유사환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 유사환 준동형 사상
3. 성질
4. 예시
5. 단위원을 갖는 것보다 약한 성질
6. 영유사환 (Rng of square zero)
7. 역사
참조

1. 개요

유사환은 덧셈에 대해 아벨 군을 이루고, 곱셈에 대해 반군을 이루며, 분배 법칙이 성립하는 대수 구조이다. 환과 유사하지만 곱셈에 대한 항등원을 가질 필요는 없다. 유사환의 개념은 아이디얼, 준동형 사상, 몫유사환 등으로 확장되며, 멱등원, 국소 단위, s-유니탈, 펌 환 등의 추가적인 속성을 가질 수 있다. 모든 환은 유사환이지만, 짝수 정수의 집합과 같이 환이 아닌 유사환도 존재한다. 유사환은 함수 해석학, 분포 이론 등에서 나타나며, 영유사환과 자유 유사환과 같은 특수한 유형도 존재한다.

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환론 - 뇌터 환
뇌터 환은 환론에서 아이디얼의 특정 조건을 만족하는 환을 지칭하며, 가환환의 경우 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 뇌터 환의 개념이 일치하지만 비가환환의 경우 구별해야 하고, 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환 $R$ 에 대해 다항식환 $R[X]$ 역시 뇌터 환이 된다.
환론 - 다항식환
다항식환은 환을 계수로 하는 다항식들의 집합으로, 덧셈과 곱셈 연산에 대해 환을 이루며, 계수환이 체일 경우 유클리드 정역이 되고 대수기하학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

유사환
일반 정보
종류	환의 일종
정의	덧셈과 곱셈이 정의된 대수 구조이지만, 곱셈에 대한 항등원이 존재하지 않을 수 있음
관련 용어	환, 아이디얼, 준환 대수
정의
조건	덧셈에 대한 아벨 군을 이룸 곱셈 연산이 존재하며, 결합 법칙을 만족함 분배 법칙이 성립함
성질
곱셈 항등원	곱셈에 대한 항등원이 존재하지 않을 수 있음
예시	짝수만으로 이루어진 정수 집합
예시
설명	모든 환은 유사환임 짝수 집합은 통상적인 정수 덧셈, 곱셈 하에서 유사환이 됨 행렬환의 아이디얼은 행렬 덧셈, 곱셈 하에서 유사환이 됨
관련 개념
관련 개념	환 아이디얼 준환 대수
추가 정보
참고 문헌
언어별 명칭
영어	pseudo-ring, non-unital ring, rng
일본어	擬環 (기가이)

2. 정의

'''유사환'''(類似環, 영어: rng)은 환에서 곱셈 항등원의 존재 조건을 생략한 대수 구조이다.

유사환은 다음 공리들을 만족시킨다.

$(R,+)$ 는 아벨 군이다.
$(R,\cdot)$ 는 반군이다.
분배 법칙이 성립한다. 즉, 임의의 $r,s,t\in R$ 에 대하여 $(r+s)t=rt+st$ 이고, $r(s+t)=rs+rt$ 이다.

만약 두 번째 조건에서 반군을 모노이드(항등원을 갖춘 반군)로 강화시키면, (항등원을 갖춘) 환을 얻는다.

형식적으로, '''rng'''는 두 개의 이항 연산을 갖춘 집합 ''R''이며, 각각 ''덧셈''과 ''곱셈''이라고 부르며, 다음 조건을 만족한다.

(''R'', +)는 아벨 군이다.
(''R'', ·)는 반군이다.
곱셈은 덧셈에 대해 분배된다.

'''단위적이지 않은 환'''은 집합 ''R''에 두 개의 이항 연산 덧셈 "+"과 곱셈 "∗"가 정의되어 있고, 다음 조건을 만족하는 것이다.

(''R'', +)는 아벨 군
(''R'', ∗)는 반군
곱셈은 덧셈에 대해 분배적이다

유사환의 아이디얼과 몫유사환은 환의 아이디얼과 몫환과 유사하게 정의할 수 있다. 예를 들어, 유사환

R

의 좌 아이디얼

\mathfrak a

는 덧셈에 대하여 아벨 군을 이루고,

R\mathfrak a\subset\mathfrak a

인 부분공간이다.

2. 1. 유사환 준동형 사상

두 유사환 사이의 덧셈과 곱셈, 0(덧셈 항등원)을 보존하는 사상이다. 환 준동형 사상은 곱셈에 대한 항등원 1 또한 보존해야 하지만, 유사환 준동형 사상은 그렇지 않다. 유사환과 유사환 준동형의 범주를 Rng이라고 한다.

rng 준동형 사상은 한 rng에서 다른 rng로 가는 함수 ''f'': ''R'' → ''S''|f : R → S^영어이며, 다음 조건을 만족한다.

