음향 임피던스

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1. 개요
2. 수학적 정의
3. 특성 음향 임피던스 (Characteristic Acoustic Impedance)
참조

1. 개요

음향 임피던스는 음향 압력과 음향 체적 유량 사이의 관계를 나타내는 값으로, 선형 시불변 시스템에서 사용된다. 음향 임피던스는 음향 저항과 음향 리액턴스로 구성되며, 음향 어드미턴스는 음향 임피던스의 역수이다. 비 음향 임피던스는 음향 압력과 입자 속도 사이의 관계를 나타내며, 비 음향 저항과 비 음향 리액턴스로 구성된다. 특성 음향 임피던스는 매질의 고유한 물성으로, 매질의 밀도와 음속에 의해 결정된다. 음향 임피던스는 음향학, 특히 관악기 설계에 중요한 역할을 한다.

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음향 임피던스
개요
음향 임피던스 (acoustic impedance)	음향 압력에 대한 시스템의 반대
기호	Z
음향 측정
특성	기호
음압	p, SPL, L_PA
입자 속도	v, SVL
입자 변위	δ
음향 강도	I, SIL
음향 출력	P, SWL, L_WA
음향 에너지	W
음향 에너지 밀도	w
음향 노출	E, SEL
음향 임피던스	Z
오디오 주파수	AF
전송 손실 (덕트 음향학)	TL

2. 수학적 정의

선형 시불변 시스템에서 음향 압력과 그로 인해 발생하는 음향 체적 유량 사이의 관계는 다음과 같이 표현된다.^[1]

: $p(t) = [R * Q](t)$

: $Q(t) = [G * p](t)$

여기서,

''p''는 음향 압력
''Q''는 음향 체적 유량
$*$ 는 컨볼루션 연산자
''R''은 시간 도메인에서 음향 저항
''G'' = ''R''⁻¹는 시간 도메인에서 음향 컨덕턴스 (''R''⁻¹는 ''R''의 컨볼루션 역수)

'''음향 임피던스'''(''Z'')는 시간 도메인 음향 저항의 라플라스 변환, 푸리에 변환 또는 해석 신호로 정의된다.^[1]

:

Z(s) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \mathcal{L}[R](s) = \frac{\mathcal{L}[p](s)}{\mathcal{L}[Q](s)}

:

Z(\omega) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \mathcal{F}[R](\omega) = \frac{\mathcal{F}[p](\omega)}{\mathcal{F}[Q](\omega)}

:

Z(t) \stackrel{\mathrm{def}}{=} R_\mathrm{a}(t) = \frac{1}{2}\!\left[p_\mathrm{a} * \left(Q^{-1}\right)_\mathrm{a}\right]\!(t)

여기서,

$\mathcal L$ 는 라플라스 변환 연산자
$\mathcal F$ 는 푸리에 변환 연산자
첨자 "a"는 해석 표현 연산자
''Q''⁻¹는 ''Q''의 컨볼루션 역수

음향 임피던스는 '''음향 저항'''(''R'')과 '''음향 리액턴스'''(''X'')로 구성된다.

:

Z(s) = R(s) + iX(s)

:

Z(\omega) = R(\omega) + iX(\omega)

:

Z(t) = R(t) + iX(t)

여기서,

''i''는 허수 단위
''Z''(''s'')에서 ''R''(''s'')는 ''Z''(''s'')
''Z''(''ω'')에서 ''R''(''ω'')는 ''Z''(''ω'')
''Z''(''t'')에서 ''R''(''t'')는 시간 도메인 음향 저항이고, ''X''(''t'')는 시간 도메인 음향 저항 ''R''(''t'')의 힐베르트 변환

음향 리액턴스는 '''유도성 음향 리액턴스'''(''X''_''L'')와 '''용량성 음향 리액턴스'''(''X''_''C'')로 나뉜다.

