위상 편이 변조

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1. 개요

위상 편이 변조(PSK)는 반송파의 위상을 변화시켜 데이터를 전송하는 디지털 변조 방식이다. PSK는 BPSK, QPSK, 8-PSK 등 다양한 종류가 있으며, 각 위상에 할당되는 비트 수에 따라 데이터 전송 속도가 달라진다. BPSK는 가장 단순한 형태이며, QPSK는 4개의 위상을 사용하여 심볼당 2비트를 인코딩한다. 8-PSK는 8개의 위상을 사용하여 심볼당 3비트를 표현하며, 고차 PSK는 더 높은 데이터 전송 속도를 제공하지만 오류율이 높아진다. DPSK는 위상 자체 대신 위상 변화를 사용하여 위상 모호성 문제를 해결하며, 차동 부호화 BPSK, DQPSK 등이 있다. PSK는 무선 LAN, RFID, 블루투스, 위성 통신, 모뎀 등 다양한 분야에서 활용되고 있으며, 신호 공간 다이어그램, 오류율, 대역폭 효율, 구현 방식 등의 기술적인 특징을 갖는다.

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위상 편이 변조
개요
PSK31 신호의 성좌도
종류	디지털 변조
약자	PSK
풀이	Phase-Shift Keying (위상 편이 방식)
다른 이름	위상 변조 방식
용도	디지털 통신
상세 정보
설명	디지털 정보를 반송파 신호의 위상을 변경하여 전송하는 변조 방식이다.
특징	간단한 구현 견고한 성능
활용	무선 통신 데이터 전송
종류
BPSK (Binary Phase-Shift Keying)	2진 위상 편이 방식, 2개의 위상 사용
QPSK (Quadrature Phase-Shift Keying)	직교 위상 편이 방식, 4개의 위상 사용
8PSK	8개의 위상 사용
16PSK	16개의 위상 사용
APSK (Amplitude Phase-Shift Keying)	진폭 위상 편이 방식

2. 역사

2. 1. 초기 발전

2. 2. 상용화 및 표준화

2. 3. 현대적 발전

3. 종류

3. 1. 이진 위상 편이 변조 (BPSK)

BPSK (Binary Phase-Shift Keying, 바이너리 위상 편이 변조)는 위상 편이 변조(PSK)의 가장 단순한 형태이다. 180°로 분리된 두 개의 위상을 사용하며, 2-PSK라고도 한다.^[1] 성상도의 점들은 실수축 상의 0°와 180°에 표시되어 있으며, 복조기가 잘못된 결정을 내리기 전까지 가장 높은 수준의 잡음 또는 왜곡을 처리할 수 있어, 모든 PSK 중에서 가장 강력하다.^[1] 그러나, 1 심볼(Symbol)로 1 비트(bit)만 변조할 수 있으므로, 고속 데이터 전송 응용 분야에는 적합하지 않고, 저속 통신이나 RFID 등에 사용된다.

통신 채널에 의해 임의의 위상 변이가 발생하면, 복조기는 어떤 성상도 점이 무엇을 나타내는지 알 수 없다. 결과적으로, 데이터는 변조 전에 종종 차등 부호화된다. BPSK는 2-QAM 변조와 기능적으로 동일하다.

BPSK의 일반적인 형태는 다음 방정식과 같다.

:

s_n(t) =   \sqrt{\frac{2E_b}{T_b}} \cos(2 \pi f t + \pi(1-n )),\quad n = 0,1.

이것은 0과 π의 두 위상을 생성한다. 이진 데이터는 종종 다음과 같은 신호로 전달된다.

:

s_0(t) =   \sqrt{\frac{2E_b}{T_b}} \cos(2 \pi f t + \pi )= - \sqrt{\frac{2E_b}{T_b}} \cos(2 \pi f t)

이진 "0"의 경우

:

s_1(t) = \sqrt{\frac{2E_b}{T_b}} \cos(2 \pi f t)

이진 "1"의 경우

여기서 ''f''는 기저대역의 주파수이다.

따라서 신호 공간은 단일 기저 함수로 표현될 수 있다.

:

\phi(t) = \sqrt{\frac{2}{T_b}} \cos(2 \pi f t)

여기서 1은

\sqrt{E_b} \phi(t)

로, 0은

-\sqrt{E_b} \phi(t)

로 표현된다.