''f''(''x'' + ''y'') = ''f''(''x'') + ''f''(''y'')
''f''(''x'' · ''y'') = ''f''(''x'') · ''f''(''y'')

(모든 ''R''의 ''x''와 ''y''에 대해.)

만약 ''R''과 ''S''가 환이면, 환 준동형 사상 ''R'' → ''S''|R → S^영어는 1을 1로 매핑하는 rng 준동형 사상 ''R'' → ''S''|R → S^영어과 같다.

단위적이지 않은 환 사이의 (의사) 환 준동형 ''f'': ''R'' → ''S''는 ''R''의 임의의 원소 ''x'', ''y''에 대해 다음을 만족한다.

''f''(''x'' + ''y'') = ''f''(''x'') + ''f''(''y'')
''f''(''xy'') = ''f''(''x'')''f''(''y'')

그러나 ''R'', ''S''가 단위원을 갖는 환일 때, 의사 환 준동형 ''f'': ''R'' → ''S''가 ''R''의 단위원 1을 ''S''의 단원 ''s''로 사상한다면, ''s'' = 1이 됨을 보일 수 있다. 또한 이 때, 의사 환 준동형이 ''R''의 임의의 영이 아닌 원소를 영인자가 아닌 원소로 사상하는 것은, 1이 1로 사상된다는 것으로부터 따른다. 따라서 "의사 환 준동형이 단원을 단원으로 사상한다면, ''R''의 단위원은 ''S''의 단위원으로 사상된다"를 얻는다.

3. 성질

유사환은 대수 구조 다양체를 이룬다. 따라서 유사환의 범주는 곱과 쌍대곱, 시작 대상 및 끝 대상을 갖는다. 유사환의 범주에서 시작 대상과 끝 대상은 같으며, 자명환 0이다.

두 유사환 ''R'', ''S''의 곱은 집합으로서 ''R''×''S''이며, 환 연산은 다음과 같다.

(''r'',''s'')+(''r''′,''s''′) = (''r''+''r''′,''s''+''s''′)
(''r'',''s'')(''r''′,''s''′) = (''rr''′,''ss''′)

유사환의 범주에서의 쌍대곱은 자유곱이다.

아이디얼, 몫환 및 가군은 환과 동일한 방식으로 유사환에 대해 정의될 수 있다. 그러나 환 대신 유사환으로 작업하면 일부 관련 정의가 복잡해진다. 예를 들어, 환 ''R''에서 원소 ''f''에 의해 생성된 좌아이디얼 (''f'')는 ''f''를 포함하는 가장 작은 좌아이디얼이다. 환에서는 단순히 ''Rf''로 표현되지만, ''R''이 유사환일 경우에는 ''Rf''가 ''f''를 포함하지 않을 수 있으므로, (f) = Rf + '''Z'''f = { af+nf : a ∈ R and n∈'''Z'''} 와 같이 정의해야 한다. 여기서 ''nf''는 ''n''이 ''R''의 원소를 나타낼 필요가 없으므로 반복적인 덧셈/뺄셈을 사용하여 해석해야 한다.

마찬가지로, 유사환 ''R''의 원소 ''f''₁, ..., ''f''_m에 의해 생성된 좌아이디얼은 (f₁,…,f_m) = { a₁f₁ + ⋯ + a_mf_m + n₁f₁ + ⋯ n_mf_m : a_i ∈ R and n_i∈'''Z'''} 와 같이 정의된다. 이는 에미 뇌터에 기인하는 공식이다. 가군의 원소 집합에 의해 생성된 부분가군의 정의에서도 이와 유사한 문제가 발생한다.

환에 대한 일부 정리는 유사환에 대해 거짓이다. 예를 들어, 환에서 모든 진 아이디얼은 극대 아이디얼에 포함되므로 0이 아닌 환은 항상 최소한 하나의 극대 아이디얼을 갖는다. 하지만 이 명제는 유사환의 경우 성립하지 않는다.

유사환 준동형 ''f'' : ''R'' → ''S''는 모든 멱등원을 멱등원으로 매핑한다. 만약 ''f'' : ''R'' → ''S''가 환에서 유사환으로 가는 유사환 준동형이고, ''f''의 상이 ''S''의 영인자가 아닌 원소를 포함한다면, ''S''는 환이고 ''f''는 환 준동형이 된다.