:

X(s) = X_L(s) - X_C(s)

:

X(\omega) = X_L(\omega) - X_C(\omega)

:

X(t) = X_L(t) - X_C(t)

'''음향 어드미턴스'''(''Y'')는 시간 도메인 음향 컨덕턴스의 라플라스 변환, 푸리에 변환 또는 해석 표현이다.^[1]

:

Y(s) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \mathcal{L}[G](s) = \frac{1}{Z(s)} = \frac{\mathcal{L}[Q](s)}{\mathcal{L}[p](s)}

:

Y(\omega) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \mathcal{F}[G](\omega) = \frac{1}{Z(\omega)} = \frac{\mathcal{F}[Q](\omega)}{\mathcal{F}[p](\omega)}

:

Y(t) \stackrel{\mathrm{def}}{=} G_\mathrm{a}(t) = Z^{-1}(t) = \frac{1}{2}\!\left[Q_\mathrm{a} * \left(p^{-1}\right)_\mathrm{a}\right]\!(t)

여기서,

''Z''⁻¹는 ''Z''의 컨볼루션 역수
''p''⁻¹는 ''p''의 컨볼루션 역수

음향 어드미턴스는 '''음향 컨덕턴스'''(''G'')와 '''음향 서셉턴스'''(''B'')로 구성된다.

:

Y(s) = G(s) + iB(s)

:

Y(\omega) = G(\omega) + iB(\omega)

:

Y(t) = G(t) + iB(t)

여기서,

''Y''(''s'')에서 ''G''(''s'')는 ''Y''(''s'')
''Y''(''ω'')에서 ''G''(''ω'')는 ''Y''(''ω'')
''Y''(''t'')에서 ''G''(''t'')는 시간 도메인 음향 컨덕턴스이고, ''B''(''t'')는 시간 도메인 음향 컨덕턴스 ''G''(''t'')의 힐베르트 변환

음향 저항은 음파 에너지 전달을 나타내며, 압력과 운동이 같은 위상에 있어 파동이 매질에 작용한다. 음향 리액턴스는 운동과 위상이 맞지 않는 압력을 나타내며 평균 에너지 전달은 발생하지 않는다. 예를 들어 오르간 파이프에 연결된 밀폐된 벌브는 공기가 들어가고 압력을 받지만 위상이 맞지 않아 순 에너지가 전달되지 않는다. 압력이 상승하면 공기가 들어가고, 압력이 떨어지면 공기가 나가지만, 들어올 때와 나갈 때의 평균 압력이 같아 에너지 전달은 없다. 또 다른 예로 전력선에 연결된 커패시터는 전류가 흐르지만 전압과 위상이 맞지 않아 순 전력이 전달되지 않는다.

2. 1. 음향 임피던스 (Acoustic Impedance)

선형 시불변 시스템에서 음향 압력과 그로 인해 발생하는 음향 체적 유량 사이의 관계는 다음과 같이 표현된다.^[1]

:

p(t) = [R * Q](t)

또는

:

Q(t) = [G * p](t)

여기서,

''p''는 음향 압력
''Q''는 음향 체적 유량
$*$ 는 컨볼루션 연산자
''R''은 시간 도메인에서 음향 저항
''G'' = ''R''⁻¹는 시간 도메인에서 음향 컨덕턴스 (''R''⁻¹는 ''R''의 컨볼루션 역수)

'''음향 임피던스'''(''Z'')는 시간 도메인 음향 저항의 라플라스 변환, 푸리에 변환 또는 해석 신호로 정의된다.^[1]

:

Z(s) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \mathcal{L}[R](s) = \frac{\mathcal{L}[p](s)}{\mathcal{L}[Q](s)}

:

Z(\omega) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \mathcal{F}[R](\omega) = \frac{\mathcal{F}[p](\omega)}{\mathcal{F}[Q](\omega)}

:

Z(t) \stackrel{\mathrm{def}}{=} R_\mathrm{a}(t) = \frac{1}{2}\!\left[p_\mathrm{a} * \left(Q^{-1}\right)_\mathrm{a}\right]\!(t)

여기서,

$\mathcal L$ 는 라플라스 변환 연산자
$\mathcal F$ 는 푸리에 변환 연산자
첨자 "a"는 해석 표현 연산자
''Q''⁻¹는 ''Q''의 컨볼루션 역수

음향 임피던스는 '''음향 저항'''(''R'')과 '''음향 리액턴스'''(''X'')로 구성된다.