가산 백색 가우시안 잡음 (AWGN) 하에서 BPSK의 비트 오류율 (BER)은 다음과 같이 계산할 수 있다.^[1]

:

P_b = Q\left(\sqrt{\frac{2 E_b}{N_0}}\right)

또는

P_e = \frac{1}{2} \operatorname{erfc} \left( \sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\right)

심볼당 비트가 하나뿐이므로, 이것은 또한 심볼 오류율이기도 하다.

3. 2. 직교 위상 편이 변조 (QPSK)

QPSK(Quadrature Phase-Shift Keying, 직교 위상 편이 변조)는 4개의 위상(0°, 90°, 180°, 270° 또는 π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 라디안)을 사용하여 정보를 전송하는 디지털 변조 방식이다. 각 위상은 2비트의 정보를 나타내므로, 심볼당 2비트를 인코딩하여 별자리 다이어그램에서 그레이 코드를 사용하여 표시하여 비트 오류율을 최소화한다. 이는 BPSK에 비해 동일한 대역폭에서 데이터 전송 속도를 두 배로 높이거나, BPSK의 데이터 속도를 유지하면서 필요한 대역폭을 절반으로 줄일 수 있게 한다.

QPSK는 ''quadriphase PSK'', 4-PSK 또는 4-QAM으로도 알려져 있다. QPSK는 신호 공간 다이어그램에서 원을 따라 동일한 간격으로 4개의 점을 사용하며, 수학적 분석에 따르면 다음과 같은 4개의 위상을 사용한다.

:

s_n(t) = \sqrt{\frac{2E_s}{T_s}} \cos \left(2 \pi f_c t + (2n - 1)\frac{\pi}{4}\right),\quad n = 1, 2, 3, 4.

이는 2차원 신호 공간을 생성하며, 단위 기저 함수는 다음과 같다.

:

\begin{align}\phi_1(t) &= \sqrt{\frac{2}{T_s}} \cos\left(2\pi f_c t\right) \\\phi_2(t) &= \sqrt{\frac{2}{T_s}} \sin\left(2\pi f_c t\right)\end{align}

첫 번째 기저 함수는 신호의 동위상 성분, 두 번째 기저 함수는 신호의 직교 위상 성분으로 사용된다. 신호 성상은 4개의 점

\begin{pmatrix} \pm\sqrt{\frac{E_s}{2}} & \pm\sqrt{\frac{E_s}{2}} \end{pmatrix}

으로 구성된다.

QPSK의 비트 오류 확률은 BPSK와 동일하다.

:

P_b = Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)

그러나 BPSK와 동일한 비트 오류 확률을 얻기 위해 QPSK는 두 배의 전력을 사용한다. 심볼 오류율은 다음과 같다.

:

\begin{align}P_s &= 1 - \left( 1 - P_b \right)^2 \\&= 2Q\left( \sqrt{\frac{E_s}{N_0}} \right) - \left[ Q \left( \sqrt{\frac{E_s}{N_0}} \right) \right]^2.\end{align}

신호 대 잡음비가 높을 경우 심볼 오류 확률은 다음과 같이 근사할 수 있다.

:

P_s \approx 2 Q \left( \sqrt{\frac{E_s}{N_0}} \right ) = \operatorname{erfc} \left( \sqrt{\frac{E_s}{2N_0}} \right) = \operatorname{erfc} \left( \sqrt{\frac{E_b}{N_0}} \right)

QPSK는 4진 변조로 볼 수 있지만, 두 개의 독립적으로 변조된 직교 반송파로 이해하는 것이 더 쉽다. 짝수 또는 홀수 비트는 반송파의 동위상 성분을, 홀수 또는 짝수 비트는 반송파의 직교 위상 성분을 변조하는 데 사용된다.

3. 3. 고차 위상 편이 변조 (8-PSK, 16-PSK 등)

8-PSK는 8개의 위상을 사용하여 1개의 심볼로 3비트의 정보를 표현한다. 8-PSK는 일반적으로 사용되는 가장 높은 차수의 PSK 성좌이다. 8개 이상의 위상을 사용하면 오류율이 높아져 직교 진폭 변조(QAM)와 같은 더 복잡한 변조 방식이 사용된다. 심볼 수는 일반적으로 2의 거듭제곱으로, 심볼당 정수 개의 비트를 허용한다.