3. 1. 단위화 (Dorroh 확장)

임의의 유사환에 곱셈에 대한 항등원을 첨가하여 환으로 만드는 표준적인 방법이 존재한다. 이를 범주론적으로 표현하면 다음과 같다. 환의 범주를 Ring, 유사환의 범주를 Rng이라고 할 때, 포함 함자

\operatorname{Ring}\hookrightarrow\operatorname{Rng}

에 대한 왼쪽 수반 함자

:

\hat{}\colon\operatorname{Rng}\to\operatorname{Ring}

가 존재한다.

구체적으로, 유사환

R

에 대하여,

\hat R

는 아벨 군으로서

\mathbb Z\oplus R

이다. 즉,

\hat R

의 원소는

:

n+r

(

n\in\mathbb Z

,

r\in R

)

의 꼴의 합이다. 여기에 다음과 같은 곱셈을 정의한다.

:

(m+r)(n+s)=mn+nr+ms+rs

(

m,n\in\mathbb Z

,

r,s\in R

)

그러면 이는 곱셈의 결합 법칙과 분배 법칙을 만족시키며, 곱셈에 대한 항등원은

1+0_R\in\hat R

이다. 따라서

\hat R

은 (항등원을 갖춘) 환을 이룬다.

이러한 구성을 통해 모든 유사환은 어떤 환의 아이디얼이 되며, 환의 모든 아이디얼은 유사환이 된다.

이 구성은 미국의 수학자 조 리 도로(Joe Lee Dorroh)의 이름을 따서 '''도로 확장'''이라고 불린다.

범주론적으로, 단위원 첨가 과정은 포함 함자 ''I'': '''Ring''' → '''Rng'''의 왼쪽 수반으로 공식화될 수 있다.

3. 2. 영유사환

임의의 아벨 군에 곱셈을 0으로 정의하여 얻어지는 유사환이다. 즉, 임의의 아벨 군

A

에 대하여, 곱셈을 다음과 같이 정의한다.

:

a\cdot b=0\qquad\forall a,b\in A

이렇게 정의하면 유사환이 되며, 이를 영유사환(zero pseudoring^영어)이라고 한다. 이는 아벨 군의 범주에서 유사환의 범주로 가는 충실충만한 함자를 이룬다.

3. 3. 자유 유사환

어떤 집합으로부터 생성되는 자유 유사환은 상수 성분이 0인 정수 계수 다항식들의 유사환이다.^[1] 이는 대수 구조 다양체의 일반적인 성질에 따라, 망각 함자

:

\operatorname{Rng}\to\operatorname{Set}

의 왼쪽 수반 함자가 존재하기 때문이다. 이 함자는 어떤 집합을 이로부터 생성되는 자유 유사환에 대응시킨다. 유한 집합

\{x_1,\dots,x_k\}

의 경우, 이는 정수 계수 다항식환

\mathbb Z[x_1,\dots,x_n]

속의 아이디얼

:

(x_1,x_2,\dots,x_k)\subset\mathbb Z[x_1,\dots,x_n]

이다.^[1]

4. 예시

모든 환은 유사환이다.^[4] 환이 아닌 유사환의 예시는 다음과 같다.

예시	설명
짝수 정수 집합 ( $2\mathbb Z$ )	환이 아닌 유사환이다.
환의 아이디얼	유사환이다.
하단 행이 0인 모든 3x3 실수 행렬 집합	유사환이다.
유한 계수를 갖는 무한 차원 벡터 공간의 선형 연산자 집합	유사환이다.
0으로 수렴하는 모든 실수 수열의 집합	유사환이다.
슈바르츠 공간과 같이, 무한대에서 0으로 감소하는 함수로 구성된 시험 함수 공간	유사환이다.
콤팩트 지지를 갖는 연속 함수 집합 (기반 공간이 콤팩트가 아닌 경우)	유사환이다.
유한 quinary sequences의 집합	멱등원의 상한이 없는 격자를 형성하는 유사환이다.

5. 단위원을 갖는 것보다 약한 성질

항등원을 갖는 것보다 약하지만, 너무 일반적이지 않은 여러 가지 속성들이 연구되었다.

예를 들어 다음과 같은 성질들이 있다.

충분한 멱등원을 가진 환: 직교 멱등원들의 집합을 이용하여 표현 가능한 환이다.
국소 단위를 가진 환: 모든 유한 집합에 대해 특정 조건을 만족하는 원소가 존재하는 환이다.
''s''-유니탈 환: 모든 유한 집합에 대해 특정 조건을 만족하는 원소 ''s''가 존재하는 환이다.
펌 환 (Firm ring): 정규 준동형 사상이 동형 사상인 환이다.
멱등원 환 (Idempotent ring, irng): 모든 원소가 다른 원소들의 곱으로 표현 가능한 환이다.