:

Z(s) = R(s) + iX(s)

:

Z(\omega) = R(\omega) + iX(\omega)

:

Z(t) = R(t) + iX(t)

여기서,

''i''는 허수 단위
''Z''(''s'')에서 ''R''(''s'')는 시간 도메인 음향 저항 ''R''(''t'')의 라플라스 변환이 아니고, ''Z''(''s'')
''Z''(''ω'')에서 ''R''(''ω'')는 시간 도메인 음향 저항 ''R''(''t'')의 푸리에 변환이 아니고, ''Z''(''ω'')
''Z''(''t'')에서 ''R''(''t'')는 시간 도메인 음향 저항이고, ''X''(''t'')는 해석 표현 정의에 따라 시간 도메인 음향 저항 ''R''(''t'')의 힐베르트 변환

음향 리액턴스는 '''유도성 음향 리액턴스'''(''X''_''L'')와 '''용량성 음향 리액턴스'''(''X''_''C'')로 나뉜다.

:

X(s) = X_L(s) - X_C(s)

:

X(\omega) = X_L(\omega) - X_C(\omega)

:

X(t) = X_L(t) - X_C(t)

'''음향 어드미턴스'''(''Y'')는 시간 도메인 음향 컨덕턴스의 라플라스 변환, 푸리에 변환 또는 해석 표현이다.^[1]

:

Y(s) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \mathcal{L}[G](s) = \frac{1}{Z(s)} = \frac{\mathcal{L}[Q](s)}{\mathcal{L}[p](s)}

:

Y(\omega) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \mathcal{F}[G](\omega) = \frac{1}{Z(\omega)} = \frac{\mathcal{F}[Q](\omega)}{\mathcal{F}[p](\omega)}

:

Y(t) \stackrel{\mathrm{def}}{=} G_\mathrm{a}(t) = Z^{-1}(t) = \frac{1}{2}\!\left[Q_\mathrm{a} * \left(p^{-1}\right)_\mathrm{a}\right]\!(t)

여기서,

''Z''⁻¹는 ''Z''의 컨볼루션 역수
''p''⁻¹는 ''p''의 컨볼루션 역수

음향 어드미턴스는 '''음향 컨덕턴스'''(''G'')와 '''음향 서셉턴스'''(''B'')로 구성된다.

:

Y(s) = G(s) + iB(s)

:

Y(\omega) = G(\omega) + iB(\omega)

:

Y(t) = G(t) + iB(t)

여기서,

''Y''(''s'')에서 ''G''(''s'')는 시간 도메인 음향 컨덕턴스 ''G''(''t'')의 라플라스 변환이 아니고, ''Y''(''s'')
''Y''(''ω'')에서 ''G''(''ω'')는 시간 도메인 음향 컨덕턴스 ''G''(''t'')의 푸리에 변환이 아니고, ''Y''(''ω'')
''Y''(''t'')에서 ''G''(''t'')는 시간 도메인 음향 컨덕턴스이고, ''B''(''t'')는 해석 표현 정의에 따라 시간 도메인 음향 컨덕턴스 ''G''(''t'')의 힐베르트 변환

음향 저항은 음파 에너지 전달을 나타내며, 압력과 운동이 같은 위상에 있어 파동이 매질에 작용한다. 음향 리액턴스는 운동과 위상이 맞지 않는 압력을 나타내며 평균 에너지 전달은 발생하지 않는다. 예를 들어 오르간 파이프에 연결된 밀폐된 벌브는 공기가 들어가고 압력을 받지만 위상이 맞지 않아 순 에너지가 전달되지 않는다. 압력이 상승하면 공기가 들어가고, 압력이 떨어지면 공기가 나가지만, 들어올 때와 나갈 때의 평균 압력이 같아 에너지 전달은 없다. 또 다른 예로 전력선에 연결된 커패시터는 전류가 흐르지만 전압과 위상이 맞지 않아 순 전력이 전달되지 않는다.

2. 2. 비 음향 임피던스 (Specific Acoustic Impedance)

선형 시불변 시스템에서 음향 압력과 입자 속도 사이의 관계는 다음과 같이 표현된다.