M-PSK (

M > 4

)의 심볼 오류 확률은 적분식을 통해 계산되며, 높은

M

과 높은

E_b/N_0

(신호 대 잡음비)에서 특정 값으로 근사할 수 있다. 그레이 코드를 사용하면 오류의 리 거리를 디코딩된 비트스트림의 해밍 거리로 근사할 수 있어 하드웨어 구현이 용이하다.

BPSK, QPSK, 8-PSK 및 16-PSK의 비트 오류율 곡선, 가법 백색 가우시안 잡음 채널

BPSK, QPSK, 8-PSK, 16-PSK의 비트 오류율을 비교하면, 고차 변조일수록 오류율이 높아지지만 더 높은 데이터 전송 속도를 제공한다. 다양한 디지털 변조 방식의 오류율은 신호 성좌에 결합 경계를 적용하여 계산할 수 있다.

4. 차동 위상 편이 변조 (DPSK)

차동 위상 편이 변조(DPSK)는 반송파의 위상을 변경하여 데이터를 전달하는 일반적인 위상 편이 변조 방식이다. 통신 채널에서 어떤 효과로 인해 성상이 회전하면 위상의 모호성이 발생하는데, DPSK는 데이터를 사용하여 위상을 ''설정''하는 대신 ''변경''함으로써 이 문제를 극복한다. 즉, 데이터를 위상 자체가 아닌 위상 변화에 할당하여 전송한다.^[9]

예를 들어, 차동 부호화 BPSK에서 이진 "1"은 현재 위상에 180°를 더하고, 이진 "0"은 0°를 더하여 전송할 수 있다.

DPSK의 변형으로는 대칭 차동 위상 편이 변조(SDPSK)가 있으며, "1"에 대해 +90°, "0"에 대해 -90°의 위상 변화를 사용한다. 차동 부호화 QPSK(DQPSK)에서는 "00", "01", "11", "10" 데이터에 대해 각각 0°, 90°, 180°, -90°의 위상 이동을 사용한다. 이러한 방식은 비차동 PSK와 동일하게 복조 가능하며, 위상 모호성은 무시된다. 각 수신 심볼은 성상도의 한 지점으로 복조되고, 비교기는 이 수신 신호와 이전 신호 간의 위상 차이를 계산하여 데이터를 부호화한다.

분석에 따르면 차동 부호화는 일반

M

-PSK에 비해 오류율을 약 두 배 증가시키지만,

E_b/N_0

를 약간만 증가시켜 이를 극복할 수 있다. 또한, 이 분석은 가법 백색 가우시안 잡음(AWGN)이 유일한 손상인 시스템을 기반으로 한다. 그러나 실제 통신 채널은 PSK 신호에 알 수 없는 위상 이동을 도입할 수 있으며, 이 경우 DPSK 방식은 정확한 위상 정보에 의존하는 일반 방식보다 ''더 나은'' 오류율을 제공할 수 있다.

DPSK의 가장 널리 사용되는 응용 분야 중 하나는 블루투스 표준이며, 여기서

\pi/4

-DQPSK 및 8-DPSK가 구현되었다.

그레이 부호 및 백색 가우시안 잡음 환경에서 DBPSK, DQPSK 및 비차분 형태의 BER 비교.

DPSK는 복잡한 반송파 복구 방식 없이도 동작하므로 일반 PSK의 매력적인 대안이다. 복조 시, 두 개의 연속된 수신 심볼 간의 위상을 비교하여 데이터가 무엇이었는지 결정한다.

광 통신에서, 데이터는 차등 방식으로 레이저의 위상에 변조될 수 있다. 변조는 연속파를 방출하는 레이저와 전기적 바이너리 데이터를 수신하는 마흐-젠더 변조기를 통해 이루어진다. BPSK의 경우, 레이저는 바이너리 '1'에 대해 필드를 변경 없이 전송하고 '0'에 대해 역 극성을 갖는다. 복조기는 한 비트를 지연시키는 지연 간섭계/delay line interferometer^영어로 구성되어 두 비트를 한 번에 비교할 수 있다. 이후 광다이오드를 사용하여 광학장을 전류로 변환, 정보를 복원한다.