이러한 속성들은 항등원을 갖는다는 조건보다 약하며, 위에 언급된 순서대로 더 약한 조건이 된다. 예를 들어, 충분한 멱등원을 가진 환은 국소 단위를 가진 환이며, 국소 단위를 가진 환은 ''s''-유니탈 환이 된다.

5. 1. 충분한 멱등원을 가진 환

유사환 R^영어이 직교 멱등원들의 집합 E^영어를 가져서, 를 만족한다. 여기서 직교 멱등원 집합 E^영어는 다음을 만족한다.

모든 E^영어의 원소 e^영어에 대해, 이다. (멱등원)
E^영어의 서로 다른 두 원소 e^영어, f^영어에 대해, 이다. (직교)

예를 들어, 유한 개의 영이 아닌 엔트리를 가진 체 위의 무한 행렬의 환은 항등원이 없는 충분한 멱등원을 가진 환이다. 주대각선에 정확히 1개의 엔트리가 있고 다른 모든 엔트리가 0인 행렬은 직교 멱등원이 된다.

5. 2. 국소 단위를 가진 환

유사환 ''R''이 "국소 단위를 가진다"는 것은, ''R''의 임의의 유한 집합 $r_1$, $r_2$, ..., $r_t$에 대해, $e^2 = e$를 만족하는 ''R''의 원소 $e$가 존재하여, 각 $i$에 대해 $er_i = r_i = r_ie$가 성립하는 것을 의미한다. 국소 단위를 가진 환은 ''s''-유니탈 환이다.

5. 3. s-유니탈 환

모든 유한 집합 ''r''₁, ''r''₂, ..., ''r''_t'' in ''R''에 대해 for every ''i''를 만족하는 ''R''의 ''s''가 존재하는 경우, 링 ''R''은 ''s''-유니탈이라고 한다.^[3]

5. 4. 펌 환 (Firm ring)

Firm ring^영어 ''R''은 `r ⊗ s ↦ rs`로 주어지는 정규 준동형 사상 `R ⊗_R R → R`이 동형 사상인 유사환이다. 국소 단위원을 갖는 환은 ''s''-유니탈이며, ''s''-유니탈 환은 펌 환이고 펌 환은 멱등원 환이다.

5. 5. 멱등 환 (Idempotent ring, irng)

R² = R, 즉 R의 모든 원소 r에 대해

r = \sum_i r_i s_i

를 만족하는 R의 원소 r_i와 s_i를 찾을 수 있는 유사환을 멱등 환(irng)이라고 한다. 멱등환은 항등원을 갖는다는 조건보다는 약하지만, s-유니탈 환보다는 강한 조건이다.

6. 영유사환 (Rng of square zero)

임의의 아벨 군 $A$ 에 대하여, 곱

: $a\cdot b=0\qquad\forall a,b\in A$

을 주면 유사환을 이룬다. 이를 '''영유사환'''(zero pseudoring^영어)이라고 한다. 이는 아벨 군의 범주에서 유사환의 범주로 가는 충실충만한 함자를 이룬다.

모든 아벨 군은 곱셈을 모든 $x$ 와 $y$ 에 대해 $xy=0$ 으로 정의함으로써 제곱 영 링으로 만들 수 있다. 따라서 모든 아벨 군은 어떤 링의 덧셈 군이다.

곱셈 항등원을 가진 유일한 제곱 영 링은 영 링 {0}이다.

제곱 영 링의 임의의 덧셈 부분군은 아이디얼이다. 따라서 제곱 영 링은 덧셈 군이 단순 아벨 군, 즉 소수 차수의 순환군인 경우에만 단순하다.^[1]

7. 역사

니콜라 부르바키는 유사환을 pseudo-anneau|프쇠도아노^프랑스어라고 불렀는데, 이는 환(anneau|아노^프랑스어)과 유사한(pseudo-|프쇠도^프랑스어) 구조를 뜻한다. 유사환의 영어명 rng|렁^영어은 환(ring)에서 유래하였다. 유사환은 환과 유사하나, 곱셈에 대한 항등원 "i"를 갖지 않는다는 것에서 온 말장난이다.

일부 저자들은 모든 유사환을 (곱셈 항등원이 있든 없든) 환이라고 부른다. 예를 들어, 더밋과 푸트(Dummit and Foote)나 허스타인(Herstein) 등이 이러한 저자들에 속한다. 이런 경우, 항등원을 갖춘 환을 명시하려면 "ring with unit^영어" 따위의 표현을 쓴다. 여기서는 모든 환은 곱셈 항등원을 갖춘 것으로 정의한다.

참조

_[1] 서적 Abstract Algebra 3E Wiley 2003-07-14
_[2] MathWorld Ring
_[3] PlanetMath ring
_[4] 서적 Abstract algebra: an introduction

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