:

p(t) = [r * v](t)

또는

:

v(t) = [g * p](t)

여기서,

''p''는 음향 압력
''v''는 입자 속도
''r''은 시간 영역에서의 비 음향 저항
''g'' = ''r''⁻¹는 시간 영역에서의 비 음향 컨덕턴스 (''r''⁻¹는 ''r''의 컨볼루션 역수)

비 음향 임피던스(''z'')는 시간 영역 비 음향 저항의 라플라스 변환, 푸리에 변환 또는 해석적 표현이다.^[1]

:

z(s) \stackrel{\mathrm{def}} \mathcal{L}[r](s) = \frac{\mathcal{L}[p](s)}{\mathcal{L}[v](s)}

:

z(\omega) \stackrel{\mathrm{def}} \mathcal{F}[r](\omega) = \frac{\mathcal{F}[p](\omega)}{\mathcal{F}[v](\omega)}

:

z(t) \stackrel{\mathrm{def}} r_\mathrm{a}(t) = \frac{1}{2}\!\left[p_\mathrm{a} * \left(v^{-1}\right)_\mathrm{a}\right]\!(t)

여기서 ''v''⁻¹는 ''v''의 컨볼루션 역수이다.
비 음향 저항(''r'')과 비 음향 리액턴스(''x'')는 각각 비 음향 임피던스의 실수부와 허수부이다.

:

z(s) = r(s) + ix(s)

:

z(\omega) = r(\omega) + ix(\omega)

:

z(t) = r(t) + ix(t)

여기서,

''z''(''s'')에서 ''r''(''s'')는 시간 영역 비 음향 저항 ''r''(''t'')의 라플라스 변환이 아니고, ''z''(''s'')가 라플라스 변환이다.
''z''(''ω'')에서 ''r''(''ω'')는 시간 영역 비 음향 저항 ''r''(''t'')의 푸리에 변환이 아니고, ''z''(''ω'')가 푸리에 변환이다.
''z''(''t'')에서 ''r''(''t'')는 시간 영역 비 음향 저항이고, ''x''(''t'')는 해석적 표현의 정의에 따라 시간 영역 비 음향 저항 ''r''(''t'')의 힐베르트 변환이다.

비 유도 음향 리액턴스(''x''_''L'')와 비 용량성 음향 리액턴스(''x''_''C'')는 각각 비 음향 리액턴스의 양의 부분과 음의 부분이다.

:

x(s) = x_L(s) - x_C(s)

:

x(\omega) = x_L(\omega) - x_C(\omega)

:

x(t) = x_L(t) - x_C(t)

비 음향 어드미턴스(''y'')는 시간 영역 비 음향 컨덕턴스의 라플라스 변환, 푸리에 변환 또는 해석적 표현이다.^[1]

:

y(s) \stackrel{\mathrm{def}} \mathcal{L}[g](s) = \frac{1}{z(s)} = \frac{\mathcal{L}[v](s)}{\mathcal{L}[p](s)}

:

y(\omega) \stackrel{\mathrm{def}} \mathcal{F}[g](\omega) = \frac{1}{z(\omega)} = \frac{\mathcal{F}[v](\omega)}{\mathcal{F}[p](\omega)}

:

y(t) \stackrel{\mathrm{def}} g_\mathrm{a}(t) = z^{-1}(t) = \frac{1}{2}\!\left[v_\mathrm{a} * \left(p^{-1}\right)_\mathrm{a}\right]\!(t)

여기서,

''z''⁻¹는 ''z''의 컨볼루션 역수
''p''⁻¹는 ''p''의 컨볼루션 역수

비 음향 컨덕턴스(''g'')와 비 음향 서셉턴스(''b'')는 각각 비 음향 어드미턴스의 실수부와 허수부이다.

:

y(s) = g(s) + ib(s)

:

y(\omega) = g(\omega) + ib(\omega)

:

y(t) = g(t) + ib(t)

여기서,

''y''(''s'')에서 ''g''(''s'')는 시간 영역 음향 컨덕턴스 ''g''(''t'')의 라플라스 변환이 아니고, ''y''(''s'')가 라플라스 변환이다.
''y''(''ω'')에서 ''g''(''ω'')는 시간 영역 음향 컨덕턴스 ''g''(''t'')의 푸리에 변환이 아니고, ''y''(''ω'')가 푸리에 변환이다.
''y''(''t'')에서 ''g''(''t'')는 시간 영역 음향 컨덕턴스이고, ''b''(''t'')는 해석적 표현의 정의에 따라 시간 영역 음향 컨덕턴스 ''g''(''t'')의 힐베르트 변환이다.

비 음향 임피던스 ''z''는 특정 매질의 강도적 성질이다. 예를 들어, 공기 또는 물의 ''z''를 지정할 수 있다.