4. 1. 차동 부호화

차동 위상 편이 변조(DPSK)는 반송파의 위상을 변경하여 데이터를 전달하는 위상 편이 변조 방식이다. DPSK는 데이터를 위상 자체가 아닌 위상 변화에 할당하여 전송함으로써 통신 채널에서 발생할 수 있는 위상 모호성 문제를 해결한다. 예를 들어, 차동 부호화 BPSK에서 이진 "1"은 현재 위상에 180°를 더하고, 이진 "0"은 0°를 더하여 전송할 수 있다.

DPSK의 변형으로는 대칭 차동 위상 편이 변조(SDPSK)가 있으며, "1"에 대해 +90°, "0"에 대해 -90°의 위상 변화를 사용한다. 차동 부호화 QPSK(DQPSK)에서는 "00", "01", "11", "10" 데이터에 대해 각각 0°, 90°, 180°, -90°의 위상 이동을 사용한다. 이러한 방식은 일반 PSK와 동일하게 복조 가능하며, 위상 모호성은 무시된다.

차동 부호화는 일반 PSK에 비해 오류율이 증가할 수 있지만,

E_b/N_0

를 약간 증가시켜 이를 보상할 수 있다. DPSK는 블루투스 표준 등에서 널리 사용된다.

5. 응용 분야

직교 진폭 변조에 비해 PSK가 특히 더 단순하기 때문에, 현존하는 기술에 널리 적용되고 있다.

'''무선 LAN (Wi-Fi)'''

IEEE 802.11 표준은 필요한 데이터 전송 속도에 따라 다양한 PSK 변조 방식을 사용한다. 1 Mbit/s의 기본 속도에는 DBPSK (차동 BPSK)를 사용하고, 2 Mbit/s의 확장 속도를 위해서는 DQPSK를 사용한다.^[23]^[24] 5.5 Mbit/s와 11 Mbit/s의 속도를 위해서는 QPSK를 사용하지만, 보완 코드 키잉과 결합해야 한다.^[10]^[11] 더 빠른 속도의 무선 LAN 표준인 IEEE 802.11g-2003^[23]^[25]는 6, 9, 12, 18, 24, 36, 48, 54 Mbit/s의 8가지 데이터 속도를 지원한다. 6 Mbit/s와 9 Mbit/s 모드는 각 서브 캐리어가 BPSK로 변조되는 OFDM 변조를 사용하고, 12 Mbit/s와 18 Mbit/s 모드는 QPSK-OFDM을 사용한다. 가장 빠른 네 가지 모드는 직교 진폭 변조 형태의 OFDM을 사용한다.^[10]^[12]

'''RFID'''

BPSK는 단순성 때문에 저가의 수동 송신기에 적합하며, ISO/IEC 14443과 같은 RFID 표준에 사용된다.^[13] 이 RFID는 생체 인식 여권(바이오메트릭 여권)과 아메리칸 익스프레스의 ExpressPay와 같은 신용 카드 및 기타 용도로 이용되고 있다.^[26]

'''블루투스'''

블루투스 2는 낮은 속도(2 Mbit/s)에서는 π/4-DQPSK를 사용하고, 두 장치 간의 연결이 충분히 강력할 때 더 높은 속도(3 Mbit/s)에서는 8-DPSK를 사용한다.^[13] 블루투스 1은 가우스 최소 편이 키잉으로 변조하는데, 이는 이진 방식이므로 버전 2의 변조 방식은 더 빠른 데이터 전송 속도를 제공한다.

'''위성 통신'''

PSK는 QAM보다 단순하여 널리 사용된다.^[16] QPSK와 8PSK는 위성 방송에 널리 사용된다. QPSK는 SD 위성 채널 및 일부 HD 채널 스트리밍에 널리 사용되며, 고화질 프로그래밍은 HD 비디오의 높은 비트 전송률과 위성 대역폭의 높은 비용 때문에 주로 8PSK로 제공된다.^[14] DVB-S2 표준은 QPSK와 8PSK를 모두 지원하며, 브로드컴의 7000 시리즈와 같은 새로운 위성 셋톱 박스에 사용되는 칩셋은 8PSK를 지원하고 이전 표준과 하위 호환된다.^[15] HughesNet 위성 ISP는 KU-대역 통신 위성에 8-PSK 변조를 사용한다.

