time}] \propto \left([\mbox{Equilibrium Value}]-[\mbox{Present Value}]\right)

:

\Rightarrow~ [\mbox{Relaxation Time}] = \mathrm{constant}\,.

이때 평형값과의 차이는 시간에 따라 지수 함수적으로 감쇠하고, 완화 시간이 지날 때마다 관찰하는 양의 값은 e⁻¹ 배 (≈ 37 %)로 감소한다.

:

\begin{align}&\frac{dx(t)}{dt}=\frac{1}{\tau_\mathrm{relax}}\left(x_\mathrm{eq} - x(t)\right)\\&\Rightarrow~ x(t)=x_\mathrm{eq} - \left(x_\mathrm{eq} - x(0)\right)\operatorname{e}^{-t/\tau_\mathrm{relax}}\,.\end{align}

여기서 각각,

:

x(t)\,:

관찰하는 양,

x_\mathrm{eq}\,:

관찰하는 양의 평형 상태에서의 값(eq는 equilibrium의 약자),

:

t\,:

시간,

\tau_\mathrm{relax}\,:

완화 시간,

\frac{dx(t)}{dt}\,:

관찰하는 양의 시간 변화율(시간 미분)

을 나타낸다.

평균 수명은 완화 시간과 같다고 정의되며, 반감기는 평균 수명의 ln 2 배 (≈ 69 %)로 정의된다.

시간 변화율이 평형과의 차이에 비례하지 않고 완화 시간이 일정하지 않은 경우, 완화 시간은 적절한 지표가 될 수 없으므로 그 값 자체에는 의미가 없어진다.

3. 2. RC 회로에서의 완화 시간

RC 회로에서 충전된 축전기와 저항을 포함하는 경우, 전압은 지수적으로 감소한다.

:

V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{RC}}

여기서 상수

\tau = RC

는 회로의 ''완화 시간'' 또는 RC 시정수라고 부른다. 저항을 통해 축전기가 반복적으로 방전되면서 반복적인 파형을 생성하는 비선형 발진기 회로를 ''완화 발진기''라고 한다.

3. 3. 응력 완화

연속체 역학에서 ''응력 완화''는 점탄성 물질이 변형된 후 응력이 점차적으로 사라지는 현상이다.^[1]

3. 4. 유전 완화

유전체 물질에서 유전 분극 ''P''는 전기장 ''E''에 따라 달라진다. ''E''가 변하면 ''P''(''t'')가 반응한다. 즉, 분극이 새로운 평형 상태로 완화된다. 표면 전하가 평형을 이루는 것이다. 이는 유전 분광법에서 중요하다. 매우 긴 완화 시간은 유전 흡수를 유발한다.

유전 완화 시간은 전기 전도도와 밀접한 관련이 있다. 반도체에서는 전도 과정을 통해 중성화되는 데 걸리는 시간을 나타낸다. 이 완화 시간은 금속에서는 짧지만 반도체와 절연체에서는 길 수 있다.

3. 5. 액체 및 비정질 고체의 구조 완화

비정질 고체, 예를 들어 비정질 인도메타신과 같은 물질은 분자 운동의 온도 의존성을 보이는데, 이는 준안정 과냉각 액체 또는 유리에서 결정의 분자 운동 특성에 접근하는 고체의 평균 완화 시간으로 정량화할 수 있다. 시차주사열량계를 사용하여 분자 구조 완화로 인한 엔탈피 변화를 정량화할 수 있다.^[1]^[2]^[3]

"구조 완화"라는 용어는 1947/48년에 과학 문헌에 아무런 설명 없이 도입되어 NMR에 적용되었으며, "열 완화"와 같은 의미를 가진다.

3. 6. 스핀 완화 (NMR)

핵자기 공명(NMR)에서 다양한 완화는 측정하는 특성이다.

3. 7. 화학 반응에서의 완화

화학 반응속도론에서, 완화법은 매우 빠른 반응 속도를 측정하는 데 사용된다. 평형 상태에 있는 계는 온도(가장 일반적임), 압력, 전기장 또는 용매의 pH와 같은 매개변수의 급격한 변화에 의해 섭동을 받는다. 그런 다음 평형으로의 복귀는 일반적으로 분광학적 방법으로 관찰되고, 완화 시간이 측정된다. 이것은 계의 화학적 평형 상수와 결합하여 정반응과 역반응의 속도 상수를 결정할 수 있게 한다.^[4]

단분자 1차 가역 반응은 평형에 가까운 경우 다음과 같은 기호 구조로 나타낼 수 있다.

:

\ce{A} ~ \overset{k}{\rightarrow} ~ \ce{B} ~ \overset{k'}{\rightarrow} ~ \ce{A}

:

A <=> B

즉, 반응물 A와 생성물 B는 반응 속도 상수 k와 k'에 따라 서로 생성된다.