2. 3. 음향 옴 (Acoustic Ohm)

음향 옴은 음향 임피던스의 측정 단위이다. 압력의 SI 단위는 파스칼이고 유량의 SI 단위는 초당 세제곱미터이므로, 음향 옴은 1 Pa·s/m³와 같다.

음향 옴은 음향학의 범위를 벗어난 유체 흐름에도 적용할 수 있다. 이러한 응용 분야에서는 동일한 정의를 가진 '''수력 옴'''을 사용할 수 있다. 수력 옴 측정은 수압과 수력 체적 유량의 비율이 된다.

2. 4. 관계

1차원 파동이 면적 ''A''인 개구를 통과할 때, 음향 체적 유량 ''Q''는 개구를 통과하는 매질의 초당 체적이다. 음향 흐름이

dx = v dt

거리를 이동하면, 통과하는 매질의 체적은

dV = A dx

가 되므로 다음과 같다.

:

Q = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = A \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = A v.

파동이 1차원이라면, 다음을 얻을 수 있다.

:

Z(s) = \frac{\mathcal{L}[p](s)}{\mathcal{L}[Q](s)} = \frac{\mathcal{L}[p](s)}{A \mathcal{L}[v](s)} = \frac{z(s)}{A},

:

Z(\omega) = \frac{\mathcal{F}[p](\omega)}{\mathcal{F}[Q](\omega)} = \frac{\mathcal{F}[p](\omega)}{A \mathcal{F}[v](\omega)} = \frac{z(\omega)}{A},

:

Z(t) = \frac{1}{2}\!\left[p_\mathrm{a} * \left(Q^{-1}\right)_\mathrm{a}\right]\!(t) = \frac{1}{2}\!\left[p_\mathrm{a} * \left(\frac{v^{-1}}{A}\right)_\mathrm{a}\right]\!(t) = \frac{z(t)}{A}.

3. 특성 음향 임피던스 (Characteristic Acoustic Impedance)

특성 음향 임피던스는 매질의 고유한 물성이다. 매질의 밀도가 $\rho_0$ 이고, 매질 속에서의 음속이 $c_0$ 일 때, 특성 음향 임피던스 $Z_0$ 는 다음과 같다.

: $z_0 = \rho_0 c_0$

3. 1. 특성 비 음향 임피던스 (Characteristic Specific Acoustic Impedance)

'''특성 음향 임피던스'''는 매질의 고유한 물성이다. 매질의 밀도가 ''ρ''₀, 매질 속에서의 음속이 ''c''₀일 때, 매질의 특성 음향 임피던스 '''Z'''₀는 다음과 같다.^[1]

:

z_0 = \rho_0 c_0

1차원 비분산 선형 음향학에서 구성 방정식은 응력과 변형 사이의 관계를 나타낸다.^[1]

:

p = -\rho c^2 \frac{\partial \delta}{\partial x},

여기서

''p''는 매질 내의 음압
''ρ''는 매질의 밀도
''c''는 매질 내를 이동하는 음속
''δ''는 입자 변위
''x''는 음파의 전파 방향을 따른 공간 변수이다.

이 방정식은 유체와 고체 모두에 적용된다.

유체의 경우, 1=''ρc''² = ''K''^영어 (''K''는 체적 탄성 계수)
고체의 경우, 종파에 대해 1=''ρc''² = ''K'' + 4/3 ''G''^영어 (''G''는 전단 탄성 계수)이고, 횡파에 대해 1=''ρc²'' = ''G''^영어이다.

뉴턴 운동 법칙을 매질에 국소적으로 적용하면 다음과 같다.^[2]

:

\rho \frac{\partial^2 \delta}{\partial t^2} = -\frac{\partial p}{\partial x}.

이 방정식을 이전 방정식과 결합하면 1차원 파동 방정식이 유도된다.

:

\frac{\partial^2 \delta}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \delta}{\partial x^2}.

이 파동 방정식의 해인 ''평면파''

:

\delta(\mathbf{r},\, t) = \delta(x,\, t)

는 동일한 속도로 ''x''를 따라 이동하고 ''반대 방향''으로 이동하는 ''두 개의 진행 평면파''의 합으로 구성된다.