'''음성 대역 동기식 모뎀'''

역사적으로 Bell 201, 208, 209와 CCITT V.26, V.27, V.29, V.32, V.34와 같은 음성 대역 동기식 모뎀은 PSK를 사용했다.^[16]

'''기타'''

IEEE 802.15.4 (직비에서 사용하는 무선 표준)는 BPSK를 사용하는 868 MHz 및 915MHz와 OQPSK를 사용하는 2.4GHz의 두 가지 주파수 대역을 사용하여 PSK에 의존한다.

5. 1. 무선 LAN (Wi-Fi)

IEEE 802.11 표준은 필요한 데이터 전송 속도에 따라 다양한 PSK 변조 방식을 사용한다. 1 Mbit/s의 기본 속도에는 DBPSK (차동 BPSK)를 사용하고, 2 Mbit/s의 확장 속도를 위해서는 DQPSK를 사용한다.^[23]^[24] 5.5 Mbit/s와 11 Mbit/s의 속도를 위해서는 QPSK를 사용하지만, 보완 코드 키잉과 결합해야 한다.^[10]^[11] 더 빠른 속도의 무선 LAN 표준인 IEEE 802.11g-2003^[23]^[25]는 6, 9, 12, 18, 24, 36, 48, 54 Mbit/s의 8가지 데이터 속도를 지원한다. 6 Mbit/s와 9 Mbit/s 모드는 각 서브 캐리어가 BPSK로 변조되는 OFDM 변조를 사용하고, 12 Mbit/s와 18 Mbit/s 모드는 QPSK-OFDM을 사용한다. 가장 빠른 네 가지 모드는 직교 진폭 변조 형태의 OFDM을 사용한다.^[10]^[12]

5. 2. RFID

BPSK는 단순성 때문에 저가의 수동 송신기에 적합하며, ISO/IEC 14443과 같은 RFID 표준에 사용된다.^[13] 이 RFID는 생체 인식 여권(바이오메트릭 여권)과 아메리칸 익스프레스의 ExpressPay와 같은 신용 카드 및 기타 용도로 이용되고 있다.^[26]

5. 3. 블루투스

블루투스 2는 낮은 속도(2 Mbit/s)에서는 π/4-DQPSK를 사용하고, 두 장치 간의 연결이 충분히 강력할 때 더 높은 속도(3 Mbit/s)에서는 8-DPSK를 사용한다.^[13] 블루투스 1은 가우스 최소 편이 키잉으로 변조하는데, 이는 이진 방식이므로 버전 2의 변조 방식은 더 빠른 데이터 전송 속도를 제공한다.

5. 4. 위성 통신

PSK는 QAM보다 단순하여 널리 사용된다.^[16] QPSK와 8PSK는 위성 방송에 널리 사용된다. QPSK는 SD 위성 채널 및 일부 HD 채널 스트리밍에 널리 사용되며, 고화질 프로그래밍은 HD 비디오의 높은 비트 전송률과 위성 대역폭의 높은 비용 때문에 주로 8PSK로 제공된다.^[14] DVB-S2 표준은 QPSK와 8PSK를 모두 지원하며, 브로드컴의 7000 시리즈와 같은 새로운 위성 셋톱 박스에 사용되는 칩셋은 8PSK를 지원하고 이전 표준과 하위 호환된다.^[15] HughesNet 위성 ISP는 KU-대역 통신 위성에 8-PSK 변조를 사용한다.