A의 농도를 구하기 위해, 정반응(

A ->[{k}] B

)은 시간에 따라 A의 농도를 감소시키는 반면, 역반응(

B ->[{k'}] A

)은 시간에 따라 A의 농도를 증가시킨다는 것을 알 수 있다.

따라서,

{d\ce{[A]} \over dt} = -k\ce{[A]}+k'\ce{[B]}

이고, 여기서 A와 B의 괄호는 농도를 나타낸다.

t = 0

일 때,

\ce{[A]}(t) = \ce{[A]}_0

라고 하고, 질량 보존 법칙을 적용하면, 시간에 따른 A와 B의 농도 합은 A₀의 농도와 같다고 할 수 있다. 단, A와 B가 용해된 용액의 부피는 변하지 않는다고 가정한다.

:

\ce{[A]} + \ce{[B]} = \ce{[A]}_0 \Rightarrow \ce{[B]} = \ce{[A]}_0 - \ce{[A]}

[A]₀과 [A](t)에 대한 [B]의 값을 대입하면

:

{d\ce{[A]} \over dt} = -k\ce{[A]} + k'\ce{[B]} = -k\ce{[A]}+k'(\ce{[A]}_0-\ce{[A]}) = -(k + k')\ce{[A]} + k'\ce{[A]}_0,

가 되고, 이것은 다음과 같은 분리 가능한 미분 방정식이 된다.

:

\frac{d\ce{[A]}}{-(k + k') \ce{[A]} + k'\ce{[A]}_0} = dt

이 방정식은 치환을 통해 다음과 같이 풀 수 있다.

:

\ce{[A]} = {k'-ke^{-(k+k')t} \over k+k'} \ce{[A]}_0

4. 대기 과학에서의 완화 시간

과포화된 구름에서 상승 기류, 혼합 등 외부 요인을 차단하고 평형 상태(상대 습도 100%)가 될 때까지 기다릴 때, 과포화가 소멸하는 데 걸리는 시간을 완화 시간이라고 한다. 이는 구름 내 얼음 결정이나 액체 물 함량이 성장하여 수분을 소비하면서 발생한다. 완화 시간은 구름 물리학에서 수학적 모델링을 위해 매우 중요하다.^[5]

물 구름의 경우, 수분 농도가 높고(cm³당 수백 개) 온도가 따뜻하여 완화 시간이 수 초에서 수 분으로 매우 짧다.^[5] 반면, 얼음 구름은 농도가 낮고(리터당 몇 개) 온도가 낮아 완화 시간이 수 시간에 달할 수 있다.

완화 시간(''T'')은 다음 식으로 주어진다.

''T'' = (4π ''DNRK'')⁻¹ 초

''D'': 확산 계수 [m²/s]
''N'': 농도 (얼음 결정 또는 물방울) [m⁻³]
''R'': 입자의 평균 반지름 [m]
''K'': 정전 용량 [무차원]

5. 추가 정보

많은 경우, 완화 시간은 특정 시점의 비평형 상태 값과 평형 상태 값의 차이를 시간에 대한 변화율로 나눈 값으로 정의된다.^[8]

이는 시간을 가로축으로 하여 어떤 양의 시간 변화를 그래프로 나타냈을 때, 특정 시점에서의 접선이 평형값과 교차할 때까지의 시간을 의미한다. 단, 완화 시간 내에 평형값에 도달하는 것은 시간 변화를 나타내는 곡선의 접선일 뿐이며, 실제로 평형에 도달하는지 여부와는 무관하다.^[8]

시간에 대한 변화율이 평형과의 차이에 비례하는 경우, 완화 시간은 시간에 대해 일정해진다. 이때 평형값과의 차이는 시간에 따라 지수 함수적으로 감쇠하고, 완화 시간이 지날 때마다 관찰하는 양의 값은 e⁻¹ 배 (≈ 37 %)로 감소한다.^[8]

평균 수명은 위의 완화 시간과 같다고 정의되며, 반감기는 평균 수명의 ln 2 배 (≈ 69 %)로 정의된다.^[9]

시간 변화율이 평형과의 차이에 비례하지 않고 완화 시간이 일정하지 않은 경우, 완화 시간은 적절한 지표가 될 수 없으므로 그 값 자체에는 의미가 없어진다.^[8]

참조

_[1] 논문 Ultrasonics research and the properties of matter 1947-01-01
_[2] 논문 (제목 없음) 2024-04-00
_[3] 논문 (제목 없음) 2024-04-00
_[4] 서적 Atkins' Physical Chemistry W.H.Freeman
_[5] 서적 A Short Course in Cloud Physics https://books.google[...] Elsevier Science
_[6] 서적 Galactic dynamics Princeton University Press 2008
_[7] 서적 Dynamical evolution of globular clusters https://openlibrary.[...] Princeton University Press
_[8] 문서 수학 방정식
_[9] 문서 수학 방정식 및 설명

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