:

\delta(\mathbf{r},\, t) = f(x - ct) + g(x + ct)

여기에서 다음을 얻을 수 있다.

:

v(\mathbf{r},\, t) = \frac{\partial \delta}{\partial t}(\mathbf{r},\, t) = -c\big[f'(x - ct) - g'(x + ct)\big],

:

p(\mathbf{r},\, t) = -\rho c^2 \frac{\partial \delta}{\partial x}(\mathbf{r},\, t) = -\rho c^2 \big[f'(x - ct) + g'(x + ct)\big].

''진행'' 평면파의 경우:

:

\begin{cases}p(\mathbf{r},\, t) = -\rho c^2\, f'(x - ct)\\v(\mathbf{r},\, t) = -c\, f'(x - ct)\end{cases}

또는

:

\begin{cases}p(\mathbf{r},\, t) = -\rho c^2\, g'(x + ct)\\v(\mathbf{r},\, t) = c\, g'(x + ct).\end{cases}

최종적으로, 비음향 임피던스 ''z''는 다음과 같다.

:

z(\mathbf{r},\, s) = \frac{\mathcal{L}[p](\mathbf{r},\, s)}{\mathcal{L}[v](\mathbf{r},\, s)} = \pm \rho c,

:

z(\mathbf{r},\, \omega) = \frac{\mathcal{F}[p](\mathbf{r},\, \omega)}{\mathcal{F}[v](\mathbf{r},\, \omega)} = \pm \rho c,

:

z(\mathbf{r},\, t) = \frac{1}{2}\!\left[p_\mathrm{a} * \left(v^{-1}\right)_\mathrm{a}\right]\!(\mathbf{r},\, t) = \pm \rho c.

이 비음향 임피던스의 절댓값은 '''특성 비음향 임피던스'''라고 불리며, ''z''₀로 표시된다.^[1]

:

z_0 = \rho c.

이 방정식은 또한 다음 관계를 보여준다.

:

\frac{p(\mathbf{r},\, t)}{v(\mathbf{r},\, t)} = \pm \rho c = \pm z_0.

3. 2. 온도 효과

온도는 음속과 질량 밀도에 영향을 미치며, 이는 비 임피던스에 영향을 미친다.

3. 3. 특성 음향 임피던스

매질의 밀도가 ''ρ''₀이고, 매질 속에서의 음속이 ''c''₀일 때, 매질의 특성 음향 임피던스 '''Z'''₀는 다음과 같다.

:

z_0 = \rho_0 c_0

1차원 파동이 면적 ''A''의 개구를 통과할 때, 파동이 진행 평면파라면 다음과 같다.

:

Z(\mathbf{r},\, s) = \pm \frac{\rho c}{A},

:

Z(\mathbf{r},\, \omega) = \pm \frac{\rho c}{A},

:

Z(\mathbf{r},\, t) = \pm \frac{\rho c}{A}.

이 음향 임피던스의 절댓값은 종종 '''특성 음향 임피던스'''라고 불리며, ''Z''₀로 표기된다.^[1]

:

Z_0 = \frac{\rho c}{A}.

그리고 특성 비음향 임피던스는 다음과 같다.

:

\frac{p(\mathbf{r},\, t)}{Q(\mathbf{r},\, t)} = \pm \frac{\rho c}{A} = \pm Z_0.

만약 면적 ''A''의 개구가 관의 시작 부분이고 평면파가 관 안으로 보내진다면, 개구를 통과하는 파동은 반사가 없을 경우 진행 평면파이며, 일반적으로 관의 다른 끝(열려 있든 닫혀 있든)에서의 반사는 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝으로 이동하는 파동의 합이다.^[3] (반사파가 돌아오기까지 오랜 시간이 걸리고, 관 벽에서의 손실로 인해 감쇠되므로, 관이 매우 길 경우 반사가 없을 수도 있다.^[3]) 이러한 반사와 그로 인한 정상파는 악기, 특히 관악기의 설계와 작동에 매우 중요하다.^[4]

참조

_[1] 서적 Fundamentals of Acoustics Wiley
_[2] 서적 A pocket-sized introduction to acoustics https://hal.archives[...] University of Hull 2008
_[3] 서적 Principles of Vibration and Sound Springer 2004
_[4] 서적 The physics of musical instruments Springer 1998

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