5. 5. 이동 통신

PSK는 직교 진폭 변조(QAM)보다 단순하여 널리 사용된다.^[18]^[19]

IEEE 802.11b-1999^[10]^[11] 무선랜 표준은 요구되는 데이터 속도에 따라 다양한 PSK를 사용한다. 1 Mbit/s의 기본 속도에는 DBPSK(차동 BPSK)를, 2 Mbit/s의 확장 속도에는 DQPSK를 사용한다. 5.5 Mbit/s와 11 Mbit/s의 속도에는 QPSK를 사용하지만, 보완 코드 키잉과 결합해야 한다. 더 빠른 속도의 무선 LAN 표준인 IEEE 802.11g-2003^[10]^[12]는 6, 9, 12, 18, 24, 36, 48, 54 Mbit/s의 8가지 데이터 속도를 가진다. 6 Mbit/s와 9 Mbit/s 모드는 BPSK 변조된 OFDM을 사용하고, 12 Mbit/s와 18 Mbit/s 모드는 QPSK-OFDM을 사용한다. 가장 빠른 네 가지 모드는 직교 진폭 변조 형태의 OFDM을 사용한다.^[18]^[20]

BPSK는 저가 수동 송신기에 적합하여 ISO/IEC 14443 같은 RFID 표준에 사용된다. 이 RFID는 생체 인식 여권, 아메리칸 익스프레스의 ExpressPay 같은 신용 카드 등에 사용된다.^[13]

블루투스 2는 낮은 속도(2 Mbit/s)에서

\pi/4

-DQPSK를, 높은 속도(3 Mbit/s)에서 8-DPSK를 사용한다. 블루투스 1은 가우스 최소 편이 키잉으로 변조한다. IEEE 802.15.4(지그비에서 사용하는 무선 표준)는 BPSK를 사용하는 868 MHz 및 915 MHz와 OQPSK를 사용하는 2.4 GHz의 두 가지 주파수 대역을 사용한다.

QPSK와 8PSK는 위성 방송에 널리 사용된다. QPSK는 SD 위성 채널 및 일부 HD 채널 스트리밍에 사용된다. 고화질 프로그래밍은 HD 비디오의 높은 비트 전송률과 위성 대역폭의 높은 비용으로 인해 8PSK로만 제공된다.^[14] DVB-S2 표준은 QPSK와 8PSK를 모두 지원한다.^[15]

역사적으로 Bell 201, 208, 209와 CCITT V.26, V.27, V.29, V.32, V.34와 같은 음성 대역 동기식 모뎀은 PSK를 사용했다.^[16]

6. 기술적 내용

6. 1. 신호 공간 다이어그램 (Constellation Diagram)

신호 공간 다이어그램은 PSK 변조 방식을 시각적으로 표현하는 방법이다. 복소 평면 상에 각 위상에 해당하는 점을 표시하여, 변조 방식의 특징을 한눈에 파악할 수 있다.

수학적 오차율을 알아내기 위해 필요한 정의는 다음과 같다.

$E_b$ = 비트 당 에너지
$E_s$ = 에너지 단위 기호 = $nE_b$ (심볼 당 ''n'' 비트)
$T_b$ = 비트 시간
$T_s$ = 심볼 주기
$N_0/2$ = 잡음 전력 스펙트럼 밀도 (W/Hz)
$P_b$ = 비트 오류 율
$P_s$ = 기호 오류율

Q(x)

는 평균이 0인 임의의 프로세스에서 추출된 하나의 샘플과 단위 분산 가우시안 확률 밀도 함수가

x

보다 크거나 같을 확률을 나타낸다. 이는 보완 가우스 오차 함수의 축소 형태이다.

:

Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^{2}/2}dt = \frac{1}{2}\,\operatorname{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right),\ x\geq{}0

.

여기서 언급된 오차율은 덧셈성 백색 가우스 잡음 (AWGN)에 해당하는 것이다. 이러한 오차율은 페이딩 채널에서 계산된 것보다 낮기 때문에, 이론적으로 비교하기 좋은 벤치마크라고 할 수 있다.

6. 2. 오차율

PSK 변조 방식의 성능은 비트 오류율(BER) 또는 심볼 오류율(SER)로 평가된다.^[1] 일반적으로, 가산 백색 가우시안 잡음(AWGN) 환경에서 PSK의 오차율은 신호 대 잡음비(SNR)에 따라 결정된다.

오차율을 구하기 위한 정의는 다음과 같다:

$E_b$ = 비트 당 에너지
$E_s$ = 심볼 당 에너지 = $nE_b$ (심볼 당 ''n'' 비트)
$T_b$ = 비트 시간
$T_s$ = 심볼 주기
$N_0/2$ = 잡음 전력 스펙트럼 밀도 ((W/Hz))
$P_b$ = 비트 오류율
$P_s$ = 심볼 오류율

Q(x)

는 평균이 0이고 단위 분산인 가우시안 확률 밀도 함수에서 추출된 샘플이

x

보다 크거나 같을 확률을 나타내며, 보완 가우스 오차 함수의 축소 형태이다.^[1]

:

Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^{2}/2}dt = \frac{1}{2}\,\operatorname{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right),\ x\geq{}0

.

