자명환

3. 성질

• 영환(0으로만 이루어진 환)은 덧셈 항등원 0과 곱셈 항등원 1이 같은 유일한 환이다.^[1][6] (증명: 환 ''R''에서 이면, ''R''의 모든 ''r''에 대해 이다.)
• 영환은 가환환이다.
• 영환의 원소 0은 자기 자신이 곱셈 역원인 단원이다.
• 영환의 단원군은 자명군 {0}이다.
• 영환의 원소 0은 영인자가 아니다.
• 영환의 유일한 아이디얼은 영 아이디얼 {0}이며, 이는 단위 아이디얼이자 환 전체와 같다. 이 아이디얼은 극대 아이디얼도 소 아이디얼도 아니다.
• 영환은 보통 체나 정역으로 간주되지 않는다.^[3]
• 임의의 환 ''A''에 대해, ''A''에서 영환으로 가는 유일한 환 준동형 사상이 존재한다. 따라서 영환은 환의 범주에서 종대상이다.^[7]
• ''A''가 영환이 아닌 경우, 영환에서 ''A''로 가는 환 준동형 사상은 존재하지 않는다. 특히, 영환은 영환이 아닌 환의 부분환이 될 수 없다.^[7]
• 영환은 표수가 1인 유일한 환이다.
• 영환 위의 유일한 가군은 영 가군이다. 이는 모든 기수에 대해 해당 기수를 랭크로 갖는 자유 가군이다.
• 영환은 국소환이 아니지만, 반국소환이다.
• 영환의 스펙트럼은 빈 스킴이다.^[7]
• 영환의 크룰 차원은 −∞이다.
• 영환은 반단순환이지만 단순환은 아니다.
• 영환은 어떤 체 위에서도 중앙 단순 대수가 아니다.
• 영환의 전체 몫환은 자기 자신이다.
• 영환은 아르틴 환이며, 따라서 노에터 환이다.

4. 구성

• 임의의 환 ''A''와 ''A''의 아이디얼 ''I''에 대해, 몫환 ''A''/''I''가 영환이 될 필요충분조건은 ''I''가 단위 아이디얼인 것이다.
• 임의의 가환환 ''A''와 ''A''의 곱셈 집합 ''S''에 대해, 국소화 ''S''⁻¹''A''가 영환이 될 필요충분조건은 ''S''가 0을 포함하는 것이다.
• ''A''가 임의의 환이면, ''A'' 위의 0 × 0 행렬의 환 M₀(''A'')는 영환이다.
• 환들의 빈 집합의 직접곱은 영환이다.
• 자명군의 자기 준동형 사상환은 영환이다.
• 빈 위상 공간 위의 실수 값 연속 함수들의 환은 영환이다.

참조

_[1] 서적 Artin, p. 347
_[2] 서적 Atiyah and Macdonald, p. 1
_[3] 서적 Bosch, p. 10
_[4] 서적 Bourbaki, p. 101
_[5] 서적 Lam, p. 1
_[6] 서적 Lang, p. 83
_[7] 서적 Hartshorne, p. 80