가산 백색 가우시안 잡음 (AWGN)환경에서, BPSK의 비트 오류율 (BER)은 다음과 같이 계산된다:^[1]

:

P_b = Q\left(\sqrt{\frac{2 E_b}{N_0}}\right)

또는

P_e = \frac{1}{2} \operatorname{erfc} \left( \sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\right)

QPSK의 비트 오류 확률은 BPSK와 동일하다.

:

P_b = Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)

심볼 오류율은 다음과 같다.

:

\begin{align}P_s &= 1 - \left( 1 - P_b \right)^2 \\&= 2Q\left( \sqrt{\frac{E_s}{N_0}} \right) - \left[ Q \left( \sqrt{\frac{E_s}{N_0}} \right) \right]^2.\end{align}

신호 대 잡음비가 높을 경우 심볼 오류 확률은 다음과 같이 근사할 수 있다.

:

P_s \approx 2 Q \left( \sqrt{\frac{E_s}{N_0}} \right ) = \operatorname{erfc} \left( \sqrt{\frac{E_s}{2N_0}} \right) = \operatorname{erfc} \left( \sqrt{\frac{E_b}{N_0}} \right)

M > 4

일 때, 일반적인 M-PSK의 심볼 오류 확률에 대한 간단한 식은 없으며, 다음을 통해서만 얻을 수 있다.

:

P_s = 1 - \int_{-\pi/M}^{\pi/M} p_{\theta_r}\left(\theta_r\right)d\theta_r,

이는 높은

M

과 높은

E_b/N_0

에 대해 다음과 같이 근사할 수 있다.

:

P_s \approx 2Q\left(\sqrt{2\gamma_s}\sin\frac{\pi}{M}\right).

그레이 코드를 사용하는 경우,

:

P_b \approx \frac{1}{k} P_s.

오른쪽 그래프는 BPSK, QPSK, 8-PSK 및 16-PSK의 비트 오류율을 비교한다. 고차 변조는 더 높은 오류율을 보이지만, 더 높은 원시 데이터 속도를 제공한다.

PSK의 상호 정보는 가산 가우시안 잡음에서 평가할 수 있다.^[17] 신호 대 잡음비의 중간 값에서 상호 정보(MI)는 다음과 같이 근사화된다:^[17]

:

\textrm{MI} \simeq \log_2\left(\sqrt{\frac{4\pi}{e}\frac{E_s}{N_0}}\right).

6. 3. 대역폭 효율

대역폭 효율은 변조 차수 ''M''의 증가에 따라 증가한다 (예를 들어, M-FSK와는 다름).^[7]

:

\rho = \frac{\log_2M}{2} \quad [\text{비트}/\text{초} \cdot \text{Hz}]

M-QAM에도 동일한 관계가 적용된다.^[8]

6. 4. 구현

BPSK의 일반적인 형태는 다음 방정식과 같다.

:

s_n(t) =   \sqrt{\frac{2E_b}{T_b}} \cos(2 \pi f t + \pi(1-n )),\quad n = 0,1.

이것은 0과 π의 두 위상을 생성한다. 이진 데이터는 종종 다음과 같은 신호로 전달된다.

:

s_0(t) =   \sqrt{\frac{2E_b}{T_b}} \cos(2 \pi f t + \pi )= - \sqrt{\frac{2E_b}{T_b}} \cos(2 \pi f t)

이진 "0"의 경우

:

s_1(t) = \sqrt{\frac{2E_b}{T_b}} \cos(2 \pi f t)

이진 "1"의 경우

여기서 ''f''는 기저대역의 주파수이다.

따라서 신호 공간은 단일 기저 함수로 표현될 수 있다.

:

\phi(t) = \sqrt{\frac{2}{T_b}} \cos(2 \pi f t)

여기서 1은

\sqrt{E_b} \phi(t)

로, 0은

-\sqrt{E_b} \phi(t)

로 표현된다. 이 할당은 임의적이다.

QPSK의 구현은 BPSK의 구현보다 일반적이며, 고차 PSK의 구현을 나타내기도 한다. 이를 전송하는 데 사용되는 사인파 및 코사인파를 사용하여 성상도에서 기호를 작성하면 다음과 같다.

:

s_n(t) = \sqrt{\frac{2E_s}{T_s}} \cos \left(2 \pi f_c t + (2n - 1)\frac{\pi}{4}\right),\quad n = 1, 2, 3, 4.

이는 필요한 4개의 위상 π/4, 3π/4, 5π/4 및 7π/4를 생성한다.

이는 단위 기저 함수를 갖는 2차원 신호 공간을 생성한다.

:

\begin{align}\phi_1(t) &= \sqrt{\frac{2}{T_s}} \cos\left(2\pi f_c t\right) \\\phi_2(t) &= \sqrt{\frac{2}{T_s}} \sin\left(2\pi f_c t\right)\end{align}

첫 번째 기저 함수는 신호의 동위상 성분으로 사용되고, 두 번째는 신호의 직교 성분으로 사용된다.

따라서 신호 성상은 다음과 같은 신호 공간 4개의 점으로 구성된다.

:

\begin{pmatrix} \pm\sqrt{\frac{E_s}{2}} & \pm\sqrt{\frac{E_s}{2}} \end{pmatrix}.

QPSK 시스템은 여러 가지 방법으로 구현할 수 있다. 송신기 및 수신기 구조의 주요 구성 요소의 예는 다음과 같다.

7. 한국의 PSK 기술 현황

7. 1. 연구 개발

7. 2. 산업 동향

7. 3. 표준화 활동

참조

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_[2] 문서 Common detectors for Tier 1 modulations International Foundation for Telemetering 2005
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_[3] 학회발표 A non-proprietary, constant envelope, variant of shaped offset QPSK (SOQPSK) for improved spectral containment and detection efficiency IEEE 2000
_[4] 학술지 Performance of coded offset quadrature phase-shift keying (OQPSK) and MIL-STD shaped OQPSK (SOQPSK) with iterative decoding https://ipnpr.jpl.na[...] 2004
_[5] 학회발표 The capacity of SOQPSK-TG IEEE 2011
_[6] 학술지 Cubesat communications: Recent advances and future challenges 2020
_[7] 서적 Communication Systems Wiley 2001
_[8] 웹사이트 Link Budget Analysis: Digital Modulation, Part 3 (www.AtlantaRF.com) https://www.atlantar[...] 2020-07-15
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_[12] 표준 IEEE Std 802.11g-2003 https://web.archive.[...]
_[13] 웹사이트 Understanding the Requirements of ISO/IEC 14443 for Type B Proximity Contactless Identification Cards http://www.atmel.com[...] ATMEL 2005
_[14] 웹사이트 How Communications Satellites Work http://planetfox.net[...] 2014
_[15] 웹사이트 Low-Cost Satellite Set-top Box SoC — BCM7325 http://www.broadcom.[...] Broadcom 2015-09-08
_[16] 웹사이트 Local and Remote Modems http://www.blackbox.[...] Black Box Network Services 2015-12-20
_[17] 서적 Principles and Practice of Information Theory Addison Wesley 1988
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_[19] 표준 IEEE Std 802.11b-1999 (R2003) http://standards.iee[...]
_[20] 표준 IEEE Std 802.11g-2003 http://standards.iee[...]
_[21] 문서 4-QAMとQPSKは概念が異なるが、変調構成は結果として同じとなる
_[22] 학술지 Soft Decision Direct-Sequence DPSK Receivers 1988-08
_[23] 표준 IEEE Std 802.11-1999: Wireless LAN Medium Access Control (MAC) and Physical Layer (PHY) Specifications http://standards.iee[...]
_[24] 표준 IEEE Std 802.11b-1999 (R2003) http://standards.iee[...]
_[25] 표준 IEEE Std 802.11g-2003 http://standards.iee[...]
_[26] 웹사이트 Understanding the Requirements of ISO/IEC 14443 for Type B Proximity Contactless Identification Cards http://www.atmel.com[...] ATMEL 2005

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